讲函数可积条件

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函数可积的充要条件

函数可积的充要条件
函数可积，也称可积函数，是指表达式中存在两个变量u和v，函数f(u,v)满足以下充要条件中任何一个即可：
1、函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；
2、某偏微分方程存在当然的解；
3、当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；
4、函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。

可积函数在实际应用中非常重要，它是解决光滑面积问题的基础，因此非常重要。

可积函数在计算数学、物理学、工程学等多个领域都得到应用。

例如，假设某一蓝图上有两个坐标轴给出的区域，从中可以得到这个区域的总面积，这就是可积函数的应用。

此外，可积函数也可以用来计算物理定律中一些复杂的数学关系，如电容、磁感应等。

总之，可积函数对许多科学领域起着重要的作用，其充要条件是函数f(u,v)在定义域上偏导数(dx/du, dy/dv)都存在及连续；某偏微分方程存在当然的解；当 u 和 v 的变化量都很小时，函数f(u,v)的值等于它的偏导数乘以各自的变化量；函数f(u,v)满足交换律f(u,v) = f(v,u)。

因此，对可积函数的理解和研究对深入了解物理定律、解决问题以及用数学表达的问题都至关重要。

可积准则

从而积分和具有复杂性，因此讨论积分和的极限是极其困难的.为此，我们需要简化积分和，用分法T的 “最大”与“最小”的两个积分和去逼近一般的积分和,即用极限的两边夹定理考察积分和有极限.首先给出对掌握积分和变化非常有用的大和与小和的概念，并讨论其性质。于是，讨论复杂的积分和的极限问题，就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S(T )
因为，分法T确定后，相应区间上的上下确界也确定,且
m M
k
k
s(T ) S(T ) n
m x
k
k
k 1
n
M x
k
k
k 1
达布简介
达布（1842～1917） Darboux，Jean-Gaston 法国数学家。
小和、大和，积分和，区别
n
n
n
s(T ) mkxk S(T )
M k xk
(T , )
i 1
f ( )x
i
i
k 1
k 1
与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点
i 的取法无关.
这是因为当分法 T 给定后，函数 f(x)在每个小区间的下确界和上确界是唯一的，从而小和与大和也就随分法 T 确定. 这是小和，大和与积分和的主要区别.
n
n
n
a b c 且lim a limc l
n
n
n
n
n
n
n
则limb l
n
n
定理7 (函数的两边夹定理)P107
若x
0
U
(a), 有f
(x)
g(x)

函数的原函数与函数的可积性

函数的原函数与函数的可积性
在高等数学中，原函数的概念和定积分的概念虽建立的背景不同，但通过微积分基本公式的建立却将两者有机的结合起来。

与此同时，在学习过程中，许多学生会认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两个结论是不正确的.本文结合具体例子，来讨论原函数存在性与可积性之间并没有必然联系。

函数可积：可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。

原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。

此条件为充分条件，而非必要条件。

即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。

由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。

需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

一、在区间上可积的函数不一定存在原函数
【例1】设函数，则显然在上可积，
但是由于在点处间断，且是第一类间断点，所以在上不存在原函数。

二、在区间上存在原函数的函数不一定可积
【例2】设函数，则易知
在区间有原函数；但是由于在区间上无界，故在此区间上不可积。

通过上述两个例题的讨论，不难发现，函数的可积性和原函数存在性，是两个不同的概念，它们互不蕴含.即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；反过来，原函数存在的函数，可能可积也可能不可积.因此在学习中只有理解概念之间的内在关系，才能从本质上真正把握高等数学中的概念，乃至深刻理解微积分的思想。

数学分析9.3可积条件

第九章定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理9.2：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。

例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理9.3：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理9.3’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理9.4：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积. 证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0，对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上，就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理9.5：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割，对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理9.6：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)；若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，，在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个，设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε，将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类，其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε，又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})，由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。

fx可积的条件

fx可积的条件fx可积是数学中一个重要的概念，它在众多领域都有着广泛的应用。

fx可积的条件及判定方法是研究这一概念的关键。

本文将围绕fx可积的定义、条件、判定方法及应用展开讨论，以期为广大读者提供实用的理论指导。

一、fx可积的定义与意义fx可积，又称fx可积函数，是指在区间[a, b]上，对于任意划分Δx，有∫[a, b]fx(x)dx = lim(Δx→0) Σ[a, b] f(x)Δx其中，fx(x)表示函数f(x)在x处的取值，Δx表示划分间隔。

fx可积的意义在于，它表示了函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下的有向面积，从而为研究函数的性质提供了有力的工具。

二、fx可积的条件1.连续性：fx在区间[a, b]上连续，即对于任意x∈[a, b]，存在极限lim(x→a-) f(x)和lim(x→b+) f(x)，且lim(x→a-) f(x) = lim(x→b+) f(x)2.单调性：fx在区间[a, b]上单调增加或单调减少。

根据单调性，可将fx 可积条件分为两种情况：（1）单调增加：对于任意x1, x2 ∈ [a, b]，若x1 < x2，则fx(x1) ≤ fx(x2)；（2）单调减少：对于任意x1, x2 ∈ [a, b]，若x1 < x2，则fx(x1) ≥ fx(x2)。

3.有界性：fx在区间[a, b]上有界，即存在实数m和M，使得m ≤ fx(x) ≤M，对于任意x∈[a, b]。

4.周期性：fx具有周期性，即对于任意x∈[a, b]，有fx(x+T) = fx(x)，其中T为函数的周期。

三、fx可积的判定方法1.极限法：根据极限的性质，若fx在区间[a, b]上连续，且存在极限lim(x→a-) f(x)和lim(x→b+) f(x)，则fx可积。

2.级数法：若fx在区间[a, b]上连续，且级数Σ[a, b] f(x)Δx收敛，则fx可积。

3.积分法：若已知fx在区间[a, b]上可积，且存在极限lim(Δx→0) Σ[a, b] f(x)Δx，则fx可积。

可积准则

k k k k k 1 k k k k k k k
n n
m x f ( )x M x
n k 1 k k k 1 k k k 1 k k
s(T ) m x f ( )x M x S (T ) 即s(T ) f ( )x S (T )
显然，对于[a,b]的同一分法T的小和与大和，总有不等式
s(T ) S (T )
因为，分法 T确定后，相应区间上的上下确界也确定 , 且
m M
k
m x
k 1 k
n
k

s (T )

k
n
S (T ) M x
k 1 k
k
达布简介
达布（1842～1917）
Darboux，Jean-Gaston
令
分成了n 个小区间 [ x0 , x1 ],…[xn1, xn ]
[xk 1 , xk ]
a=x0,b xn
由函数在 [a,b] 的长表为 xk xk xk 1
上有界知，它在每个 k 上存在上、下确界：设 mk与 M k 分别是 f ( x) 在 [xk 1 , xk ] 的下确界和上确界.
2、小和与大和的性质
• 下面讨论：
• 小和，大和与积分和之间的关系. • 以及小和与大和之间的关系.
性质1
对 [a, b] 的一个分法 T
S (T ) 之间，即
n
,任意积分和都介于
小和 s(T ) 与大和
k 1
s(T ) f ( k )xk S (T )
证明：
m f ( ) M , [ x , x ]
s (T )
f ( )x S (T )

数学分析9.3可积条件

第九章定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。

例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0，对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上，就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割，对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)；若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，，在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个，设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε，将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类，其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε，又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})，由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。

可积的条件

可积的条件
可积的充分条件：函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。

可积一般就是指：可积函数；如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。

可积函数一定是有界的，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件。

比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，它处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。

可积函数是存在积分的函数。

除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为黎曼可积等。

补充：
函数积分的数学意义就是积分上下限，函数曲线，坐标轴所围成面积的代数和。

所以函数可积等价于所围成的面积可求。

所以只要函数曲线是连续的或者有
有限个间断点，间断点的函数值存在或其极限存在，也就是说函数图像是有界的，不是无限延伸的，那么此类的函数可积。

可积的必要条件(精)

1.思路与方案: 思路: 和. 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分
用相应于分法 T 的“最大”和“最小”的两个“积分
和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 T 及介点 i 无关的条件 . __
方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s(T ) .
研究它们的性质
n k 1
: x0 a x1 x2
xn b
{k } ，注意到
i 1 n k 1 k i 1
S , f (k )xk f (i )xi f (k )xk f (k )xk
f (i )xi ( f (k )xk
1 f x x 0
0Байду номын сангаас x 1 x0
在[0，1]上不可积.
【证】将[0，1]区间 n 等分，即取分法
k : xk , k 0,1, 2, n ,n
；取
{k } ，
k k 1 k 1 1 k , 1 4 0, n n n ， n n ，其中
k [ xk 1 , xk ] {k } 若取，且是上的无理数，则积分和
D k xk 0 xk 0 S , k 1 k 1
n n
从而 d 0 知，
lim S , 1
， d 0
s(T ) f ( i )xi S (T )
说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i 的取法无关 . __ 分别用 S (T ) 、 s(T ) 和 (T ) 记相应于分法
.
T 的上（大）和、下（小）和与积分和.

要判别一个函数是否可积

nm
i1 "ix"i 2i1x"i 2
把这两部分合起来，便证得
n
m
n m
i xi 'i x'i " i x" i ,
i 1
i 1
i 1
即f在[0,1]上可积.
因为已经证得f在[0,1]上可积，所以当取 i 全
为无理点时，使 f i 0 ,从而
1 0fxdxlT im 0 i n1 fixi 0.
首页 ×
V 的各个小区间
i 上任意取定
，
i
并记
G f (i )xi .
ik
现对任意大的正数M,由于f在 k 上无界, 故存在 k k ,
使得于是有
n
f
(k
)
MG
xk
.
f(i)x i f(k)x k f(i)x i
i 1
i k
MxkGxk GM.
由此可见, 对于无论多么小的 T ，按上述方法选取点集
意两点 x '、 x " ，只要 x'x ，便有
f(x)f(x) .
ba
所以只要对[a,b]所作的分割T满足 T , 在T所属的任
一小区间△i 上，就能使f的振幅满足
su p iM im ix,x i fxfxba
从而导致
T ixi baT xi .
由定理 9 .3 证得f 在[a,b]上可积.
xn
1,n n
2,3,L
,
但由定理9.5，仍保证它在[0，1]上可积.
[证法二]（仅利用定理9.3’和定理9.5）任给 0 ,
由于l i m n
1 n
0 , 因此当n充分大时

f可积的充要条件

f可积的充要条件摘要：一、引言二、可积函数的定义与性质三、可积函数的充要条件1.绝对可积函数2.条件可积函数四、可积函数的性质与应用1.可积函数的四则运算2.可积函数的积分3.可积函数在数学其他领域中的应用五、结论正文：【引言】在数学领域，可积函数是一个重要的研究对象。

本文将对可积函数的充要条件进行详细的阐述，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

【可积函数的定义与性质】首先，我们需要了解什么是可积函数。

若函数f(x) 满足：对于任意正数ε，存在正数δ，当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，其中a、b 是函数f(x) 在区间[a, b] 上的连续点。

可积函数具有以下性质：可积函数的有界性、可积函数的四则运算、可积函数的积分等。

【可积函数的充要条件】可积函数的充要条件包括绝对可积函数和条件可积函数。

1.绝对可积函数若函数f(x) 满足：对于任意正数M，存在正数N，当|x|<N 时，有|f(x)|<M，则称函数f(x) 为绝对可积函数。

2.条件可积函数若函数f(x) 满足：对于任意正数ε，存在正数δ，当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数f(x) 为条件可积函数。

【可积函数的性质与应用】可积函数具有很多重要的性质，如可积函数的四则运算、可积函数的积分等。

同时，可积函数在数学的其他领域中也有广泛的应用，如微积分、概率论等。

【结论】总之，可积函数是数学领域中的一个重要研究对象。

fx可积的条件

fx可积的条件fx可积是数学中一个重要的概念，它在微积分、实分析、偏微分方程等领域有着广泛的应用。

所谓fx可积，是指函数f(x)在区间[a, b]上存在一个原函数F(x)，使得对于该区间上的任意一个子区间[c, d]，都有：∫[c, d]f(x)dx = F(d) - F(c)为了更好地理解fx可积，我们需要了解一些相关的概念。

首先，一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，意味着在这个区间内，任意一个点x的极限存在且唯一。

其次，函数f(x)在区间[a, b]上有界，表示存在一个上确界M和下确界m，使得对于所有x∈[a, b]，都有m ≤ f(x) ≤ M。

fx可积的条件有：1.连续函数：如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它在此区间上一定是可积的。

因为连续函数在区间内任意一点处的极限存在，这为积分运算提供了保证。

2.有界函数：有界函数在区间[a, b]上存在上确界和下确界，这意味着对于任意一个子区间[c, d]，都可以找到一个M和m，使得m ≤ f(x) ≤ M。

这样一来，对于这个子区间上的积分，结果必然是有限的。

3.周期函数：周期函数具有周期性，即f(x+T) = f(x)，其中T为函数的周期。

因为周期函数在区间[0, T]上连续且周期性重复，所以它是可积的。

4.单调函数：单调函数在区间[a, b]上单调增加或单调减少。

对于单调增加的函数，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式计算其积分；对于单调减少的函数，我们可以先求原函数的相反函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算。

要判断一个函数fx是否可积，我们可以采用以下方法：1.牛顿-莱布尼茨公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

2.积分换元法：如果函数f(x)难以直接积分，我们可以通过换元法将其转化为更容易积分的形式。

例如，设u = g(x)，则∫[a, b]f(x)dx = ∫[a,b]f(g(u))du。

函数可积,则函数连续。

函数的可积性是数学中的一个重要概念，它与函数的连续性有着密切的关系。

函数的可积性是指函数在某个区间上的积分存在且有限，而函数的连续性则是指函数在某个区间上的各个点都存在极限且极限值相等。

那么，函数可积是否能够保证函数的连续呢？首先，我们来考虑函数可积的条件。

根据积分的定义，函数可积意味着在某个区间上的积分存在且有限。

也就是说，函数的积分可以通过某种方法计算出来，并且积分的结果是一个有限的实数。

这要求函数在该区间内没有无穷大的增长或者突变，否则积分结果将会发散。

对于函数连续的条件，我们知道连续函数在某个区间上的各个点都存在极限且极限值相等。

也就是说，函数的图像在该区间上没有断裂或者突变，可以通过绘制连续的曲线来表示。

连续函数的特点是能够在某一点无限接近于该点的极限值，而不会出现跃变或者间断。

根据函数可积的定义，我们可以得出结论：函数可积，则函数连续。

也就是说，如果一个函数在某个区间上是可积的，那么它一定是连续的。

这是因为函数的可积性要求函数在该区间内没有突变或者跃变的情况，而连续性也要求函数在该区间内没有断裂或者间断的情况，所以两者是相互兼容的。

然而，需要注意的是，函数连续并不能保证函数的可积性。

虽然函数连续意味着函数的图像没有断裂或者间断，但并不意味着函数在该区间上的积分存在且有限。

函数的可积性还需要进一步的条件，比如函数在该区间上的振幅不能太大，不能存在间断点等。

综上所述，函数可积可以保证函数的连续，但函数连续并不能保证函数的可积。

函数的可积性是函数连续的一个更为严格的要求，它需要函数在某个区间上的积分存在且有限。

函数的可积性和连续性是函数分析中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

对于研究函数的性质和求解积分问题非常有帮助。

因此，在深入研究函数的性质和特点时，我们需要充分理解函数的可积性和连续性之间的关系，并加以应用和探索。

函数连续是函数可积的

函数连续是函数可积的
在数学中，函数连续是函数可积的一个必要条件，但并非充分条件。

一个连续函数可以是可积的，但也有可能是不可积的。

如果一个函数在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上一定是可积的。

这意味着可以通过求定积分的方法计算出该函数在区间上的面积或曲线长度。

然而，反过来并不成立。

也就是说，一个函数在区间上可积，并不能保证它在整个区间上连续。

例如，Dirichlet函数就是一个在任何有理数点处都不连续的可积函数。

在更一般的情况下，对于函数的可积性，需要满足柯西准则或黎曼准则。

柯西准则要求函数在区间上有界，并且只有有限个间断点，那么它就是可积的。

黎曼准则则要求函数在区间上有界，并且只有有限个第一类间断点，那么它就是可积的。

总结起来，连续是函数可积的必要条件，但不是充分条件。

对于一般情况下的可积性，还需要满足柯西准则或黎曼准则。

可积的必要条件

f x 在 a, b 上一致连续，证明: 设f x 在a, b 上连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a, b 上任意两点x ', x '', 只要 x ' x '' ，就有
f x ' f x ''

ba
把a, b 分成部分区间 xi 1 , xi i 1,2,
__
3. Darboux 和的性质 : 本段研究 Darboux 和的性质 , 目的是建立 Darboux 定理 .先用分点集定义分法和精细分法 :
T T 表示 T 是 T 的加细 .
Riemann可积的第一充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
01dx对于的任一分割由有理数和无理数在实数中的稠密性在属于t的任一小区间chenli所以无论取法不同全取有理数或全取无理数积分和有不同极限不可积要判断一个函数是否可积由定义可直接考察积分和是否能无限接近某一常数但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知因此这是极其困难的
三
可积条件
一、可积的必要条件二、可积的充要条件
i 1
n
所以无论 T 多么小，只要点集 i 取法不同，全取有理数或全取无理数，积分和有不同极限，
即 D( x ) 在 [0 ,1] 不可积
二
可积的的充要条件
要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的 . 下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值 .
皆小于，则f x 的幅度不小于的区间至多有2k个，

7-2可积性理论简介

n
| f (1 )x1 || I | 1 | f (i )xi |,
i2
|
f
(1 ) |
1
x1
(|
I
| 1
|
n i2
f (i )xi |).
固定i [ xi1 , xi ], i 2,3,, n, 1在[ x0 , x1 ]上任取,
易见f ( x)在[ x0 , x1 ]上有界, 其他类似.
D( f ) D( 1 ) f
(4) 若f与g在[a,b]上可积, 那么对任何实数
, ,函数f g 在[a,b]上可积; fg在
[a, b]上也可积.
D(f g) D( f ) D( g), D( fg) D( f ) D( g).
(5) 若f在[a,b]上可积, 那么对任何[c,d ] [a,b], f在[c,d ]上可积.
性质1. 当分割固定时,
n
S(
f
,
)
inf i
i 1
f
( i
)xi
,
n
S( f , ) sup f (i )xi . i i1
性质2.
设 '是分割添加k个新的分点得到
的新分割,则
S( f , ) S( f , ') S( f , ) k , S( f , ) S( f , ') S( f , ) k . 即分点增加后, 下和不减,上和不增.
若函数f在有限区间[a, b]上有界 , 那么f在[a, b]上 Riemann可积的充要条件是 D( f )是一零测集.
其中: D( f ) { x [a,b]: f在x处不连续}
4. 推论
(1) 若f在[a,b]上只有至多可数的间断点, 那么f在[a, b]上Riemann可积.

f可积的充要条件

f可积的充要条件摘要：一、引言二、可积函数的定义与性质1.定义2.性质三、可积条件的推导1.有限可积条件2.无穷可积条件四、可积函数的判定方法1.积分上限的存在性2.积分下限的存在性3.积分公式的应用五、可积函数的应用1.求解定积分2.求解极限3.求解微分方程六、结论与展望正文：一、引言在数学分析中，可积函数是研究定积分、极限和微分方程等领域的基石。

本文将对可积函数的充要条件进行详细探讨，分析其性质以及应用，以期为读者提供实用的理论依据。

二、可积函数的定义与性质1.定义设函数f(x)在区间[a, b]上单调连续，F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，即F"(x)=f(x)。

那么，f(x)在[a, b]上可积，记作：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)2.性质（1）线性性质：设可积函数f(x)和g(x)在[a, b]上可积，α为常数，则αf(x)和αg(x)在[a, b]上可积，且∫[a, b]αf(x)dx = α∫[a, b]f(x)dx（2）保号性：若f(x)在[a, b]上可积，且在区间[a, b]上单调，那么f(x)在[a, b]上非负（或非正）可积。

（3）可积函数的有界性：若f(x)在[a, b]上可积，则存在常数M和m，使得f(x)≤M且-m≤f(x)，其中M和m仅与f(x)在[a, b]上的最大值和最小值有关。

三、可积条件的推导1.有限可积条件当f(x)在[a, b]上满足以下条件时，可认为f(x)在[a, b]上有限可积：（1）有界性：f(x)在[a, b]上有界；（2）单调性：f(x)在[a, b]上单调；（3）连续性：f(x)在[a, b]上连续。

2.无穷可积条件当f(x)在[a, b]上满足以下条件时，可认为f(x)在[a, b]上无穷可积：（1）有界性：f(x)在[a, b]上有界；（2）单调性：f(x)在[a, b]上单调；（3）连续性：f(x)在[a, b]上连续；（4）极限存在：当x趋向于区间端点时，f(x)的极限存在。

3.2.1可积的充要条件

§3 可积条件
定理9.2 (可积必有界）若函数 f 在 [a ,b]上可积，则 f 在[a ,b] 上必有界. 注：有界性并不是可积的充分条件，即有界函数未必可积.
定义设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
条件是： 0, 分割 T ,使 S(T ) s(T ) .
称 i Mimi (i 1, 2, n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
定理9.3’ 函数 f 在[a, b]上可积的充要条件是：
0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, n;
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 ) f ( xi1) f (b) f (a) .
i 1
i 1
因此,若 T
,则
f (b) f (a)
n
n
iΔ xi T i
i 1
i 1
f (b) f (a) .
f (b) f (a)
i 1
i 1
定理9.4（连续必可积）若 f 在 [a, b] 上连续，则 f 在 [a, b] 上可积. 证 f 在 [a, b] 上连续,从而在 [a, b] 上一致连续.于