高一数学必修二圆与方程知识点
高一数学必修二知识点解析：圆的方程
高一数学必修二知识点解析：圆的方程数学是一门很特别的科目，想要学好数学并不能难，只要掌握重要的知识点就可以得心应手，小编为大家整理了高一数学必修二知识点解析：圆的方程一文，希望能够帮助到各位同学们的复习。
高一数学知识点解析：圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理(20200219214201)
y y1 y2
3
2
BD AB
③内角平分线定理：
CD AC
④定比分点公式： AM MB
⑤韦达定理 .
，则 xM xA
xB ， yM yA
yB
1
1
6
x2 y2 Dx Ey F 0 D 2 E 2 4F 0
1. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则
AB 0
C0
2
D A
2
E
F
4
0
A
A
AB0 C0 D 2 E 2 4 AF 0
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：
3. D 2 E 2 4F 0 常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系
x2 y2 D2x E2 y F2 0 （
1）
说明： 1）上述圆系不包括 C2 ； 2）当
1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（ 2 ） 过 直 线 A x B y C 0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交 点 的 圆 系 方 程 为
x2 y2 Dx Ey F
Ax By C 0
（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相 离时，有四条公切线 十、轨迹方程 （1）定义法（圆的定义） ：略 （2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程 .
2
2
d PA PB ，求 d 的最值及对应的 P 点坐标 .
2
2
4.已知圆 C ： x 1 y 2 25 ，直线 l ： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（ m R ）
高一数学圆方程知识点
高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。
下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。
一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。
其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。
三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。
2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。
四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。
求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。
通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。
2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。
五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。
2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。
可以通过计算直线到圆心的距离来判断。
3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）必修二数学圆与方程知识点总结篇11、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r；(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；(2)过圆外一点的切线:①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离，此时有公切线四条。
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条。
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线。
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线。
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。
数学集合的运算知识点运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B 的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).学数学的方法学习方法很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二圆的方程知识点数学人教版必修二圆的方程知识点1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有; ;(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含; 当时,为同心圆.注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点数学集合的运算知识点运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).学数学的方法学习方法很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。
【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]
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【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程x a2y b r 221.求标准方程的方法――关键是求出圆心a,b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 x y r r0 222过原点x a y b a2b2a2b20圆心在x 轴上x a y r22222rr00圆心在y轴上 x y b r222圆心在x轴上且过原点x a y a222a0b02圆心在y轴上且过原点 x y b b2222与x轴相切x a y b b 222b0a0与y轴相切x a y b a与两坐标轴都相切x a y b a二、一般方程x y Dx Ey F0D E4F0 22222222a b01.Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则⎧⎧⎧A=B≠0⎧A=B≠0⎧⎧C=0⇔⎨⎨C=0⎧⎧D2+E2-4AF>022⎧DEF⎧⎧⎧⎧⎧>0 ⎧+ ⎧-4⋅⎧AAA⎧⎧⎧⎧⎧2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.D2+E2-4F>0常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBPB=BN=BC-r =BM=BC+rminmax（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值Pmin= PmaxA=A=rr C C=思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔∆<0⇔d>r（2）相切切⇔只有一个公共点⇔∆=0⇔d=r（3）相交⇔有两个公共点⇔∆>0⇔d这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高一数学必修二第四章圆与方程知识点总结
1 数学必修2第四章"圆与方程"知识点1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222x y r +=。
2、点与圆的位置关系：设圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，将M 带入圆的标准方程，结果>r2在外，<r2在内3、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->（1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 4、直线与圆的位置关系：几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算△>0、=0、<0 .5、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）（1）相离1212C C r r ⇔>+；（2）外切1212C C r r ⇔=+；（3）相交121212r r C C r r ⇔-<<+；（4）内切1212C C r r ⇔=-；（5）内含1212C C r r ⇔<-.6、过两圆221110x y D x E y F ++++=与222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程 2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1)λ≠-.当1λ=-时，即两圆公共弦所在的直线方程.7、点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 间的距离12PP =。
高一数学必修二圆知识点
高一数学必修二圆知识点在高中数学的学习中，圆作为一个重要的几何形体，占据着很大的比重。
本文将针对高一数学必修二中的圆知识点进行全面的介绍和讲解。
一、圆的定义及基本性质圆是平面上一点到另一点的距离都相等的点的集合。
圆的基本性质包括：1. 圆心和半径：圆心是圆上每个点到圆心的线段所在直径的中点。
而半径则是圆心到圆上任一点的距离。
2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，而弦则是连接圆上两点的线段。
3. 弧长和扇形面积：弧长是弧所对应的圆心角所对应的弧长。
而扇形面积则是由一条弧和两条半径所围成的区域的面积。
4. 切线和切点：切线是与圆相切的直线，而切点则是切线与圆的交点。
二、圆的方程和直角坐标系圆的方程可以通过直角坐标系表示。
一般来说，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
我们可以通过这个方程来确定圆的位置和形状。
三、圆的相交关系和位置关系当两个圆相交时，我们可以通过圆的交点和交点间的关系来判断相交的情况。
有以下几种情况：1. 内切和外切：当两个圆内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径之和。
而当两个圆外切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径之差。
2. 相交：当两个圆交于两个不重合的点时，两个圆是相交的。
此时，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。
3. 相离：当两个圆没有交点时，两个圆是相离的。
此时，两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
四、圆的切线与切点的求解圆的切线是与圆相切的直线，切点则是切线与圆的交点。
求解圆的切线和切点可以通过以下几种方法：1. 切线方程法：设切点坐标为(x,y)，圆心坐标为(a,b)，半径为r。
根据切线的定义，可以得到切线方程。
然后代入圆的方程(x-a)² + (y-b)² = r²，解得切点坐标，进而得到切线的方程。
2. 切线与法线垂直的性质：过圆上一点的切线与过该点的半径垂直。
高中数学必修2知识点总结04 圆与方程
高中数学必修2知识点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04圆与方程坐标法是以坐标系为桥梁，把讨论几何问题转化成代数问题，通过代数运算讨论几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的讨论方法。
通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。
教材要求：把握如何在直角坐标系中建立圆的方程；并通过圆的方程讨论直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的力量。
一、圆与方程高考考试内容及考试要求：把握圆的标准方程和一般方程；了解参数方程的概念；理解直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；二、圆的方程课标要求：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并把握圆的标准方程与一般方程。
要点精讲：1．圆的方程（1）圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2(r0)。
（其参数方程为xarcos（θ为参数））特别地，当a=b=0时，圆心在原点的圆的方程为：x2y2r2（其参数ybrsinxrcos方程为（θ为参数））。
yrsinDE（2）圆的一般方程xyDxEyF0，圆心为点(,)，半径r222222其中DE4F0。
D2E24F，2（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圆的方程的充要条件是：①、x2项y2项的系数相同且不为0，即AC0；22②、没有xy项，即B=0；③、DE4AF0。
（4）点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的推断方法：1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；2）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内三、直线、圆的位置关系课标要求：1．能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
【高中数学】高一年级数学圆的方程必修二知识点
【高中数学】高一年级数学圆的方程必修二知识点【导语】我们学会忍受和承担。
但我们心中永远有一个不灭的心愿。
是雄鹰，要翱翔羽天际！是骏马，要驰骋于疆域！要堂堂正正屹立于天地！努力！坚持！拼搏！成功！一起来看看逍遥右脑为大家准备的《高一年级数学圆的方程必修课程二知识点》吧，期望对你的自学有所协助！圆的方程定义：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，存有三个参数a、b、r，即为圆心座标为(a，b)，只建议出来a、b、r，这时圆的方程就被确认，因此确认圆方程，须三个单一制条件，其中圆心座标就是圆的定位条件，半径就是圆的定形条件。
直线和圆的位置关系：1.直线和圆边线关系的认定方法一就是方程的观点,即为把圆的方程和直线的方程阿提斯鲁夫尔谷成方程组,利用判别式δ去探讨边线关系.①δ＞0,直线和圆相交.②δ=0,直线和圆相切.③δ＜0,直线和圆相离.方法二就是几何的观点,即为把圆心至直线的距离d和半径r的大小予以比较.①d＜r,直线和圆相交.②d=r,直线和圆相切.③d＞r,直线和圆相离.2.直线和圆切线,这类问题主要就是谋圆的切线方程.求圆的切线方程主要可以分成未知斜率k或未知直线上一点两种情况,而未知直线上一点又可以分成未知圆上一点和铅直一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径旋转轴切线；⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点,与切线横向的直线必经过圆心；当一条直线满足（1）过圆心；（2）过切点；（3）旋转轴切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足用户.切线的判定定理经过半径的外端点并且旋转轴这条半径的直线就是圆的切线.切线长定理从铅直一点作圆的两条切线,两切线短成正比,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．圆锥曲线性质：一、圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线：至两个定点的距离的高的绝对值为定值（定值大于两个定点的距离）的动点轨迹叫作双曲线.即.3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.二、圆锥曲线的方程1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中,a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0,b>0）或-=1（a>0,b>0）（其中,c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0）,x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a,|y|≤b（2）顶点：(±a,0),(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）距心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0,b>0）（1）范围：|x|≥a,y∈r（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0,y∈r（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）距心率：e=1（5）准线：x=-练习题：1.△abc三个顶点的座标分别就是a(1，0)，b(3，0)，c(3，4)，则该三角形外接圆方程就是()a.(x-2)2+(y-2)2=20b.(x-2)2+(y-2)2=10c.(x-2)2+(y-2)2=5d.(x-2)2+(y-2)2=【解析】选c.易知△abc是直角三角形，∠b=90°，所以圆心是斜边ac的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r=，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.2.未知圆c经过a(5，2)，b(-1，4)两点，圆心在x轴上，则圆c的方程就是()a.(x-2)2+y2=13b.(x+2)2+y2=17c.(x+1)2+y2=40d.(x-1)2+y2=20【解题指南】根据题意设圆心坐标为c(a，0)，由|ac|=|bc|建立关于a的方程，解之可得a，从而得到圆心坐标和半径，可得圆c的标准方程.【解析】挑选d.因为圆心在x轴上，所以设圆心坐标为c(a，0)，又因为圆c经过a(5，2)，b(-1，4)两点，所以r=|ac|=|bc|，可得=，解得a=1，可以得半径r===2，所以圆c的方程是(x-1)2+y2=20.3.未知实数x，y满足用户x2+y2=9(y≥0)，则m=的值域范围就是()a.m≤-或m≥b.-≤m≤c.m≤-3或m≥d.-3≤m≤【解题指南】m=的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可得解.【解析】挑选a.由题意所述m=的几何意义就是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，做出图形，所以m的范围就是：m≥=或m≤=-.故所求m的取值范围是m≤-或m≥.4.设p(x，y)就是圆c(x-2)2+y2=1上任一一点，则(x-5)2+(y+4)2的值()a.6b.25c.26d.36【解析】选d.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点p(x，y)到点q(5，-4)的距离的平方，由于点p在圆(x-2)2+y2=1上，这个值是(|qc|+1)2=36.。
数学必修2圆与方程知识点专题讲义
数学必修2圆与方程知识点专题讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 ()()222x a y b r -+-=1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）二、一般方程(222204x y Dx Ey F D E F++++=+- 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则22240A B A C C D D E F A A A ⎧⎪=≠=⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩2.求圆的一般方程方法①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦（ 此弦垂直AC ）3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔> （2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔= （3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了.如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =ii ）点在圆上若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. ③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂径定理．．．．及勾股定理 （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含 2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 注：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3．圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）注：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= （3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 六、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 七、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动↓ ↓动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例：如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.。
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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 和半径
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
（2）过直线 与圆 交点的圆系方程为
（3）有关圆系的简单应用
（4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线
十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
变式：已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则直线 的方程为_______________.
3.圆 关于点 对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线 ： 与圆 ： ，问：是否存在实数 使自 发出的光线被直线 反射后与圆 相切于点 ？若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由.
1.判断方法：点到圆心的距离 与半径 的大小关系
点在圆内； 点在圆上； 点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值
（2）圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值
思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（ 为圆心到直线的距离）
（1）相离 没有公共点
（5） 内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆 ： ，圆 ： ，
则 为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；
若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
（1）过两圆 ： 和 ： 交点的圆系方程为 （ ）
说明：1）上述圆系不包括 ；2）当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
1）若点 在圆 上，则切线方程为
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2）若点 在圆 上，则切线方程为
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
弦长公式： （暂作了解，无需掌握）
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
例：若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为1，则半径 的取值范围是_________________. 答案：
4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
五、对称问题
1.若圆 ，关于直线 ，则实数 的值为____.
答案：3（注意： 时， ，故舍去）
变式：已知点 是圆 : 上任意一点， 点关于直线 的对称点在圆 上，则实数 _________.
2.圆 关于直线 对称的曲线方程是________________.
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数 ， 满足方程 ，求：
（1） 的最大值和最小值；——看作斜率
（2） 的最小值；——截距（线性规划）
（3） 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知 中， ， ， ，点 是 内切圆上一点，求以 ， ， 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
（2）相切 只有一个公共点
（3）相交 有两个公共点
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线 与圆 相切意味着什么？
圆心 到直线 的距离恰好等于半径
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
2.已知圆 ： ，问：是否存在斜率为1的直线 ，使 被圆 截得的弦为 ，以 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 的方程，若不存在，说明理由.
提示： 或弦长公式 . 答案： 或
3.已知圆 ： ，点 ， ，设 点是圆 上的动点， ，求 的最值及对应的 点坐标.
4.已知圆 ： ，直线 ： （ ）
（1）证明：不论 取什么值，直线 与圆 均有两个交点；
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
如定点 ，圆： ，[ ]
第一步：设切线 方程
第二步：通过 ，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对 存在有效，当 不存在时，应补上——千万不要漏了！
如：过点 作圆 的切线，求切线方程.
答案： 和
ii）点在圆上
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件 方程形式
圆心在原点
过原点圆心在 轴上圆源自在 轴上圆心在 轴上且过原点
圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
1. 表示圆方程则
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 例 4
3. 常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
（2）求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围.
6.已知圆 与直线 交于 ， 两点， 为坐标原点，问：是否存在实数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（ 为圆心距）
（1） 外离 （2） 外切
（3） 相交 （4） 内切
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设 为圆 上的任一点，欲使不等式 恒成立，则 的取值范围是____________. 答案： （数形结合和参数方程两种方法均可！）
七、圆的参数方程
， 为参数
， 为参数
八、相关应用
1.若直线 （ ， ），始终平分圆 的周长，则 的取值范围是______________.