范数及条件数
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
2范数和条件数病态方程组
由于
( I A)( I A)1 I ( I A)1 A( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
在最后一式两端取范数，得
( I A) 1 I A ( I A) 1
1 A
( I A) 1 I 1.
练习:计算矩阵
1 2 A 3 4 的各种范数.
答案 : 6,7, 15 221 , 30
§2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.3.1
矩阵的条件数与线性方程组的性态
给定线性方程组 Ax =b，现在考察，系数矩阵 A 和常数列 b 有了微小变化 △A，△b ，它如何影 响解向量 x，即，解向量 x 的变化量 △x 何样？ 由于A （或 b）的元素是测量得到的，或者是 计算的结果，在前种情况下， A （或 b）常常带有 某些观测误差，在后种情况下， A （或 b）包含舍 入误差，因此我们处理的实际矩阵是A + △A （或 b+ △b ）。
n×n矩阵 A，式(1.2)中定义的函数是一种矩阵范 数，并且它与给定的向量范数是相容的.
A max Ax
单位球上的 最大像值
x 1
(1.2)
证明 先证相容性. 对任意的n×n矩阵A和n维非零向
量 y. 由于
y 1 max Ax A Ay . x 1 y y
所以有
Ay y max Ax y A ,
考察方程组 Ax = b, 当 A 或 b 有微小扰动时, 对解的影响， 首先看一个例子：
1 x1 2 1 , 1 1.0001 x2 2 1 x1 2 1 x 1 1.0001 2.0001 2
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
范数及条件数
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
解：由 || Iλ − A ||= 特征值 所以
λ −2
2
1 =0 λ −4
得：
λ1 = 3 + 3 , λ2 = 3 − 3。 ρ ( A) = 3 + 3
1. 向量的范数
向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 范数的最简单的例子，是绝对值函数： 范数的最简单的例子，是绝对值函数： = x2 x 有三个熟知的性质： 有三个熟知的性质： (1) x ≠ 0 ⇒ | x | > 0 | x | = 0当且仅当 = 0 当且仅当x 当且仅当 (2) |ax| = | a |⋅| x | a为常数 为常数 | (3) | x + y | ≤ | x | + | y |
矩阵的范数性质
1 ， 显 然 A ≥ 0.若 A = 0, 则 A = m ax Ax = 0.
x =1
反之，若 A = 0 ⇒ ⇒
x =1
Байду номын сангаас
Ax = 0 ⇒ Ax = θ A = 0.
x =1
2 ， ∂ A = m ax ∂ Ax = m ax ∂ Ax = ∂ m ax Ax = ∂ A .
x =1
1 x1≤ x∞ ≤ x1 n x ∞ ≤ x 1 ≤n x ∞
x∞≤ x2≤ n x∞
矩阵的范数
定义：对任意n阶方阵A，按一定的规则由一实 数与之对应，记为 A 。若 A 满足 1, 2, 3, 4， A ≥ 0 , 且 A = 0当且仅当 A = 0; (正定) (齐次)
矩阵的范数和条件数课件
02
条件数
定义与性质
定义
条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个 重要指标，定义为矩阵A的谱范数与 Frobenius范数的比值，记为cond(A) 。
性质
条件数具有对称性，即cond(A) = cond(A^T)，且对于任意常数c，有 cond(cA) = |c| * cond(A)。
条件数的计算方法
考虑计算效率和精度
在选择范数和条件数时，需要权衡计算效率和精度。如果计算效率更重要，可以选择较小 的范数和条件数；如果精度更重要，可以选择较大的范数和条件数。
使用预处理技术改善计算的稳定性和精度
当矩阵的条件数较大时，可以考虑使用预处理技术来改善计算的稳定性和精度。例如，在 求解线性方程组时，可以使用不完全分解（Incomplete LU Factorization）或共轭梯度 法（Conjugate Gradient Method）等预处理技术来降低条件数的影响。
条件数对计算稳定性的影响
矩阵的条件数越大，计算过程中数值不稳定的程度越高，计 算结果可能偏离真实值。因此，在求解线性方程组时，如果 系数矩阵的条件数较大，则需要采取适当的预处理技术来改 善计算的稳定性。
如何选择合适的范数和条件数
根据问题需求选择合适的范数
在某些应用中，可能需要选择特定的范数来衡量矩阵的大小或稳定性。例如，在图像处理 中，可能需要使用Frobenius范数来衡量矩阵的大小。
THANKS
在数值分析中的应用
矩阵的范数可以用于求解线性方程组的迭代法和直接法中，以确定收敛性和误差控制。
条件数可以用于分析数值方法的稳定性和误差传播。
05
总结与展望
矩阵的范数和条件数的重要性和意义
矩阵的范数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如线性方程组的解、控制系统稳定性分析 、图像处理等。
范数
注:
cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A 1‖1 cond (A) cond (A)2 =‖A‖ ‖ A 1‖
max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
max | | cond ( A)2 min | |
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
定理1.4.6 对任意算子范数 || ·|| 有: ( A) || A ||
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax || || A || || x ||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u 代入 | | || u || || u || || Au || || A || || u ||
定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有
①. I A 可逆； ②.
I A
1
1 1 || A ||
证明：① 若不然，则 ( I A) x 0 有非零解，即存在非零向
x0 使得 量
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数
数值分析向量矩阵范数矩阵的条件数数值分析是研究数值计算方法的一门学科，主要研究如何在计算机上对数学问题进行数值计算。
在数值分析中，向量和矩阵是常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
向量是一个有方向和大小的量，通常用一维数组来表示。
在数值分析中，我们常常需要计算向量的范数，即向量的大小。
向量的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是向量的所有元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的1-范数定义为，x，1 = ，x1， + ，x2， + ... + ，xn。
2-范数是向量的所有元素平方和的平方根。
对于n维向量x=(x1,x2, ..., xn)，它的2-范数定义为，x，2 = √(x1^2 + x2^2 + ... +xn^2)。
无穷范数是向量绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为，x，∞ = max(，x1，, ，x2，, ..., ，xn，)。
矩阵是一个二维数组，数值分析中常用矩阵进行线性代数的计算。
矩阵范数是对矩阵性质的度量，它可以看作是矩阵中元素的其中一种“大小”。
矩阵的范数有多种定义方法，常用的有1-范数、2-范数和无穷范数，与向量的定义类似。
矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感度的度量。
一个矩阵的条件数越大，表示它的逆矩阵对输入误差的敏感度越高，计算的结果可能越不稳定。
在数值计算中，经常需要考虑矩阵的条件数，尽可能选择条件数较小的矩阵进行计算，以提高计算的稳定性和精确性。
总之，向量和矩阵是数值计算中常用的数学工具，而范数和条件数则是评估向量和矩阵性质的指标。
正确理解和应用这些概念，对于进行准确和稳定的数值计算具有重要的意义。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
范数及条件数
(i 1, 2,L , n) 称
i
(A) max i 为A的谱半径。 1in
定理：(A) A , A 为 A 的任意矩阵范数
( Ax x x , Ax A x x A x A (A) A )
例：设A = (aij)nn，||A||为其算子 范数，如果||A|| < 1,则 I – A可逆，
x 1
x 1
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
A B.
矩阵的范数性质（续1）
4，对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
x 1
x 1
max A Bx max A B x
1
A 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 2
推论 设A为对称矩阵,则 || A ||2 | max( A) |,
又若A非奇异, 则
||
A1
||2
||
1 m in
(
A)
||。
对称矩阵范数
证明：由AT A知
|| A ||22 max( AT A) max( A2 ) | max( A) |2 所以有 || A ||2 | max( A) |
因为AT
A
2 1
2 2
4
2
1 8
4
10
10
17
由 | I AT A | 8
10 0
10 17
解得1 23.466, 2 1.534，故 || A ||2 23.466 4.844。
1
|| A ||F [22 (1)2 (2)2 42 ]2 5
范数及条数PPT课件
1/109
1. 向量的范数
向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 范数的最简单的例子，是绝对值函数：x x2 有三个熟知的性质：
(1) x 0 x > 0 x = 0当且仅当x = 0 (2) ax = a x a为常数 (3) x + y ≤ x + y
又称为谱范数。
n
2.
A max
1
x 1 1
Ax max 1 1 j量的1－范数的最大值称为矩阵的列范数。
n
3.
A max
x 1
Ax max 1in
aij
j 1
, 为矩阵的行
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
13
常见的矩阵范数
nn
1
F 范数：A ( F
9
定理 设x Rn , A Rnn ,并在Rn上定义向量范数 || x ||,
则
|| A || max || Ax || max || Ax ||
x0 || x || ||x||1
为R nn上的矩阵范数, 且称其为算子范数。
证：设A (aij )为任意n阶方阵，x为任意
n维非零向量。因为
Ax A x ,
( A)
max{|
1in
i
|}
为矩阵A的谱半径。
矩阵A的谱半径( A)不是A的一种范数,
但可能与A的任何一种范数有某种关系。
17
例题
求矩阵A
2 2
41的谱半径。
解：由|| I A || 2
1 0
2 4
特征值 1 3 3, 2 3 3。
范数的三个条件
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
范数的名词解释
范数的名词解释范数是线性代数中一个重要的概念，它可以衡量向量空间中向量的大小。
在数学上，范数是一种从向量到实数的函数，它满足一定的性质。
范数不仅在线性代数中有重要应用，也在其他学科中被广泛使用，如函数空间、统计学、机器学习等。
一、范数的定义范数是向量空间中度量向量大小的一种方式。
对于一个实数域上的向量空间V，范数可以定义为一个从V到实数集上的非负实值函数，记作||·||，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意向量x∈V和任意实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x、y∈V，有||x+y||≤||x||+||y||。
二、范数的类型根据范数函数的定义方式，范数可以分为不同的类型。
常见的范数有：1. L1范数（曼哈顿范数）：L1范数定义为||x||1=∑|xi|，表示向量x中每个元素绝对值之和。
L1范数在稀疏表示、压缩感知等领域有广泛应用。
2. L2范数（欧几里德范数）：L2范数定义为||x||2=√(∑|xi|^2)，表示向量x中每个元素的平方和的平方根。
L2范数也称为欧几里德范数，是我们常用的向量长度度量方式。
3. 无穷范数：无穷范数定义为||x||∞=max(|xi|)，表示向量x中绝对值最大的元素。
无穷范数在机器学习中的正则化和特征选择中使用广泛。
三、范数的应用范数作为度量向量大小的一种方式，在实际应用中有很多重要的用途。
1. 正规化：范数可以作为正则化项用于优化问题，如Lasso回归中使用L1范数作为正则化项，使得模型获得稀疏解。
2. 特征选择：范数可以用于特征选择，通过限制特征向量的范数大小，保留重要的特征，去除冗余信息。
3. 函数空间：范数在函数空间中也有广泛应用，例如L2范数用于定义函数空间上的内积。
4. 最优化问题：范数在最优化问题中起到了重要的作用，如L1范数最小化问题可以得到稀疏解。
7 范数与条件数
( A E) x Ex x ( A E)1 Ex (I A1E)1 A1Ex
|| x || || A1 |||| E || 1 1 1 (I A E) A E || x || 1 || A1E || E E || A || || A1 |||| A || E || A || 1 || A1 |||| A || || A || || A1 |||| A ||
10
矩阵的算子范数（Induced norm）
• 算子（诱导）范数：由向量范数导出的矩阵范数：
A
• 常见算子范数：
max(
x 0
Ax x
)
|| A ||1 max(
x 0
Ax 1
|| A || max(
x 0
Ax x
Ax x
2
x1
) max | aij |
1 j n
n
列和范数
病态问题中结果对于数据的变化率都很大很敏感因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性在采用数值方法求解之前就存在与数值方法无关
第三章 线性方程组求解的数值方法
第二节 范数与条件数
1
为了研究线性方程组近似解的误差 估计和迭代法的收敛性，引进向量 （矩阵）的范数的概念。
s
推论：向量序列在某范数下收敛，则在任意范数下收敛。
推论证明： xn 在
s
收敛 :
s
lim xn x
n
0 lim c1 xn x lim c2 xn x 0
n s n s
由向量范数等价定理，可得： c1 xn x xn x c2 xn x
数值计算方法-范数
0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2
Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n
x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0
无穷范数条件数
无穷范数条件数无穷范数条件数（Infinity Norm Condition Number）是用来衡量矩阵的稳定性和误差传播程度的指标之一。
在数值分析和线性代数中，矩阵的条件数是一个非常重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵在计算过程中是否容易出现误差放大的问题。
1. 什么是无穷范数条件数？无穷范数条件数是一种用来衡量矩阵变化对解的影响程度的指标。
在数学中，一个矩阵的条件数是该矩阵的一个性质，它衡量了矩阵的奇异性，即矩阵离奇异矩阵（矩阵行列式为0）有多远。
条件数越大，表示矩阵越接近奇异矩阵，越容易出现误差放大的问题。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A为一个n×n的系数矩阵，b为n维向量，x 为未知向量。
如果A是非奇异矩阵（行列式不为0），则方程组有唯一解。
但是在实际运算中，由于计算机浮点运算的有限精度，我们很难避免误差的产生。
条件数可以帮助我们判断误差的传播情况，从而有效地评估问题的稳定性。
无穷范数条件数可以用以下公式来计算：K = ||A||∞ ||A^(-1)||∞其中，||A||∞表示矩阵A的无穷范数，即矩阵的最大行和范数；||A^(-1)||∞表示矩阵A的逆的无穷范数。
2. 无穷范数条件数的性质无穷范数条件数具有以下性质：•条件数K始终大于等于1，且K=1当且仅当矩阵A是单位矩阵。
•对于两个矩阵A和B，若B是A的一个置换矩阵，则它们的条件数相等，即K(A)=K(B)。
•如果矩阵A的条件数很大，意味着矩阵A是病态的，计算误差容易放大。
3. 无穷范数条件数的应用无穷范数条件数在数值计算和科学计算中有着广泛的应用。
3.1 线性方程组求解在求解线性方程组时，我们通常使用一些数值方法，如高斯消元法或LU分解。
条件数可以帮助我们评估数值方法的稳定性，以及对误差的敏感程度。
当条件数较大时，误差很容易在计算中累积，最终导致不准确的结果。
3.2 迭代法求解在迭代法中，如迭代法或雅可比迭代法，我们使用循环迭代来逐步逼近解。
范数的定义[精华]
![范数的定义[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/23f7fc90ed3a87c24028915f804d2b160a4e8641.png)
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. A 1 max Ax 1 max aij
x 1 1 1 j n i 1
n
n
, 为矩阵的
列向量的1－范数的最大值称为矩阵的列范数。
3. A max Ax
x 1
max aij , 为矩阵的行
1i n j 1
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
对称矩阵范数
证明：由AT A知 || A ||2 max ( AT A) max ( A2 ) | max ( A) |2 2 所以有 || A ||2 | max ( A) | 又因为A非奇异，则 ( A) 0,由 ( A1 ) -1 ( A)得 || A1 ||2 || max ( A1 ) |||| 1 ( A) || min
例题
2 1 例 设矩阵A , 求 || A || p ( p 1, 2, )及 || A ||F 2 4 解 :|| A ||1 max{2 | 2 |,| 1| 4} 5 || A || max{2 | 1|,| 2 | 4} 6 2 2 2 1 8 10 因为A A 2 4 10 17 1 4 8 10 T 由 | I A A | 0 10 17
x
由于x 0，故有
A
由的任意性，有 ( A) max{ } A 。
(2) 因为AT A ，故 || A ||2 | max ( A) | ( A)。 2 1 显然 A , ( A) 3 3,|| A ||2 5,|| A || 6, 2 4 || A ||2 4.844,|| A ||F 5，所以 ( A) || A || p 。
2) 齐次性：kα = |k| α ，这里k F
3) 三角不等式：α+ α + 则称α为α的范数。定义了范数的向量空间称为赋范向量 空间. 简单性质： (1) x 0 (2) ||x|| = || – x ||
x 1 || x ||
x
(50,48.5)T
若右端有微小变动 0.0001 b 0.0001 0.99 x1 1.9899 1 0.99 0.98 x 1.9701 2
~ ( 2)
则 解得 x
(2.97,0.99)T
|| x || max | xi |
1i n
不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。 注：上述形式的统一：
|| x || p (i 1 | xi | p )1/ p
n
1 p
例 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算
x
解:
1
, x
, x
2
x
1
=1+0+|-1|+2=4
A B A B , 对任意A, B两个n阶方阵 AB A B （相容性条件）
(三角) 则称 A 为矩阵A的范数。
定理 设x R n , A R nn , 并在R n 上定义向量范数 || x ||, 则 || Ax || || A || max max || Ax || x 0 || x || || x|| 1
若同时对A, b扰动A, b, 则 1.0001 0.99 x1 1.9899 0.99 0.98 x 1.9701 2
~ ( 3)
解得 x
(148.5,148.005) T
~ (i)
~ (i)
(k ) 1 (k ) 2 (k ) T n
若对任何i (i = 1, 2,…, n)都有 lim xi( k ) xi*
k
* 则向量 x* ( x1* , ..., xn )T 称为向量序列{xk}的极限，或者说
向量序列{xk}依坐标收敛于向量x*，记为 lim xk x *
k
1. 向量的范数
向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 范数的最简单的例子，是绝对值函数： x 2 x 有三个熟知的性质：
(1) x 0 x > 0 x = 0当且仅当x = 0
(2) ax = a x a为常数 (3) x + y ≤ x + y
§5.4 向量的范数与矩阵的范数
在线性方程组的数值解法中，经常需要分析解向量的 误差，需要比较误差向量的“大小”或“长度”。那么怎 样定义向量的长度呢？ 我们在初等数学里知道，定义向量的长度，实际上就 是对每一个向量按一定的法则规定一个非负实数与之对应， 这一思想推广到n维线性空间里，就是向量的范数或模。 用Rn 表示n维实向量空间，用Cn 表示n维复向量空间， 首先将向量长度概念推广到Rn(或Cn)中。
x 1
反之，若 A 0
x 1
Ax 0 Ax A 0.
2， A max Ax max Ax
x 1
max Ax A .
x 1
3,对任意两个n阶方阵A和B， A B max ( A B ) x max Ax Bx
x 1 x 1
常见的矩阵范数
F 范数： F ( a ) A
j 1 i 1 n n 1 2 2 ij
一般称 A 1为矩阵的列范数， 为矩阵的行范数， A A 2 为矩阵的谱范数或欧几 里德范数。 推论 设A为对称矩阵, 则 || A ||2 | max ( A) |, 又若A非奇异, 则 || A1 ||2 || 1 ( A) || 。 min
x 1 x 1
A B 5，对任意n维向量x，都有 Ax A x 。 这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。 可由三种常用的向量范数诱导出矩阵范数。
矩阵范数
设A (aij )为n阶方阵 1. A 2 max Ax 2 1 ,其中1是 AT A的最大特征值。
x 2 1
又称为谱范数。
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1 x 1 x 1
A B .
矩阵的范数性质（续1）
4，对任意n维非零向量x, 有 Ax x A 即
x 1
Ax A x .
x 1
故有 AB max ( AB) x max A( Bx) max A Bx max A B x
设系数矩阵有微小的扰 动 0.0001 0 A 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x 1.97 2
~ (1)
即
x 1.0001 1 0.99x2 1.99 所以 ，解得 0.99x1 0.98x2 1.97
T
解得1 23.466, 2 1.534，故 || A ||2 23.466 4.844。 || A ||F [22 (1) 2 (2) 2 4 ] 5
1 2 2
矩阵的谱半径
定义 设λi (i 1, 2,...,n)为矩阵A的特 征值, 则称 ( A) max{| i |}
1 x1 x x1 n x x1 n x
x
x2 n x
矩阵的范数
定义：对任意n阶方阵A，按一定的规则由一实 数与之对应，记为 A 。若 A 满足 1, 2, 3, 4， A 0 , 且 A 0当且仅当 A 0; (正定) (齐次)
A
A , 为任意实数
矩阵的谱半径
定义：设A R 的特征值为
nn
( A) max i
1i n
i
(i 1, 2, , n) 称
为A的谱半径。
定理： ( A) A ,
( Ax x
A 为 A 的任意矩阵范数
x , Ax A x
x A x A ( A) A )
定理5：定义在Cn 上的向量范数||x||是变量x分量的连续函 数。（f(x) = ||x||） 定理6：在Cn上定义的任何两个范数都是等价的。
即存在正数k1与k2(k1≥ k2 > 0)，对一切xCn，不等式
k1|| x ||b || x ||a k2|| x ||b 成立。
对常用范数，容易验证个简单例子是三维欧氏空间的长度 设x = (x1, x2, x3)，则x的欧氏范数定义为：
2 2 || x || x12 x2 x3
欧氏范数也满足三个条件： x，y R3，a为常数 (1) x ≥ 0，且 x = 0 x = 0
(2) ax = a x
谱半径
定理 设A R nn , 则 (1) ( A) || A ||,这里 || A ||为A的任意一种算子范数 ; (2) 若AT A, 则 ( A) || A ||2 。 证明 （ ）设 , x为矩阵A的任一特征对，即Ax x, 则 1
x
x Ax A
1i n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 1 求矩阵A 的谱半径。 2 4 2 1 解：由|| I A || 0 2 4 特征值 所以
得：
1 3 3 , 2 3 3。 ( A) 3 3
例：设A = (aij)nn，||A||为其算子 范数，如果||A|| < 1,则 I – A可逆， 1 且 1 || ( I A) ||
1 || A ||
5.5 误差分析
例 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。