2008-2009高等数学考试试题

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008─2009学年第2学期考试科目：高等数学AΙ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟

条件收敛或发散）。

二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）

1．过点(2,-31)且垂直于平面2x+3y+z+1=0的直线方程是（）

A.2323x y z −+==1

1+ B.232311x y z −+−==−−

C.232311x y z −+==−

D.23231

1

x y z −−−==− 2.设，其中2

2

()z y f x y =+−()f

u 是可微函数，则z

y ∂=

∂（ ）

A. B.

22

12()yf x y ′+−22

12()yf x y ′−−C.22221()()x y f x y ′+−− D.

222

1()y f x y ′−− 3.下列级数中收敛的是（ ）

A.1n

n =∑ B.11n n

n ∞=+∑ C ．1

12(1)n n ∞

=+∑

D.1n ∞=∑

4.设D:

22

14x y ≤+≤，f

在D 上连续，

则

D

f d σ∫∫

在极坐标系中等于（ ）

A.2

12()r dr f r π∫ B.

2

21

()2rf r dr π∫C.2122002()()r f r dr r f r dr π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫ D.2122002()()rf r dr rf r dr π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦

∫∫ 5．

一曲线过点)，且在此曲线上任一点(,)M x y 的

法线斜率ln x

k y x =−,则此曲线方程为( )

A.21ln 2

2x y e

=−

B.21ln 2

1)2

x y e

=+

C.21ln 2122x y x e =+

D.2

1ln 2

x y e =

三.计算题(本大题共6小题,每小题5分) 1.已知2

sin()z y xy x =+,求2,z z

x x y ∂∂∂∂∂.

2.判定级数23n

2333331222322n n +++++ i i i i 的收敛性。

3.求级数21

1

(2)(1)21n n

n x n +∞

=−−+∑的收敛域。

4.计算二重积分

2

2D

x dxdy y

∫∫

，其中D 是由

1,xy y x ==及2x =所围成的闭区域。

5.设区域D 为

若222(x y a a +≤>

0),12

D

π

σ=∫∫

，求a 的值。 6.计算。

2

222

2y ()x z R x y z dxdydz ++≤Ι=++∫∫∫

四． 解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1.设ln 0x z

z y −=，证明0z z z y x y ∂∂−=∂∂。

2.某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方体水

池，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用材料最省。 3km

3. 计算，其中L 为(sin )(cos )x x

L

e y y dx e y x d Ι=++−∫

y y =由A(2,0)至B(-2,0)的那一弧段。

4. 计算222z x dydz y dzdx dxdy Σ

Ι=

++∫∫

，其中是

的外侧。 Σ222(0)x y z z a +=≤≤

5.设有连接点和的一段向上凸的曲线弧

(0,0)o (1,1)A OA

,对于 OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧与直线段 OP OP 所围图形的面积为，求曲线弧2

x OA

的方程。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案

一． 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）

1.12

(cos sin x

y e C C −=+) 2. 1ln y dz yx dx x xdy −=+3.π 4.-7 5.条件收敛 二． 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）

1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

三． 计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。） 1.

2

c o s ()2z

y x y x

x

∂=+∂2…………分

222cos()sin()3z

y xy xy xy x y

∂=−∂∂………分 2.1

n lim 1n n

u u ρ+→∞=…………分 1

1n 33(1)2lim 1332

2n n n n

n n ++→∞+==>i ……i 分 所以级数发散

1………分3.令，考虑级数2x −=t 211

(1)21n n n t n +∞

=−+∑ 23

22123lim

21

n n n t n t t n ++→∞+=+∵

∴当即2

1t

<1t <时，亦即13x <<时所给级数绝对

收敛；

2……分当1t <即或3x >1x <时，原级数发散； 2……分当t=-1即x=1时，级数1

11

(1)

2n n n ∞

+=−1

+∑收敛；