函数的单调性与曲线的凹凸性27页PPT
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函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数单调性与曲线凹凸性的判别法PPT课件
般方法: ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
GCT 数学- 函数单调性、凹凸性与极值ppt课件
• 当 f (x) 在[a,b] 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
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例5.
求函数
f(x)2x39x21x2在闭区间[14,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然 f(x) C [1 4,5 2],且
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 函数极值的可能点集合为：
3)
｛驻点，不可导点｝
y
x1 , x4 为极大值点
x2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O ax1 x2 x 3 x4 x 5 b x
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定理 2 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
x
Байду номын сангаас
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0 (0 , 52)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
f(5 2)0.33
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第四节
第三章
函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数
一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题 四、曲线的凹凸性与拐点
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• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
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例5.
求函数
f(x)2x39x21x2在闭区间[14,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然 f(x) C [1 4,5 2],且
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 函数极值的可能点集合为：
3)
｛驻点，不可导点｝
y
x1 , x4 为极大值点
x2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O ax1 x2 x 3 x4 x 5 b x
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定理 2 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
x
Байду номын сангаас
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0 (0 , 52)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
f(5 2)0.33
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第四节
第三章
函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数
一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题 四、曲线的凹凸性与拐点
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函数的单调性与曲线凹凸性
凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
函数单调性和凹凸性.完美版PPT
3
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
函数单调性和凹凸性-PPT文档资料
第四节 函数单调性与凹凸性
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一、函数的单调性
定理1 设 f ( x ) 在区间 I上连续, 在区间 I内可导.
)0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调增加. (1) 若在 I 内 f'(x (2) 若在 I 内 f'(x )0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调减少.
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o ax1
定义 设 f ( x ) 在区间 I 上连续. 如果对于任意两点 x ,x I 都有 1 2
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f ( ) 2 2
()
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 ( 的图形 )是凹的. (凸)
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例3
证明:
当 x (0, ) 时, 2
有 tan x x
分析: 即证
tan x x 0
令 f ( x ) tan x x 即
f( x )f( 0 )
所以,只需证:
f(x ) 在 [ 0 , ) 上是单调增加的 ,即可 . 2
2
即
即
tan x x0
tan x x
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二. 函数的凹凸性与拐点 先看两条曲线: 它们有何不同？ 弯曲的方向不同
向上弯 （凹的）
向性
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y
3 2 例2 讨论函数 f 的单调性 ( x ) x 3 x 9 x 5
解 定义域: ( , )
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一、函数的单调性
定理1 设 f ( x ) 在区间 I上连续, 在区间 I内可导.
)0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调增加. (1) 若在 I 内 f'(x (2) 若在 I 内 f'(x )0 , 则 f ( x ) 在区间 I 上单调减少.
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o ax1
定义 设 f ( x ) 在区间 I 上连续. 如果对于任意两点 x ,x I 都有 1 2
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f ( ) 2 2
()
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 ( 的图形 )是凹的. (凸)
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例3
证明:
当 x (0, ) 时, 2
有 tan x x
分析: 即证
tan x x 0
令 f ( x ) tan x x 即
f( x )f( 0 )
所以,只需证:
f(x ) 在 [ 0 , ) 上是单调增加的 ,即可 . 2
2
即
即
tan x x0
tan x x
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二. 函数的凹凸性与拐点 先看两条曲线: 它们有何不同？ 弯曲的方向不同
向上弯 （凹的）
向性
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y
3 2 例2 讨论函数 f 的单调性 ( x ) x 3 x 9 x 5
解 定义域: ( , )
函数单调性和曲线凹凸性优秀课件
y
1 y=lnx
o
x
例5. 讨论曲线 y=x3 的凹凸性.
解: y=6x 当 x<0时, y<0.
故 y=x3在(, 0]内是凸弧.
当 x>0时, y >0.
故 y=x3 在 [0, +) 内是凹弧.
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
y
y=x3
0
x
一般地，设f (x)C ( U ( x0) ), 若曲线 y=f (x) 在点(x0, f (x0))处左右两侧凹凸性相反，则称 (x0, f (x0)) 为该曲线的拐点.
定义1: 设f (x)C ( [a, b] ) ，x1, x2 [a, b] (x1x2) 和 t(0, 1), 若有 f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 )
( f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 ) )
y f (x)>0
0
x
y= f ( x)
思考问题 利用上面性质证明： x > 0 时 x > ln(1+ x)
二、 曲线的凹凸性及其判定法
y
y =x2
y x
o
x
y
B
A
f (x1)
o
x1
f (x2)
x x2 x
在曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，
则弦 AB 的参数方程为：
(1)若x (a,b), 有f (x)>0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
凹的.
(2)若x (a,b), 有f (x)<0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
函数单调性与曲线凸凹性市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2
2
图形是凹旳;
(2) 若恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) , 则称 f (x)的
2
2
图形是凸旳 .
yyy
连续曲线上旳凹凸分界点 (x0, f (x0 )) 称为拐点 .
(x0 , f (x0 ))
ooo
xx11 xx11xx22
22
xx22
xxx
7
定理2.(凹凸鉴定法) 设函数 f (x)在区间I 上有二阶导数
)
f (x1 x2 ),
2
阐明 (1) 成立; (2) 证毕
8
例3. 判断曲线 y x4旳凹凸性.
y
解: y 4x3, y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时, y 0, 故曲线 y x4在 (, ) 上是向上凹旳. o x
阐明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线旳凹凸性不变 .
2) 根据拐点旳定义及上述定理, 可得拐点旳鉴别法如下:
若曲线 y f (x) 在点x0 连续, f (x0 ) 0 或不存在, 但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 旳一种拐点.
9
例4. 求曲线 y 3 x 旳拐点.
2
5
解:
y
1 3
14
备用题
1. 求证曲线
y
x1 x2 1
有位于一直线旳三个拐点.
证明：y
(x2
1) (x 1)2x (x2 1)2
1 2x x2 (x2 1)2
y
(2 2x) (x2 1)2 (1 2x x2 ) 2(x2 1) 2x (x2 1)4
函数单调性与凹凸性.ppt
拐点只能是 f 的零点或 f 不存在的点。
12/21
*证: （用反证法）若f ( x0 ) 0, 则由
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x
x0 )
1 2
f ( x0 )(x
x0 )2
o((x
x0 )2 ),
f
(x)
[
f
( x0 ) (x
19/21
作业
• 习题3-4 3-(3) 4-(2)(3) 6 9-(3) 14
思考题
若 f (0) 0 ，是否能断定 f ( x) 在原点的充分
小的邻域内单调递增？
20/21
解答：不能断定.
例
f
(x)
x
2x2
sin
1 x
,
x0
f (0) lim (1 2 x sin
1 x f ( x) 在[0, ) 上单调增；又 f (0) 0 , 当 x 0时， f ( x) x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x). 证毕.
8/21
三、凹凸与拐点的定义 y
C
B
定义: 若曲线段向上（下）弯曲，
则称之为凹（凸）的。
A
o
x
1/21
一、导数符号与单调性
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理1设 f 在区间I 上连续，在 I 的内部可导. 那么 (1) 如果在I 内部恒有 f 0，则 f 在 I 上单调增； (2) 如果在I内部恒有 f 0，则 f 在 I 上单调减.
12/21
*证: （用反证法）若f ( x0 ) 0, 则由
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x
x0 )
1 2
f ( x0 )(x
x0 )2
o((x
x0 )2 ),
f
(x)
[
f
( x0 ) (x
19/21
作业
• 习题3-4 3-(3) 4-(2)(3) 6 9-(3) 14
思考题
若 f (0) 0 ，是否能断定 f ( x) 在原点的充分
小的邻域内单调递增？
20/21
解答：不能断定.
例
f
(x)
x
2x2
sin
1 x
,
x0
f (0) lim (1 2 x sin
1 x f ( x) 在[0, ) 上单调增；又 f (0) 0 , 当 x 0时， f ( x) x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x). 证毕.
8/21
三、凹凸与拐点的定义 y
C
B
定义: 若曲线段向上（下）弯曲，
则称之为凹（凸）的。
A
o
x
1/21
一、导数符号与单调性
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理1设 f 在区间I 上连续，在 I 的内部可导. 那么 (1) 如果在I 内部恒有 f 0，则 f 在 I 上单调增； (2) 如果在I内部恒有 f 0，则 f 在 I 上单调减.
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性共36页
x2
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
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