圆的对称性(2)学案
2024年北师大版六年级数学上册教案学案及教学反思2 圆的认识(二) 教案
圆的认识(二)。
(教材第5~6页)1.通过“折一折”活动,探索并发现圆是轴对称图形,理解同一个圆中半径与直径的关系。
2.进一步理解轴对称图形的特征,体会圆的对称性。
3.在“折纸找圆心”“验证圆是轴对称图形”等活动中,发展空间观念。
重点:进一步理解轴对称图形的特征,体会圆的对称性。
难点:在折纸的过程中体会圆的特征。
课件,圆形纸片、长方形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片等。
师:同学们,通过上一节课的学习,我们已经知道了圆的各部分名称,知道了在同一个圆中所有的直径长度都相等,所有的半径长度都相等,且直径的长度是半径的2倍,今天这节课我们就一起来研究圆的特征,看看圆是不是轴对称图形。
学生大胆猜测。
师:我们通过怎样的活动,来验证我们的猜测呢?(折纸活动,通过折一折,看折痕两侧的图形是否能完全重合)【设计意图:在学生初步认识圆的基础上,引导学生动手折纸,借助折纸活动调动学生参与数学活动的积极性,为本节课探究圆的特征创设轻松、愉悦的课堂氛围。
】1.圆是轴对称图形。
师:我们一起来做一个小游戏,将圆形纸片对折,打开;换个方向再对折,打开;反复几次。
试试看,你发现了什么?学生动手折纸后,交流汇报。
生1:将圆沿直径对折,正好完全重合,圆是轴对称图形。
生2:圆是轴对称图形,这些折痕都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
生3:圆的所有对称轴相交于圆中心的一点。
2.其他轴对称图形。
师:我们学过的图形中哪些是轴对称图形?有几条对称轴?拿出我们的学具做一做,把结果填在教材第5页的表格中。
学生动手操作,填写表格。
教师组织交流汇报,师生共同完成表格。
(课件出示:教材第5页的表格)图形名称 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 平行四边形 圆有几条对称轴 4条 2条 3条 1条 1条 0条 无数条3.找圆心。
师:你有办法找出一个圆的圆心吗?先跟同桌讨论一下。
同桌之间进行讨论交流。
师:谁愿意把自己的办法告诉大家呢?学生可能会说:• 我们可以把圆形纸片对折,再对折,打开后两条折痕的交点就是圆心。
垂径定理学案
B C=C D=D E(5题图）(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）学习目标：1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。
学习重点，难点：垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程：一、 上节知识回顾：1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。
图2图12、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。
3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。
二、学习（自学）过程：1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.垂径定理及其推论可概括为：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。
4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿＿。
5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。
(9题图）(8题图）(7题图）(6题图）6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。
(21)圆的对称性习题讲评
A
2. 如图所示， ⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E， 已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝30 ，求 CD 的 长。 A
0
C E O 求弦长常做什 么辅助线？ B D
六、教学反思： 反思教学的得 失
2.独立做较简单的题目：复习与巩固,再思考剩下的题目，可以思考后和同位商 量。 三、合作学习、展示提升:学生小组交流所作题目，重点探讨方法和分析思路， 并及时记到自己的学案上！ 四、质疑释疑、精讲点拨: 1.：如图，在圆心为 O 的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点 求证：AC=BD
独学 对学 互学 教师指导 并反馈信息 活动：以小组 同号竞赛的方 式逐个上台展 示，同学们打 分， 老师引导， 共同完成。
O
A
C
B D
2 ：已知
CD 是圆 O 的一条弧，点 A 是 CD 的中点。求证：2AC＞CD
师强化： 常用辅助线： 在圆中有弦时 常做弦心距！
O
C D A
弧等则弦等 反之也成立， 一定要看到。
中学教案
年级：初三 科目 数学 课题：圆的对称性习 题讲评 教学目标 1. 进一步熟悉垂径定理和圆心角定理。 2.学会灵活运用这两个定理解决问题。 教学重、难点 重点：垂径定理和圆心角定理的应用 难点：两定理的灵活应用 教学过程 一、 激情导入：同学们，你对学过的垂径定理和圆心角，弧，弦三者关系定理 掌握的如何？你想检查自己的掌握情况吗？那就挑战自己吧！ 二、自主学习：1.填空：①垂径定理： 。 ②圆心角，弧，弦三者之间关系定理： 让学生回顾两 个重要定理和 推论，为本节 做铺垫 师生活动 教师激发学生 斗志，以高昂 的情绪进入课 堂！ 课型： 新授 节数 时间 主备人：
圆的学案
O CABOA B第4章《对圆的进一步认识》导学案复习目标：一、知识与技能：1、通过复习，进一步理解圆的对称性，了解弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
2、掌握垂径定理及其推论并会运用。
3、会做三角形的外接圆，进一步掌握三角形外心的位置与性质。
4、进一步理解圆周角与圆心角之间的关系，并能运用进行推理和计算。
二、情感与态度：培养不断探索的精神和严密全面的思维习惯。
三、主要思想方法：数形结合、数学建模、分类讨论等。
复习过程：知识链接：（千里之行，始于足下）1、回顾这三节课的主要知识，绘制知识网络图表，与同学交流。
2、对照课本以及复习目标对本节课的主要知识点查漏补缺。
题组一：（相信自己，你能行）1、在半径为5cm的⊙O中，弦AB长为8cm，那么弦AB的弦心距为cm2、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是°3、如图，⊙O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为________cm；AOA B B D4、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所如果油面宽8A B m=，那么油的最大深度是m. C5、如图，AB、AD是⊙O的弦，∠BOD = 140︒ , 则∠BCD的度数为。
思想方法小结：_____________________________________________________________题组二：（天高任鸟飞，海阔凭鱼跃）1、直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则其外接圆的半径长_______。
2、在半径等于5cm的圆内有长为35cm的弦，则此弦所对的圆周角为_______。
3\已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分成6cm和8cm两段，第二条弦被交点分成12cm和Xcm则第二条弦的长为＿＿＿。
4、如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，60APC CPB∠=∠= ，（1）判断△ABC的形状并证明你的结论。
垂径定理
A B C D OEAC BD 初三年级数学学案 3.3垂径定理学习目标：1、掌握圆的对称性；2、掌握垂径定理及其推论，并能解决相关计算和证明问题。
学习重点：垂径定理及其推论。
学习难点：垂径定理推论的推理证明及利用推论解决实际问题。
一、自学指导1、圆的对称性：（1）圆是 对称图形，它的对称中心是 ；（2）圆是 对称图形，它的对称轴是 。
2、AB 是⊙O 的一条弦，CD 为⊙O 的直径，若CD ⊥AB 于点E ，则可得出哪些相等的线段？哪些相等的弧呢？相等的线段： （半径除外）相等的弧：归纳：垂径定理：垂直于弦的直径_____________并且___________________ 几何语言表达： 在⊙O 中，AB 是弦∵ CD 是直径，CD ⊥AB 于点E ∴（1）AE=（2） =（3） =圆中常见辅助线：遇到弦时，一般经过圆心做 的垂线。
二、活动探究探究1：如图，两个圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD.ABCD OE AD BD AC BC A B OC 探究2：如图，AB 是⊙O 的一条弦（不是直径），CD 为⊙O 的直径，若CD 平分AB ，交点为点E ，求证：(1)CD ⊥AB (2) = ， =归纳：垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径 ，并且 。
几何语言表达： ∵CD 是⊙O 的直径，点E 是弦AB 的中点∴圆中常见辅助线：遇到弦的中点时，常将弦的中点与 连接。
探究3：如图，⊙O 的半径为5cm ，弦AB ＝8cm ，C 是AB 中点，求OC 的长。
A B C DO E三、过关检测1、下列说法正确的是（ ）A.过圆心的直线平分弦B.垂直于弦的直线平分弦C. 垂直于弦的直径平分弦D.圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴2、在⊙O 中，已知半径的长为3，弦AB 长为4，则圆心O 到AB 的距离为________3、若圆的半径为R ，则垂直平分半径的弦长等于__________4、如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB 于点P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为___________5、如图，AB 是⊙O 的直径,弦CD 和AB 的夹角°=30∠APC BP=1cm ，AP=5cm ，则CD 的长为__________cm6、如图，AB 是⊙O 的直径,AB 交弦CD 于E ，且CE=DE ，若BE=4，CD ＝16，求OE 的长。
圆单元教学设计教案
单元教学设计一、单元教学目标本章的主要内容是圆及其有关概念，圆的性质，与圆有关的位置关系以及圆中的计算问题，通过对圆的各种性质的探索，加强推理能力。
1、理解圆及弦、弧、圆周角的概念，了解弧、弦、圆周角的关系。
2、探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
3、探索并了解圆周角与圆心角之间的关系、直径所对的圆心角的特征。
4、探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
5、了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念。
6、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，掌握切线的识别方法。
7、了解切线长及切线长定理。
8、会过圆上一点画圆的切线。
9、会计算弧长及扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积。
二、知识结构图三、各课时目标：第1课时：了解圆及弦、弧、圆心角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。
第2课时：掌握圆的对称性及垂径定理。
第3课时：了解圆周角的定义，掌握圆周角的有关性质。
第4课时：能熟练地运用圆周角定理和推论进行有关的计算和证明。
第5课时：1、探索并了解点与圆的位置关系；2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念第6课时：探索并了解直线与圆的位置关系；第7课时：探索并了解圆与圆的几种位置关系；第8课时：能熟练应用圆与圆的位置与d 、1r 、2r 三者的对应关系解决相关的总 第9课时：第10课时：第11课时：第12课时：第13课时：四、教学重点剖析（一）第一课时：1、教学重点：2、重点包含的知识要素分析：3、突出重点的教学策略：（这是设计的重点）五、教学难点剖析1、教学难点：2、原因分析：学生为什么会觉得难3、解决策略：（这是设计的重点）六、错题的估计和采集：（1）错例（2）原因分析：（3）策略分析七、课时教案或学案一、知识结构二、概述本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等；同弧所对的圆周角与圆心角之间的度量关系；垂直于弦的直径一定平分弦以及弦所对的弧.通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心之间的距离有关.在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进一步认识了圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.复习题。
圆的概念和性质学案
27.1圆的基本性质和概念（1）一．预习交流1．如何在操场上画一个半径为5m 的圆，说出你的理由．2．圆是 对称图形， 是它的对称轴，圆也是 对称图形， 是它的对称中心． 二．互助探究互助探究一（圆的概念） 观察下面图片，回答下列问题：1.自行车轮和皮带传送轮为什么都做成圆形的？和大家交流你的想法.2.如果把自行车轮做成其他的形状，如三角形或正方形，你认为可以吗？说说你的看法．知识点归纳：在一个平面上到＿＿O 的距离等于＿＿（OA 的长）的所有点组成的图形叫做圆． 定点O 叫做＿＿，线段OA 叫做圆的＿＿ 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”圆的位置由_____确定，圆的大小由_______互助探究二(圆的性质)1.在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O 的直线对折，你发现了什么？2.将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？ 知识点归纳：圆是 ＿＿ 对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 圆也是 ＿＿ 对称图形，圆心是它的对称中心。
互助探究三（和圆有关的概念）阅读教材第147页：结合图形回答下列问题1、连结⊙O 上任意两点A ，B 的线段叫做 __。
过圆心的弦叫做圆的____。
圆上任意两点间的部分叫做______，简称____。
2、圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做____.大于半圆的弧叫做______小于半圆的弧叫做______。
记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB ”．3、大于半圆的弧（用三点表示，如图中的）叫做_____. 4．能够重合的两个圆叫做______，能够重合的两条弧叫做______。
跟踪练习：（师友互查）1． 判断题（对的打√，错的打×） （1）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（ ） （2）弦是直径。
（ ）（3）过圆上任意一点只能作一条弦。
（ ） （4）直径是圆中最长的弦。
（ ） （5）半径相等的两个圆是等圆。
圆的有关概念及性质学案
2014年中考数学第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA 叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是谁】 3、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 4、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 5、 垂径定理及推论： （1 （223 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理 .例1、( 2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是_________例2、 （2013•绍兴4分）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为_________对应训练1、（2013湖北宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC ，AD ，则下列结论错误的是（ ）A 、»»AD BD= B 、AE=BE C 、 OE=CE D 、∠DBC=90° 2、（2013四川泸州）已知圆O 的直径CD ＝10cm ，AB 是圆O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且AB ＝8cm ，则AC 的长为__________考点二：圆心角定理例3、（2013•厦门）如图所示，在⊙O 中， »»AB AC =，∠A=30°，则∠B=______ 对应训练 3、（2012•绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=________ 考点三：圆周角定理例4、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点（与A 、B 不重合），则∠APB=例5、（2013•苏州）如左图，AB 是半圆的直径，点D 是 »AC 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于_________例6．（2013•巴中）如右图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于__________________ 例7、（2013四川内江）如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为___________．对应训练4、（2013•襄阳）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是______________CD ⊥AB考点四：圆内接四边形的性质例8 （2012•深圳）如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M是第三象限内»OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为（ ）A ．6B ．5C ．3 D．对应训练6、（2013四川巴中）如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于_____________。
垂径定理学案
BACOM 3.2.1圆的对称性（垂径定理）课标转述：1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
2、理解圆的对称性及相关性质。
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
学习目标１、知道圆是轴对称图形．２、能说出弧、弦、直径等和圆有关的定义，并能说出他们之间的区别和联系． 3、能背诵垂径定理的的内容，并会对垂径定理进行推导证明．4、能熟练运用垂径定理解决有关弦、弧以及半径之间的证明和计算问题． 学习过程一、自学教材96—98页，弄懂下列问题： 1、（回忆）：点与圆有哪几种位置关系？2、什么是圆？圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？3、快速填空弧： 弦： 直径： 优弧： ，如右图，记作： 劣弧： ，如右图，记作： 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
4、垂径定理的的内容是什么？（背诵） 二、探究一：研究圆的对称性，完成“目标一”1、你是用什么方法解决上面第2个问题的？与同伴交流并在班里展示 结论：圆是 图形，对称轴是 ．针对训练：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）注意：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．三、探究二：牢记与圆有关的定义，并能区分它们之间的区别和联系，完成“目标二”： 根据弧、弦、直径的定义，讨论以下问题 1）直径和弦的关系是什么？ 2）半圆和弧的关系是什么？ 3）半圆是优弧吗？是劣弧吗？结论： ； ； ； 四、探究三：牢记并证明垂径定理，完成“目标三” 如图：1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 你能用所学过的几何知识进行证明吗？先在小组内交流，然后在班级展示。
垂径定理（文字语言）： 。
垂径定理（几何语言）：五、例题讲解，完成“目标四” 【例1】自学课本P99例1【例2】 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 解：小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．弦长、半径、弦心距 三个量中已知两个，就可以求出第三个． 六、当堂训练1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．2．如下左图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ． cm D ．9cm注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦。
九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径
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• 学习重点： 垂径定理及其推论．
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【知识链接，复习(fùxí)准备】
1.在下图中，弦有__________________；
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________； 其中，弦AB所对的弧是_____________； 在图中作出
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拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
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【典例精析，经典(jīngdiǎn)同行】
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A
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【反思(fǎn sī)总结 ，归纳方法】
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
_________
变式2：已知⊙O的半径为5cm，圆心 O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
______cm.
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【利用(lìyòng)新知，解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形 ADOE是正方形．
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
《圆2》优秀教案
九年级数学（上册）教学案年级科目主备人审核人总课时数教学日期九年数学姜忠英潘红波月日课题垂直于弦的直径课型新课教具多媒体课时 1 教法探究目标有效1、知识与技能：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；2、过程与方法：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题3、情感态度与价值观：培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．讲学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．讲学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学流程有效展示：有效导课：有效合作：问题与点拨情境引入活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：圆的性质）可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探索新知活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．有效拓展有效总结：有效检测：有效讲评：活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师活动设计：归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，在R t△ADO中222AO OD AD=+，即222(4)8R R=-+．解得R＝10（m）．答：此圆的半径是10 m．活动4如图4，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法．BA图4板书设计垂直于弦的直径活动1发现活动2发现活动3 活动4教学反思。
垂径定理
24.1 圆（第2课时学案）【学习目标】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．【学习重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．【学习过程】一、温故知新1.举例说出生活中的圆。
2.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？二、自主学习（一）自学课本Ｐ80---P81思考下列问题：1.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2.教材80页思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？3.什么是垂径定理？请默写一遍，4.由垂径定理又得到了什么推论？试着逻辑证明一下。
三、合作探究例1：（课本80页问题）例2：如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
四、巩固练习：1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC = BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm4．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）【布置作业】教材Ｐ82第1、2题⌒⌒。
3.1.1垂径定理【学案】
3.1.1圆的对称性——垂径定理学习目标：1.学生能通过折叠的方法，明确圆是轴对称图形，95%的学生能准确描述对称轴.2.经历观察、猜想、证明的过程，90%学生能准确叙述垂径定理的内容，并能结合图形准确书写符号语言.3.通过例题建立并强化垂径定理的计算模型，体会垂径定理在实际生活中的应用,增强应用数学知识解决实际问题的意识.一、前置检测1.什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？2.复习圆的相关概念：弧、半圆、优弧、劣弧；弦、直径；二、新知探究1.说一说圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？O你能找到多少条对称轴？你是用什么方法找到它的对称轴的？2.想一想在直径AB上取一点E，过点E作直径AB的垂线，交⊙O于点C、D两点，则线段CD是⊙O的一条，将⊙O沿AB折叠，你发现：⑴AC与弧AD有什么关系？⑵弧BC与弧BD有什么关系？⑶段CE与DE有什么关系？3.议一议除了用轴对称的方式得出CE=ED，你还可以用什么方法来证明CE=ED？垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的两条弧.归纳：如图是垂径定理的基本图形，试写出几何语言：（已知）∵（结论）∴基础练习：1.判断：（1）圆的对称轴是直径（）（2）垂直于弦的直线一定平分这条弦（）（3）平分弦的直线一定垂直于这条弦（）2.在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？3.如上图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.三、典例剖析例1 一桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为30m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为5m，你能求出此桥主桥拱的半径吗？【总结】弦长、半径、弦心距、弓形高，知2求2.例2 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD.求证：OA＝OB.变式1.已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，OD垂直于AB，DC长2cm，求⊙O的半径。
变式2.如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且OA=OB.求证：AC=BD.变式3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，AB=300m,CD=50m,OC ⊥AB，垂足为D，则这段弯路的半径是_________m．四、课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.学习到了哪些知识？3.哪些数学思想方法？五、课堂检测一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于多少？六、中考链接1.（潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP : AP=1: 5.则CD的长为（）A．B．C．D．3.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．。
5.2圆的对称性(2)教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)
南沙初中初三数学教学案教学内容：5.2圆的对称性 (2)课型：新授课学生姓名：______ 教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．教学重点：垂径定理及应用．教学难点：垂径定理的证明教学过程：一、知识回顾1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
二、操作与探索提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。
三、探究与思考1.判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2.(1) 将第一个图中的弦AB改为直径（AB与CD相互垂直的条件不变），结果如何？(2)将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？3、思考：如何确定圆形纸片的圆心？四、尝试与交流1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折。
通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理:____________________________________________________.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:五、例题解析例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
湘教版九年级下《圆》学案
第三章圆3.1.1 圆的对称性（一）一、自学导航1、圆是平面内到一定点的等于的所有点组成的图形，这个定点叫做，定长叫做。
2、连结圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做。
3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转都能与自身重合；圆也是中心对称图形，是它的对称中心；圆还是轴对称图形，都是它的对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径弦。
二、问题探究1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？三、综合运用1．下列说法错误的是（）A．圆是中心对称图形，圆心是对称中心B．圆是旋转对称图形C．圆是轴对称图形，直径是对称轴D．圆有无数条对称轴2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.4、如图3—1,半径为2cm的⊙O中有长为的弦AB,则∠AOB的度数为( ) A. 60° B. 90°C. 120°D. 150°5．如图3—2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6．如图3—3,A是半径为5的⊙O内一点,且OA＝3,过点A且长小于8的弦有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 4条BAOBPAO图3—1 图3—2图3—37．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，⊙O到AB的距离为4cm，求⊙O的半径。
图3—４8．如图3—4,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC ＝BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.DCBAO图3—５９．如图3—5,AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一点,C 、D 分别是圆上的点,且∠CPB ＝DPB,且弧BD ＝弧BC ,.则线段PC 、PD 相等吗？请说明理由。
高中数学对称问题备课教案
高中数学对称问题备课教案一、教学目标：1. 理解对称的概念和性质。
2. 掌握对称图形的判定和性质。
3. 能够应用对称性解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 对称的性质和判定。
2. 对称性在解决实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教学资料：教材、课件、练习题。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、尺规等。
3. 学生参与活动：讨论、练习、实践操作等。
四、教学过程：1. 导入：通过展示对称图形或实物引导学生讨论什么是对称，引发学生对对称性的兴趣。
2. 学习与讨论：讲解对称的定义、性质和判定方法，让学生观察图形并判断其是否对称。
3. 实例分析：给学生提供一些对称图形的实例，让他们分析图形的对称性质，并解释判定过程。
4. 练习与拓展：让学生进行有关对称性的习题练习，包括对称图形的判定和应用题目。
5. 实践操作：让学生自行设计对称图形，并让同学判断其对称性。
6. 总结与拓展：总结对称的概念和性质，引导学生思考对称性在生活中的应用。
五、课堂延伸：1. 给学生一些具有对称性的问题，让他们自行解决并展示解决过程。
2. 让学生在生活中观察并记录身边具有对称性的事物，并进行分享。
六、教学反馈：1. 在课堂中进行简短的回顾，让学生自行检查练习的答题情况。
2. 鼓励学生积极参与讨论和分享对称性相关知识。
七、课堂作业：1. 完成教师布置的对称性练习题。
2. 设计一个具有对称性的图形，并写出对称性质的判断。
八、教学反思：本节课通过展示对称形状和实物引导学生探究并讨论对称性的性质和判定方法，使学生能够更深入地理解对称性的概念，为后续学习打下基础。
同时，通过实例分析和实践操作，培养学生解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
2.2(1)《圆的对称性---中心对称性》教学案
2.2（1）《圆的对称性---中心对称性》教学案教学目标：1．圆的中心对称性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理教学过程：一、创设问题情境，引入新课上节课，我们学习了圆的有关概念，今天，我们来研究它们之间数量关系。
中心对称图形是指把一个图形_________________，如果旋转后的图形能够_____________，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．那么，圆呢？结论：圆是_________________图形，_________________是它的对称中心。
二、探究新知:按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．1、在操作的过程中，你有什么发现，你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?归纳：在同圆或等圆中，如果两个______、_______、______中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等。
2、几何语言表述：（在同圆或等圆中）（1）______________⇒___________，_______________ （2）______________⇒___________，_______________ （3）______________⇒___________，_______________ OABCDn 0的弧3．如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若，则， （3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .4．在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？把___________________叫做1o 的弧。
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圆的对称性(第二课时)
学习目标
1.经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程。
2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的关系。
3.会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。
学习过程：
二、导读问题
阅读课文P102实验内容后，你能自主解决以下问题吗？若不能与同伴交流。
4.圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？
5.你是怎么理解圆的中心对称性的？
三、自主、合作、探究问题
1.你能依据课本“做一做”的要求做出图形吗？
2．你能发现图中有哪些等量关系？能说明理由吗？从中你猜想到了什么规律？
4.你能证明“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所
对的弦心距也相等”这个定理吗？若不能，请与同伴交流。
5.你能解答P104 “想一想”中所提出的问题吗？你能证明这一结论的正确性
吗？
试一试：如图，已知⊙O、⊙O'半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O'的两条弦填空：
C
6.在不看解题过程的前提下，你能解决例2所提的问题吗？
7.你能解决P100面“随堂练习”1、2两题吗？
8.在上面的学习中，你有什么发现或还有什么问题？
四、分层练习
2
1.你能行:完成P107面“习题3.3”1、2、3题。
2.考考你
（一）基础题
1、判断题
（1）相等的圆心角所对弦相等。
（ ）
（2）相等的弦所对的弧相等。
（ ）
2.如图,在⊙O 中, = ,∠1=30°,
则∠2=__________ 3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
4. ⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，︒=⋂60度数AC ，则∠BOD=______。
5. 在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为
6.如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，∠AOE 的
度数是 。
（二）拓展探究题
1.如图，⊙O 的直径是10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求OP 的求值范围。
2.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB
的距离是3.求⊙O 的半径.
3.如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD
是否相等？为什么？
五、小结与反思
1、想一想你能用其他方法解决上述问题吗？
2、这节课你学到了什么？你还有哪些方面存在问题？ C
AC。