1.1 二次函数
1.1 二次函数
1.1二次函数1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念．3．认识到二次函数来源于实际生活，感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用．重点：二次函数的概念．难点：理解变量之间的对应关系．一、新课导入1．对于“函数”这个词，我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？(学过正比例函数、一次函数、反比例函数)2．那么函数的定义是什么，大家还记得吗？能把学过的函数回忆一下吗？(在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量)从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式，那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．二、新知学习活动1观察思考：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系．(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)．(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元．答案：(1)y＝πx2；(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000.老师引导学生合作学习：1．先独立探究，尝试写出y与x之间的函数关系式；2．上述三个问题先易后难，在独立探究的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．3．上述关系式具有哪些共同特征？教师引导学生观察、分析、比较三个函数关系式．引导学生观察时应注意：(1)学生能否找出自变量及因变量的函数．(2)学生能否归纳出三个函数的共同特点：经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．学生观察、思考问题，尝试回答问题．活动2归纳总结：(1)上述三个函数解析式化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的形式．(2)一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数．其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．三、新知应用活动3典例探究：【例】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E是AB上一点，E不与A，B重合，F是BC上一点，F不与B，C重合，且BF＝2BE，若设BE＝x，△DEF的面积为S，求S关于x 的函数关系，并求自变量x 的取值范围．【分析】先用x 的代数式表示AE ，BF ，CF 的长，再利用△DEF 的面积等于矩形面积依次减去△ADE ，△BEF ，△CDF 的面积这一等量关系列出函数关系式．【解】∵BE ＝x ，∴AE ＝6－x ，BF ＝2x ，CF ＝12－2x.∵S △DEF ＝S 矩形ABCD －S △ADE －S △BEF－S △CDF ，∴S ＝12×6－12×12(6－x)－12·x·2x －12×6(12－2x)＝－x 2＋12x.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，6－x ＞0，12－2x ＞0，解得0＜x ＜6，即自变量x 的取值范围是0＜x ＜6.综上，S 关于x 的函数关系式为S ＝－x 2＋12x(0＜x ＜6)．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．若y ＝(a －3)x 2－2x ＋5是二次函数，则a 的取值范围是__a≠3__．2．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x(cm )之间的函数关系式为__S ＝12x(26－x)(0＜x ＜26)__． 3．一台机器原价40万元，每次降价的百分率为x ，那么连续两次降价后的价格y(万元)为( C )A ．y ＝40(1－x )B ．y ＝40(1－x 2)C ．y ＝40(1－x )2D ．y ＝40(1＋x )24．若()m m x m y ++=22是关于x 的二次函数，则常数m 的值为( A )A ．1B ．2C ．－2D ．1或－2五、课堂小结1．到目前为止，我们学习了哪些函数？这些函数之间有什么联系？2．二次函数的一般表达式是怎样的？对a ，b ，c 有什么条件限制？3．谈一谈你的收获和困惑．六、课后作业形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的函数称为二次函数，y=ax 2+bx+c （a ≠0）为二次函数的一般式．1.下列四个函数：①y=-x ；②y=x ；③y=x1；④y=x 2.其中二次函数的个数为(A). A.1 B.2 C.3 D.42.下列函数中，当x=0时，y=0的是(C).A.y=x2 B. y=x 2-1 C.y=5x 2-3x D.y=-3x+73.二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数之和为(D).A.2B.-2C.-1D.-44.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润为y 万元.设该公司利润的平均年增长率为x,则y 关于x 的二次函数的表达式为(B).A.y=20(1-x)2B.y=20(1+x)2C.y=(1-x)2+2D.y=(1-x)2-205.已知函数k k x y +=2是关于x 的二次函数，那么k= 1或－2 ．6.对于二次函数 y ＝2x 2－bx ＋3，当x ＝1时，y=1，则b 的值为 4 ．7.已知函数y=x 2-6x+9，当x= 3 时，函数值为0．8.小汽车刹车距离s(m)关于速度v(km/h)的二次函数表达式为s=1001v 2.一辆小汽车正以100km/h 的速度行驶，突然发现前方80m 处停着一辆故障车，此时小汽车刹车 会 (填“会”或“不会”)有危险．9.已知()324232-+-=--x x m y m m 是二次函数，求m 的值．【答案】由题意得⎩⎨⎧≠-=--042232m m m ，解得m=－1.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=7;当x=1时，y=0;当x=-2时，y=9.求它的函数表达式.【答案】根据题意得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=92407c b a c b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=752c b a .∴它的函数表达式为y=-2x 2-5x+7.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(B).A.xy+x 2=2B.x 2-2y+2=0C.y=21x D.y 2-x=012.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)关于小球运动时间t(s)的二次函数表达式为h=30t-5t 2.则小球从抛出到回落到地面所需要的时间是(A).A.6sB.4sC.3sD.2s13.若y=ax 2+bx+c ，则由表格中信息可知y 关于x 的二次函数的表达式为(A).14.已知函数()2222++=-m x m y 是二次函数，则m 的值为 2 ．15.某批发市场批发甲种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y(万元)与进货量x(t)近似满足二次函数表达式y=ax 2+bx(其中a≠0，a ，b 为常数，x≥0)，且进货量x 为1t 时，销售利润y 为1.4万元；进货量x 为2t 时，销售利润y 为2.6万元.求y 关于x 的二次函数的表达式．【答案】由题意得⎩⎨⎧=+=+6.2244.1b a b a ,解得⎩⎨⎧=-=5.11.0b a ． ∴y 关于x 的二次函数表达式为y=-0.1x 2+1.5x ．16.下列函数中，属于二次函数的是(B).A.y=-4x+5B.y=x(2x-3)C.y=(x+4)2-x 2D.y=21x 17.【常德】如图所示，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上.若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式为 y=2x 2-4x+4 .18.如图所示，△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BC=EF=8，∠C=∠F=90°，且点C ，E ，B ，F 在同一条直线上，将△ABC 沿CB 方向平移，AB 与DE 相交于点P.设CE=x ，△PBE 的面积为S ，求：(1)S 关于x 的函数表达式，并指出自变量的取值范围.(2)当x=3时，求△PBE 的面积.【答案】（1）∵CE=x ，BC=8，∴EB=8-x.∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ABC=∠DEF=45°∴△PBE 是等腰直角三角形.∴PB=PE=22EB=22 (8-x). ∴S=21PB·PE=21×22 (8-x)×22 (8-x)= 41 (8-x)2=41x 2-4x+16. ∵8-x ＞0，∴x ＜8.又∵x≥0，∴0≤x ＜8.S 关于x 的函数表达式为S=41x 2-4x+16,自变量的取值范围是0≤x ＜8. （2）当x=3时，S △PBE =41 (8-3)2=425.。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了二次函数的定义、图像和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的性质，并为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的函数思维。
但二次函数相对于一次函数来说，概念较为抽象，图像和性质的理解也需要一定的空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解二次函数的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像特点；2.了解二次函数的性质，能够运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和图像特点；2.二次函数的性质及其运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究二次函数的性质；3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力；4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对二次函数图像和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次函数的图像和性质；2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和讨论；3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线射击、自行车刹车等问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的定义，通过课件展示二次函数的图像，让学生观察和理解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，尝试绘制一些简单的二次函数图像，加深对二次函数图像特点的理解。
4.巩固（10分钟）讲解二次函数的性质，引导学生通过思考、交流，总结二次函数的性质。
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录第一章：二次函数• 1.1 二次函数的定义和图像– 1.1.1 二次函数的定义和性质– 1.1.2 二次函数的标准形式和一般形式– 1.1.3 二次函数的图像和性质• 1.2 二次函数的解析式– 1.2.1 二次函数的解析式– 1.2.2 二次函数解析式中的参数含义• 1.3 二次函数的图像与性质– 1.3.1 二次函数的对称轴和顶点坐标– 1.3.2 二次函数的最值和零点• 1.4 二次函数的平移和反射– 1.4.1 二次函数的平移– 1.4.2 二次函数的反射第二章：三角函数• 2.1 弧度制与度制– 2.1.1 弧度的定义和性质– 2.1.2 弧度和角度的相互转化公式• 2.2 任意角的三角函数– 2.2.1 任意角的正弦函数– 2.2.2 任意角的余弦函数– 2.2.3 任意角的正切函数• 2.3 三角函数图像与性质– 2.3.1 正弦函数图像与性质– 2.3.2 余弦函数图像与性质– 2.3.3 正切函数图像与性质• 2.4 三角函数的基本公式– 2.4.1 正弦函数的基本公式– 2.4.2 余弦函数的基本公式– 2.4.3 正切函数的基本公式• 2.5 三角函数的诱导公式和倍角公式– 2.5.1 三角函数的诱导公式– 2.5.2 三角函数的倍角公式第三章：平面向量• 3.1 平面向量的定义– 3.1.1 平面向量的定义和性质• 3.2 平面向量的运算– 3.2.1 平面向量的加法– 3.2.2 平面向量的减法– 3.2.3 平面向量的数乘• 3.3 平面向量的线性运算– 3.3.1 平面向量的线性组合– 3.3.2 平面向量的线性相关与线性无关• 3.4 平面向量的数量积– 3.4.1 平面向量的数量积定义和性质– 3.4.2 平面向量的数量积计算方法• 3.5 平面向量的应用– 3.5.1 平面向量在几何问题中的应用– 3.5.2 平面向量在物理问题中的应用第四章：指数与对数函数• 4.1 指数函数– 4.1.1 指数函数的定义和性质– 4.1.2 指数函数的图像与性质• 4.2 对数函数– 4.2.1 对数函数的定义和性质– 4.2.2 对数函数的图像与性质• 4.3 指对公式、指数方程与对数方程– 4.3.1 指对公式– 4.3.2 指数方程与对数方程的基本概念– 4.3.3 指数方程与对数方程的解法• 4.4 常用对数与自然对数– 4.4.1 常用对数和自然对数的定义和性质– 4.4.2 常用对数与自然对数的计算第五章：概率与统计• 5.1 随机事件与概率的引入– 5.1.1 随机事件的定义和性质– 5.1.2 概率的定义和性质• 5.2 古典概型与几何概型– 5.2.1 古典概型– 5.2.2 几何概型• 5.3 条件概率与贝叶斯公式– 5.3.1 条件概率的定义和性质– 5.3.2 贝叶斯公式的推导和应用• 5.4 随机变量与概率分布– 5.4.1 随机变量的定义和性质– 5.4.2 离散随机变量和连续随机变量的概率分布• 5.5 统计与抽样调查– 5.5.1 统计的基本概念– 5.5.2 抽样调查和统计分布以上是《高中数学必修二》的目录，该教材涵盖了二次函数、三角函数、平面向量、指数与对数函数、概率与统计等内容。
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
浙教版九年级数学上册知识点汇总汇编
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》教案
浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.1 二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究二次函数的性质和图像。
本节内容主要包括二次函数的定义、一般式、顶点式和图像。
通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的基本概念和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的数学思维能力。
但二次函数相对较为复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行推理和论证。
因此，在教学过程中，要注意引导学生通过观察、思考、动手操作等方式，自主探索二次函数的性质和图像。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般式和顶点式，能够绘制二次函数的图像，了解二次函数的性质。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，探索二次函数的性质和图像，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、一般式、顶点式和图像。
2.难点：二次函数的性质和图像的绘制。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，并通过实验、观察、推理等方式解决问题。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔，以便于板书和演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、抛物线形的建筑物的顶点等，引导学生提出二次函数的概念。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）（1）介绍二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数。
（2）介绍二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。
(导学案)1.1二次函数
第一章二次函数1.1二次函数【教学目标】知识与技能1．探索并归纳二次函数的概念，熟练掌握二次函数的一般形式及自变量的取值范围。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
过程与方法：通过用二次函数表示变量之间关系的体验过程，增强对函数的感性认识，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观：通过学生之间的交流合作的过程，培养学生的合作意识，体验与他人交流合作的重要性。
【教学重难点】重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念。
难点：建立二次函数数学模型。
【导学过程】【情景导入】我们已知道，可以建立数学模型一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）来刻画直线，反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ≠０）来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数．【新知探究】探究一、植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园。
如下图所示，已知篱笆墙的总长度为100m。
大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化. 解:设与围墙相邻的每一面墙的长度都为xm，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积S为１）学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｘｍ，则与围墙相对的一面墙的长为（１００－２ｘ）ｍ，于是矩形植物园的面积Ｓ＝ｘ(１００－２ｘ），即Ｓ＝－２ｘ２＋１００ｘ．（２）学生合作讨论ｘ的取值范围．由ｘ＞０，１００－２ｘ＞０，得０＜ｘ＜５０．（３）概括．由上述（1）、（2）可得关系式Ｓ=-２ｘ２+100ｘ，０＜ｘ＜５０，有了这个关系式，我们对植物园的面积Ｓ随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．S=-2x2+100x,0<x<50 ①①式表示植物园的面积S与围墙相邻的一面篱笆墙长度x之间的关系，而且对于X的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是X的函数。
人教版初三数学上册二次函数的定义.1.1二次函数的定义
(3)y(x2)x (3)
( 是)
(4)y x22x3
(否)
(5 )y (x 2 )x ( 2 ) (x 1 )2 ( 否 )
展示才智
3、若函数 y(m21)m x2m为二次
函数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m2 m 2(1) m2 1 0(2)
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
(2) y
1 x2
(3 ) y x (1 x )
不是 是
(4) y (x 1)2 x 2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x22
(是 )
(2)y x2 1 x
( 否)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：m1且m1
所以m=2
yax2bxc(其中 a,b,c是常)， 数
当a,b,c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解： 1） （ a0
(2)a0,b0
(3)a0,b0,c0
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的 函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（ cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之 间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
二次函数
二次函数1 二次函数1.1 二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1、下列函数，其中图象为抛物线的是（ ） A ．y ＝x1B ．y=2xC ．y=x 2D ．y=2x+32、已知方程02=++cy bx ax （a ≠0、b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．1.2 根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．2、如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O1与AB 切于点M ，设⊙O1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是 （要求写出自变量x 的取值范围）．3、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．y=x 2252 B ．y=x 2254 C ．y=x 252 D ．y=x 2542 二次函数的图象与性质2.1 二次函数的图象2.2 二次函数的性质1、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、函数y=xk 与y=-kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3、抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 ．4、如图，已知函数y=−x3与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P的纵坐标为1．则关于x 的方程ax 2+bx+x3=0的解为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= ．6、如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ．7、对于二次函数y=）（12x +2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=-1C ．顶点坐标是（1，2）D ．与x 轴有两个交点8、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x=21C ．当x ＜21，y 随x 的增大而减小D ．当-1＜x ＜2时，y ＞02.3 二次函数图象与系数的关系 二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． ④抛物线与x 轴交点个数．△=ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=ac b 42-=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ） A ．c ＞0B ．2a+b=0C ．ac b 42-＞0D ．a-b+c ＞02、二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）3、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b 2＞4ac ； ②abc ＞0； ③2a-b=0； ④8a+c ＜0； ⑤9a+3b+c ＜0．其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2.4 二次函数图象上点的坐标特征二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；．①抛物线是关于对称轴ab2-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +．1、设抛物线c bx y ax ++=2（a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．2、已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确的是（ ）A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 22.5 二次函数图象与几何变换1）、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 2）、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1、若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．y=）（22+x +3 B ．y=）（22-x +3 C ．y=）（22+x -3 D ．y=）（22-x -3 2、在平面直角坐标系中，把抛物线y=-x221+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．2.6 二次函数的最值（1）当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（2）当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．1、如图，P 是抛物线y=-x 2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．2、当-2≤x ≤1时，二次函数y=-)(2m x -+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ．-47B ．3或−3C ．2或−3D ．2或3或−472.7 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．1、如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B （0，-2）．它与反比例函数y=-x8的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2-x-2B ．y=x 2-x+2C ．y=x 2+x-2D ．y=x 2+x+22、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= ．2.8 二次函数的三种形式1）、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2）、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3）、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1、函数y=a ·sin x ·cosx+b ·sinx+b ·cosx+c 运用换元法可以化简为：将 设为t ，则化简为 ．友情提醒：x sin 2=1-x cos 22、把二次函数y=-41x2-x+3用配方法化成y=a )(2h x -+k 的形式（ ）A ．y=-41)2(2-x +2B ．y=41)2(2-x +4C ．y=-41)2(2-x +4D ．y=)2121(2-x +33 实践与探究3.1 抛物线于x 轴的交点求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即c bx ax ++2=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程c bx ax++2=0根之间的关系．ac 4b 2-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数． ac 4b 2-=∆＞0时，抛物线与x 轴有2个交点； ac 4b 2-=∆=0时，抛物线与x 轴有1个交点； ac 4b 2-=∆＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：12()()y a x x x x =--（a ，b ，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．1、已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2014的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．20152、如图，抛物线y=a x2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为．3.2 图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ．2、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263.3 二次函数与不等式（组）二次函数2=++（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系y ax bx c①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．1、二次函数2=++（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取y ax bx c值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32、如图是抛物线2=++的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一y ax bx c交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3.4 二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．2、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3.5 二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．1、如图，已知抛物线y 1=-x 2+1，直线y 2=-x+1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=2时，y 1=-3，y 2=-1，y 1＜y 2，此时M=-3．下列判断中：①当x ＜0时，M=y 1；②当x ＞0时，M 随x 的增大而增大； ③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M=21的值是-22或21，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、已知抛物线y ＝21x2+bx 经过点A （4，0）．设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 点的坐标为 ．。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》说课稿
一.教材分析
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是整个九年级数学的重要内容，同时也是学生对函数知识的进一步理解和深化。本节内容通过介绍二次函数的定义、性质和图像，使学生掌握二次函数的基本概念，培养学生解决实际问题的能力。
教材从实际问题出发，引入二次函数的概念，然后通过探究二次函数的性质，使学生了解二次函数的图像特征，最后通过实际问题，让学生运用二次函数解决生活中的问题。整个内容既有理论的学习，也有实践的运用，使学生在学习过程中，既能掌握二次函数的基本知识，又能提高解决问题的能力。
j)二次函数的判别式Δ决定了函数与x轴的交点个数。（）
k)二次函数的图像具有对称性，对称轴是y轴。（）
24.选择题：
l)下列函数中，哪个是二次函数？
A)y=3x^2 B) y=2x+1 C) y=x^3 D) y=5
m)当a<0时，二次函数的图像开口朝（）。
B)上B)下C)左D)右
n)抛物线y=2x^2+3x+1的顶点坐标是（）。
17.二次函数的增减性：当a>0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递减，在(-b/2a, +∞)上递增；当a<0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递增，在(-b/2a, +∞)上递减。
18.二次函数的零点：二次函数的零点是使得y=0的x值。根据判别式Δ的值，可以判断零点的个数。
19.二次函数的实际应用：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线射击、最优化问题等。
知识点儿整理：
13.二次函数的定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数。其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数基础知识
整理得：x2－180x+7700＝0， 解得：x1＝70，x2＝110， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售 单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，
A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D.不能确定
6.已知二次函数y＝x2+(m-1)x+1，当x＞1时，y随x的 增大而增大，则m的取值范围是（ D）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
7.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y= 1 x2
3
的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ D）
2.
次
开口方向
向上
向下
函
对称轴
数
的
顶点坐标
直线x=h （h,0）
直线x=h （h,0）
图
最值
当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
象 与 性 质
增减性
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时，y y随x的增大而增大. 随x的增大而增大.
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
最值
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴
y轴
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而
增大.
当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大.
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共24张PPT)
(3)一个温室 连同外围通道的矩形平面图如图,
周长为120m , 设一条边长为 x (m), 种植面积
为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
种植用地
x外围通道
3
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2 3.y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
(2) y 1 不是
x2
(3) y x(1 x) 是
(4) y (x 1)2 x 2 不是
(5)y=3x-1 不是
先化简后判断
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
下列函数中,哪些是二次函数? 若是，请说出该 函数的二次项系数、一次项系数、常数项
(1) y x2 是
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=aHale Waihona Puke ²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0 )的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
自变量x的取值范围
1.1 二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是 常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
课后作业
见本课时练习
九年级数学下（XJ） 教学课件
第1章 二次函数
1.1 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二 次函数；(重点) 2.能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变 量的取值范围．(难点)
问题 我们学过哪些函数？
一次函数
y=kx+b (k≠0)
函 数 (正比例函数) y=kx (k≠0)
剩余面积=正方形面积-长方形面积.
解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6， 即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴y是x的二次函数.
当堂练习
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_-_3_x_2_,一次项 系数为__-1_6___，常数项为 12 .
二 二次函数的自变量取值范围
例2 如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm， 在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余 下面积S(cm2)与x之间的函数表达式.
x
分析：本问题中的数量关系是： 木板余下面积=矩形面积-截去面积.
解：木板余下面积S与截去正方形边长x有如下函数关系： S=120×80-4×x2=-4x2+9600,0＜x≤40.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
二次函数的基本概念.1.1 二次函数的基本概念(1)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1:
正方体六个面是全 等的正方形,设正方体 棱长为 x,表面积为 y , 则 y 关于x 的关系式为 y=6x ＿＿＿＿ . 2
问题2:
多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
n n边形有＿＿个顶点 ,从一 个顶点出发,连接与这点不相 邻的各顶点,可作＿＿＿条对 (n-3) 角线.因此,n边形的对角线总 1 n(n-3) 数 d 2 d= n - 2n 2
y=20x2+40x+20
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c
(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 2 当b＝0时， y＝ax ＋c 2 当c＝0时， y＝ax ＋bx 2 当b＝0，c＝0时， y＝ax
三、基本知识练习
• 1．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． • （1）当m__________ 时，该函数为二次函数。 =2 时，该函数为一次函数。 • （2）当m__________ • 2．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不 是？为什么？若是二次函数，请指出各项对应项的 系数．
•
四、课堂训练
• 1．下列函数中是二次函数的是（ A ） • A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝8/X D．y＝X3+2 • 2．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数， 则（ C ） • A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a≠－1 • 3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形 的面积Y与宽X之间的函数关系式。（结果化为一 般形式，并写出各项系数）
《1.1二次函数》数学教案
《1.1二次函数》数学教案标题：《1.1二次函数》数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数的定义，图像和性质。
2. 过程与方法：通过探究式学习，培养学生的观察力，分析能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发他们主动探索知识的热情。
二、教学重难点：重点：理解和掌握二次函数的定义，图像和性质。
难点：理解和掌握二次函数的图像和性质。
三、教学过程：（一）导入新课教师可以通过一个实际问题引入二次函数的概念。
例如，抛物线运动轨迹的问题，引导学生思考物体在垂直方向上的速度随时间的变化情况，从而引出二次函数的概念。
（二）新知探究1. 二次函数的定义教师可以引导学生回忆一次函数和反比例函数的定义，然后让学生自己尝试给出二次函数的定义。
教师可以根据学生的回答进行补充和纠正，最后给出二次函数的标准定义。
2. 二次函数的图像和性质教师可以先让学生自己画出一些二次函数的图像，然后让他们观察这些图像的特点，最后总结出二次函数的图像和性质。
3. 二次函数的应用教师可以通过一些实际问题，如物理中的抛物线运动轨迹问题，经济中的利润最大化问题等，让学生应用二次函数的知识来解决。
（三）课堂练习设计一些针对性的习题，让学生独立完成，以检查他们对二次函数的理解和掌握程度。
（四）课堂小结引导学生回顾本节课所学的内容，强调二次函数的定义，图像和性质，并让学生分享他们在学习过程中遇到的问题和收获。
（五）作业布置设计一些巩固性和拓展性的作业，以帮助学生进一步理解和掌握二次函数。
四、教学反思：在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习状态，及时调整教学策略。
同时，也应鼓励学生积极参与，主动提问，形成良好的课堂氛围。
对于学生在学习过程中遇到的问题，教师应及时给予指导和帮助，确保每个学生都能跟上教学进度。