Winkler地基上材料非线性矩形薄板主参数共振研究

合集下载

Winkler弹性地基板梁的自由振动分析

Winkler弹性地基板梁的自由振动分析魏纲;李钢;蒋吉清;魏新江【摘要】中短型轨道板的几何构型介于梁、板之间,属于宽梁结构。

从Mindlin板理论出发,退化得到适用于宽梁的Mindlin板梁控制方程;引入Winkler地基刚度系数,推导得到位移和转角的模态函数表达式。

考虑两端简支的边界条件,得到弹性地基板梁的自由振动特征方程。

通过无量纲数值算例求解出弹性地基板梁的自振频率,并与Timoshenko梁理论和Mindlin板理论进行对比。

研究高跨比、泊松比和弹性地基刚度等参数对结构自振特性的影响,总结出弹性地基板梁方程的特点及适用范围,即宽度效应显著且泊松比较大的宽梁结构。

【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2015(037)003【总页数】5页(P655-659)【关键词】Winkler地基 Mindlin板梁自振频率泊松比【作者】魏纲;李钢;蒋吉清;魏新江【作者单位】[1]浙江大学城市学院工程分院,浙江杭州310015;[2]浙江大学建筑工程学院,浙江杭州310058【正文语种】中文【中图分类】TU311.3通信作者：蒋吉清。

E-mail：****************.cn。

Key words： Winkler foundation; Mindlin plate-beam; natural frequency; Poisson's ratio梁和板是土木工程常用的结构形式，其相关的力学问题一直是学者研究的热点[1-3]。

工程中常用的梁理论有Euler梁和Timoshenko梁两类，板理论则有Kirchhoff板和Mindlin板等。

相对而言，Timoshenko梁和Mindlin板在中厚结构及中高频动力分析方面更具优越性。

有学者采用Timoshenko梁对Mindlin板进行退化分析[4]，但在退化过程中却未能考虑Timoshenko梁在结构宽度方向上的尺寸效应。

弹性地基上的梁和板振动是工程领域广泛关注的重要问题之一。

非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究

维普资讯
第２Ｏ卷第６期２００７年儿月
唐山学院学报
ＪｕｎｌｆＴａｇｈｎＣｌｇｏｒａｎｓａｏｌｅｏｅ
Ｖ０．ＯＮｏ６Ｉ２．
ＮＯＶ０．２０７
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
ｐｒｍｅｒｃｒｓｎａｃ；ｃｒｕｌｒｐｌｔａａｔｉｅｏｎｅｉｃａａｅ
０引言
近年来．同几何特性板的非线性振动得到了人们广泛不
本文研究一个置于非线性地基上圆板的参数共振问题。
ｌ非线性弹性地基上圆形薄板受简谐激励
的基本方程
考虑图１示的周边固定的圆形薄板．厚为ｈ半径为所板。Ｒ，其周边上均匀分布简谐压力 Ⅳｒ。在 —ｎ＋ｃｓｔ考虑非ｏＳ．
关键词：非线性地基；ａｅｋｎ方法；Ｇｌｒｉ多尺度法；主参数共振；圆板
中图分类号：２文献标识码：０３１Ａ文章编号：６２—３９２０）６０１４１７４Ｘ（０７０ —００ —０
ＳｕｙｏｉａｙＰａａｅｒｃＲｅｏｎｅｔｄｎＰｒｍｒｒｍｔｉｓｎａｃ
杨志安
（山学院唐山市结构与振动工程重点实验室．北唐山０３０）唐河６００
摘要：究非线性地基上圆形薄板受简谐激励的非线性振动问题。按照弹性力学理论建立非线性研地基上圆形薄板受简谐激励的动力学方程，利用Ｇａｅｋｎ方法将其转化为非线性振动方程，方ｌｒｉ该程是马休型方程。应用非线性振动的多尺度法求得系统主参数共振的近似解，并进行数值计算。分析阻尼、地基系数、何参数等对共振响应曲线的影响。几

Winkler地基梁在温度场中受简谐激励的主参数共振分析

应用非线性振动的多尺度法，求得系统主参数共振的近似解。分析不同参数对主参数共振响应曲线的影响。关键词：Ｗｉｌ地基；温度场；多尺度法；非线性振动ｎｅｋｒ
中图分类号：Ｔ３５１Ｕ７．文献标识码：Ａ文章编号：１０．１５（０７２０１．３０９９１２０）０．０２０
将上两式代入式（）中得５
＋历歹＝一一ｇｃｓｉ一）（２Ｙｏ２ —
（）６ ຫໍສະໝຸດ 其中：，：
，ｇ：
，七ｋ：４＇
一
为了简化研究过程，不失一般性，设
（ＤＯ＝ｌ＋阳
一
ｔ为调谐值ｉｔ
（）７
采用多尺度法，设主参数共振情况下～次近似解为
Ｗｉｌｎｅｋｒ地基梁是工程中一种常见结构，本文研究两端简支Ｗｉｌｎｅｋｒ地基梁在温度场中受简谐激励作用的主参数共振问题，分析不同参数对主参数共振响应曲线的影响。１Ｗｉｋｒｎｌ地基梁在温度场中的受力模型和振动方程ｅ图１为两端简支Ｗｉｋｅ地基上梁的力学模型，考虑温度ｎｌｒＲ
维普资讯
第２卷第２期９
Ｖｔ２ｏ．．９Ｎｏ２．
唐山师范学院学报
２００７年３月
Ｍａ．００７ｒ２
ＪｕｎｌｆａｇｈｎＴａｈｒｏｌｅｏｒａＴｎｓａｃｅｓＣｌｇｏｅｅ
ｆ＝ｙ（，）ｙ（，））ｏＸ０Ｘ１＋ｅｌ０Ｘ１
（）８
将式（）代入式（）并考虑式（），８６７比较同次幂系数，得

《2024年双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》范文

《双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》篇一一、引言在工程和物理领域，正交各向异性矩形薄板振动的研究具有广泛的应用背景。

特别是在双参数弹性地基上，这种振动的分析变得尤为复杂。

传统的数值方法和解析方法在处理这类问题时，往往面临计算量大、精度低等挑战。

本文提出了一种基于辛叠加方法的双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动分析方法，旨在解决上述问题，提高计算精度和效率。

二、问题描述与模型建立双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的振动问题，涉及到复杂的物理过程和数学模型。

首先，我们需要建立薄板的物理模型，包括各向异性的材料属性、双参数弹性地基的力学特性等。

其次，根据薄板的几何尺寸和边界条件，建立振动问题的数学模型。

该模型将振动问题转化为偏微分方程的求解问题。

三、辛叠加方法的原理辛叠加方法是一种基于辛几何的数值分析方法，具有较高的计算精度和稳定性。

该方法通过将振动问题分解为一系列简单的子问题，利用辛几何的性质进行求解，最后将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。

在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题中，辛叠加方法可以有效地降低问题的复杂度，提高计算效率。

四、辛叠加方法的应用在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题的分析中，我们首先将薄板划分为若干个小的子区域，每个子区域内的振动问题可以简化为一个简单的子问题。

然后，利用辛叠加方法求解每个子问题，得到子问题的解。

最后，将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。

在求解过程中，我们需要考虑薄板的各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响。

五、结果分析与讨论通过辛叠加方法，我们得到了双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的解。

通过对解的分析，我们可以得到薄板在不同频率下的振动特性、振型分布等信息。

与传统的数值方法和解析方法相比，辛叠加方法具有更高的计算精度和效率。

此外，我们还讨论了各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响，为实际工程中的应用提供了理论依据。

Winkler基础上矩形板在均布荷载作用下的突变分析

［收稿日期］２００５一ｌ —２２２［者简介］张系斌（９６一，男，１８年大学毕业，硕士，教授，现主要从事结构工程方面的教学与研究工作。作１５）９２
维普资讯
・
９２・
硼一Ａ硼０ｚ，（）』（）。￡
一一
ＥＬ（硼。硼。，）
（Ｏ１）
解得：
（）一ｚ，（ｆ）＋（１１）
式中，一（）ｚ，为方程式（Ｏ的特解；一（）１）ｚ，为其通解，包含待定系数ｃ由边界条件式（）４～
（）７确定。又将式（）（）代入式（）再由迦辽金（ａ爸ＫＨ方法，：８和９２，ｒＪｐＨ）Ｉ得
模量；＾为板厚度；为泊松比；为板质量密度；Ｉ２ｌＤ走为基床系数；ｑ是作用于板面上外激励；算子Ｌ（Ｂ）：Ａ，为
＝＝＝
雾等＋等一２
㈤
（）４
对于上述大挠度振动的基本方程，在其边界上应满足的４个边界条件一般应为：
长江大学学报（自科版）
２００６年９月
（）８
声一（）（）ｚ，Ｔｚ￡
（）９
式中，Ｏｚ）给定已知函数；ｚ，Ｗ（，为（）和丁（）待求函数。式（）（）代人基本方程（）：￡为将８，９１得
。。
的突变问题进行研究。研究中，仍然采用薄板理论的前３个基本假设，即认为：① 变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直；② 忽略沿中面垂直方向的法向应力；③ 只计人质量

Winkler地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响

肃科学学报，２０１７，２９（２）：９５ — ９８．］
ｄｏｉ：１０．１６４６８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎｌ００４ — ０３６６．２０１７．０２．０２０．
Ｗｉｎｋｌｅｒ地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响
［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１７，２９（２）：９５ — ９８＿ｒ赵晓军．Ｗｉｎｋｌｅｒ地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响［Ｊ］．甘
由于现代工程中许多以弹性板构件为承载部件
的结构被越来越多地应用于航空航天、土木工程等工程领域，因此，板构件的屈曲以及弯曲已成为近代结构力学的重要研究内容之一＿１＿引。李世荣 Ⅲ 研究了弹性圆板的热过屈曲行为。杜国君等利用空间模态假设和变分法，研究了均布载荷作用下夹层圆板大幅度振动的弯曲问题。吴晓等［６］用能量法研究了双模量大挠度圆板的轴对称弯曲。以上研究都没有考虑弹性地基的影响，弹性地基板在工程中具有广泛的应用背景。目前弹性地基梁的模型主要采取Ｗｉｎｋｌｅｒ模型，ｗｉｎｋｌｅｒ地基模型实质上是将地基看作一系列各自独立的弹簧系数，地基板的位移表现为弹簧体系的变形。杨学祥［７利用文克尔局部弹性地基模型，求解均布荷载作用下一端固定的弹性地基梁的基底压力，提出并分析将一端固定的文克尔地基梁应用于工程的可能性。文献［８］中提出了一种改进的Ｗｉｎｋｌｅｒ地基模型，研究了抛物线载荷作用下梁的力学行为。文献Ｅ９］中给出了一种抛物线荷载下双参数弹性地基梁

Winkler地基上黏弹性输流管的参数共振稳定性

２．Ｒｉｚｈａｏｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ２７６８２６，Ｃｈｉｎａ；
３．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０Ｏ４４４，Ｃｈｉｎａ）
ｃｏｎｄｏｎＷｉｎｋｌｅｒｅｌａｓｔｉｃｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ
ＺＨＡＮＧＪｉ — ｇｕａｎｇ ’ ，ＣＨＥＮＬｉ — ｑｕｎ ’ ，ＱＩＡＮＹｕｅ — ｈｏｎｇ
ｓｍａｌｌ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｍｕｌｔｉ — ｓｃａｌｅｗａｓａｐｐｌｉｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙｔｏｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｐａｒａｍｅｔｉｃｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｐｕｌｓａｔｉｎｇｌｆｕｉｄｌｆｏｗｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｉｃｆｉｅｎｔａｎｄｍａｓｓｒａｔｉｏｓｏｎｔｈｅｐａｒａｍｅｔｒｉｃ
振第３２卷第１３期
动
与
冲

弹性地基板动力问题的数值分析

(5) 建立了三维点辐射八结点无限元模型，推导了该模型的单元刚度矩阵和单元质量矩阵。该模型坐标映射函数与位移函数形式简单，便于与三维二十结点等参单元进行耦合计算。编制了有限元与无限元耦合静力分析程序，分析了半空间地基与板的静力共同作用。结果表明，用有限元与点辐射无限元耦合来对弹性半空间进行
I
模拟是准确有效的。静力分析不仅可作为动力分析的基础，而且在工程中有实际意义。
(5) The model of three-dimensional point-radiate 8-node infinite element is established. Its stiffness and mass matrices are deduced. Its mapping function and displacement function are very concise. It can be easily coupled with the 3D 20-node isoparametric element. The responding program coupling finite and infinite elements for the static analysis is coded, and is applied to analyze the static cooperation of the half space foundation and the plate. Results show that it is accurate to simulate the half space foundation by coupling finite elements and point-radiate infinite elements. The static analysis not only can be as a base of the dynamic analysis, but also has the practic significance in engineering.

粘弹性Winkler地基上Bernoulli-Euler梁横向自振特性

第３９卷　第６期２０２０年１２月兰州交通大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ．３９Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２０收稿日期：２０１９?１０?３１学报网址：ｈｔｔｐ：／／ｌｚｔｘ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ基金项目：国家自然科学基金（５１２６８０３１，１１６６２００７）；甘肃省基础研究创新群体（１４５ＲＪＩＡ３３２）第一作者：付艳艳（１９８７－），女，甘肃陇西人，博士研究生，主要研究方向为土结构耦合动力学．Ｅ?ｍａｉｌ：６４８００９０８９＠ｑｑ．ｃｏｍ．通信作者：余云燕（１９６８－），女，浙江江山人，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为土结构耦合动力学．Ｅ?ｍａｉｌ：ｙｕｙｕｎｙａｎ＠ｍａｉｌ．ｌｚｊｔｕ．ｃｎ．文章编号：１００１４３７３（２０２０）０６?００２１?０５ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１?４３７３．２０２０．０６．００４粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁横向自振特性付艳艳，余云燕（兰州交通大学土木工程学院，兰州　７３００７０）摘要：以粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁为目标，研究其在经典边界条件下的横向自由振动特性．基于回传射线矩阵法，根据振动控制方程及边界耦合条件推导得到各经典边界条件下的频率方程，进而求解得到粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁在两端简支边界条件下的自振频率的解析解、其他边界条件下自振频率的近似解析解及衰减系数的解析解；最后，在单一局部坐标系下推导了各经典边界条件下的模态函数表达式．为地基梁振动特性的研究提供理论基础．关键词：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基；Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁；横向自由振动特性；回传射线矩阵法中图分类号：ＴＵ４７０；Ｏ３２７文献标志码：ＡＴｒａｎｓｖｅｒｓｅＮａｔｕｒａｌＶｉｂｒａｔｉｏｎＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒＢｅａｍｏｎＶｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＦＵＹａｎ?ｙａｎ，ＹＵＹｕｎ?ｙａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｉｓｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒｉｔｓｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｎｄｅｒｃｌａｓｓｉｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｖｅｒｂｅｒａｔｉｏｎ?ｒａｙｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｖａｒｉｏｕｓｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｕｐｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉ?ＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｓｉｍｐｌｙｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｍｏｄａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｅａｃｈｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｉｎａｓｉｎｇｌｅｌｏｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｆｏｒｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｂｅａｍｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ；ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍ；ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｎａｔｕｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｖｅｒｂｅｒａｔｉｏｎｒａｙｍａｔｒｉｘ地基和基础共同工作、相互联系、相互影响，对其进行整体分析的思想得到了工程界及科学界的广泛认可，地基梁模型的提出也是这种思想的产物．地基梁理论在结构工程、铁道工程及隧道工程中多有兰州交通大学学报第３９卷应用［１?３］．此前，关于地基梁自振特性的研究已有很多．楼梦麟等［４］采用用模态摄动法求解了复杂情况下弹性地基梁的自振频率，并讨论了弹性地基对梁特性的影响．文献［５?６］运用复模态分析方法研究了有限长粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基及Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基梁的振动特性，得出多种边界条件下的复频率方程和复模态函数表达式．丁虎等［７］由共振关系求解了Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁两种经典边界（简支及两端固支）条件下的自振频率及模态．马建军等［８］采用分离变量法，考虑有限深度土体运动的影响求解了弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的模态构型和固有频率．以上的研究多以近似解或数值解为主，自振特性方程也较为复杂，且研究的边界条件通常较为单一，即便是有对多种边界条件下自振特性的研究，各边界条件下的联系与区别也不甚分明．近年来，回传射线矩阵法在结构的瞬态响应、损伤检测等研究中得到了应用［９１０］．同时，在结构的自振特性研究中也有一定的应用［１１?１５］，而这些研究多为数值解的研究，而对于解析解及近似解的研究甚少，且对于模态函数的研究多在实数域中进行．故而，本文基于回传射线矩阵法，在复数域中对经典边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的横向自振特性的解析解或近似解进行研究．１　振动控制方程及方程的解粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的力学模型及坐标系如图１所示．!"# !"$% & $'()*+,--./0,-()梁"!图１　粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的力学模型及坐标系Ｆｉｇ．１　ＭｅｃｈａｎｉｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的节点编号如图１所示，在节点１及节点２处分别建立局部坐标系ｘ１２和ｘ２１，两局部坐标系之间的关系为：ｘ１２＝ｌ－ｘ２１，ｌ表示梁长．整体坐标系ｘ建立在节点１处，且与局部坐标系ｘ１２的方向相同．其横向振动控制方程如式（１）所示．ＥＩ４ν（ｘ，ｔ）ｘ４＋κν（ｘ，ｔ）＋β ν（ｘ，ｔ）ｔ＋ρＡ２ν（ｘ，ｔ）ｔ２＝０．（１）其中：Ｅ、ρ、Ａ和Ｉ分别表示梁体材料杨氏模量、梁体的材料密度、横截面面积和横截面对其形心主轴的惯性矩；κ、β为地基的弹簧系数及阻尼系数；ν为梁的挠度；ｔ为时间．对式（１）无量纲化，令ν＝ν－ｌ；ｔ＝ｔ－ｌ／ｃ０；ｘ＝ｘ－ｌ．（２）式中：ｃ０＝Ｅ／槡ρ为纵波波速，将式（２）带入式（１）得：４ν－（ｘ－，ｔ－）ｘ－４＋κ－ν－（ｘ－，ｔ－）＋β－ν－（ｘ－，ｔ－）ｔ－＋α１２ν－（ｘ－，ｔ－）ｔ－２＝０．（３）式中：κ－、β－及α１分别表示无量纲化的地基弹簧系数、无量化的地基阻尼系数及与梁体尺寸有关的量．其表达式分别为κ－＝κ－ｌ４ＥＩ；β－＝βｃ０ｌ３ＥＩ；α１＝Ａｌ２Ｉ．（４）引入Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对，对式（３）进行Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，得：ｄ４＾ν（ｘ－，ω）ｄｘ－４＋（κ－＋ｉωβ－－ω２α１）＾ν（ｘ－，ω）＝０．（５）式中：带有顶标“＾”的变量为频域中的变量；ω＝ω－ｎ＋ｉδｎ为角频率；ω－ｎ、δｎ分别为自振频率和衰减系数．求解式（５），得：＾ν＝ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－＋ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－＋ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－＋ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－．（６）其中：ａｊ（ω）为入射波波幅；ｄｊ（ω）为出射波波幅；λｊ为波数，其表达式为λ１＝４ω２α１－ｉωβ－－κ槡－；λ２＝ｉ４ω２α１－ｉωβ－－κ槡－{．（７）２２第６期付艳艳等：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁横向自振特性无量纲化的弯矩Ｍ＾、剪力Ｑ＾、转角＾＝ｄ＾ν（ｘ－，ω）／ｄｘ的表达式为Ｍ＾＝ＥＩｌ｛λ２１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－＋ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋λ２２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－＋ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］｝；Ｑ＾＝ＥＩｌ２｛ｉλ３１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－－ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋ｉλ３２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－－ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］｝；＾＝ｉλ１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－－ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋ｉλ２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－－ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］．（８）２　经典边界条件下的自振频率及振动模态分别考虑两端简支、两端自由、两端固支、简支自由、简支固支及固支?自由六种边界条件下的自振频率和模态函数，其节点耦合条件如表１所列．表１　经典边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉ梁的节点耦合条件Ｔａｂ．１　ＮｏｄａｌｃｏｕｐｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉ?ＥｕｌｅｒｂｅａｍｓｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｃｌａｓｓｉｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ边界条件力平衡位移协调端点１端点２端点１端点２两端简支Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０ν＾１２＝０ν＾２１＝０两端自由Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０Ｑ＾１２＝０Ｑ＾２１＝０－－两端固支－－ν＾１２＝０ν＾２１＝０＾１２＝０＾２１＝０简支?自由Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０Ｑ＾２１＝０ν＾１２＝０－简支固支Ｍ＾１２＝０－ν＾１２＝０ν＾２１＝０＾２１＝０固支?自由－Ｍ＾２１＝０ν＾１２＝０Ｑ＾２１＝０＾１２＝０－２．１　两端简支边界条件下的自振频率和模态函数以两端简支为例，基于回传射线矩阵法推导其频率方程及模态函数，将式（６）及式（８）代入表１中两端简支的节点耦合条件中，可得：ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）＋ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）＝０；λ２１［ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）］＋λ２２［ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）］＝０；ａ２１１（ω）＋ｄ２１１（ω）＋ａ２１２（ω）＋ｄ２１２（ω）＝０；λ２１［ａ２１１（ω）＋ｄ２１１（ω）］＋λ２２［ａ２１２（ω）＋ｄ２１２（ω）］＝０．（９）对式（９）进行整理并合并为ｄ＝Ｓ１ａ．（１０）式中：ａ和ｄ表示总体入射波波幅向量和总体出射波波幅向量；Ｓ１为两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的总体散射矩阵．其表达式分别为ａ＝［ａ１２１ａ１２２ａ２１１ａ２１２］Ｔ；ｄ＝［ｄ１２１ｄ１２２ｄ２１１ｄ２１２］Ｔ；Ｓ１＝１１００λ２１λ２２００００１１００λ２１λ２２－１－１－１００－λ２１－λ２２００００－１－１００－λ２１－λ２２．（１１）由于出射波波幅向量和入射波波幅之间存在如下的相位关系：ｄ＝Ｐｄ～．（１２）式中：ｄ～与ｄ中的元素完全相同，仅排列顺序不同，Ｐ为传播矩阵，其表达式分别如下．ｄ～＝［ｄ２１１ｄ２１２ｄ１２１ｄ１２２］Ｔ；Ｐ＝－ｅ－ｉλ１ｌ－００００－ｅ－ｉλ２ｌ－００００－ｅ－ｉλ１ｌ－００００－ｅ－ｉλ２ｌ－．（１３）式中：ｌ－为无量纲的梁长，其值等于１，引入置换矩阵Ｕ＝００１００００１１００００１００．（１４）以调整ｄ～中元素的位置，从而有：ａ＝ＰＵｄ．（１５）将式（１５）代入式（１０）中并整理得：［Ｉ－Ｒ］ｄ＝０．（１６）式中：Ｒ＝Ｓ１ＰＵ为两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的回传射线矩阵．式（１６）中，ｄ有非零解的条件为：系数行列式等于零，得到两端简支边界条件下粘弹Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程为｜Ｉ－Ｓ１ＰＵ｜＝（１－ｅ－２ｉλ１）（１－ｅ－２ｉλ２）＝０．（１７）３２兰州交通大学学报第３９卷根据指数函数和三角函数的变换关系，将式（１７）转化到三角函数形式，为（１－ｃｏｓ２λ１＋ｉｓｉｎ２λ１）（１－ｃｏｓ２λ２＋ｉｓｉｎ２λ２）＝０．（１８）从而得到：ｃｏｓ２λ１＝１．（１９）忽略其代表刚体运动的奇异解λ１＝０，其它的根为λ１＝ｎπ，ｎ＝１，２，３…．（２０）则由式（７），解得：ω＝ｉβ－２α１±κ－＋ｎ４π４α１－β－２４α槡２１．（２１）由式（２１）可以得到两端简支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的衰减系数δｎ与自振频率ω－ｎ的解析表达式分别为δｎ＝β－２α１；（２２）ω－ｎ＝κ－＋ｎ４π４α１－β－２４α槡２１．（２３）将式（９）转化到单一局部坐标系ｘ１２得：ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）＋ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）＝０；λ２１［ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）］＋λ２２［ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）］＝０；ａ１２１（ω）ｅｉλ１＋ｄ１２１（ω）ｅ－ｉλ１＋ａ１２２（ω）ｅｉλ２＋ｄ１２２（ω）ｅ－ｉλ２＝０；λ２１［ａ１２１（ω）ｅｉλ１＋ｄ１２１（ω）ｅ－ｉλ１］＋λ２２［ａ１２２（ω）ｅｉλ２＋ｄ１２２（ω）ｅ－ｉλ２］＝０．（２４）同样，求解式（２４）的非零解，得方程组（２４）的系数矩阵的秩小于４，将ａ１２１作为非自由未知参数，其余未知参数ｄ１２１、ａ１２２和ｄ１２２作为自由未知参数，则含一个未知参数ａ１２１的解可表示该方程组的任一解，可进一步得到方程组的通解．将式（２４）中的ｄ１２１、ａ１２２、ｄ１２２可用ａ１２１表示为ｄ１２１＝－ａ１２１；ａ１２２＝－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ａ１２１；ｄ１２２＝（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ａ１２１．（２５）则两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的模态函数表达式为ν＾＝ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ｅｉλ２ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ｅ－ｉλ２ｘ－］．（２６）根据指数函数与三角函数及双曲函数的变换关系得：ν＾＝２ａ１２１（－ｉｓｉｎλ１ｓｉｎλ２ｓｉｎλ２ｘ－＋ｉｓｉｎλ１ｘ－）．（２７）由（７）式容易得到：ｉλ１＝λ２．（２８）则式（２７）可写为ν＾＝２ａ１２１（－ｉｓｉｎλ１ｓｉｎｈλ１ｓｉｎｈλ１ｘ－＋ｉｓｉｎλ１ｘ－）．（２９）由于振型只是确定系统中各点振幅的相对值，故式中的ａ１２１为一不确定的复常数，文中所有的非自由未知参数ａ１２１均可以通过模态归一化条件对其进行求解．２．２　其它边界条件下的自振频率和模态函数同理，基于回传射线矩阵法，推导得到其他五种边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程、波数、频率及模态函数如表２～３所列．表２　其它边界条件下的频率方程、波数及频率Ｔａｂ．２　Ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗａｖｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ边界条件频率方程波数方程波数频率两端自由（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ＋１２）π，ｎ＝２，３，４，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ＋１）４π４１６α１－β－２４α槡２１两端固支（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ＋１２）π，ｎ＝２，３，４，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ＋１）４π４１６α１－β－２４α槡２１简支自由（１－ｅ－２ｉλ１）（１＋ｅ－２ｉλ２）＋（ｉ＋１）（ｅ－２ｉλ１－ｅ－２ｉλ２）＝０ｓｉｎλ１≈ｃｏｓλ１λ１≈（１４＋ｎ）π，ｎ＝１，２，３，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（１＋４ｎ）４π４２５６α１－β－２４α槡２１简支?固支（１－ｅ－２ｉλ１）（１＋ｅ－２ｉλ２）＋（ｉ＋１）（ｅ－２ｉλ１－ｅ－２ｉλ２）＝０ｓｉｎλ１≈ｃｏｓλ１λ１≈（１４＋ｎ）π，ｎ＝１，２，３，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（１＋４ｎ）４π４２５６α１－β－２４α槡２１固支自由（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１＋ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝－１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ－１２）π，ｎ＝４，５，６，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ－１）４π４１６α１－β－２４α槡２１备注：两端自由（两端固支）及固支自由边界条件下的频率方程采用图解法进行求解．４２第６期付艳艳等：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁横向自振特性表３　其它边界条件下的模态函数Ｔａｂ．３　Ｔｈｅｍｏｄａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ模态函数两端自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－２ｉ（ｅｉλ１－ｅλ１）－（１＋ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）２ｉ（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）＋（１－ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－ｉλ１ｘ－－（１－ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）－（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－－（１＋ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅλ１ｘ－］两端固支ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－＋（１＋ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）－２ｉ（ｅｉλ１－ｅλ１）（１－ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）＋２ｉ（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）ｅ－ｉλ１ｘ－－２（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）＋（１－ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅ－λ１ｘ－＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）＋（１＋ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅλ１ｘ－］简支自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅλ１ｘ－］简支?固支ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅλ１ｘ－］固支自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－＋ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）－（ｅ－λ１＋ｅλ１）－２ｅｉλ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅ－ｉλ１ｘ－－ｉｉ（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）－（ｅｉλ１＋ｅ－ｉλ１）－２ｅλ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅ－λ１ｘ－－ｉｉ（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋（ｅｉλ１＋ｅ－ｉλ１）＋２ｅ－λ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅλ１ｘ－］由表２和表３可知，两端自由与两端固支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的频率方程完全相同，而其相应的振动模态函数却不同．简支自由与简支?固支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程完全相同，而其相应的振动模态函数却不同．由式（２１）及表２可知，各经典边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的自振频率随着阶数的增长而逐渐增加，自振频率与地基弹性系数正相关，而与地基阻尼系数负相关；衰减系数是一个与地基阻尼系数及梁自身有关的量，而与阶数及约束条件无关．３　结论基于回传射线矩阵法，首先，得到了横向自由振动时粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上两端简支边界条件下ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率及模态函数解析表达式；其次，得到了其它边界条件下自振频率近似解析表达式及模态函数表达式．结论如下：１）两端自由与两端固支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的频率方程相同，而模态函数却不同；简支自由与简支?固支边界条件下也存在相同的情况．２）各种边界条件下，粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程的联系与区别十分明显，其自振频率都随着阶数的增长而逐渐增加，自振频率与地基弹性系数正相关，而与地基阻尼系数负相关．３）经典边界条件下Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的衰减系数是一个与地基阻尼系数及梁自身有关的量，而与阶数及约束条件无关．参考文献：［１］　刘希成．弹性地基梁理论在软弱地基柱下条形基础中的应用［Ｊ］．煤炭工程，２０１５，４７（１２）：２５２７．［２］　白海峰．基于连续弹性地基梁的轨枕静力响应研究［Ｊ］．铁道工程学报，２００７（５）：２２２７．［３］　戚丰武，王健．连续弹性地基梁在隧道施工中的运用技术［Ｊ］．铁道工程学报，２００１（４）：９３?９５．［４］　楼梦麟，沈霞．弹性地基梁振动特性的近似分析方法［Ｊ］．应用力学学报，２００４，２１（３）：１４９?１５２，１７０．［５］　彭丽，陈春霞．黏弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基梁的振动特性分析［Ｊ］．上海师范大学学报（自然科学版），２０１２，４１（６）：５８６?５８９．［６］　彭丽，丁虎，陈立群．黏弹性三参数地基梁横向自由振动［Ｊ］．振动与冲击，２０１４，３３（１）：１０１?１０５．［７］　丁虎，陈立群．Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基梁受迫振动行波解［Ｊ］．中国科学：物理学力学天文学，２０１３，４３（４）：５６４５７１．（下转第３１页）５２第６期孙建忠：基于ＢＰ神经网络的氯盐渍土溶陷特性研究［１１］　张朝晖，师百垒，李宗利．高速公路盐渍土地区路基地基改良研究［Ｊ］．公路工程，２０１８，４３（３）：５２５６．［１２］　郭高峰．影响多年冻土融沉特性的因素研究［Ｄ］．长春：吉林大学，２００８．［１３］　逯兰．冻土融化下沉特性试验分析研究［Ｄ］．长春：吉林大学，２００９．［１４］　侯瑞．人工神经网络ＢＰ算法简介及应用［Ｊ］．科技信息，２０１１，５１（３）：７４?７５．［１５］　ＬＥＲＡＧ，ＰＩＮＺＯＬＡＳＭ．ＮｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄｂａｓｅｄＬｅｖｅｎｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｔｒａｉｎｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ，２００２，１３（５）：１２００１２０２．（责任编辑：马延麟檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴）（上接第２５页）［８］　马建军，秦紫果，刘丰军，等．考虑有限深度土体运动的Ｗｉｎｋｌｅｒ地基梁自由振动分析［Ｊ］．振动与冲击，２０１９，３８（６）：６２?６６，９９．［９］　余云燕，余莉芬．均质土中半埋入完整桩的瞬态波动响应［Ｊ］．兰州交通大学学报，２００９，２８（４）：１６．［１０］　柳伟，余云燕．基于回传射线矩阵法和Ｈｉｌｂｅｒｔ?Ｈｕａｎｇ变换简支梁损伤检测［Ｊ］．兰州交通大学学报，２０１８，３７（１）：２７?３４．［１１］　陈进浩，余云燕．框架结构瞬态波动响应及自振频率的回传射线矩阵法分析［Ｊ］．振动与冲击，２０１６，３５（１０）：８３?９０．［１２］　许兰兰，余云燕．门式框架结构的瞬态波动响应和自振特性研究［Ｊ］．振动与冲击，２０１７，３６（１７）：１７０１７８．［１３］　柳伟，余云燕．桩顶固定且部分桩体埋入黏弹性地基中时桩的自振特性分析［Ｊ］．噪声与振动控制，２０１８，３８（２）：１２７１３２．［１４］　余云燕，陈进浩，刘家骥．土体阻尼对全（部分）埋入单桩基础自振特性的影响研究［Ｊ］．振动工程学报，２０１８，３１（６）：１０７６１０８４．［１５］　付艳艳，余云燕．全埋入单桩基础纵向振动模态正交性研究［Ｊ］．兰州交通大学学报，２０１７，３６（３）：６１１．（责任编辑：马延麟）１３。

准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中的应用

准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中的应用
，内容要求有全面性及详细性
近年来，随着建筑建设技术不断发展，越来越多的建筑均采用多边形薄板结构。

Winkler地基和薄板构件相结合，具有合理的构造，降低结构损伤，降低建造成本，提高生产效率等优点，因此得到了越来越多的应用。

然而，由于基础不稳定，多边形薄板结构受到了大量外力的作用，导致振动频
率越来越高，严重影响了结构安全性和稳定性。

因此，对多边形薄板结构振动问题的研究变得越来越重要。

Karniadakis提出的标准格林函数方法是解决多边形薄板
振动问题的有效方法之一，它可以满足不同结构的振动特性，使二者之间取得适当比例。

在winkler地基上，利用标准格林函数方法可以很好地求解多边形薄板振动问题。

首先，根据多边形薄板结构的模型，建立薄板的几何参数和荷载特性，求解所形成立体多面体的标准格林函数。

然后，运用有限元分析法处理土基与薄板之间的地基效应。

最后，综合考虑薄板的参数、土基的影响及其他因素，根据标准格林函数求解多边形薄板振动的特性和频率。

总之，标准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中有着重
要的作用。

在此基础上，可以得出更有效的计算结果，准确模拟多边形薄板的振动特性，有效提高结构的安全性和稳定性，为改善建筑结构提供了有力的支持。

Winkler地基模型上功能梯度材料涂层的摩擦接触问题

Winkler地基模型上功能梯度材料涂层的摩擦接触问题陈耀庚;李星【摘要】研究 Winker地基模型上功能梯度材料涂层在一刚性圆柱形冲头作用下的摩擦接触问题。

功能梯度材料涂层表面作用有法线向和切线向集中作用力。

假设材料非均匀参数呈指数形式变化，泊松比为常量，利用 Fourier积分变换技术将求解模型的接触问题转化为奇异积分方程组，再利用切比雪夫多项式对所得奇异积分方程组进行数值求解。

最后，给出了功能梯度材料非均匀参数、摩擦系数、Winker地基模型刚度系数及冲头曲率半径对接触应力分布和接触区宽度的影响情况。

%This paper presents the investigation to the frictional contact problem for a functionally graded layer under the action of a rigid circular stamp supported by a Winkler foundation.A segment of the top surface of the graded layer is subj ect to both normal and tangential traction while rest of the surface is devoid of traction.The graded layer is assumed to be an isotropic nonhomogeneous medium with an exponentially varying shear modulus and a constant Poisson’s ratio.The problem is reduced to a Cauchy-type singular integral equations with the use of Fourier integral transform technique and the boundary conditions of the problem.The singular integral equations is solved numerically using Chebychev polynomials.The main obj ective of this paper is to study the effect of the material non-homogeneity factor,stiffness of the frictioncoefficient,Winkler foundation and punch radius on the contact pressure distribution and the size of the contact region.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2016(033)005【总页数】6页(P732-737)【关键词】Winkler地基模型;功能梯度材料;奇异积分方程【作者】陈耀庚;李星【作者单位】宁夏大学数学统计学院，银川 750021; 宁夏医科大学，银川750004;宁夏大学数学统计学院，银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O343功能梯度材料是一种力学及性能随其结构与组成连续或准连续变化的非匀质复合材料。

Winkler地基悬臂梁在均布载荷作用下的非线性弯曲

Winkler地基悬臂梁在均布载荷作用下的非线性弯曲李清禄;李世荣【摘要】研究了Winkler地基悬臂梁在均布载荷作用下的非线性弯曲问题.基于梁的大变形理论,考虑杆的轴向伸长,建立了受均布载荷作用下Winkler地基梁的几何非线性平衡方程.采用打靶法求解非线性两点边值问题,获得了一端固定一端自由梁在保守载荷作用下的大变形弯曲问题的数值解,给出了不同基床系数下梁的变形与载荷之间的特征曲线.【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2010(029)006【总页数】3页(P6-8)【关键词】Winkler地基;梁;大变形;打靶法;数值解【作者】李清禄;李世荣【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O343弹性梁的大挠度弯曲和屈曲问题作为结构力学的基本问题之一,其力学行为一直受到人们的重视[1-4].Winkler地基梁是工程中的一种常见结构,研究弹性地基梁的弯曲问题具有现实的工程背景.文献[5]根据叠加原理给出了任意分布载荷作用Winkler地基梁的沉降、转角、弯矩等分布计算方法.文[6]应用多尺度法研究了Winkler地基梁在温度场中的主共振问题.本文将在此基础上,精确考虑杆的轴线伸长,建立Winkler地基梁在横向均布载荷作用下的几何非线性控制方程,应用打靶法对所得非线性两点边值进行数值求解,给出不同地基刚度系数下梁的变形与载荷之间的特征曲线,获得可供工程设计应用的数值解.考虑一长为l的弹性地基悬臂梁,受横向均布载荷q作用(见图1).弹性地基横向弹性系数为k.记梁在未变形时的轴线为(x,0),x∈[0,l]变形后梁轴线仍在x-y平面内,且变形服从直线法假设.Winkler地基模型表述为任意点压力强度与该点沉降量成正比其中k为地基刚度系数.由轴线可伸长梁的大变形理论[4],可得下列基本方程:几何方程:物理方程:平衡方程:其中,Λ为轴线伸长率,θ为弹性曲线的切线与x轴正向的夹角,H,V分别为横截面上沿水平和铅垂方向的内力,M为弯矩,A,I分别为沿横截面的面积和惯性矩.横截面的轴向内力N可表示为将方程(3a)代入(5)可得引入无量纲量:可得下列无量纲控制方程:对图1所示悬臂梁,相应的无量纲边界条件为:其中β为梁的自由端转角,将它作为非线性弯曲控制参数.这样弹性地基悬臂梁在横向载荷q作用下的非线性弯曲问题就归结为在边界条件(13)下求解非线性常微分方程组(8-12).由于方程(8)-(12)是相互耦合的强非线性方程,无法求得解析解.这里采用打靶法求其数值解.为此,将Runge-Kutta方法与Newton-Raphson方法有机结合获得该问题在数值意义上的精确解.数值计算时,取λ=120,相对误差为10-3.图2-6给出了有关物理量与无量纲载荷Q 间的特征关系.图2中给出了右端挠度即最大挠度Wmax与Q的变化曲线,图中看出最大挠度随载荷的增大而增大,在Q<5之前,随着基床系数的增大,最大挠度急剧增加,而Q>5之后最大挠度缓慢增加.图3中给出了自由端转角β与Q的变化曲线.图4和图5分别为固定端铅垂约束力PV(0)和弯矩m1与Q的关系曲线,图中看出,铅垂约束力和载荷几乎成线性关系,而载荷较小时弯矩与载荷呈明显的非线性性.在相同载荷下,地基刚度系数越大,内力越大.图6给出了轴线无量纲伸长△=S(1)-1与载荷Q的关系,看出载荷与轴线伸长呈现线性变化且地基刚度系数越大轴线伸长越长.基于弹性梁精确的几何非线性理论,应用打靶法数值分析了弹性基础上悬臂梁在均布载荷作用下的非线性弯曲问题.(1)各物理量与载荷成单调递增关系;(2)最大挠度和自由端转角与载荷呈非线性性,地基刚度系数越大增加最大挠度与自由端转角减小;(3)固定端弯矩和内力与载荷也成单调递增关系,地基刚度系数越大增加弯矩与剪力增大;(4)地基刚度系数越大无量纲轴线伸长越长.其数值结果可供工程设计参考.【相关文献】[1]LI S R,ZHOU YH,ZHENGXJ.Thermal ost2bucklingof a heated elastic rod withpinned2fixed ends[J].Journal of Thermal St resses,2002,25(1):45-56.[2]李世荣,夏荣厚.机械和热载荷共同作用下梁的非线性弯曲和稳定性[J].兰州理工大学学报,2007,33(3):164-167.[3]李清禄,张会荣.超静定梁抗弯刚度优化设计的模拟退火算法[J].曲靖师范学院学报,2007,26(3):44-47.[4]孙保苍,王欢,陈威.联合载荷作用下大变形分析的打靶法[J].机械设计与制造,2005,43(8):18-19.[5]李顺群,赵瑞斌,鹿群,等.任意分布载荷作用下Winkler地基梁计算[J].辽宁工程大学学报,2009,28(4):558-561.[6]彭震,杨志安.Winkler地基梁在温度场中受简谐激励的主共振分析[J].地震工程与工程振动,2006,26(3):91-93.。

Winkler-Pasternak 弹性地基 FGM 梁自由振动二维弹性解

Winkler-Pasternak 弹性地基 FGM 梁自由振动二维弹性解蒲育;滕兆春【摘要】Based on the two-dimension theory of linear elasticity,the free vibration differential equations for FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations were derived.The material properties were supposed to change continuously along the thickness of the beam according to the power law ing the differential quadrature method (DQM),the dimensionless natural frequencies of FGM beams under four different boundary conditions were investigated.The formulations were validated by comparing the results obtained with those available in the literature for homogeneous beams on Winkler-Pasternak elastic foundations.The influences of the boundary conditions,material graded index,length-to-thickness ratio and elastic coefficients of foundations on the non-dimensional frequency parameters of FGMbeams were discussed.%基于二维线弹性理论，建立 Winkler-Pasternak 弹性地基上功能梯度（Functionally Graded Material，FGM）梁自由振动控制微分方程。

Winkler地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响

Winkler地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响赵晓军【摘要】研究了Winkler地基上圆板在横向载荷作用下的弯曲问题.基于经典板理论,考虑几何方程、物理方程及平衡方程,给出了位移为基本未知量的弹性地基圆板弯曲问题的控制微分方程.采用打靶法数值求解所得非线性边值问题,获得了两种边界下圆板的弯曲变形与无量纲载荷之间的关系曲线,讨论了弹性地基系数对圆板弯曲行为的影响.结果表明:两种边界条件下,弹性地基系数越大,板的弯曲越大;相同弹性地基下,简支板的弯曲变形大于固支板的弯曲变形.%The problem of bending under transverse load of the circular plate on Winkler foundation was studied.Based on the classical plate theory,considering the geometric equations,physical equations and equilibrium equations,the control differential equation of bending problem for circular plate on elastic foundation with displacement as the basic unknown quantity was given.By using shooting method to numerically solve the obtained nonlinear boundary value problem,the relation curve between bending deformation of circular plates and dimensionless load under two boundary conditions was obtained.The results showed that the bending of the plate increased with the increase of elastic foundation coefficient under the two boundary conditions;the bending deformation of the simply supported plate was greater than that of the clamped plate under the same elastic foundation.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2017(029)002【总页数】4页(P95-98)【关键词】圆板;Winkler地基;弯曲;数值解【作者】赵晓军【作者单位】兰州理工大学技术工程学院土木工程系,甘肃兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】O343由于现代工程中许多以弹性板构件为承载部件的结构被越来越多地应用于航空航天、土木工程等工程领域，因此，板构件的屈曲以及弯曲已成为近代结构力学的重要研究内容之一[1-3]。

Winkler地基上功能梯度材料矩形厚板的自由振动

Winkler地基上功能梯度材料矩形厚板的自由振动
边祖光;王亚明;等
【期刊名称】《工程力学》
【年(卷),期】2001()A03
【摘要】直接从三维弹性力学方程基本出发，利用状态空间法并结合层合模型，
分析了Winkler地基上具有横观各向异性的功能梯度矩形厚板的自由振动问题，
得出了两类独立的自由振动形式。

给出了数值例子，并讨论了材料梯度指标的影响。

【总页数】5页(P181-185)
【关键词】Winkler地基;功能梯度材料;状态空间法;简支矩形厚板;自由振动
【作者】边祖光;王亚明;等
【作者单位】浙江大学土木系，杭州310027;浙江省建筑科学设计研究院，杭州310012
【正文语种】中文
【中图分类】TU348;O343.1
【相关文献】
1.粘弹性地基上四边自由矩形中厚板的非线性自由振动分析 [J], 肖勇刚;袁彦磊
2.非均匀Winkler-Pasternak弹性地基上正交各向异性矩形板自由振动的DTM分析 [J], 滕兆春;刘露;衡亚洲
3.变刚度Winkler地基上受压非均质矩形板的自由振动与屈曲特性 [J], 滕兆春;衡亚洲;崔盼;刘露
4.Winkler-Pasternak地基上四边受压FGM矩形板的自由振动与屈曲特性 [J], 滕兆春;王俊淋
5.弹性地基上多孔功能梯度复合材料纳米圆柱壳的自由振动研究 [J], 张飞;白春玉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Winkler地基梁中压电能量收集的理论研究

Winkler地基梁中压电能量收集的理论研究阮可心【摘要】为探究压电俘能装置在常见土木工程结构中的应用,文中建立了将片式压电俘能装置贴于Winkler地基梁底部的能量收集理论,研究了输出功率与压电片长度、压电片位置、地基刚度、外接电阻、激励频率间的关系.通过无量纲分析,得到当激励频率接近共振频率时,输出功率达到极大值,地基刚度越大,一阶共振频率越大;压电片位于梁中间,且长度越长时,输出功率较大;让输出功率达到最大的外接电阻与压电片参数和激励频率有关.结合实际结构和材料特征,合理分布压电片、设置外接电阻大小时,压电片俘能功率密度为1.25W/m2左右.【期刊名称】《低温建筑技术》【年(卷),期】2019(041)008【总页数】3页(P99-101)【关键词】Winkler地基梁;组合梁;PZT;环境俘能【作者】阮可心【作者单位】浙江大学建筑工程学院,杭州310058【正文语种】中文【中图分类】TU430 引言压电材料因其力电耦合特性被广泛应用于智能材料和结构。

压电材料在外荷载作用下发生形变，产生电荷积聚。

压电传感器通过输出的电信号反映机械荷载的特征。

压电俘能器收集电荷并储存，用于为低功率电子设备供电。

压电俘能系统已被应用于结构振动[1,2]、生物器官振动[3]、风能、流体、市政设施[4]、交通基础设施[5]等场景的能量收集，作为一种绿色能源，对新能源开发和可持续发展有重要意义。

Winkler地基模型由工程师Winkler在1876年提出，该模型假设地基上某一点的变形仅仅与作用在该点的压力成正比，也就是把地基看成了无限多相互独立的，刚度为K的弹簧。

Winkler地基模型是诸多地基模型假设中最简单的一种，在工程领域有较广泛的应用。

Winkler地基梁是一种常见的土木工程结构，如条形基础、公路路基、铁路工程中的枕木等。

文中在Winkler地基梁底部设置压电俘能装置，基于欧拉-伯努利梁模型对其进行分析，从理论角度评估系统能量收集的有效性，并研究了各个材料参数和几何参数对能量收集效果的影响，为实际应用提供参考。

温度场中非线性弹性地基上矩形薄板的3次超谐共振

温度场中非线性弹性地基上矩形薄板的3次超谐共振
温度场中非线性弹性地基上矩形薄板的3次超谐共振
为了研究温度场中非线性地基上矩形薄板受简谐激励的3次超谐共振问题.应用弹性力学理论建立其动力学方程,应用Galcrkin方法将其转化为非线性振动方程.利用非线性振动的多尺度分析方法求得系统3次超谐共振的近似解,并进行数值计算.分析温度、地基系数、阻尼、几何参数、激励等对系统3次超谐共振的影响.发现随着阻尼的增加,幅频响应曲线的振幅减小;随着温度系数T1的增加,共振曲线的振幅增大;随着温度系数T0的增加,共振曲线的振幅减小.图8,参13.
作者：杨志安赵雪娟 YANG Zhi-an ZHAO Xue-juan 作者单位：唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室,河北唐山,063000 刊名：湖南科技大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2008 23(3) 分类号：O321 关键词：温度场非线性地基矩形薄板多尺度法 3次超谐共振。

Winkler地基上四边自由矩形薄板的3次超谐波共振与奇异性

Winkler地基上四边自由矩形薄板的3次超谐波共振与奇异
性
杨志安;李文兰;席晓燕
【期刊名称】《工程力学》
【年(卷),期】2006(23)10
【摘要】通过Galerkin方法,将Winkler地基上四边自由受横向简谐激励矩形薄板的控制微分方程转化为非线性振动方程。

应用非线性振动的多尺度法,求得了系统满足3次超谐共振情况时的一次近似解以及对应的定常运动,并对其进行数值了计算。

对3次超谐共振定常运动分岔响应方程进行了奇异性分析,得到了开折参数平面的转迁集和分岔图。

揭示了一些新的动力学现象。

【总页数】5页(P41-44)
【关键词】弹性地基薄板;Galerkin方法;多尺度法;非线性振动;奇异性
【作者】杨志安;李文兰;席晓燕
【作者单位】唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室;天津大学图书馆
【正文语种】中文
【中图分类】O327
【相关文献】
1.Winkler地基上四边自由矩形薄板的主共振与奇异性 [J], 杨志安
2.Winkler地基上四边自由矩形薄板的1/3次亚谐共振与混沌分析 [J], 杨志安;范
佳
3.Winkler地基上四边自由矩形薄板的1/3次亚谐波共振 [J], 范佳;杨志安;孟宪举
4.Winkler地基上材料非线性矩形薄板1/3次亚谐共振 [J], 杨志安;韩彦斌
5.Winkler地基上四边自由矩形薄板的亚谐共振与奇异性分析 [J], 杨志安;李文兰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

考虑有限深度土体运动的Winkler地基梁自由振动分析

考虑有限深度土体运动的Winkler地基梁自由振动分析马建军;秦紫果;刘丰军;高笑娟【摘要】利用Winkler地基梁理论,考虑有限深度土体运动的影响,建立了弹性地基梁的线性运动方程.采用分离变量法,求得弹性地基梁的模态构型、固有频率和有阻尼自由振动.通过数值计算和参数分析,揭示了有限深度Winkler地基上固支-自由梁的线性动力学特性,分析了土体质量、地基深度和阻尼等对系统固有频率和线性自由振动响应的影响.研究结果表明:若将有限深度土体运动引入到弹性地基梁的动力学模型,系统的固有频率将显著降低;土体质量和地基深度均抑制阻尼对弹性地基梁动力响应影响的发挥,在一定程度上减慢其动能耗散的速度.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2019(038)006【总页数】6页(P62-66,99)【关键词】弹性地基梁;Winkler模型;土体运动;固有频率;自由振动【作者】马建军;秦紫果;刘丰军;高笑娟【作者单位】河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023;河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023;河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023;河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023【正文语种】中文【中图分类】TU470;TU348弹性地基梁理论在土木工程中应用广泛，适用于条形基础、桩基础等结构的静动力学性能分析。

为满足工程需要，国内外学者在弹性地基梁的建模理论和计算方法方面进行了深入研究，并取得了丰富成果[1-5]。

其中，Winkler地基模型以其概念简洁、计算高效、结果准确等特点，在工程实践中应用最广泛[6-10]。

随着理论研究和工程应用的发展，Winkler地基梁的线性及非线性动力响应研究日益受到重视[11-14]。

然而在已有的研究中，普遍用地基反力来表示Winkler地基对其支承梁的作用。

在进行静力学分析时，这种简化方式是合理的，所得结果精确可信。

但在进行动力学分析时，由于土-结构动力相互作用的影响，一定深度内的地基将与结构共同运动，此时土体运动对其支承梁的动力学特性将产生影响[15-16]。