数学：《正切函数的图像与性质》课件(新人教B教必修4)

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正切函数的图象和性质_课件ppt_新课标高中(必修4)

tan1670 tan1730
y tan x在，上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5

反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π (2)tan()_____tan() > 4 5 ２、求函数 y 3 tan(3x 3 ) 的定义域，值域，单调区间、对称中心坐标及渐近线方程。 0
非奇非偶函数
最小正周期是

3
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3,则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x) 2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
例题分析
例３求函数
y tan 3x 的周期.
解：
因为 tan(3x ) tan 3x,
T 3 形如 y A tan(x ) k 的周期是 T
反馈练习：求下列函数的周期：
即tan3(x+ )=tan3x, f ( x ) f ( x) 3 3
O1
A O
-1
3
2 3

4 3
5 3
2
x
y
1
-4
-3

高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质

k
2
(k
Z
)
例题分析
例３求函数 y tan 3x 的周期.
解：因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?

《正切函数的图象与性质》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

北师大版·统编教材高中数学必修4
第一章·三角函数
正切函数的图象与性质
新课学习
所谓函数的性质包括：
➢定义域 ➢值域 ➢周期性 ➢奇偶性 ➢单调性
新课学习
定义域：
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x k , k Z }
2
新课学习
周期性：
y sin x T 2
y cos x T 2
方法：（1）在
2
,
2
（2）在两边加上 k
内找到相应的范围
新课学习
（1）定义域：{ x | x k , k Z }
2
（2）周期：T
（3）f ( x) tan x, x R，为奇函数
（4）单调性：增区间：
2
k
, k
2
kZ
课后作业
课本38页：实践题
再见
新课学习
正切函数和正切线：
新课学习
正切函数图象： y
3
2
2
3
x
2
2
新课学习
正切函数特征：
1.有无穷多支曲线组成，由直线 x k , k Z
2.在每个分支里是单调递隔增开的；；
2
3.有渐近线； 4.中心对称点( k , 0), k Z；关于原点对称（奇函数）。
2
新课学习
正切函数单调性
在每个分支里是单调递增的。
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
随堂练习
求函数
y
tan
x
2
3
调性。
的定义域、周期性、奇偶性、单
【解】
（1）定义域
x

高中数学必修4《正切函数的性质与图象》课件1

tan( 13 ) tan 2
5
5
又Q 0< < 2 <
45 2
tan( 11 ) tan( 13 )
4
5
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到
y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性
解决。
知识巩固
练习
(1) tan138 与tan143
(2)
tan
画函数 y tan(x的图像），并通过图像讨论其的性质
4
y tan x
y
7 4
3 2
5 4
3 4
2
4
0
4
2
3 4
5 4
3
2
x
动手实践：
函数y tan(x 的性质
）
4
定义域：
值域： R
x
x
R且x
4
k
,
k
Z
周期性： T
奇偶性：
非奇非偶
单调性： ( 3 k , k ), k Z增函数
42
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
4
k
,k
Z
Q
y
tan
2
tk的单 x调增 4 区2间是k
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
3 k x k
4
4
函数的单调增区间是
3
4
k ,
4
k
,
k
Z
变式提高
2、求满足下列式子x的取值范围： y tan x
若tan(x ) 1，则

数学：《正切函数的图像与性质》课件(新人教B教必修4)

Ukl U- I IJ W Ujr®T| 41U 1 口口3Xrjf I I /V MHk JKWn■Aifl IIM J L I I \I 丿I^W慧正切函数的图象和性质4.10正切函数的图像和性质一、引入如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数y=tanx的图象二、探究用正切线作正切函数图象问题1、正切函数是否为周期函数?是周期函数, 是它的一个周期•我们先来作一个周期内的图象。

想一想：先作哪个区间上的图象好呢?为什么?利用正切线画出函数9 的图像:问题2、如何利用正切线画出函数的图像？利用正切线画出函数的图像:4.10正切函数的图像和性质X-I TT正切曲线是由通过点伙7T+ —，0）伙e与y 轴相互平行的〜直线隔开的无穷多殳曲线组成渐进线渐进线-2兀空訂-兀：2 /；2I；5JI正切函数图像關⑴⑵⑶⑷定义域:值域:周期性:奇偶性:7T亠空R奇函数，图象关于原点对称。

(5)单调性：在每一个开区间(6)渐近线方程: 内都是增函数⑺对称中心问题讨论问题：(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么?在每一个开区间内都是增函数。

基础练习1.关于正切函数y = tanx,下列判断不正确的是（B）A是奇函数B在整个定义域上是增函数C在定义域内无最大值和最小值D平行于兀轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等2.函数y = tan（3x）的一个对称中心是（C）A.（彳,o）B.（彳,o）C.（彳,0）D.（-扌,0）y = tantanl67°<tanl73°(2) tan(- ¥ 龙)二 tan f, tan(- y^) = tan- 0< —•4 2 $2 ・•• tan 一 v tan — TC(11、(13例题分析例仁比较下列每组数的大小。

(2)与解:⑴90° <167° <173° <180°上是增函数，JIr 又y = tan 兀在0，—••• tan(——< tan(— - 7r).4 5271\5是增函数丿说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y==tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。

高中数学北师大版必修四正切函数的定义、正切函数的图像与性质 ppt课件(41张)

sin α a 与正弦函数、余弦函数的定义可知 tan α ＝ (比值叫作 b cos α 角 α 的余切函数，记作 y＝ cot α ，其中 α∈ R 且 α≠kπ ， k ∈ Z)．
2．正切线 (1)定义：
在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1， A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边 0)，过点____________
tan（2π －θ）sin（－2π －θ）cos（6π －θ ） 4．化简：＝ cos（θ－ π ）sin（5π ＋θ） tan θ ． ________
tan（－ θ） sin（－ θ） cos（－θ）解析：原式＝（－cos θ ）（－sin θ ）（－tan θ ）（－sin θ ）cos θ ＝ cos θ si(k∈Z) 2 2 在开区间___________________________________ 上都是
增函数 kπ 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是， 0 (k∈ Z) 2
对称性
4.正切函数的诱导公式 tan α (1)tan(2π ＋ α)＝ ____________ (1.16)；
第一章
三角函数
正切函数的定义、正切函数的图像与性
质
1．问题导航 (1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？ π π (2)正切函数的定义域能写成－＋ kπ ，＋ kπ (k∈ Z) 2 2 吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
b a 且角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，那么比值 _________ y＝tan α 叫作角 α 的正切函数，记作 ____________ ，其中 π α∈R，α ≠ ＋kπ ，k∈Z 2 _______________________________________ ．根据正切函数

高中数学北师大版必修4《7.2正切函数的图像与性质》课件

.
值域 R.
单调性在（1 k , 1 k 5）上是增函数； 3 18 3 18
奇偶性非奇非偶函数；
周期性最小正周期是 π . 3
3.解不等式（1）1 tan x 0；
（2）
tan(x ) 3 . 63
答案:（1）
x
k
4
x
k
2
,
k
；
（2）
x
k
3
x
k
2 3
,
k
又y tan x在(0，2)是增函数，
tan tan 2 ，
4
5
tan(11 ) tan(13 ).
4
5
例2.解不等式 tan x 3.
解：(方法一)利用正切线
y
3
T
由图形可知：原不等式的解集为：
x
k
3
, k
2
(k
)
A
0
x
(方法二)利用正切曲线由图形可知：原不等式的解集为:
3 x
2
正切曲线是由被相互平行的直线 x= k, k Z 所隔开的 2
无穷多支曲线组成的.这些直线叫作正切曲线各支的渐进线.
正切函数图像的草图画法：三点两线法.
“三点”:
“两线”:
y
1
3
O
2
2
2
-1
3 2
x
探究点5 正切函数的性质
O
1.定义域 2.值域 3.周期性 4.单调性 5.奇偶性 6.对称性 7.渐近线方程
谢谢大家
作法: (1) 等分
(2) 作正切线，平移 o1
(3) 连线
y
2

高中数学人教B版必修四1.3.2.2《正切函数的图像与性质》ppt同步课件

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，∞)
解析 ∵－π4<x<π4，∴－1<tanx<1，故选B. 答案 B
3．函数f(x)＝ttaann2xx的定义域为( ) A.xx∈R且x≠k4π，k∈Z B.xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z C.xx∈R且x≠kπ＋π4，k∈Z D.xx∈R且x≠kπ－π4，k∈Z
2．正切函数的渐近线
用几何法作正切曲线，也就是用单位圆中的正切线画出正
切曲线．正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展，并
被无穷多个与x轴垂直的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲
线所组成的．这些直线x＝kπ＋
π 2
(k∈Z)为正切曲线的渐近线，
在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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49
谢谢欣赏！
2019/8/29
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50
解析由题意知T＝ωπ ＝56π－π6＝23π， ∴ω＝32，∴y＝Atan32x＋φ. 由32×π6＋φ＝0，得φ＝－4π. 将(0，－3)代入y＝Atan32x－π4，得Atan－4π＝－3，∴A＝3. ∴函数解析式为y＝3tan32x－π4.
规律技巧相邻两交点的距离是正切函数的最小正周期 ωπ .φ的值根据图象的平移，即零点位置的改变来算．
变式训练4 作出函数y＝tan|x|的图象．
解析当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图象即为y＝ tanx的图象不变；根据y＝tan|x|为偶函数，当x<0时，y＝tan|x| 在y轴左侧的图象为y＝tanx在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，即如图所示．

(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件

p 是它的最小正周期.
探究点3 正切函数的图像
作法如下：
y
(1)作直角坐标系,并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆. (2)找横坐标
（把x轴上
到
2
这一段分
成8等份）
4
π 2
O
4
(3)在单位圆右半圆中
作出正切线.
(4)平移. (5)连线.
πx
正切函数图像的简单画法：三点两线法.
“三点”: (0,0),（，1), ( ，1)
正切函数的周期
由于
tan(x k)
sin(x k) cos(x k)
sin x cos x
tan x(k为奇数)，
sin x cos x
tan x(k为偶数).
tan(x k) tan x,其中，x R, x k, k Z.
2
所以 k(k Z, k 0) 是正切函数的周期.
4
4
“两线”: x 和x
2
y2
1
4
3
2
2
O
42
-1
3 2
x
思考：为什么不用五点法? 提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 (k , 0)(k Z )且与 y 轴
2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
3
O
2
探究点4 正切函数的性质
2
函数，记作y＝tanα，
思考1：正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？
提示：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：
tanα＝ sin (aα∈R，α≠kπ+ ，k∈Z).

高一数学必修4正切函数的图象与性质ppt1

2
O
x
2
2
思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？
正切曲线关于点 (k p , 0)对称. 2
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？
理论迁移
例1 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间. 2
例2 试比较tan8 和tan( 28 )的
大小.

例3 若 1 tan x 3，求x 的取值范围.
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 (k p , 0对) 称, 正切函数的性质应结合图象去2 理解和记忆.
2

都是增函数
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，，正正切函数的值域是什么?
y
T2
正切函数的值域是R.
O
O
Ax
T1
知识探究（一）：正切函数的图象
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（一）：正切函数的性质

高中数学正切函数图像性质课件新人教B版必修4

x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
f (x 2 )
周期T 2
周期T | |
例5.画出函数y=| tanx| 的图象，指出它的单调区间，奇偶性，周期。
练习：
1.函数y=tan (2x+ )的周期是 ( C )
6
(A) π
(B) 2π
(C) (D)
2
4
2.已知a=tan1, b=tan2, c=tan3, 则a、b、c的大
作法如下：
Y
➢作直角坐标系，并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆。
找横坐标（把x轴上
到这一段分成8
2
等份）
把单位圆右半圆中作出正切线。
O
2
X
找交叉点。
➢连线。
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右
扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且的图象，称“正切曲线”
x
2
k
k
z
y
0
x
正切函数的性质
2
2
递增，无减区间。
例1、比较
tan 13
4
与
tan
175的大小。Fra bibliotek解：tan
13
4
tan
4
tan
17
5
tan
2
5
又 0 2 ,
45
y
tan
x在
0,
2
内单调递增，
tan tan 2 , tan tan 2 ,
4
5
4
5
即
tan
13 4
tan

高中数学新人教B版必修4 正切函数的图象与性质

1．3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时正切函数的图象与性质(1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的图象与性质[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋5π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________．答案：⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1[典例] 求下列函数的定义域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得， tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[活学活用]求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)对称性的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2π D ．2 解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间．解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小．解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求值域或最值3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]．所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．[注意] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．层级一学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．若函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为( ) A ．(0,1] B ．[－1,0) C ．(－∞，1]D ．(－∞，－1]解析：选B 由题意知其周期T ≥π，即π|ω|≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是___________________________________________．解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得．答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是______________________________________．解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )．∴f (x )的周期是π2. (2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称，∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)，∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)．令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3层级二应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．－33C ．－1 D. 3 解析：选A 由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ4＝4，即f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0. 答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]．当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z . T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。

人教B版必修四高中数学第一章 1.3.2余弦、正切函数的图象与性质教学课件(共46张PPT)

单调性：
在
-
π 2
+
2kπ,
π 2
+
2kπ
是单调递增的；
在
π 2
+
2kπ,
3π 2
+
2kπ是单调递减的；
值域：y ? [ 1,1].
2、 sin(x 2 ) sin x
反映了函数的周期性；
sin(x) sin x
反映了函数的奇偶性.
3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象.
➢ 过程与方法
借助单位圆中的三角函数线能画出 y=tanx的图象，借助图象理解正切函数在
( , )上的性质（如单调性、周期性、最
大值2和最2 小值、图象与x轴的交点等），并
能解决一些简单问题.
➢ 情感态度与价值观
亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.
教学重难点
➢ 重点：
解：Q 90o＜167o＜173o＜180o 又 Q y = tanx, 在 (90o , 270o )上是增函数
\ tan167o < tan173o
正切函数的主要性质总结如下:
定义域值域
x
x
2
k
,
k
Z
实数集Leabharlann 周期性T 奇偶性单调性
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（- π + kπ，π + kπ），k Z内为增函数
提问：类比研究正弦和余弦函数的方法，从

人教课标版高中数学必修4《正切函数的性质与图象》教学课件1

α在第二象限时：
正弦线: sinα=M’P’>0 余弦线: cosα=0M’<0 正切线：tanα=AT’ <0
作法如下：
Y
➢作直角坐标系，并在直
角坐标系y轴左侧作单位
圆。
➢找横坐标（把x轴
上到这一段分成28等份）
O
X
➢把单位圆右半圆中
2
作出正切线。
➢找交叉点。
➢连线。
32Biblioteka 232据正切函数的图象验证正切函数的性质
2
(2)变式:y 3 tan( 1 x );
24
解 : f (x) 3tan( 1 x )
3tan(21 x 4 )
24
3tan( 1 x 2 )
24
3tan( 1 x )
24
f (x 2 ) 周期T 2
周期T | |
（1）正切函数的图象
（2）正切函数的性质：
➢定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
➢值域：全体实数R
➢周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=
➢奇偶性：奇函数， k, k ,k Z
2 2
➢单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
➢对称中心：
k 2
,
0
k
Z
x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 ,2k ) k Z

人教课标版高中数学必修4《正切函数的图象与性质》名师课件

（1）
；（2）
．
【思路点拨】先求不等式在
内的解集，再根据正
切函数的周期性求解出所有范围．
【解题过程】
（1）由题意，
，在
内，
，
∴
，又因为y=tan x是周期为π的周期函数，所以函数的
定义域为
．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
例2．求函数的定义域．
（1）
；（2）
．
【思路点拨】先求不等式在
内的解集，再根据正
对称，
且关于渐近线与x轴交点
对称，但正切曲线不关于任何直
线对称．即，正切曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称
中心为
．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三：应用例1．求函数
的定义域、周期和单调区间．
【思路点拨】把
看作整体，利用正切函数的定义
域、周期和单调性知识求解．
【解题过程】
令 x k , k Z，得 x 1 2k,k Z，
2 32
2
所以函数
的定义域 {x | x 1 2k,k Z} ．
2
周期 T 2．
令 - k＜ x ＜ k ,k Z ，得 5 2k＜x＜1 2k,k Z ，
2
2
所以函数
32
2
的单调增区间为
(
5
2 2k,
1
2k),
k
Z
22
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
例2．求函数的定义域．
，能得出什么样的结论？
正切函数y=tan x为奇函数，函数图象关于原点对称．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
（4）单调性由正切线的变化规律，正切函数具有怎样的单调性？

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