2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题解析

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2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．已知集合1|244x
A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10
B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩
⎭,，则A B =I （ ）
A ．[]22-,
B ．(1,)+∞
C ．(]1,2-
D ．(](1)2-∞-⋃+∞,,
解：由题,不等式
1
244
x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且1
10
x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-, 故选:C
2．设i 是虚数单位，若复数5i
2i
()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3
C ．1
D ．1-
解：由题,()()()
()5252112222i i i
a a a i a i i i i -+
=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D
3．“2a <”是“1
0,x a x x
∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解：若1
0,x a x x ∀>≤+
,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝
⎭, 因为12x x +
≥,当且仅当1
x x
=时等号成立, 所以2a ≤,
因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤, 所以“2a <”是“1
0,x a x x
∀>≤+”的充分不必要条件, 故选:A
4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④
B ．①②
C ．②④
D ．①③④
解：由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为
8082
812
+=,乙同学成绩的中位数为8788
87.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1
=69+78+87+88+92+96=856
x ⨯乙,则
x x <甲乙,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A
5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）
A ．
π90
B ．
π180
C ．
π270
D ．
π360
答案：A
设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为
360n
︒
,则每个等腰三角形的面积为
21360sin
2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为2
21360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n n
π
︒=
,当180n =时即可为所求. 解：由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n
︒
, 所以每个等腰三角形的面积为
21360sin
2r n ︒
, 所以圆的面积为2
21360sin
2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090
ππ
︒=︒==, 故选:A
6．函数()2
2x
f x a x
=-
-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,3
B ．()1,2
C ．()0,3
D ．()0,2
解：由题,显然函数()2
2x
f x a x
=-
-在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a , 故选:C 7．已知圆
截直线
所得线段的长度是
，则圆与圆
的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
答案：B 化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选B
8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为
4
3
时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）
A ．
4π3
B 82
π C ．
32π3
D 642
解：由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()1122211211
3333
B AC
C A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=
⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为4
3
, 所以2AB =,
所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径22
1222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭所以外接球的体积34823V r π==, 二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2ln(193)y x x =+ B ．e e x x y -=+ C ．21y x =+
D ．cos 3y x =+
解：由题,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R , 对于选项A,()()))
22ln
193ln
1930f x f x x x x x -+=+++=,则
()2ln(193)f x x x =+为奇函数,故A 不符合题意；
对于选项B,()()x
x f x e
e f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,
当(0,)x ∈+∞时,设()1x
t e
t =>,则1
y t t
=+
,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e x
x
f x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意； 对于选项C,()()()2
211f x x x f x -=-+=+=,即()2
1f x x =+为偶函数,由二次函数
性质可知对称轴为0x =,则()2
1f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；
对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 故选:BC
10．已知2
((0)n ax a
>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的
各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B ．展开式中第6项的系数最大 C ．展开式中存在常数项 D ．展开式中含15x 项的系数为45
解：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()10
11024a +=,所以1a =,
所以二项式为10
10
1
222
x x x
-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭
,
则二项式系数和为1021024=,则奇数项的二项式系数和为
1
10245122
⨯=,故A 错误； 由10n =可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与1
2x -的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确；
若展开式中存在常数项,由通项()
12102
1
10
r r r r T C x
x
--+=可得()1
21002
r r --
=,解得8r =,故C 正确； 由通项()
12102
1
10
r r r r T
C x
x
--+=可得()1210152
r r --
=,解得2r =,所以系数为2
10
45C =,故D 正确, 故选: BCD
11．在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3
sin 10
CDB ∠=
B ．AB
C V 的面积为8
C ．ABC V 的周长为8+
D ．ABC V 为钝角三角形
解：因为5
cos CDB ∠=-
,所以225sin 1cos 5
CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD V 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =
,所以1125sin 353225
DBC S BD CD CDB =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V , 所以35
83
ABC DBC S S +=
=V V ,故B 正确； 因为ADC CDB π∠=-∠,所以()5cos cos cos 5
ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=, 在ADC V 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABC C AB AC BC =++=+++=+V ,故C 正确；
因为8AB =为最大边,所以2223
cos 025
BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以
ABC V 为钝角三角形,故D 正确.
故选:BCD
12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，
//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列
说法正确的是（ ）
A ．若2P
B PE =，则//EF 平面PAC
B ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍
C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形
D ．平面BCP ⊥平面ACE
解：对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,
因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=,
因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为
()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,11
21122
ABC S AB AD =⋅=⨯⨯=V ,所以3
2
E ABCD E ABC V V --=,
所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；
对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC V ,PCD V 为直角三角形,
又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD V 为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,
在Rt ACD V 中,AC =
=
在直角梯形ABCD 中,BC =
=,
所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD
三、填空题
13．已知向量(2,)a m =v
，(1,2)b =-v ，且a b ⊥v v ，则实数m 的值是________．
解：解：∵a b ⊥r
r
； ∴220a b m ⋅=-=r
r ； ∴m ＝1． 故答案为：1．
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．
解：由题意，可知当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.
又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,1
43,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩. 15．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形
的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.
解：由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,
当122F F PF =时,2c =
,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式
两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<（舍）
；
当121F F PF =时,2c =
由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式
两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =
故答案为 16．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()1
21x e f x f x -<-的
解集为__________． 解：设F （x ）()x
f x e
=
，
则F ′（x ）()()
'x
f x f x e
-=
，
∵()()f x f x '>，
∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()1
21x e
f x f x -<-
∴
()()21
21x
x f x f x e
e
--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）
∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解为()1,+∞
故答案为：()1,+∞。