2019第06讲 一元二次方程及其应用精品教育.doc
中考数学复习：一元二次方程及其应用 课件
面积问题 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__2_x_)_(_b_－__2_x_) _；
2.如图②，设阴影道路的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__x_)_(b_－__x_)__；3.如图③，
b(a b)
围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________
x1
＝x121成立，理由如下：∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2
＝k2＋k，∴ ＋ ＝1，即 ＝1，∴
＝1，解得k1＝
，k2
＝ 1 1；
x1 x2 2k 1
k2 k
x1 x2 x1 x2
1 5
2
1 5 2
(3)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝6，求k的值；
由(2)得，x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋k，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2 ＋1＝6，∴k2＋k＋2k＋1＋1＝6，即k2＋3k－4＝0，解得k1＝1，k2＝－ 4；
x32
x42
x32
x42
11.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入将
达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年
平均增长率约为( C )A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
思维导图
一元二次方程 的概念
一元二次方程 的一般形式 一元二次方程
的解法
一元二次方程 及其解法
概念 根的情况与 判别式的关系
根与系数的关系
一元二次方程根 的判别式及根与
系数的关系
一元二次方程的应用优秀课件
x( 20 x) 30 即 x2-10x+30=0. 2
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 41 30 20 0,
∴此方程无解, ∴用20 cm长的铁丝不能折成面积为30 cm2的矩形.
典型例题
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32 m,宽20 m的长方 形场地上修筑若干条同样宽的道路,余下部分作草坪,并请 全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如 图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是 多少时图(1),(2)的草坪面积为540m2?来自答:应围成一个边长为9米的正方形.
典型例题
例4 某林场计划修一条长750米，断面为等腰梯形的渠道， 断面面积为1.6平方米，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠 深多0.4米．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48立方米，需要多少天才能把 这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x米， 则上口宽为（x+2）米， 渠底宽为（x+0.4）米，那么， 根据梯形的面积公式便可建模．
(1)
(2)
【解析】(1)如图，设道路的宽
为x m，则
(32 2x)(20 2x) 540
化简得， (1)
x2 26x 25 0,
(x 25)(x 1) 0, x1 25, x2 1,
其中的 x=25超出了原长方形场地的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1 m.
(2)分析：此题的相等关系是长方 形面积减去道路面积,等于540m2.
所以正确的方程是 32 20 32x 20x x2 540,
化简得， x2 52x 100 0,
x1 2, x2 50,
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
《一元二次方程的应用》参考课件资料重点
0.8 x1 0.018 1.8%; x2 2.518 0(不合题意,舍去).
答 : 这种储蓄的年利率约是1.8%.
• 列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
• 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关 系:
b （a 1 x）2其中a表示基数,x表示增长
解 : 设每月平均增长率为x, 根据题意, 得
5(1 x)2 11.25.
解这个方程 : (1 x)2 2.25,
(1 x) 1.5, x 11.5,
x1 11.5 50%; x2 11.5 0(不合题意,舍去). 答 : 每月的平均增长率为50%.
用一元二次方程解应用题
4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次 降价百分之几?
5.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期 储蓄, 到期后自动转存. 今年到期扣除利息税( 利息税为利息的20%), 共取得5145元. 求这种 储蓄的年利率. (精确到0.1%)
解 : 设这种储蓄的年利率为x, 根据题意, 得
5000(1 80x%)2 5145.
解这个方程 : (1 0.8x)2 1.029,
解 : 设每次平均降价的百分数为x, 根据题意, 得
(1 x)2 1 . 2
解这个方程 : (1 x) 2 , 2
x 1 2 , 2
x1 1
2 2
29.29%; x2
1
2 1(不合题意,舍去). 2
答 : 每次平均降价的百分数约为29.29%.
用一元二次方程解应用题
3.某工厂一月份的产值是5万元, 三月份的产值 是11.25万元, 求月平均增长率是多少?
一元二次方程的应用课件
02
一元二次方程的应用场景
几何问题
直角三角形问题
在直角三角形中，常常需要利用一元 二次方程来求解某一边的长度。例如 ，已知直角三角形的两个直角边长度 ，求斜边的长度。
勾股定理问题
勾股定理是一元二次方程在几何中应 用的一个典型例子。已知直角三角形 的两条直角边，我们可以利用勾股定 理来求解斜边的长度。
检验解的有效性
解出方程后需要进行检验，确保解是 有效的，避免出现不符合原方程的解 。
解法的拓展与提高
拓展解法的应用范围
通过学习更多的一元二次方程的解法，可以拓展解法的应用范围 ，解决更多的问题。
提高计算能力
通过不断的练习和总结，可以提高计算能力，减少计算失误，提高 解题效率。
掌握多种解法
掌握多种一元二次方程的解法，可以更加灵活地解决问题，根据实 际情况选择最合适的解法。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
详细描述
一元二次方程的应用ppt 课件
• 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的应用场景 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程的实际应用案例 • 一元二次方程的解法总结与反思
01
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式包含了三个项：ax^2、bx 和 c，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。这个形式是所有一元二次方程的基础。
《一元二次方程及应用》讲义
一元二次方程及应用【基础知识回顾】一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
注意：判断某个方程是否为一元二次方程，必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2 三个条件。
特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数。
【提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A．2018B．2008C．2014D．2012点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．考点二：一元二次方程的解法例2 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1B．2C．1和2D．-1和2考点三：根的判别式的运用例5 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．思路分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC 时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．考点四：一元二次方程的应用2．一元二次方程x2-3x=0的根是．3．解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．4．关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0B．x2+1=0C．x2-2x+1=0D．x2+2x+3=06．若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.257．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠1。
中考数学基础复习第6课一元二次方程及其应用课件
【解析】(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件; (2)设此商品每件应降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得:x1=10,x2=20.∵要求 每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,解得:x=10. 答:此商品每件降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 反思:重点是寻找关键词,利用等量关系列出方程.
方程根的情况.
考点3一元二次方程的实际应用 例3.(202X·山西)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全 等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的 有盖的长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
【考点剖析】
考点1一元二次方程及其解法
例1.(202X·无锡)解方程:x2+x-1=0.
【解析】∵a=1,b=1,c=-1,
∴Δ=12-4×1×(-1)=5,
x= 1 5 ，
21
∴x1= 1 ,5x2=
2
1 5 . 2
变式1.(202X·齐齐哈尔)解方程:x2-5x+6=0. 【解析】∵x2-5x+6=0, ∴(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0, 解得x1=2,x2=3.
【学后检测】 1.用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是
(A)
A.(x-3)2=17
B.(x-3)2=14
C.(x-6)2=44
D.(x-3)2=1
2.(202X·怀化)已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为
一元二次方程及其应用课件
2023-11-09•一元二次方程的基本概念•一元二次方程的解法•一元二次方程的应用•一元二次方程的拓展知识•一元二次方程的练习题及解答目录01一元二次方程的基本概念形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为系数且a≠0是一个一元二次方程的基本定义，明确地指出了方程的形式和条件。
一元二次方程的定义一元二次方程的要素常数项c判别式Δ=b^2-4ac根的性质：当Δ>0时，方程有两个实根；当Δ=0时，方程有一个实根；当Δ<0时，方程没有实根。
根的解x1, x2=((-b)±√(Δ))/(2a)一次项系数b和二次项系数a02一元二次方程的解法公式法总结词公式法是一种直接套用公式求解一元二次方程的方法。
详细描述公式法是将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)进行整理，将其化为x^2 + px + q = 0 (p = b/a, q = c/a)的形式，然后利用求根公式x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)求解。
总结词因式分解法是将一元二次方程转化为两个一次方程，然后求解两个一次方程的根的方法。
详细描述因式分解法是根据二次项和一次项的系数，将方程进行因式分解，将原方程转化为两个一次方程，然后求解这两个一次方程的根，即可得到原方程的解。
因式分解法配方法总结词配方法是通过配方将一元二次方程转化为一个完全平方，然后利用直接开平方法求解方程的根的方法。
详细描述配方法是将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)进行配方，将其化为x^2 + px + q =0 (p = b/2a, q = (4ac - b^2) / 4a)的形式，然后利用直接开平方法求解方程的根。
03一元二次方程的应用总结词几何图形问题是一元二次方程应用中非常常见的一类问题，主要涉及到面积、体积、周长等几何量的计算。
一元二次方程及其应用-【名师经典教学设计课件】
第二十一章一元二次方程21．2解一元二次方程21.2.2 公式法教学设计【知识网络】《感恩父母孝敬长辈》综合实践活动案例一、主题提出：俗话说：“父爱如山，母爱如水。
”世界上最深厚的爱莫过于父爱，最伟大的莫过于母爱。
这学期，我们写过一篇作文《谈谈父母的爱》。
有的学生竟然说：“感受不到爸爸妈妈爱自己。
”这句话对我震动很大，天底下那有不爱孩子的父母？现在都是独身子女，都在温室里长大，养尊处优的生活环境使他们没有感受爱，不会感恩。
我想通过这次语文综合实践活动课的开展，让每个孩子都能感受到父爱、母爱的伟大，从而学会理解父母，尊重父母，孝敬长辈，进而增进亲子间的感情，感受亲情的温馨，一同把最珍贵的孝心及感恩行动撒播在家庭和校园的每个角落！为此，我们五（3）班全体师生决定开展以《感恩父母孝敬长辈》为主题的综合实践活动。
二、活动目标：1、知识与技能：通过调查、采访等，了解感恩父母、孝敬长辈的故事，引导孩子懂得滴水之恩，涌泉相报的真正内涵。
通过学写邀请信、学唱感恩歌曲来感恩父母、孝敬长辈，做到有价值的研究。
2、过程与方法：通过对感恩父母、孝敬长辈进行调查了解，学习一些社会实践调查的方法，提高孩子发现问题、分析问题、解决问题的能力。
通过设计并制作感恩心意卡，培养动手实践能力。
3、情感态度与价值观：（1）在活动中感受与人沟通，合作的乐趣，体验成功的乐趣；（2）感受父母长辈对自己的关爱，激发学生感恩父母、孝敬长辈的激情。
三、重难点分析：重点：通过调查、采访等，了解感恩父母、孝敬长辈的故事及意义。
难点：通过整理调查资料提出有价值的建议。
四、活动准备：1、调查访问所需用品，如记录本、照相机等等，以及进行调查问卷，设计方案，摄影技术等方面的培训。
2、上网查询或查阅书籍查阅父亲节、母亲节的由来；了解一些关于父爱母爱的感人故事，收集生活中的所见所闻或亲身感受；开展一周的感恩活动，撰写感恩活动体验日记；收集朗诵感恩的诗歌等。
3、每组要准备现场制作心意卡所需的彩色卡纸、几段最想对爸爸妈妈说的心里话和最想对爸爸妈妈唱的歌等。
应用一元二次方程资料课件
在电磁学中，一元二次方程被用来描述电场和磁场的行为。
量子力学
在量子力学中，一元二次方程被用来描述粒子的能量和波函数。
04
CATALOGUE
一元二次方程的拓展知识
一元高次方程的概念
一元高次方程的定义
一元高次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为n次的方程。其中n 大于等于3。
一元高次方程的标准形式
使用说明
在使用公式法时，需要注意判 别式的定义域，以及根号中的
数值必须是非负数。
因式分解法
总结词
详细描述
通过因式分解将一元二次方程转化为两个 一次方程，从而求解。
因式分解法是一种基于因式分解的一元二 次方程求解方法，通过因式分解将一元二 次方程转化为两个一次方程，从而求解。
公式示例
使用说明
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，通过因 式分解可以得到 $(x + m)(x + n) = 0$，进 而得到 $x = -m$ 或 $x = -n$。
牛顿迭代法
通过牛顿迭代公式，逐步逼近一元高次方程的解 。
一元高次方程的应用举例
求解实际问题中的一元高次方程
01
例如，求解一个工程问题的数学模型，该模型包含一个一元高
次方程。
在物理学中的应用
02
例如，在研究物体的运动时，需要求解一个一元高次方程来描
述物体的轨迹。
在经济学中的应用
03
例如，在研究商品价格与需求量的关系时，需要求解一个一元
配方法例题解析
总结词
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过配方将二 次方程转化为一次方程，从而求解出方程的根。
详细描述
一元二次方程的应用课件
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
38
中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
应用一元二次方程课件
能够解决实际问题， 如面积、体积、速度 等问题。
掌握求解一元二次方 程的方法，如公式法 和因式分解法。
课程计划
01
02
03
04第Leabharlann 部分一元二次方程的概念和一般形 式（10分钟）
第二部分
求解一元二次方程的方法（ 30分钟）
第三部分
解决实际问题（40分钟）
第四部分
复习与总结（10分钟）
在日常生活中，常常会遇到一些与一元二次方程相关的问题，如房屋按揭贷款、车辆保险等。这些情况可以通过 一元二次方程来描述和解决。
详细描述
在房屋按揭贷款中，需要考虑贷款金额、利率、还款时间和每月还款金额等因素。而在车辆保险中，需要考虑保 险金额、保险费率、赔偿金额和免赔金额等因素。这些情况都可以通过一元二次方程来描述和解决。
一元二次方程与几何图形的联系
总结词：面积问题 总结词：坐标系
详细描述：一元二次方程与几何图形之间的联系在面积 问题上尤为突出，如三角形、矩形等面积的计算。
详细描述：在坐标系中，一元二次方程可以表示为抛物 线，通过抛物线的性质可以解决一些几何问题。
利用一元二次方程解决与物理相关的实际问题
01 02 03 04
总结词
在增长率问题中，常常需要计算增长率以及预测未来的数据 。这些情况可以通过一元二次方程来描述和解决。
详细描述
在计算增长率时，需要考虑上一期的数据和本期数据。而在 预测未来的数据时，需要考虑历史数据、增长率等因素。这 些情况都可以通过一元二次方程来描述和解决。
利用一元二次方程解决生活中的问题
总结词
总结词：运动问题
详细描述：利用一元二次方程可以解决一些运动问题，如物体运动的 路程、速度和时间的关系等。
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第6讲一元二次方程及其应用
一、选择题
1．(2019·上海)下列方程中，没有实数根的是(D)
A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0
2．(2019·威海)若1－3是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(A) A．－2 B．43－2
C．3－ 3 D．1＋ 3
3．(2019·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(A)
A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3
C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3
4．(2019·河池)若关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值为(A)
A．－1 B．1 C．－4 D．4 5．(2019·杭州)某景点的参观人数逐年增加，据统计，2019年为10.8万人次，2019年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则(C)
A．10.8(1＋x)＝16.8
B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8
D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
二、填空题
6．(2019·泰安)关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k
的取值范围为k＞5 4.
7．(2019·大连)关于x的方程x2＋2x＋c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1.
8．(2019·巴中)已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则a2＋2ab＋b2的值为1.
9．(2019·镇江)已知实数m满足m2－3m＋1＝0，则代数式m2＋
19
m2＋2
的值等于
9 .
10．(2019·黑龙江)原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 10% .
三、解答题
11．(1)解方程：4x 2－4x ＋1＝0.
解：原方程可化为(2x －1)2＝0，
∴2x －1＝0，
解得x 1＝x 2＝12.
(2)解方程：x (x ＋5)＝2x ＋10.
解：原方程可化为x (x ＋5)＝2(x ＋5)，
移项，得x (x ＋5)－2(x ＋5)＝0，
因式分解，得(x －2)(x ＋5)＝0，
∴x －2＝0或x ＋5＝0，
解得x 1＝2，x 2＝－5.
12．(2019·北京)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围.
(1)证明：Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：由x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0可得，
(x －2)(x －k －1)＝0，
解得x 1＝2，x 2＝k ＋1.
∵方程有一根小于1，
∴k ＋1＜1，解得k ＜0.
即k 的取值范围为k ＜0.
一、选择题
1．(2019·荆州)规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2＋2x－8＝0是倍根方程；
②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；
③若关于x的方程ax2－6ax＋c＝0(a≠0)是倍根方程，则抛物线y＝ax2－6ax ＋c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0)；
④若点(m，n)在反比例函数y＝4
x的图象上，则关于x的方程mx
2＋5x＋n＝0
是倍根方程．
上述结论中正确的有(C)
A．①②B．③④
C．②③D．②④
2．(2019·潍坊)定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，
[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝1
2x
2的解为(A)
A．0或 2 B．0或2
C．1或－ 2 D.2或－ 2
3．(2019·白银)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x2＝570
二、填空题
4．(2019·白银)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1.
5．(2019·内江)若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2 017＝－2 020. 6．(2019·岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2.
三、解答题
7．专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每
月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元(50＜x＜75)，专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)专卖店计划下月销售此种礼盒获得8 000元的利润，每盒的售价应为多少
元？
(3)专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10 000元吗？说明理由．
解：(1)根据题意，得y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000；
(2)由题意，得y＝8 000，
即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000，
化简，得x2－140x＋4 800＝0，
解得x1＝60，x2＝80(不符合题意，舍去)．
答：每盒的售价应为60元；
(3)不能，理由如下：
当y＝10 000时，
得－10x2＋1 400x－40 000＝10 000，
化简，得x2－140x＋5 000＝0.
∵Δ＝(－140)2－4×1×5 000＝－400＜0，
∴原方程无实数解，
∴专卖店每月销售此种礼盒的利润不能达到10 000元．
8．(2019·盐城)某商店在2019年至2019年期间销售一种礼盒.2019年，该商店用
3 500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年，这种礼盒的进价比2019年
下降了11元/盒，该商店用2 400元购进了与2019年相同数量的礼盒，也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
(1)2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多
少？
解：(1)设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2019年这种礼盒的进价为(x
－11)元/盒．
根据题意，得3 500
x＝
2 400
x－11
，
解得x＝35.
经检验，x＝35是原方程的解．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
(2)设年增长率为a，
这种礼盒2019年的销售量为3 500÷35＝100.
根据题意，得(60－35)×100(1＋a)2＝(60－35＋11)×100，解得a＝0.2＝20%或a＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：年增长率为20%.。