函数的单调性(公开课课件)很赞

y
f (x2)
图象在区间D逐渐上升
f (x1)
区间D内随着x的增大，y也增大
22
对区间D内 任意 x1，x2 ，
1
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
0 1 2 x1
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) <
1
x
-2 -1 O 1 2
1.(-∞,0]上从左至右图象 下降
当x增大时f(x)随着 减小
2.(0,+∞)上从左至右图象上升，
当x增大时f(x)随着增大 4
(1) f (x) x1 (2) f (x)y x2
y
4
1
x
o
x
-2 -1 1 2
思考2：通过上面的观察，如何用图象上动O点P（x，y）
的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？
函数的这种性质称为函数的单调性
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下5降。
思考3：如何用数学符号语言定义函 数所具有的这种性质？
6
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案1：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
函数，D称为f(x)的单调增 区间.
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
如果函数 y =f(x)在区间D单是调区单间调增函数或单调减函 数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。11
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数； y
从左至右图象是在逐渐下降 o
12
3
t
的。
函数的单调性
3
思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当
自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？
(1) f (x) x1 (2) f (x) x2
y
y
4
o
x
1.从左至右图象—上——升— 2.在区间 (-∞, +∞)上，
随着x的增大，f(x)的值
随着
增大
————
对区间D内 任意 x1，x2 ，
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)
0
x1x2 x
方案1：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案2:(0,+∞ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。 方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2 且x1<x2时，都有f(x1)<f(x92)
7
方案二：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
8
y
f (x2) f (x1)
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
函数？
y
3 y f (x)
2
-3 -2 -1 1
-5 -4
-1 O 1 2 3 4 5 x
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况13
量y
(百分比)
以上数据表明，记忆保留量y是
y
100
时间t的函数. 艾宾浩斯根据这
80
60
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
40
20
斯遗忘曲线”,如图.
o 1 2 32 t
思考1:观察“艾宾浩斯遗忘 y 曲线”，你能发现什么规
律？
100
80
思考2:我们发现随着时间t 60
的增加，记忆保留量y在不 40
断减少；从图象上来看， 20
14
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
15
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
= 3（x1-x2）
f(x2 )，
义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数，D称为 f (x)的单调
增区间. 10
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
1.3.1 函数的单调性
第一课时
1
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
测试时间 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个
t 忆完 钟后 钟后 小时 后 后 后 月后
毕
后
记忆保留 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
（2） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则 函数 f (x)在R上是增函数；
o
y
f(2)
y x2
x
f(1)
O 1 2x 12
例1. 如图是定义在闭区间－5,5]上的函数 y
= f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间,
以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减
如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
• 练一练
根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数是增函数还是减函数.
y
4 3
y f (x)
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；
在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.