201503惠州一模理科数学试题及答案
数学理卷·2015届广东省惠州市第一中学(惠州市)高三第一次调研考试修改
惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科） 【试卷综评】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。
整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。
整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ）.A 21-.B i21 .C 21.D i 21-【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【答案解析】C 解析 ：解：化简得iz 2121+=，则虚部为21，故选C .【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可. 2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3 .B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 ：解：已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C . 【思路点拨】{}|||1,A y y x x R ==- 指的是函数值域，将绝对值函数数形结合求值域，在验证各答案.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为( ).A 15 .B 20 .C 25.D 30【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B .【思路点拨】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值. 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18 .B 36 .C 54.D 72【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D .【思路点拨】先应用等差数列的性质得8154a a a a +=+，再应用等差数列求和公式1()2n n n a a S +=求和.5．在二项式52)1(x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） .A 10 .B 10- .C 5- .D 20【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析 ：解：由二项式定理可知，展开式的通项为rr r x C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A .【思路点拨】先由二项式定理得通项r r r x C 3105)1(--，再根据未知量次数建立等式4310=-r 得2=r ，将r 值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.A 30 .B 12 .C 24 .D4【知识点】由三视图求面积、体积．【答案解析】C 解析 ：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C .【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） 3 2 4 3 第6题图.A 24π .B π2 .C 21.D 22π【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A .【思路点拨】利用积分找出满足题意的图形的面积与边长为2p的正方形的面积的比值即可.8．已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它θ=，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r=+)(（ ）.A 34 .B 3 .C 6.D 32【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 ：解：由题意()(1,)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,u u v <+>=，得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯=D ..【思路点拨】先求v ，再求u v +，数形结合求sin q ，最后套“向量积”的长度公式即可. 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】),32(+∞解析 ：解：由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分，列式直接可求得.10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】2213y x -=解析 ：解：抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a ==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -=.【思路点拨】据已知求a ，由离心率为2求c ，再由222c a b =+求b ，从而得到方程. 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个. 【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有：33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个. 【思路点拨】本题为有限制条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】3 解析 ：解：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3. 【思路点拨】先由约束条件画可行域，再数形结合平移目标函数直线系得最优解，最后代入目标函数求值即可.13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【答案解析】(1,)-+∞解析 ：解：设F x f x 2x 4=-+（）（）（）， 则F 1f 124220-=---+=-=（）（）（），又对任意R x ∈，2)('>x f ，所以F x f x 20??（）（）＞，即F （x ）在R 上单调递增，则F （x ）＞0的解集为（-1，+∞），即f （x ）＞2x+4的解集为（-1，+∞）．故答案为：（-1，+∞）【思路点拨】构建函数F x f x 2x 4=-+（）（）（），由f （-1）=2得出F （-1）的值，求出F（x ）的导函数，根据2)('>x f ，得到F （x ）在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到F （x ）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
惠州市高三4月模拟数学理试卷(含解析).docx
惠州市2015届高三模拟考试数 学 试 题 （理科） 2015.04本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：锥柱体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y b x =-⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( ) A ．A B ⊇ B ．A B = C ．A B ⊆ D ．A B φ=2．已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．23．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 4．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 5．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A ．3B ．7C ．19D ．23 6．下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”． 7．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163 B ．6 C ．203D ．6 8．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设'()f x 是函数)(x f y =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案
2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。
广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学(理)试题Word版含答案
广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学理试题 2015.1本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{|B x y ==，则A B =( )．A.{}|01x x ≤≤B.{}|0x x ≥C.{}|11x x -≤≤D.∅ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为( )． A.xy 1=B.x y lg =C.x y cos =D.2x y = 3．“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4．设双曲线22221x y a b-=的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的离心率为( )．B.32 5．空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )． A.若m α⊥，m n ⊥，则//n α B.若//m α，//n α，则//m n C.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n D.若m α⊂，//n α，则//m n 6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．A.840B.720C.600D.307．数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a ==984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.99 8．在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：(1)若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q的最大值为3-； (2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为； (3)若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是( )．A. (1) (2) (3)B. (2)C. (3)D. (2) (3)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．已知(1,2)a =，(0,1)b =，(,2)c k =-，若(2)a b c +⊥，则实数k =______． 11．已知复数z a i =-⋅ (R a ∈)，若i z 23212-=，则实数a 的值为__________． 12．已知x R ∀∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，则实数a 的取值范围是__________．13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有230PA PB PC ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则这粒黄豆落在△PBC 内的概率为__________． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。
【数学】广东省惠州市第一中学2015届高三第一次模拟考试(理)
惠州市2015届高三模拟考试（理科）试卷综述：本次试卷考查的范围是三角函数和数列。
试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。
整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。
参考公式：锥柱体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高．用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合，，则 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】集合间的关系A1 【答案】A【解析】由集合的包含关系可知，故选A ． 【思路点拨】由集合的包含关系直接做出判断即可.2．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】复数的乘除运算L4 【答案】B【解析】，所以，故选B ．【思路点拨】先把复数化简,再求出b 的之即可.3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )13V Sh=S h 1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑a y b x =-⋅{|01,}A x x x x R =<>∈或{}2,B x x x R =>∈A B ⊇A B =A B ⊆A B φ=A B ⊇b i 21b ii +⋅-b =22(1)(2)(2)122b i b i i b b ii +⋅+⋅+-++==-（）A ．B ．C ．D ．【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．B4 B12 【答案】B【解析】由选项可知，A 选项单调递增（无极值），C 、D 选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B ．【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．4．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 【知识点】简单线性规划． E5 【答案】C【解析】平面区域如图所示，由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ，平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点B （4，2）时，直线y=﹣2x+z 的截距最大，此时z 最大，此时z=2×4+2=10，故选：C【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点B （4，2）时，z 最大值即可．5．在中，，，，则 ( )ABC D 【知识点】向量数量积的运算;余弦定理F3 C8 【答案】B3y x =y x x =+e xy x -=⋅ln()y x =-x y 280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2z x y =+2z x y =+ABC ∆2=AB 3=AC 3AB AC ⋅==BC【解析】，又由余弦定理知．故选B ．【思路点拨】先利用向量数量积得到cosA,再由余弦定理可得结果。
【名师解析】广东省惠州市第一中学(惠州市)2015届高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)
广东省惠州市第一中学（惠州市）2015届高三第二次调研考试数学（理）试题（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则AB =( )A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅【知识点】集合的基本运算.A1【答案解析】A 解析：由240x -=，解得2x =±，所以{}2,2B =-，又{}2A =-，所以{}2AB =-，故选A.【思路点拨】先解出集合A,B ，再求交集即可。
【题文】2. 复数(1)z i i =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【知识点】复数的乘法运算；复数的几何意义。
L4【答案解析】B 解析：∵(1)1i z i i =⋅+=-+∴复数z 在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，位于第二象限．故选B.【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出Z ，再判断即可。
【题文】3．双曲线2228x y -=的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 【知识点】双曲线方程及其简单几何性质。
H6【答案解析】C 解析：双曲线方程可变形为22148x y -=，所以24,2,24a a a ===.故选C.【思路点拨】先把双曲线2228x y -=化成标准方程，再求出实轴长。
【题文】4．设向量(1,0)a =，11,22b ⎛⎫=⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是( ) A ．a b = B ．2a b ⋅=C ．//a bD ．a b -与b 垂直 【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算。
惠州市高三第一次调研考试理科数学试题答案ok
惠州市高三第一次调研考试数学试题(理科）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDBBABCA1、【解析】由33412()()88ii i i i i--==-⋅=-,易知D 正确.2、【解析】因*{0,2,4}A B =，所以易知选D.3、【解析】设公差为d ，则有112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101109101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩4、【解析】对于()251031551()()1r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=5、【解析】55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象。
6、【解析】可得22()()()()y a x x b x a x b =--=--- ,a b 是函数的两个零点当x a <时，则()0f x >；当a x b <<时, 则()0,f x <当x b >时，则()0,f x <故选B 。
7、【解析】要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222442.63C C P C ⋅=== 8、【解析】8482(84)(82)(82)(8)8882n n n n n n nn --=-+--=-+数列共有251项，∴结果为(8)2512008-⋅=-，故选A.二、填空题：9、2 10、2 11、－6 12、4 13、80 14、5515、2 9、【解析】λ+a b ＝(2,23)λλ++，则λ+a b 与(47)=--，c 共线242237λλλ+-⇔=⇒=+-10、【解析】'axy ae =，∴切线的斜率0'x k y a ===，∴由1()12a ⋅-=-得2a = 11、【解析】画出可行域知，当4,2x y ==-时，246z y x =---=-为最小值.12、【解析】1110.8248++>，因此输出 4.n =13、【解析】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是边长为8和6的长方形，棱锥的高是5， ∴由棱锥的体积公式得1865803V =⨯⨯⨯= 14、【解析】直线sin 2cos 1ρθρθ+=化为直角坐标方程是210x y +-=；圆2cos ρθ=的圆心()1,0到直线210x y +-=的距离是5515、【解析】∵45BNA ∠=︒，∴90BOA ∠=，∵2OM =,23BO =，∴4BM =，∵()()2322328BM MN CM MA ⋅=⋅=+-=，∴2MN =． 三、解答题16、解：（1）解法一：()1cos 23(1cos 2)sin 222x x f x x -+=++2sin 2cos2x x =++22sin(2)4x π=++……………4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22+.因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……8分解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++1sin 21cos2x x =+++22)4x π=++…………4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22+因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭……8分（2）解：()22)4f x x π=++由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. …………12分 17、解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3 ··················· 3分 （2）该商品两周可能销售4、5、6、7、8吨，所以 ξ的可能值为8、10、12、14、16，且P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为ξ8 10 12 14 16 P0.040.20.370.30.09·········· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ·····························12分ABC DPE F18、解：（1）∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．…………………2分∵CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CD ⊥AB ． …………………………4分 又PCCD C =，∴AB ⊥平面PCB ． …………………………6分（2）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2， ∴CE ⊥PA ，2．………8分∵CD ⊥平面PAB ， 由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA ．∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角． …………………………………10分由（1）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得2． 在Rt PCB ∆中，22PC BC 6+=，PC BC 2CD PB 63⋅===………………12分 在Rt CDE ∆中，cos CED ∠=42DE 33CE 32-==．…13分∴二面角C-PA-B 大小的余弦值为33……………………………14分19、解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，……………………………………………1分∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，………………………………………2分 ∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分 （2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，……………………9分故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩……12分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．………………………………14分 方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分 即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111xh x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． ……………………9分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-，又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．即2ln352ln 24a -≤<-． ……………………………………12分 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………14分 20、解法一：（1）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………………4分 （2）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而1016(,)33kM……………………… 5分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 ……………………… 7分 设11(,),S x y 则21228(2)14k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+……… 9分即222284(,),1414k kS k k -++又(2,0)B由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-…………………………………… 11分故161||33k MN k =+…………………………………………… 12分 又16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅=当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83……………………………………………14分 21、解：（1）由题可得'()2f x x =． ……………………1分所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()nn n y x x x x --=-．………2分 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+．………………………………………4分 （2）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n nx x x x x +++=++=， ……………………5分 同理21(2)22n n nx x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--． …………………………6分 从而1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．……7分故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． ……………8分 从而12232n n n x x -+=- 所以11222(31)31n n n x --+=- ……………………………9分 （3）由（2）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>- ……………………10分∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ ………………………………11分当1n =时，显然1123T b ==<． …………………………………………12分当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++11[1()]3113n b -=-133()33n =-⋅<…13分 综上，3n T <． ………………14分。
惠州市2015届高三第一次调研考试
惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1. 【解析】化简得i z 2121+=，则虚部为21，故选C2. 【解析】已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C3. 【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B4. 【解析】由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D 5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为r r r x C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C7. 【解析】此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A 8.【解析】由题意()(1,3)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,2u u v <+>=，得1s i n ,2uu v <+>=，由定义知1()sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯=D 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．),32(+∞ 10．2213y x -= 11．12 12．3 13．(1,)-+∞ 14．1 159. 【解析】由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ 3 24 3第6题图10．【解析】抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2ce a==，得2c =，又222c a b =+得33b =， 则双曲线的标准方程为：2213y x -= 11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有： 33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个。
广东省惠州市2015届高三第三次调研考试数学理试题 Word版含答案
惠州市2015届高三第三次调研考试数 学 试 题（理科） 2015.1本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{|B x y ==，则A B =( )．A.{}|01x x ≤≤B.{}|0x x ≥C.{}|11x x -≤≤D.∅ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为( )． A.xy 1=B.x y lg =C.x y cos =D.2x y = 3．“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4．设双曲线22221x y a b-=的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的离心率为( )．B.32 5．空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )． A.若m α⊥，m n ⊥，则//n α B.若//m α，//n α，则//m n C.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n D.若m α⊂，//n α，则//m n6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．A.840B.720C.600D.307．数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.99 8．在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：(1)若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q的最大值为3 (2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3)若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是( )．A. (1) (2) (3)B. (2)C. (3)D. (2) (3)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．已知(1,2)a =，(0,1)b =，(,2)c k =-，若(2)a b c +⊥，则实数k =______． 11．已知复数z a i =-⋅ (R a ∈)，若i z 23212-=，则实数a 的值为__________． 12．已知x R ∀∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，则实数a 的取值范围是__________．13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有230PA PB PC ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则这粒黄豆落在△PBC 内的概率为__________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：三角函数(含答案)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（2015届江门市）函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是A ．0B ．2π C ．π D ．23π2、（2015届汕头市）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为（ ）A ．B ．32C ．D ．6 3、（2015届中山市）在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．27选择题参考答案1、D2、A3、D 二、填空题1、（2015届广州市）已知tan 2α=，则tan 2α的值为2、（2015届揭阳市）在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ 3、（2015届茂名市）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120º，△ABC 的面积S ，则c 为＿＿＿4、（2015届梅州市）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==A ＋C ＝2B ，则sinA ＝＿＿＿5、（2015届佛山市）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)填空题参考答案1、43-2、3、74、125三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.2、（2015届揭阳市）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.3、（2015届茂名市）已知函数()sin 2cos cos 2sin (,0)f x x x x R ϕϕϕπ=+∈<<，()4f π= （1）求f （x ）的解析式； （2）若5(),(,)23132f αππαπ-=∈，求sin()4πα+的值。
2015届广东惠州第一次考试数学(理)
惠州市2015届高三第一次调研测试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
测试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数i iz +=1（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A 15 .B 20 .C 25 .D 304．已知等差数列}{n a 的前项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 72 5．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.A 30.B 12 .C 24 .D7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（）.A 24π .B π2 .C 21 .D 22π8．已知向量a 和b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 和b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的43 233正视图侧视图俯视图长度θsin b a b a =，若(2,0)u =，(1,3)u v -=-，则=+)(v u u （ ）.A 34 .B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 . 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
201503惠州一模理科数学试题及答案分析
惠州市2015届高三第一次调研考试数 学 (理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) .A 15 .B 20 .C 25 .D 30 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 725．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） .A 30 .B 12 .C 24 .D 4 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ）.A 24π.B π2 .C 21.D22π8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的θ=，若(2,0)u =，(1,3)u v -=-=+)(v u （ ）.A 34 .B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：导数及其应用(含答案)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB 。
]3,0(πC 。
],3[ππD 。
),3(ππ选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k ka a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.2、2三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。
广东惠州一模理科数学(word含详细
惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( ) A. 3410x y +-= B. 3410x y ++=或3490x y +-= C. 3490x y ++= D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( )A.10个B.15个C.16个D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项 的和10S = .11.已知直线与直线01=--y x 垂直，则直线的倾斜角=α .12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈ 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()2sin 22cos 2,f x x x x R =+∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2) 若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人. 各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：宣传慰问 义工 总计 20至40岁 11 16 27 大于40岁 15 8 23 总计262450(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.ABCEO19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ； （2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A MB M =-，求点M 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式.(2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.BOxyF 1F 2P A M惠州市2014届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADCADB1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,由题意得22|304(1)|1134c c ⨯+⨯-+=⇒=-+或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D.(二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ==, 则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为211121=⋅⋅.故选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，则03003x x y -= ①， ∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点， ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ② 联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D . 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=; ∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14． 3 15． 5 9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】直线与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为30x y -=，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的距离是3.15.【解析】连接OE ,BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又,AB BC DC BC ⊥⊥，O 是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴== 三、解答题：16.解(1)∵22()2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 22244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以32sin 282f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即3sin 4α= ………………………8分 又α是第二象限的角,所以22313cos 1sin 144αα⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭……10分 所以31339sin 22sin cos 2448ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ===………8分 ∴ξ的分布列为ξ2P25815 115………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ………12分18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.2222, 2.BC OD OC CD ==-= ………………………3分OA OB ⊥、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则223AD OA OD =+=,在直角三角形OAD 中,有26.33OA OD OH AD⋅===…6分（另解:由1126,.)3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分 作EG CF ⊥于G ,则16.26EG OH == 在直角三角形OAB 中,2,5OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,22431,55EF OE OF =+=+=……………12分 63030766sin ,arcsin .(arccos )31818185EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为,故所求的正弦值是1830 ……………14分方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分 则点O 到面ABC 的距离为1126.3114n OA d n ⋅===++……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ……8分 设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = ……………10分 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = ……………11分 则cos <1,n n >11124776189636n n n n ⋅++====⋅. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………14分19.（本题满分14分）解：（1）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+， …………7分 所以211111()2442ns n n n n ==-++.…………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …………10分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分 ∴1368nT≤<. …………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即22()2a c b c -+=， ……………2分 整理得22()10c c aa++=，得1c a=-(舍)或12c a =，所以12e =. ……………4分（2）由（1）知2,3a c b c ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为3(),y x c =- ……………………………………………5分,A B 两点的坐标满足方程组22234123()x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解 1103,x y c =⎧⎪⎨=-⎪⎩228533,5x c c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………8分不妨设833(,),(0,3)55c A c B c -,设M 的坐标为(,)x y 则833(,),55cAM x c y =--(,3)BM x y c =+， …………10分由3(),y x c =-得33c x y =-. 于是833833(,),15555AM y x y x =--(,3)BM x x = …………11分由2AM BM =-得833833()()3215555x y x x y x -⋅+-⋅=-，化简得218163150x xy --=， ………………………………13分将21815163x y x-=代入33c x y =-得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218163150(0)x xy x --=>. …14分 21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，,∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分（2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分 （3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+,11 / 11 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12m x =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥ 得222222m m ≥-≤--或, ||1m >11m m ><-即或，∴ i)当1m >，224444m m m a -++-=时，（224444m m m a --+-=（负根舍去）），函数2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分 ii) 当222m ≤--时，a 的两根都为正数，∴当224444m m m a -++-=或224444m m m a --+-=时，函数2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分 ⅲ) 当2221m --<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i) 若1m >,214440m m ∆=+->，224444m m m a -++->时, （224444m m m a --+-=（负根舍去）），函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点()221,2242(2)(1)12(2)(1)211a m a m a m a m a a x ⎡⎤-±+-+--±+-+-⎣⎦==--； …12分 ii) 当222m <--时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当224444m m m a -++->或2244404m m m a --+-<<时，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点21,212(2)(1)1a m a m a x -±+-+-=-。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：数列(含答案)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题 1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23 C ．1 D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（ ）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A B C D选择题参考答案1、C2、C3、D二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．3、（2015届揭阳市）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设数列{}n b满足n b =123n b b b +++<4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{n b }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)
图17432109878广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题1、（2015届广州市）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是A. 91, 91.5B. 91, 92C. 91.5, 91.5D. 91.5, 922、（2015届茂名市）如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3,1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A 、37 B 、47 C 、114 D 、13143、（2015届汕头市）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①选择题参考答案1、C2、D3、B二、填空题1、（2015届江门市）已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为a bx y +=，则b b ____ ，a a ____．（填“>”或“<”）2、（2015届揭阳市）某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）3、（2015届湛江市）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均值为10，方差为2，则x y -的值为4、（2015届佛山市）某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为_________填空题参考答案1、＜，＞2、所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p =⨯⨯+=⨯+=.3、34、96625(或0.1536) 三、解答题1、（2015届广州市）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .（1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.2、（2015届江门市）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望．6、（2015届汕头市）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：()1根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：()2根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？()3若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．7、（2015届深圳市）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．8、（2015届湛江市）广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．()1如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；()2若从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．身高相差ξcm（09、（2015届中山市）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
广东省惠州市高三数学第三次调研考试题 理
广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学理试题本试卷共5页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{|B x y ==，则A B =I ( )．A.{}|01x x ≤≤B.{}|0x x ≥C.{}|11x x -≤≤D.∅ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为( )． A.xy 1=B.x y lg =C.x y cos =D.2x y = 3．“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4．设双曲线22221x y a b-=的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的离心率为( )．32 C.25．空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )． A.若m α⊥，m n ⊥，则//n α B.若//m α，//n α，则//m n C.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n D.若m α⊂，//n α，则//m n 6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．A.840B.720C.600D.307．数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.99 8．在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：(1)若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q的最大值为3； (2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3)若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是( )．A. (1) (2) (3)B. (2)C. (3)D. (2) (3)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．已知(1,2)a =r ，(0,1)b =r ，(,2)c k =-r ，若(2)a b c +⊥r r r，则实数k =______．11．已知复数z a i =-⋅ (R a ∈)，若i z 23212-=，则实数a 的值为__________． 12．已知x R ∀∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，则实数a 的取值范围是__________．13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有230PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则这粒黄豆落在△PBC 内的概率为__________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。
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惠州市2015届高三第一次调研考试数 学 (理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） .A 21- .B i 21 .C 21 .D i 21-2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3.B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A 15 .B 20 .C 25 .D 30 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18.B 36 .C 54 .D 725．在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）.A 10 .B 10- .C 5- .D 206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） .A 30 .B 12 .C 24 .D 4 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） .A 24π.B π2 .C 21 .D 22π8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的长度θsin b a b a =⨯，若(2,0)u =r ，(1,3)u v -=-r r，则=+⨯)(v u u （ ）.A 34.B 3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .43 233正视图侧视图俯视图11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，B A ，分别是直线05sin cos =+-θρθρ和圆θρsin 2=上的动点，则B A ，两点之间距离的最小值是 . 15．(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB ∆是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且3=PO ，4=⋅PB PA ，则腰长OA = .三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知02cos 22sin=-xx . (1)求x tan 的值；(2)求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．A POB17．（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++ .）(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB == (1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A AC B --的大小。
BA 1CAB 1C 1已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和1(1)(1)12n n S n a =++-． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距离为10．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点(A B 、不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．F 2OxyP ABF 1 A 2 l已知关于x 的函数321()3f x x bx cx bc =-+++，其导函数为()f x '．记函数()()g x f x '= 在区间[]11-,上的最大值为M ． (1) 如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b c 、的值； (2) 若1b >，证明对任意的c ，都有2M >； (3) 若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCBDACAD1. 【解析】化简得i z 2121+=，则虚部为21，故选C2. 【解析】已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C3. 【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B4. 【解析】由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D 5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为r r rx C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C7. 【解析】此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A 8.【解析】由题意()(1,3)v u u v =--= ，则(3,3)u v += ，3cos ,2u u v <+>=，得1s i n ,2u u v <+>= ，由定义知1()sin ,223232u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯⨯= ，故选D二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．),32(+∞ 10．2213y x -= 11．12 12．3 13．(1,)-+∞ 14．221- 3 243 第6题图15．59. 【解析】由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ 10．【解析】抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -= 11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有： 33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个。
12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3。
13．【解析】设函数()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，得函数()g x 在R 上为增函数，且(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，所以当()24f x x >+时，有()0g x >，得1x >-， 故不等式()24f x x >+的解集为(1,)-+∞14．【解析】由题意，直线:50l x y -+=，圆的标准方程22(1)1x y +-=，则圆心(0,1)到直线l的距离为22，且圆半径1r =，故min 221AB d r =-=-15．【解析】以O 为圆心，以OA 为半径作圆，则圆O 经过点B ，即OA OB r ==，设PO 与圆O交于点C 且延长PO 交圆O 与点D ，由切割线定理知PA PB PD PC = ，即(3)(3)4r r +-=， 得5r =，所以5OA r ==三、解答题：16．（本小题满分12分） 解：（1）∵ sin2cos 022x x -=，则cos 02x≠ -------------------------1分 ∴ tan 22x= ---------------------------2分ABPOC DO C BA11 -1 xyy=-x∴ 22t a n2t a n 1t a n2x x x=- ----------------------------4分 2224123⨯==-- ----------------------------5分 （2） 原式22cos sin 222cos sin sin 22x x x x x-=⎛⎫- ⎪⎝⎭---------------------------7分(cos sin )(cos sin )(cos sin )sin x x x x x x x-+=- ----------------------------9分cos sin sin x xx +=------------------------------10分1tan tan x x += ------------------------------11分14= ------------------------------12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分 解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ξ 0123∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取1A B 的中点D ，连接AD ， ……………1分因1AA AB =，则1AD A B ⊥ ……………2分 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面11A ABB 1A B =，…………3分 得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. …………………4分 因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱， 则1AA ABC ⊥底面， 所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. ………………7分（2）解法一：连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影 ∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠ …………8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点 ∴ 1122AD A B ==，且=2ADC π∠，=6ACD π∠ ∴ 22AC = …………………9分 过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连DEP64125 48125 12125 1125BA 1 CAB 1C 1DE由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD AC ⊥，且AE AD A =∴ AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角 …………………10分 且直角1A AC ∆中：1122226323A A AC AE AC ⨯===又=2AD ，=2ADE π∠∴ 23sin =2263AD AED AE ∠==，且二面角1A AC B --为锐二面角∴ =3AED π∠，即二面角1A AC B --的大小为3π…………………14分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则(0,2,0)A ， (0,0,0)B ， (,0,0)C a ， 1(0,2,2)A(,0,0)BC a = ， 1(0,2,2)BA = ， (,2,0)A C a =-， 1(0,0,2)AA = (9)分设平面1A BC 的一个法向量1(,,)n x y z =由1BC n ⊥ ， 11BA n ⊥ 得：220xa y z =⎧⎨+=⎩令1y = ，得 0,1x z ==-，则1(0,1,1)n =- …………10分设直线AC 与1A BC 平面所成的角为θ，则6πθ=得12121sin 6242AC n AC n a π-===+，解得2a =，即(2,2,0)AC =- ………12分又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得，2(1,1,0)n =设锐二面角1A AC B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α=<>==，且(0,)2πα∈，得 3πα=∴ 锐二面角1A AC B --的大小为3π。