2014年北京高三模考数学文科试题分类汇编---函数

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版

2014年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C .{}1,2 D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A.1 B.3 C.7 D.15开始输出结束是否【答案】C【解析】7222210=++=S .5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立.6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴220.2 1.520.2(t 3.75)0.8125p t t =-+-=--+，即当75.3=t 时，P 有最大值.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 . 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A9 15原料B6 21则最短交货期为工作日. 【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.15.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-== ，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=．从而()13212n n b n n -=+= ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+= ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =。

2014高考数学分类汇编(文)函数含答案(word)

高考数学分类汇编（文科）函数1. 【2014高考安徽卷文第5题】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<2.【2014高考安徽卷文第11题】=++⎪⎭⎫⎝⎛54log 45log 81163343-_____3. 【2014高考安徽卷文第14题】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 4. 【2014高考北京卷文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 5.【2014高考北京卷文第6题】已知函数()x xx f 2log 6-=，在下列区间中，包含()x f 的零点的区间是（） A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，+)6. 【2014高考北京卷文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟O 5430.80.70.5t p7.【2014高考大纲卷文第12题】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．-2B ．-1C ．0D ．18. 【2014高考福建卷文第8题】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是(）9. 【2014高考福建卷文第15题】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.10. 【2014高考广东卷文第5题】下列函数为奇函数的是（）A.122x x -B.3sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 11. 【2014高考湖北卷文第9题】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{27,1,3}-D.{27,1,3}--12. 【2014高考湖北卷文第15题】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .13. 【2014高考湖南卷文第4题】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 14. 【2014高考湖南卷文第15题】若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.15. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .16. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .17. 【2014高考江西卷文第4题】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （）1.4A 1.2B .1C .2D 18.【2014高考辽宁卷文第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>19. 【2014高考辽宁卷文第10题】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--20. 【2014高考辽宁卷文第16题】对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 . 21. 【2014高考全国1卷文第5题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数22. 【2014高考全国1卷文第15题】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.23. 【2014高考山东卷文第3题】函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞24. 【2014高考全国2卷文第15题】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．25. 【2014高考山东卷文第5题】已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（） A.33xy > B.sin sin x y > C.22ln(1)ln(1)x y +>+ D.221111x y >++ 26. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（）A.1,1ac >> B.1,01a c ><< C.01,1a c <<> D.01,01a c <<<<27.【2014高考山东卷文第9题】对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) ()f x x =(B) 3()f x x = (C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+28. 【2014高考陕西卷文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭29. 【2014高考陕西卷文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-30. 【2014高考陕西卷文第12题】已知42a=，lg x a =，则x =________.31. 【2014高考四川卷文第7题】已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（）A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 32. 【2014高考四川卷文第13题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 33. 【2014高考天津卷卷文第4题】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>34. 【2014高考天津卷卷文第12题】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________.35. 【2014高考天津卷卷文第14题】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f ，若()x a x f y -=恰好有4个零点，则实数a 的取值范围是________36. 【2014高考浙江卷文第7题】已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（）A.3≤cB.63≤<cC. 96≤<cD.9>c37. 【2014高考浙江卷文第8题】在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a，x x g a log )(=的图象可能是（）38. 【2014高考浙江卷文第15题】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .39. 【2014高考浙江卷文第16题】已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______.40. 【2014高考重庆卷文第4题】下列函数为偶函数的是（）.()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x xC f x -=-.()22x x D f x -=+41. 【2014高考重庆卷文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43--42. 【2014高考上海卷文第3题】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .43. 【2014高考上海卷文第11题】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .44.【2014高考上海卷文第18题】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解45. 【2014高考上海文第20题】设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.高考数学分类汇编（文科）函数答案与详解1. 【2014高考安徽卷文第5题】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<14.3. 【2014高考安徽卷文第14题】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数求值.4. 【2014高考北京卷文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =6. 【2014高考北京卷文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，8. 【2014高考福建卷文第8题】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（）【答案】B 【解析】试题分析：由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以，x y a -=，33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选B .考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.9. 【2014高考福建卷文第15题】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.10. 【2014高考广东卷文第5题】下列函数为奇函数的是（）A.122x x-B.3sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 【答案】A【解析】对于A 选项中的函数()12222xx x x f x -=-=-，函数定义域为R ，()()2222x x x x f x -----=-=- ()f x =-，故A 选项中的函数为奇函数；对于B 选项中的函数()3sin g x x x =，由于函数 31y x =与函数2sin y x =均为奇函数，则函数()3sin g x x x =为偶函数；对于C 选项中的函数()2cos 1h x x =+，定义域为R ，()()()2cos 12cos 1h x x x h x -=-+=+=，故函数()2cos 1h x x =+为偶函数；（学科，网）对于D 选项中的函数()22xx x ϕ=+，()13ϕ=，()312ϕ-=，则()()11ϕϕ-≠±，因此函数()22xx x ϕ=+为非奇非偶函数，故选A.【考点定位】本题考查函数的奇偶性的判定，着重考查利用定义来进行判断，属于中等题.11. 【2014高考湖北卷文第9题】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{27,1,3}-D.{27,1,3}--12. 【2014高考湖北卷文第15题】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .【答案】)61,0( 【解析】试题分析：依题意，⎩⎨⎧<-->1)3(30a a a ，解得610<<a ，即正实数a 的取值范围是)61,0(.考点：函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.13. 【2014高考湖南卷文第4题】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=14. 【2014高考湖南卷文第15题】若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.15. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 . 【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<．【考点】二次函数的性质．16. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .17. 【2014高考江西卷文第4题】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （）1.4A 1.2B .1C .2D【考点定位】指数函数和对数函数的图象和性质．19. 【2014高考辽宁卷文第10题】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--20. 【2014高考辽宁卷文第16题】对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 . 【答案】1- 【解析】试题分析：设2a b t+=，则2b t a =-，代入到22420a ab b c -+-=中，得()()2242220a a t a t a c --+--=，即221260a ta t c -+-=……①21. 【2014高考全国1卷文第5题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数22. 【2014高考全国1卷文第15题】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e-≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞考点：1.分段函数;2.解不等式23. 【2014高考山东卷文第3题】函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞ 【答案】C【解析】由已知22log 10,log 1,x x ->>，解得2x >，故选C . 考点：函数的定义域，对数函数的性质.24. 【2014高考全国2卷文第15题】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．25. 【2014高考山东卷文第5题】已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（） A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y+>+ D.221111x y >++ 【答案】A【解析】由(01)x y a a a <<<知，,x y >所以，33x y >，选A .考点：指数函数的性质，不等式的性质.26. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（）B.1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<7.28. 【2014高考陕西卷文第7题】下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（B ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；29. 【2014高考陕西卷文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-【答案】A 【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++，则2()32y f x ax bx c ''==++，由题得：(0)1f '=-，(2)0f =，(2)3f '= 即184201243c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以321122y x x x =--，故选A .考点：函数的解析式.30. 【2014高考陕西卷文第12题】已知42a=，lg x a =，则x =________.31. 【2014高考四川卷文第7题】已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（）A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+32. 【2014高考四川卷文第13题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = .33. 【2014高考天津卷卷文第4题】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 【答案】C. 【解析】试题分析：因为2221122log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈所以b c a >>，选C.考点：比较大小34. 【2014高考天津卷卷文第12题】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________. 【答案】(,0).-∞函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0∆=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点. 考点：函数图像（zxxk ）36. 【2014高考浙江卷文第7题】已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（）B.3≤c B.63≤<cC. 96≤<cD.9>c 【答案】C37. 【2014高考浙江卷文第8题】在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a，x x g a log )(=的图象可能是（）38. 【2014高考浙江卷文第15题】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a . 【答案】2【解析】试题分析：若0≤a ，则01)1(22)(22>++=++=a a a a f ，所以2]22[22=++-a a ，无解；若0>a ，则0)(2<-=a a f ，所以22)(2)(222=+-+-a a ，解得2=a .故2=a .考点：分段函数，复合函数，容易题.39. 【2014高考浙江卷文第16题】已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______.40. 【2014高考重庆卷文第4题】下列函数为偶函数的是（）.()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+41. 【2014高考重庆卷文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )B.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43-- 【答案】A.42. 【2014高考上海卷文第3题】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3【解析】由题意(2)121f a =+-=，则2a =，所以(1)11143f =-+-=. 【考点】函数的定义.44. 【2014高考上海卷文第11题】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .44.【2014高考上海卷文第18题】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解45. 【2014高考上海文第20题】设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （3）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（4）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞；（2）1a =时()y f x =为奇函数，当0a =时()y f x =为偶函数，当0a ≠且1a ≠时()y f x =为非奇非偶函数．【解析】试题分析：（1）求反函数，就是把函数式2424x x y +=-作为关于x 的方程，解出x ，得1()x f y -=，再把此。

数学_2014年北京市某校高考数学模拟试卷(一)(文科)(含答案)

2014年北京市某校高考数学模拟试卷（一）（文科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合P ={x|x 2≤1}，M ={a}．若P ∪M =P ，则a 的取值范围是（） A (−∞, −1] B [1, +∞) C [−1, 1] D (−∞, −1]∪[1, +∞)2. 若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(−4, 3)为其终边上一点，则cosα的值为（）A 45 B −35 C −45 D ±353. 下列函数中，既是偶函数又在区间(−∞, 0)上单调递增的是（） A y =x 2 B y =x 3 C y =tanx D y =1|x|4. 设a =20.5，b =0.32，c =log 20.3，则a 、b 、c 的大小关系是（） A a <b <c B b <a <c C c <b <a D b <c <a5. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互垂直”的( )A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件6. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3）（）A 4+2√6B 4+√6C 23D 437. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（） A 60件 B 80件 C 100件 D 120件8. 动圆C 经过点F(1, 0)，并且与直线x =−1相切，若动圆C 与直线y =x +2√2+1总有公共点，则圆C 的面积( )A 有最大值8πB 有最小值2πC 有最小值3πD 有最小值4π二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 复数(a 2−1)+(a 2+2a −3)i 为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为________． 10. 设变量x 、y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,x +y −3≤0,则z =2x +y 的最大值为________．11. 计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．12.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=________．13.如图所示，菱形ABCD 的边长为√3，∠ABC =60∘，点P 为对角线BD 上任意一点，则BP →⋅(PA →−PC →)=________；BP →⋅(PA →+PC →)的取值范围是________． 14. 已知函数f(x)={4−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0).则f(2014.5)=________；若关于x 的方程f(x)=x +a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cosB =−12．（1）若a =2，b =2√3．求△ABC 的面积；（2）求sinA ⋅sinC 的取值范围．16. 某市规定，高三毕业生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据为样本，按时间段[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）若该市高三毕业生共有10万人，利用抽取的样本试估计全市毕业生社区服务不合格的人数；（3）按时间段将不少于90小时的数据分为[90, 95),[95, 100]两层，利用分层抽样的方法从样本中抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求抽取的两个数据至少有一个在[95, 100]的概率．17. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ABC =45∘，AB =2，BC =2√2，PA =PB =PC =√3，点O 是BC 中点，点M 是PD 的中点．（1）求证：PB // 平面AMC ；（2）证明：PO ⊥平面ABCD ．18. 设函数f(x)=x 2+ax −lnx(a ∈R)．（1）若a =1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(0, 1]上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线y =f(x)的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1． 19. 已知椭圆G:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√33，长轴长为2√3．（1）求G 的方程；（2）直线y =kx +1与椭圆G 交于不同的两点A ，B ，若存在点M(m, 0)，使得|AM|=|BM|成立，求实数m 的取值范围．20. 对于函数y =f(x)与常数a ，b ，若f(2x)=af(x)+b 恒成立，则称(a, b)为函数f(x)的一个“P 数对”；设函数f(x)的定义域为R +，且f(1)=3．（1）若(a, b)是f(x)的一个“P 数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a ，b 的值；（2）若(1, 1)是f(x)的一个“P 数对”，求f(2n )(n ∈N ∗)；（3）若(−2, 0)是f(x)的一个“P 数对”，且当x ∈[1, 2)时f(x)=k −|2x −3|，求k 的值及f(x)在区间[1, 2n )(n ∈N ∗)上的最大值与最小值．2014年北京市某校高考数学模拟试卷（一）（文科）答案1. C2. C3. D4. C5. B6. D7. B8. D9. −1 10. 6 11. 300 12. 2sin π4x 13. 0,[−9, 98] 14. 1,(−∞, 1)15. 解：（1）∵ cosB =−12，∴ sinB =√32，由三角形正弦定理可得：2sinA =2√3sinB，sinA=12，∴ A=π6，C=π6...S△ABC=12absinC=√3…（2）sinA⋅sinC=sin(π3−C)⋅sinC=12sin(2C+π6)−14…∵ C∈(0,π3)∴ 2C+π6∈(π6,5π6)∴ sin(2C+π6)∈(12,1]…则sinA⋅sinC∈(0,14]…16. 解：（1）由已知得：(0.005+0.040+0.075+a+0.020)×5=1，解得：a=0.060；...3分（2）根据题意，参加社区服务时间在时间段[75, 80)小时的学生人数为200×0.005×5= 5（人），所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间在时间段[75, 80)的学生人数5人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不合格的概率估计为：P=5 200=140，由此估计全市毕业生社区服务不合格的人数为：100000×140=2500．…8分（3）参加社区服务时间在时间段[90, 95)小时的学生人数为200×0.060×5=60（人），参加社区服务时间在时间段[95, 100]小时的学生人数为200×0.020×5=20（人），利用分层抽样的方法从样本中抽取8个，则在时间段[90, 95)的有6个，分别记为a、b、c、d、e、f在时间段[95, 100]的有2个，分别记为A、B，从中任取2个，不同的取法是：ab，ac，ad，ae，af，aA，aB，bc，bd，be，bf，bA，bB，cd，ce，cf，cA，cB，de，df，dA，dB，ef，eA，eB，fA，fB，AB，共有28种，其中至少有一个在[95, 100]的不同取法是：aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，eA，eB，fA，fB，AB，共13种，所以，抽取的两个数据至少有一个落在[95, 100]的概率为1328．…13分．17. 证明：（1）连结BD，设BD∩AC=N，∵ 底面ABCD为平行四边形，∴ N是BD的中点，又点M是PD的中点，∴ PB // MN，∵ MN⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，∴ PB // 平面AMC；…6分（2）∵ PB=PC，点O是BC中点，∴ PO ⊥BC ，连结AO ，在△AOB 中，AB =2，BO =12BC =√2，∠ABC =45∘，∴ AO =√AB 2+BO 2−2AB ⋅BOcos45∘=√2． ∵ PB =PC ，点O 是BC 中点， ∴ PO ⊥BC ，在△POB 和△POA 中，PA =PB ，AO =BO ，PO =PO ， ∴ △POB ≅△POA ，∴ PO ⊥OA ，BO ∩AO =O ，AO ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥平面ABCD ． …13分． 18. 解：（1）a =1时，f(x)=x 2+ax −lnx(x >0)， ∴ f′(x)=2x +1−1x=(2x−1)(x+1)x，又∵ x ∈(0,12)，f′(x)<0，x ∈(12,+∞)，f′(x)>0， f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间为(12，+∞)．（2）∵ f′(x)=2x +a −1x又∵ f(x)在区间(0, 1]上是减函数， ∴ f′(x)≤0对任意x ∈(0, 1]恒成立，即2x +a −1x ≤0对任意x ∈(0, 1]恒成立， ∴ a ≤1x −2x 对任意x ∈(0, 1]恒成立，令g(x)=1x −2x ，∴ a ≤g(x)min ，易知g(x)在(0, 1]单调递减， ∴ g(x)min =g(1)=−1． ∴ a ≤−1．（3）设切点为M （t, f(t)），f′(x)=2x +a −1x ， ∴ 过M 点的切线方程为：y −f(t)=f′(t)(x −t)，即 y −(t 2+at −lnt)=(2t +a −1t )(x −t)又切线过原点，所以，0−(t 2+at −lnt)=(2t +a −1t)(0−t)，即t 2+lnt −1=0，显然t =1是方程t 2+lnt −1=0的解，设φ(t)=t 2+lnt −1，则φ′(t)=2t +1t >0恒成立，φ(t)在(0, +∞)单调递增，且φ(1)=0， ∴ 方程t 2+lnt −1=0有唯一解1．∴ 过坐标原点O 作曲线y =f(x)的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．19. 解：（1）由已知条件得{2a =2√3e =c a =√33a 2=b 2+c 2，解得{a =√3c =1b =√2，∴ G 的方程是x 23+y 22=1．（2）设A ，B 两点坐标分别为A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，A ，B 中点为N(x 0, y 0)．①当k =0时，直线y =kx +1即为y =1，显然，M(m, 0)为坐标原点，符合题意，得m =0；②当k ≠0时，由{y =kx +1x 23+y 22=1，得(3k 2+2)x 2+6kx −3=0，易知△>0，由韦达定理得x 1+x 2=−6k3k 2+2，则x 0=x 1+x 22=−3k3k 2+2，从而y 0=kx 0+1=23k 2+2，∴ MN 斜率k MN =y 0x0−m=23k 2+2−3k3k 2+2−m ．又∵ |AM|=|BM|，∴ AB ⊥MN ， ∴23k 2+2−3k3k 2+2−m =−1k ，得 m =−k 3k 2+2=−13k+2k．当k >0时，3k +2k ≥2√3k ⋅2k =2√6，则−√612≤−13k+2k<0，即−√612≤m <0；当k <0时，−(3k +2k )≥2√(−3k)⋅2−k =2√6，则0<−13k+2k≤√612，即0<m ≤√612．即k ≠0时，m ∈[−√612，0)∪(0,√612]．综合①、②知，m 的取值范围是[−√612，√612]． 20. 解：（1）由题意知{af(1)+b =f(2)af(2)+b =f(4)，即{3a +b =66a +b =9，解得：{a =1b =3；…3分（2）由题意知f(2x)=f(x)+1恒成立，令x =2k (k ∈N ∗)，可得f(2k+1)=f(2k )+1，∴ {f(2k )}是公差为1的等差数列，故f(2n )=f(20)+n ，又f(20)=3，故f(2n )=n +3． …8分（3）当x ∈[1, 2)时，f(x)=k −|2x −3|，令x =1，可得f(1)=k −1=3，解得k =4，…10分所以，x ∈[1, 2)时，f(x)=4−|2x −3|，故f(x)在[1, 2)上的取值范围是[3, 4]．又(−2, 0)是f(x)的一个“P 数对”，故f(2x)=−2f(x)恒成立，当x ∈[2k−1, 2k )(k ∈N ∗)时，x2k−1∈[1,2)，f(x)=−2f(x2)=4f(x4)=...=(−2)k−1f(x2k−1)，…9分故k为奇数时，f(x)在[2k−1, 2k)上的取值范围是[3×2k−1, 2k+1]；当k为偶数时，f(x)在[2k−1, 2k)上的取值范围是[−2k+1, −3×2k−1]．…11分所以当n=1时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为2n+1，最小值为−2n；当n为不小于2的偶数时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为2n，最小值为−2n+1．…13分．。

北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷(带解析)

北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷（带解析）1．若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（）（A ）()U A B ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð 【答案】A 【解析】试题分析：因为{,,}A B a b c =,所以()U A B ð{}.d =而A B .φ=()U AB ð.U =所以选A.考点：集合运算2．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ）2x y = 【答案】C【解析】试题分析：sin y x =是奇函数但在区间0,+∞（）上不是单调函数．ln y x =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数，3y x =既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数，2xy =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数.考点：函数奇偶性及单调性3．已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（）（A ）1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,),2p 所以抛物线22x y =的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：抛物线焦点4．执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（）（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环，9,1,a i ==第二次循环，21,2,a i ==第三次循环，45,3,a i ==第四次循环，93,4,a i ==结束循环，输出 4.i = 考点：循环结构流程图5．由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（）（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩【答案】A 【解析】试题分析：由题意得：所围成的三角形区域在直线10x y -+=的上方，直线50x y +-=的下方，及直线10x -=的右侧，所以10x y -+≤，50x y +-≤，10.x -≥ 考点：不等式组表示平面区域6．在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（）（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由cos 0x ≥，x ∈ππ[-,]得：[,]22x ππ∈-，所以事件：“cos 0x ≥”的概率为()122.()2ππππ--=-- 考点：几何概型概率7．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n n S a +的最小值为（）（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：(1),2n n n n a n S +==，所以8n n S a+1819.222n n +=+≥+=当且仅当4n =时取等号.因此8n n S a +的最小值为92.考点：基本不等式求最值8．已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是（）(A ）4π (B ）16π ( C ）32π （D ）36π 【答案】C 【解析】试题分析：圆心00(,)x y 在圆224x y +=上运动一周，点P 在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心，6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心，2为半径的实心圆的一个圆环，面积是226232πππ-=.考点：圆的方程，动点轨迹9．计算12i1i +=- . 【答案】13i 22-+【解析】试题分析：12i (12i)(1+i)13.1i (1i)(1+i)2i++-+==-- 考点：复数运算10．已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点的坐标是 . 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：设C 点的坐标是(,)x y ，则由12BC BA =得1(1,2)(11,12),2x y +-=+-即30,.2x y ==C 点的坐标是30,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：向量坐标运算11．圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是．【答案】()22116x y -+=和()22916x y -+=【解析】试题分析：设圆心为(),a b ，因为与直线5x =相切，所以|5|4,1a r a -===或9.a =因此圆的方程是()22116x y -+=和()22916x y -+=考点：圆的标准方程12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．【答案】3, 【解析】2的正方形．因此体积为21223⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图 13．设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m . 【答案】200 【解析】试题分析：设这列火车的长度为xm ，则由题意得：860790,200.2233x xx -+==.考点：实际问题应用题14．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是___；截得的平面图形中，面积最大的值是___.AC【答案】【解析】试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形11ACB ，面积为2=的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为26=考点：空间想象15．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =. （1）若b =C 的大小；（2）若2c =，求边b 的长. 【答案】（1）,125π（2）4b =. 【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由正弦定理由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=.（2）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得2141224b b +-=整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =.本题也可由正弦定理sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =.（1由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. 6分（2）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. 13分另解：由于sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. 13分考点：正余弦定理16．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【答案】（Ⅰ）6,（Ⅱ）7.15【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）．（Ⅱ）解概率应用题，要注意“设、列、解、答”. 设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B .从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,a b ac ad a A a B b c b d b A b B c d共15种情况．事件A 包括,,,,,,a b a c a d b c b d c d AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． 5分（Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 13分考点：频率分布直方图,古典概型概率17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．A【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为PC ，BD 中点，在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PBC ，PA ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△PAD中，因为2PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=C D P D D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 4分（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． 9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 14分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理与判定定理18．已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）e y =,（Ⅱ）0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.（Ⅲ）1ea ≥ 【解析】试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在1x =处切线的斜率为0即为(1).f '因为22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==，所以当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.(1)0f '=，又(1)e f =，则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域{}0x x ≠，再导数值的符号确定单调区间. （1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使e x xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e xx g x =，易得max 1()(1)e g x g ==，从而1ea ≥. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. .4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1. 0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞. .9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()ex x g x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=,（Ⅱ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=.整理得2512m =-，矛盾．（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. .4分（Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾．所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. .14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）若311()()42n n a a n b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(0)1f =-,(1)1f =,（Ⅱ）21na n =-,（Ⅲ）当12t =，即1n =时，{}nb 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-.【解析】试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N .（Ⅲ）研究数列{}nb 是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令2111()()22n a n t -==，则22111()816256n b t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =， 2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=. 所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . 6分（Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na nt-==，则22111()816256nb t t t=-=--，显然12t<≤，又因为Nn*∈，所以当12t=，即1n=时，{}n b的最大项为1316b=.当132t=，即3n=时，{}n b的最小项为331024b=-. 13分考点：等差数列，赋值法研究抽象函数。

2014年全国高考文科数学试题及答案-北京卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.3C.7D.155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.48. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年北京市海淀区高三一模数学(文)试题和答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i - 2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则 A.{}1- B.{}0 C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1B.3C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A BCD6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 A.1 B.2C.12D.3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一：方案二：方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C =，则s i n ______,_______.s i n Ac B==12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________. 13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.O y x O y xO yxO y x 俯视图主视图侧视图求()f x 在[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ；（Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立. 19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形. 20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,nA A A A 与()B n ：123,,,,nB B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2014届高三数学北京各区模拟分类汇编-函数(理)

2013年北京模拟------函数(理)1. 若集合{|2}-==xM y y ，{|1}==-P y y x ，则M P =(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y(C)}0|{>y y(D)}0|{≥y y (大兴一模2)2．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）2 （B ）1 （C ）2-（D ）1-(通州期末4) 3.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B. tan y x =C. 3y x =D. 2log y x =(房山二模2)4.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. (海淀二摸9-10) 5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<(西城二摸11-5) 6. 设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则 A. c a b << B. a b c << C. a c b << D. b a c << (房山期末4)7. 已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） (昌平期末3)8.下面四个条件中， “函数2()2f x x x m =++存在零点”的必要而不充分的条件是A. 1m ≤-B. 1m ≤C. 2m ≤D. 1m >(房山期末5)9. “1a >”是“函数()2(01)xf x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件(门头沟一模2) 10.已知命题p:(0,),32x xx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>, 则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝(C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝ (丰台一模16-5)11.已知函数22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.(海淀一模8-13) 12. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-(东城一模12-7)13 已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .(昌平二模23-13)14 给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4(东城期末3-8)15. 已知定义域为R 的偶函数()x f 在(]0,∞-上是减函数,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,则不等式 ()22>xf 的解集为 . (顺义一模19-12)16 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>(东城二模13-8) 17．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞（C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞(西城期末10-7) 18 已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()|()|F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立．其中所有正确命题的序号是A.②B.①②C.③D.②③ (朝阳二模15-7) 19. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x) （a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ (丰台二模17-8)2013年北京模拟-----函数（提高）1．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--(西城二模11-8)2已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使0()(1)()63f x f x f x n+++++= 成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个(朝阳一模14-8) 3.设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：① {|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y =A.①④B. ②③C. ①②D. ①②④(房山一模8) 3．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______． (西城期末2-14) 4. 定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ． (东城期末3-14)5．已知函数2()f x ax bx c =++，且,0a b c a b c >>++=，集合{|()0}M m f m =<，则(A) m A ∀∈，都有(3)0f m +>(B) m A ∀∈，都有(3)0f m +<(C) 0m A ∃∈，使得0(3)0f m += (D) 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<(丰台期末5-8) 6．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称.则称点对[P , Q ]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P , Q ]与[Q , P ]看作同一对“友好点对”）. 已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（）对 A. 0B. 1C. 2D. 3 (石景山一模18-8)7．给出定义：若11< +22m x m -≤(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m ．在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-； ② 点(,0)k 是()y f x =的图象的对称中心，其中k ∈Z ； ③ 函数()y f x =的最小正周期为1； ④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．(石景山期末6-14)8 .函数()x f 的定义域为A ,若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =,则称()x f 为单函数.例如,函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数.下列命题: ①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数;②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数;③若()x f 为单函数,A x x ∈21,且21x x ≠,则()()21x f x f ≠;④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()x f 一定是单函数. 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).(顺义一模19-14)9 定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”。

北京市海淀区2014年高三一模数学(文科)试题含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=I 则A.{}1-B.{}0C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为A ．1B ．2C ．12D ．3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件OyxOyxOyxOyx8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一：方案二：方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C =o ，则sin ______,_______.sin Ac B== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++.能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 .33846俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =--.（Ⅰ）求π()6f ;（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机.10(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ；（Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.1图图 218. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A L 与()B n ：123,,,,n B B B B L ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-L ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市石景山区2014届高三一模文科数学试卷(带解析)

北京市石景山区2014届高三一模文科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．直线:40l x -=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定【答案】B【解析】因为圆心到直线的距离为r==+231|4|，所以直线与圆相切.考点：直线与圆位置关系4．双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（） A ．5 B． C【答案】D【解析】因为双曲线渐近线为,x a b y ±=所以.5,5,,2===e a c ab考点：双曲线渐近线5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（）A ．2sin()23x y π=+ B ．2sin(2)6y x π=- C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=- 【答案】B【解析】因为ωπ2=T ，所以选项A,B,C,D 的周期依次为.4,,,4ππππ又当3x π=时，选项A,B,C,D 的值依次为,1,1,2,2-所以只有选项A,B 关于直线3x π=对称，因此选B.考点：三角函数性质6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A ．4B ．12 C． D ．24【答案】B【解析】由左视图知：正三棱柱的高（侧棱长）为 2，底边上的高为3，所以底边边长为2，侧面积为.12223=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（）A．3 C ．125 D ．1【答案】A【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．i 是虚数单位，计算41ii +=+_________.【答案】5322i - 【解析】41i i+=+.235)1)(1()1)(4(i i i i i -=-+-+ 考点：复数的运算 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．【答案】.0,≥∈∀xe R x 【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________.【答案】13【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, 因此直线2z x y =+过点)6,1( B 时取最大值：.13121=+=z考点：线性规划求范围13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 【答案】40【解析】设每小时的燃料费,2kv y =因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以.50310106=⨯=k 费用总和为,4896503210)96503(10)96503(102=⨯⨯≥+=+v v v v 当且仅当40,96503==v v v 时取等号.考点:基本不等式求最值14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分（2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（1）求分数在[5060)，的频率及全班人数；（2）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高；（3）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．【答案】（1）0.08,25,（2）3,0.012（3）0.7. 【解析】试题分析：（1）有频率分布直方图知，小长方形的面积等于对应频率,因此分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=，又频率等于频数除以总数，而分数在[5060)，之间的频数为2，因此全班人数为2250.08=.（2）因为分数在[8090)，之间的频数为25223-=，所以分数在[8090)，之间的频率为325，这代表[8090)，间矩形的面积，所以高为3100.01225÷=.（3）分数在[80100)，共有5人，任取两人共有10种基本事件（枚举法），挑出没有一份分数在[90100)，的事件有3种基本事件，所以至少有一份分数在[90100)，之间的事件有7种基本事件，所求概率为70.710=.试题解析：解：（1）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， 2分由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. 4分（2）分数在[8090)，之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.7分（3）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， 8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， 10分其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90100)，之间的概率是70.710=. 13分考点：频率分布直方图17．如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ACD ；（3）求四棱锥A BCDE -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.本题利用平行四边形找平行，取AC 中点G ，则易得；1////,,2FG CD BE FG CD BE ==所以四边形BEFG 为平行四边形，即得//,FF BG 应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）证明面面垂直，关键证线面垂直.分析条件知，须证EF ⊥平面ADC ，由（1）知，只需证BG ⊥平面ADC .因为ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，所以BG AC ⊥ ；又可由CD ⊥平面ABC 得DC BG ⊥，这样就可由线面垂直判定定理得到BG ⊥平面ADC .（3）求三棱锥体积，关键找出高线或平面的垂线.利用面面垂直可找出面的垂线.因为CD ⊥平面ABC ，所以面CDBE ⊥平面ABC ，过A 作两平面交线的垂线AH ，则有AH ⊥平面BCDE .因为ABC ∆为等边三角形，所以H 为BC 中点.试题解析：解：（1）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点，FG ∴∥CD ，且112FG DC ==.BE ∥CD ， 2分FG ∴与BE 平行且相等.∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . 3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . 4分（2）ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. 5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， 6分又ACDC C =，BG ∴⊥平面ADC . 7分DBAF EGEF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， 8分 EF ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . 10分（3）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC ==, AH BC ∴⊥.DC ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BCDC C =，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =， 12分11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形. 14分考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理18．已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，；（3）0a <<【解析】试题分析：（1）求函数极值分四步，一是求函数定义域(0)+∞，，二是求函数导数2()()()x a x a f x x +-'=，三是根据导数为零将定义区间分割，讨论导数值正负()0x a ∈，，()0f x '<；()x a ∈+∞，，()0f x '>，，四是根据导数符号变化确定极值点1a =；（2）利用导数求函数单调性，也是四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为(0)a ，,增区间()a +∞，；（3）()f x 在[1]e ，上没有零点，即()0f x ≠在[1]e ，上恒成立,也就是min ()0f x >或max ()0f x <，又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >.以下有两个思路，一是求最小值，需分类讨论，当a e ≥时，m i n ()()f x f e =.当1a e <<时，m i n ()().f x f a =当01a <≤时，m i n ()(1).f x f =二是变量分离，222,((1,])ln x a x e x ≤∈，只需求函数2(),((1,])ln x h x x e x =∈的最小值.试题解析：解：（1）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. 1分 22()2a f x x x '=-2222x a x -=2()()x a x a x +-=. 2分 ()f x在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. 3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以a 的值为1. 4分（2）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. 5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. 8分（3）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <，又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >.（ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减，22min ()()20f x f e e a ==->，解得0a <<与a e ≥矛盾. 10分（ⅱ）当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<1a <<分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a的取值范围为0a <<分考点：利用导数求函数极值、单调区间、取值范围19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，，设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1l ：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-，此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. 14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .【答案】（1）13578888，，，（2）*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，，【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b ，（2）分段函数求和，注意“间断的周期性”. 因为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，所以间断的周期为3，每3个作为一个“大元素”，所以先求3k S .再利用1nn n S S a -=+求31()n k k =+∈N 及32()n k k =+∈N 的n S .因为312345632313111111111()()()222222222k k k k S --=--+--++-- 14322531363*********()()()222222222k k k --=+++-+++-+++38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-11[1()]72n =-，所以当31()n k k =+∈N 时15(1)72n n S =+，当32()n k k =+∈N ，13(1).72n n S =+试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，，由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵1312(1312n n n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，.∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k k S --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++ 32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-. 31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ； 32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：数列求和。

2014年北京市东城区高三一模数学(文)试题Word版带答案

北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R ð（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2、复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i - 3、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度（B ）向右平移3π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度 4、若双曲线2214x y m -=，则m = （A（B ）3 （C（D）5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2311a a +=，则63S S -=（A ）27（B ）39 （C ）45 （D ）636、已知13a =，4log 2b =，3log 1.6c =，则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >> 7、若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为俯视图（A）4+ （B ）4 （C）4+ （D ）88、已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么11b a ++的取值范围是（A ）1(,3)5 （B ）1(,2)3（C ）1(,2)5（D ）1(,3)3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9、cos()45π-= ． 10、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =，则抛物线方程为．11、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是；乙组数据的平均数是．12、在△ABC 中，,D E 分别为,BC AC 的中点，F 为AB 上的点，且1||||4AF AB =．若A D A F A E λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+= ． 13、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，2()4f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为；不等式()0f x <的解集为．14、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为__________个．三、解答题共6小题，共80分。

2014年高考(北京卷)文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2014北京，文1)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝()．A．{0,1,2,3,4} B．{0,4}C．{1,2} D．{3}答案：C解析：因为集合A，B中的公共元素为1,2，所以A∩B＝{1,2}，应选C.2．(2014北京，文2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()．A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B解析：A项，函数y＝e－x为R上的减函数；B项，函数y＝x3为R上的增函数；C项，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数；D项，函数y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B项符合题意，应选B.3．(2014北京，文3)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()．A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9)答案：A解析：因为2a＝(4,8)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5,7)．故选A.4．(2014北京，文4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A．1 B．3 C．7 D．15答案：C解析：开始时k＝0，S＝0.第一次循环，k＝0＜3，S＝0＋20＝1，k＝0＋1＝1，第二次循环，k＝1＜3，S＝1＋21＝3，k＝1＋1＝2，第三次循环，k＝2＜3，S＝3＋22＝7，k＝3.此时不满足条件k＜3，输出结果S，即输出7.故选C.5．(2014北京，文5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.6．(2014北京，文6)已知函数()26log f x x x=-在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 答案：C解析：由题意知f (1)＝61－log 21＝6＞0，f (2)＝62－log 22＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝12-＜0.故f (2)·f (4)＜0.由零点存在性定理可知，包含f (x )零点的区间为(2,4)． 7．(2014北京，文7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )．A ．7B ．6C ．5D ．4 答案：B解析：因为A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)，所以使∠APB ＝90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上，该圆的圆心为O (0,0)，半径为m .而圆C 的圆心为C (3,4)，半径为1.由题意知点P 在圆C 上，故两圆有公共点．所以两圆的位置关系为外切、相交或内切，故m －1≤|CO |≤m ＋1，即m －1≤5≤m ＋1，解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.8．(2014北京，文8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )．A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案：B解析：由题中图象可知点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)在函数图象上，因此有2220.7330.8440.555a b c a b c a b c ⎧⨯⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩，，，解得0.2,1.5,2.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，其对称轴方程为 1.5153.752(0.2)4t -===⨯-.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值．故选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2014北京，文9)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝__________. 答案：2解析：由已知得x i ＋i 2＝－1＋2i ，即x i ＝2i ，解得x ＝2.10．(2014北京，文10)设双曲线C的两个焦点为(，，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为__________．答案：x 2－y 2＝1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c =设其方程为22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)，又由顶点为(1,0)知a ＝1，所以1b ==. 故所求双曲线的方程为x 2－y 2＝1.11．(2014北京，文11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．答案：解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC .在Rt △P AC中，PC ===12．(2014北京，文12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，1cos 4C =，则c ＝__________；sin A ＝__________.答案：2解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2. 所以2222222217cos 22228b c a A bc +-+-===⨯⨯.故sin A ===.13．(2014北京，文13)若x ，y 满足1,10,10,y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则z y =+的最小值为__________．答案：1解析：如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z y =+可化为y z =+，作出直线l 0：y =并平移．因为1AB k =>－A 时，z 取得最小值．由10,1,x y y +-=⎧⎨=⎩解得A (0,1)，所以z的最小值为011z +=.14．(2014北京，文14)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为__________个工作日．答案：42解析：最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工；最后由工艺师完成原料A 的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分)(2014北京，文15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．分析：(1)先由等差数列{a n }中的a 1，a 4求出公差d ，即可求其通项a n ，然后根据b 1，b 4的值及{b n －a n }为等比数列，从而求出该数列的第1项和第4项，得出其公比，从而写出其通项公式，即可求得{b n }的通项．(2)根据{b n }的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为3(1)2n n +，数列{2n －1}的前n 项和为1212112n n -⨯=--. 所以，数列{b n }的前n 项和为3(1)212nn n -++.16．(本小题满分13分)(2014北京，文16)函数()π3sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．分析：(1)首先利用公式求得()π3sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的最小正周期，然后根据图形确定y 0，即f (x )的最大值，再根据x 0的位置即可求得其取值．(2)先根据x 的范围确定π26x +的范围，进而求得f (x )的最值．解：(1)f (x )的最小正周期为π.07π6x =，y 0＝3. (2)因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，f (x )取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，f (x )取得最小值－3.17．(本小题满分14分)(2014北京，文17)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论．(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF 綉EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论．(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果．(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB =所以三棱锥E －ABC 的体积1111123323ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=. 18．(本小题满分13分)(2014北京，文18)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)分析：(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数，然后代入频率公式求值． (2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率，然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a ，b 的值． (3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距. 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．19．(本小题满分14分)(2014北京，文19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求其离心率e .(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后用相应坐标表示出|AB |2，代入坐标之间的关系，根据代数式的结构特征求其最值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22=142x y +. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c =故椭圆C的离心率c e a ==. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ⋅=，即tx 0＋2y 0＝0，解得02y t x =-. 又220024x y +=，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2 ＝2200002()(2)y x y x ++- ＝222000244y x y x +++ ＝2220002042(4)42x x x x --+++＝22002084(04)2x x x ++<≤．因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB长度的最小值为20．(本小题满分13分)(2014北京，文20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)分析：(1)先求函数f (x )的导函数f ′(x )，然后求出f ′(x )＝0的解，进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小，即可求得最大值．(2)设出切点坐标(x 0，y 0)，利用导数的几何意义表示出切线方程，由切点在曲线上及切线过点P 将切线方程化为关于x 0的三次方程，从而将已知转化为方程有三个解，构造相应函数，转化为函数图象与x 轴有三个交点，利用导数研究单调性和极值，利用极值和0的大小关系构造不等关系，从而求得t 的取值范围．(3)根据(2)中的结论，比较纵坐标与t 的大小，即可写出相应的结论．解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3，令f ′(x )＝0，得x =或x =. 因为f (－2)＝－10，(2f -=，(2f =f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为(f =.(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--．整理得32004630x x t -++=，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)． g当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1,2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点B (2,10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。

2014年高三一模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

1 3i 5
x
yi
，所以
x
y
2 5
10．若抛物线
的焦点在直线
上，则
_____．
解析：焦点 ( p , 0) 带入直线方程 p 8，准线方程 x=-4 2
_____；的准线方程为
11．已知函数
若
，则实数 ______；函数
的最大值
为_____．
解析：
x
0,
f
( x0 )
2,
x
3
2,
x
1或者
1 x 1
寿命（天）
频数
频率
10
30
70
60
合计
200
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出 a，b，c 的值；
（Ⅱ）某人从这 200 个灯泡中随机地购买了 1 个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；
（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了
个，如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与
按．三．个．等．级．分．层．抽．样．所得的结果相同，求 n 的最小值.
又因为
平面，
平面，
所以
平面
.
（Ⅱ）证明：因为
，
所以又因为所以因为所以
平面 SAD，
平面， .
，且 N 为 AD 中点，
.
又因为
，
所以
平面
.
（Ⅲ）解：如图，连接 BD 交 NC 于点 F，在平面 SNC 中过 F 作
接 PB，PD.
因为
平面
，
所以
平面
.
…………… 11 分
又因为
平面
，
所以平面在矩形
（B）
（C）

2014年北京市高考数学试卷(文科)

2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{an }是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x，y的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）2014年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a ＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．x，【解答】解：∵f（x）=﹣log2∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．故选：B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= 2 ．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2故答案为：2【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1 ．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= 2 ；sinA= ．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为42 个工作日．【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{an }是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn ﹣an}为等比数列．（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{an }是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴an=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{bn ﹣an}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴bn ﹣an=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{an}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用VE﹣ABC =S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴VE﹣ABC =S△ABC•AA1=×（××1）×2=．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y），x≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y﹣2）2=（x+）2+（y﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x2=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0（0，1） 1（1，+∞）g′（x）+ 0﹣ 0+g（x）↗ t+3↘ t+1↗∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．第21页（共21页）。

2014年高考真题——文科数学(北京卷)Word版含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.3C.7D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟O 5430.80.70.5t p第2部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

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北京市2014届高三最新模拟试题分类汇编专题-------函数一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）若集合{|2}-==xM y y ，{|==P y y ，则M P =（） A ．}1|{>y y B ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2 ．（2013届北京丰台区一模理科）如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A ．y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤B ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥C ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥D ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数，则（）A ．B ．C ．D．4 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（） A ．当时，， B ．当时，， C ．当时，，D ．当时，，5 ．（2013届北京西城区一模理科）已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（） A ．1(0,]4B ．1[,)4+∞C ．1(0,]8D ．1[,)8+∞6 ．（2013届东城区一模理科）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（） A ．2或7-B ．2或8-C ．1或7-D ．1或8-7 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知函数则下列结论正确的是（） A ．在上恰有一个零点 B . 在上恰有两个零点 C ．在上恰有一个零点D ．在上恰有两个零点8 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）8.对实数与，定义新运算“”：设函数若函数的零点恰有两个，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．9 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（） A ．B ．C ．D ．10．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）定义在R 上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是（）A ．B ．C ．D ．2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++()f x (0,1)()f x (0,1)()f x (1,0)-()f x (1,0)-(0,)+∞1y x -=12y x =2(1)y x =-3y x =log 3log 30m n <<01n m <<<()f x (1)f x -(1,0)A 233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩1()2f x =21234⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)2(1)2(21)(x x x x f )(x f 1=y ),(11y x ),(22y x ),(33y x 321x x x <<14232221=++x x x 0132=-+x x 431=+x x 2312x x x >+11．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）设函数()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（）A ．B ．1C ．D ．12．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数，则函数的零点所在的区间是（）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）13．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题是奇函数；命题在上是增函数；命题；命题的图像关于直线对称（）A ．命题B ．命题C ．命题D ．命题14．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设4log , 2,3.03.03.02===c b a ，则（） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<二、填空题15．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数12,02()122,12x x f x x x ìïïïï=íïï-<ïïïî≤≤≤，定义1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的x 的个数称为函数()f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是；n -周期点是． 16．（2013届北京海滨一模理科）已知函数22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.17．（2013届房山区一模理科数学）某商品在最近100天内的单价()f t 与时间t 的函数关系是22-1-()=ln f x x ()=()'()g x f x f x -2()2f x x x =-+()cos()22xf x ππ=-12()|1|f x x =-:p ()f x :q (1)f x +(0)，1:r 11()22f >:s ()f x 1x =p q 、q s 、r s 、p r 、22(040,)4()52(40100,)2tt t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N日销售量()g t 与时间t 的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 .18．（2013届房山区一模理科数学）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52xf f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = .19．（2013届门头沟区一模理科）定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”。

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