流体力学 3-1-2流体运动学PPT资料33页
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流体运动学(课件)
图3-2 欧拉法
3.1流体运动的描述方法
在水位恒定情况下，管内流动不随时间变化，A点和B点的流速都 不随时间改变，时变加速度均为零。
在管径不变处，A点和A′点的流速相同，位变加速度也为零；在管 径改变处，B′点的流速不等于B点的流速，B点的位变加速度不等于 零，存在位变加速度。
在水位变化的情况下，管内各处流速都会随时间逐渐减小，A点和 B点的流速随时间发生变化，因此存在时变加速度。
流体运动学
1 流体运动的描述方法 2 流体运动的若干基本概念 3 流体运动的连续性方程 4 流体微团运动分析
引言
流体静力学主要介绍了流体在静止状态下的受力平衡规律及其应 用，而在自然界和工程实际中，流体大多处于运动状态。 流动性是流体最基本的特性，静止只是流体的一种特殊存在形式。
因此，研究流体的运动规律及其在工程实际中的应用，具有更普 遍和更重要的意义。 流体运动学是用几何观点来研究流体的运动规律。
图3-6 驻点和相切点
图3-7 奇点
3.2流体运动的若干基本概念
2）流线是一条光滑曲线或直线，不能转折。 因为流体是连续介质，各运动要素在流场中是连续变化的，流线 只能是连续的光滑曲线，如果发生转折会出现一个质点同时具有两个 运动方向的情况如图3-8所示，这是不可能的。 3）对于不可压缩流体，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点 的流速大小，流线密的地方流速大，流线疏的地方流速小，如图3-9所 示。
3.1流体运动的描述方法
在水位恒定情况下，管内流动不随时间变化，A点和B点的流速都 不随时间改变，时变加速度均为零。
在管径不变处，A点和A′点的流速相同，位变加速度也为零；在管 径改变处，B′点的流速不等于B点的流速，B点的位变加速度不等于 零，存在位变加速度。
在水位变化的情况下，管内各处流速都会随时间逐渐减小，A点和 B点的流速随时间发生变化，因此存在时变加速度。
流体运动学
1 流体运动的描述方法 2 流体运动的若干基本概念 3 流体运动的连续性方程 4 流体微团运动分析
引言
流体静力学主要介绍了流体在静止状态下的受力平衡规律及其应 用，而在自然界和工程实际中，流体大多处于运动状态。 流动性是流体最基本的特性，静止只是流体的一种特殊存在形式。
因此，研究流体的运动规律及其在工程实际中的应用，具有更普 遍和更重要的意义。 流体运动学是用几何观点来研究流体的运动规律。
图3-6 驻点和相切点
图3-7 奇点
3.2流体运动的若干基本概念
2）流线是一条光滑曲线或直线，不能转折。 因为流体是连续介质，各运动要素在流场中是连续变化的，流线 只能是连续的光滑曲线，如果发生转折会出现一个质点同时具有两个 运动方向的情况如图3-8所示，这是不可能的。 3）对于不可压缩流体，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点 的流速大小，流线密的地方流速大，流线疏的地方流速小，如图3-9所 示。
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
3.速度势函数的性质
（1）速度势函数是调和函数，满足拉普拉斯方程的函数，在数 学上称为调和函数。
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
• 但应注意的是， 流线并不一定是 流函数的等值线。
3.流函数与流场中任意两点间流量的关系
4.在不可压缩二维无旋流场中，流函数满足拉普拉斯方程
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
流体力学-第二讲,流体运动学
r r (a, b, c, t )
y y(a, b, c, t )
or： x x(a, b, c, t )
2018/9/19
z z (a, b, c, t )
3
变数a,b,c, 称为拉格朗日变数.
流场中的速度:
r (a, b, c, t ) u t
流场中的加速度:
r a 2 t
（2）该流动的迹线微分方程为
d x ux d t ( x t ) d t
dx (x t) u dt du u 1 dt x t 1 c1et
d x d u dt d u 1 u dt dt dt
ln(u 1) t ln c1 x c1et t 1
2018/9/19
8
2、流线：
它是在某一确定瞬时流场中的一个空间曲线族 , 凡是该 族的一条曲线,都和曲线上每一点的瞬时流体速度相切。 流线方程:
dr u 0
dx dy dz u x x, y, z, t u y x, y, z, t u z x, y, z, t
2018/9/19 7
三、迹线,流线,脉线 1、迹线：它是指确定的流体质点在时间过程中的运 动轨迹． 对于一给定的速度场 ui ( x1 , x2 , x3 , t ) ，其迹线方程 常由常微分方程组． dxi ui ( x1 , x2 , x3 , t ) (i 1,2,3) dt 确定．且三个方程独立。
流体力学——3 流体运动学
3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念
在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的 性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。
（1） 流体的恒定流与非恒定流
恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、
压强、密度等等）均不随时间变化 ，即
u u( x, y, z)
p p( x, y, z)
(x, y, z)
u 0 t
p 0 t
0
t
加速度
a
u
(u
)u
t
等于零
对于恒定流，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。
非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均随时间变
化 ，即
u
u(
x,
y,
z,t
)
u 0 t
p p( x, y, z,t) p 0 t
(x, y, z,t) 0
和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
u2
流体力学第3章 流体运动学
2x ax a x ( a, b, c, t ) 2 t 2 y ay a y ( a, b, c, t ) 2 t 2z az a z ( a, b, c, t ) 2 t
（3）特点
追踪单个质点的运动，概念上简明易懂，与研究固体质点 运动的方法一致。但是，由于流体质点的运动轨迹非常复杂， 要寻求为数众多的不同质点的运动规律，实际上难于实现。
动的特点、流动表示方法等。本章
流体动力学：流体为什么运动，即引起流体运
动的原因和条件、探讨作用于流体质点上的力、 研究因外力作用而引起的流体运动规律等。下一章
3.1 流体描述 3.1.1 描述流体运动的两种方法 3.1.2 流线和迹线
拉格朗日(lagrange)法: 质点系法
追踪单一质点
欧拉(Euler)法：流场法
沿程有流量流入流出：
v1 A1 v2 A2 v3 A3
Q1 Q2 Q3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 Q1 Q2 Q3
例题：
例 3.1 水 流 自 水 箱 经 管 径 d1=200mm, d2=100mm, d3=50mm 的管路后流入大气中，出口断面的流速 v3=4m/s，如图所示。 求：流量及各管段的断面平均流速。
例3.2 设有两种不可压缩的二元流动，其流速为 （1）ux=2x, uy= -2y ；(2) ux=0, uy=3xy 试检查流动是否符合连续条件。
（3）特点
追踪单个质点的运动，概念上简明易懂，与研究固体质点 运动的方法一致。但是，由于流体质点的运动轨迹非常复杂， 要寻求为数众多的不同质点的运动规律，实际上难于实现。
动的特点、流动表示方法等。本章
流体动力学：流体为什么运动，即引起流体运
动的原因和条件、探讨作用于流体质点上的力、 研究因外力作用而引起的流体运动规律等。下一章
3.1 流体描述 3.1.1 描述流体运动的两种方法 3.1.2 流线和迹线
拉格朗日(lagrange)法: 质点系法
追踪单一质点
欧拉(Euler)法：流场法
沿程有流量流入流出：
v1 A1 v2 A2 v3 A3
Q1 Q2 Q3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 Q1 Q2 Q3
例题：
例 3.1 水 流 自 水 箱 经 管 径 d1=200mm, d2=100mm, d3=50mm 的管路后流入大气中，出口断面的流速 v3=4m/s，如图所示。 求：流量及各管段的断面平均流速。
例3.2 设有两种不可压缩的二元流动，其流速为 （1）ux=2x, uy= -2y ；(2) ux=0, uy=3xy 试检查流动是否符合连续条件。
流体力学 3-1-2流体运动学
d x x x dx x ax dt t x dt y d y y y dx y ay dt t x dt y d z z z dx z
az dt t x dt
x x x x d x dt dx dy dz t x y z
流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。 •流体动力学(dynamics)：研究引起运动的原因和决定 作用力、力矩、动量和能量的方法。
1/45
内容
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
§3-1描述流动的两种方法
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
dv y
az 0 t 0 时刻的加速度分布为：
ax x 1
ay y 1
az 0
从上面的例题可以看出，采用拉格朗日法计算加速度和采 用欧拉法计算加速度得出的结果是完全相同的。
拉格朗日法和欧拉法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹
欧拉法
az dt t x dt
x x x x d x dt dx dy dz t x y z
流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。 •流体动力学(dynamics)：研究引起运动的原因和决定 作用力、力矩、动量和能量的方法。
1/45
内容
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
§3-1描述流动的两种方法
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
dv y
az 0 t 0 时刻的加速度分布为：
ax x 1
ay y 1
az 0
从上面的例题可以看出，采用拉格朗日法计算加速度和采 用欧拉法计算加速度得出的结果是完全相同的。
拉格朗日法和欧拉法的比较
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹
欧拉法
水力学 第三章 流体运动学
试求t=0时，通过点A（-1，-1）流体质点的迹线。 解：迹线的微分方程是
dx x t, dt
dy y Fra Baidu bibliotekt dt
上两式是非齐次常系数线性一阶常微分方程。 微分方程理论给出一阶非奇次线性常微分方程的解如下：
dx p(t) x q(t) 微分方程形式： dt p t dt
dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z du u 以矢量形式表示 a (u )u dt t
§3-1 描述流体运动的两种方法
11
ay
du y
u y
§3-1 描述流体运动的两种方法
14
确定迹线的微分方程式
（1）由拉格朗日描述确定迹线方程
拉格朗日法给出了质点运动方程，消去运动方程中的 参变量t，即可得质点的运动轨迹——迹线方程。
（2）由欧拉描述确定迹线的微分方程组
dx u x x,y,z,t dt
或表示为：
dy u y x,y,z,t dt
x (a 1)e t 1,
t
当 t=0 时，x = -1，y = -1，代人上两 式得 a = -1，b = -1。
x t 1,
y t 1
消去上两式中的时间 t 后，得：
dx x t, dt
dy y Fra Baidu bibliotekt dt
上两式是非齐次常系数线性一阶常微分方程。 微分方程理论给出一阶非奇次线性常微分方程的解如下：
dx p(t) x q(t) 微分方程形式： dt p t dt
dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z du u 以矢量形式表示 a (u )u dt t
§3-1 描述流体运动的两种方法
11
ay
du y
u y
§3-1 描述流体运动的两种方法
14
确定迹线的微分方程式
（1）由拉格朗日描述确定迹线方程
拉格朗日法给出了质点运动方程，消去运动方程中的 参变量t，即可得质点的运动轨迹——迹线方程。
（2）由欧拉描述确定迹线的微分方程组
dx u x x,y,z,t dt
或表示为：
dy u y x,y,z,t dt
x (a 1)e t 1,
t
当 t=0 时，x = -1，y = -1，代人上两 式得 a = -1，b = -1。
x t 1,
y t 1
消去上两式中的时间 t 后，得：
工程流体力学流体运动学-PPT精选文档
流体质点的加速度
du a dt
du x u u u u x x dx x dy x dz ax dt t xdt ydt z dt
同理：
u u u u x x x x u u u x y z t x y z
随 体 导 数
ux ux ux ux uuuuuuu a x ＝ ux uy uz （ t x y z D dt t x y z
D du x
x x x x 2 2 2 x y z 2
x y z
2
2 2
）
u u u u xux xuy xuz x t x y z
加速度：
y (a ,b ,c ,t) u y t
z(a ,b ,c ,t) u z t
u a ,b ,c ,t) x( a x t
a y
uy(a ,b ,c ,t) t
u a ,b ,c ,t) z( a z t
欧拉法是考察通过固定空间位置点的不同液体质点的 运动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些 情况即可了解整个液流的运动变化规律。
u u u u z z z z a u u u z x y z t x y z
u u u u y y y y a u u u y x y z t x y z
du a dt
du x u u u u x x dx x dy x dz ax dt t xdt ydt z dt
同理：
u u u u x x x x u u u x y z t x y z
随 体 导 数
ux ux ux ux uuuuuuu a x ＝ ux uy uz （ t x y z D dt t x y z
D du x
x x x x 2 2 2 x y z 2
x y z
2
2 2
）
u u u u xux xuy xuz x t x y z
加速度：
y (a ,b ,c ,t) u y t
z(a ,b ,c ,t) u z t
u a ,b ,c ,t) x( a x t
a y
uy(a ,b ,c ,t) t
u a ,b ,c ,t) z( a z t
欧拉法是考察通过固定空间位置点的不同液体质点的 运动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些 情况即可了解整个液流的运动变化规律。
u u u u z z z z a u u u z x y z t x y z
u u u u y y y y a u u u y x y z t x y z
刚体运动学和流体运动学PPT精选文档
I 2 ( R sin ) 2 dm
0
2
2 ( R sin ) 2
m
2R sin R d
0
4R 2
2 mR 2 3
R
O
球体
IR2dmr2R2 m4r2drr22m2R
03
034R3
5
3
或
I x
mi
y
2 i
z
2 i
i
I y
mi
z
2 i
x
2 i
i
I z
mi
绕固定铰链自由转动。 求细杆在重力作用下由静止
转动到与竖直线成 角时的角速度。
解一由转动定律
1mgslin I
2
3g sin
2l
ddt dd ddt dd
d3gsind
2l
. mg
积分得 3g(1cos)
l
解二由机械能守恒 mgl(1cos)1I2
2
2
例2 一半径为R、质量为 m 的匀质圆盘，平放在粗
第三章
刚 体 力 学基础 流 体 力 学简介
3-1 刚体的定轴转动
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 叫刚体。
z
A
r1
o1
A
B
B
r2
o2
角位移
角速度 d
0
2
2 ( R sin ) 2
m
2R sin R d
0
4R 2
2 mR 2 3
R
O
球体
IR2dmr2R2 m4r2drr22m2R
03
034R3
5
3
或
I x
mi
y
2 i
z
2 i
i
I y
mi
z
2 i
x
2 i
i
I z
mi
绕固定铰链自由转动。 求细杆在重力作用下由静止
转动到与竖直线成 角时的角速度。
解一由转动定律
1mgslin I
2
3g sin
2l
ddt dd ddt dd
d3gsind
2l
. mg
积分得 3g(1cos)
l
解二由机械能守恒 mgl(1cos)1I2
2
2
例2 一半径为R、质量为 m 的匀质圆盘，平放在粗
第三章
刚 体 力 学基础 流 体 力 学简介
3-1 刚体的定轴转动
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 叫刚体。
z
A
r1
o1
A
B
B
r2
o2
角位移
角速度 d
流体力学 第三章
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
【解】
由公式
得
以上所列的连续性方程，只反映了两个断面之间的空
间质量收支平衡。我们要注意这个质量平衡的观点，可以
推广到任意空间。如，三通管的合流和分流，车间的自然
换气，总管流入和至关流出等。
最终出发点就是质量守恒定律：
QV3
QV2 QV1
§ 3-4 恒定元流能量方程 或理想流体微元流束的伯努利方程
三、流管、流束和总流 流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零
时，则流束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为过流断面。 流线相互平行时，过流断面是平面。流线不平行时，过
流断面是曲面，如图所示。
图3-4 有效截面
过流断面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和 微元流管。在每一个微元流束的过流断面上，各点的速度可 认为是相同的。
二、迹线与流线
图 3-2 流线的概念
流线是某一瞬时在流场 中所作的反映流动方向的一 条曲线，在这条曲线上的各 流体质点的速度方向都与该 曲线相切，因此流线是同一 时刻，不同流体质点所组成 的曲线，如图所示。
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
【解】
由公式
得
以上所列的连续性方程，只反映了两个断面之间的空
间质量收支平衡。我们要注意这个质量平衡的观点，可以
推广到任意空间。如，三通管的合流和分流，车间的自然
换气，总管流入和至关流出等。
最终出发点就是质量守恒定律：
QV3
QV2 QV1
§ 3-4 恒定元流能量方程 或理想流体微元流束的伯努利方程
三、流管、流束和总流 流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零
时，则流束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为过流断面。 流线相互平行时，过流断面是平面。流线不平行时，过
流断面是曲面，如图所示。
图3-4 有效截面
过流断面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和 微元流管。在每一个微元流束的过流断面上，各点的速度可 认为是相同的。
二、迹线与流线
图 3-2 流线的概念
流线是某一瞬时在流场 中所作的反映流动方向的一 条曲线，在这条曲线上的各 流体质点的速度方向都与该 曲线相切，因此流线是同一 时刻，不同流体质点所组成 的曲线，如图所示。
流体力学-流体运动学
第三章 流体运动学 凡表征流体运动的各种物理量，如速度、加速度等，都称流体 的运动要素。
本章暂不涉及引起流体运动的动力要素—力。
研究流体运动就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化以 及建立它们之间的关系式。
流体运动学是研究流体运动而不涉及力的规律及其在工程上的 应用。
1
第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流 体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介 质。
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
是描述液体运动 常用的一种方法。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
2
第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法 连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流 体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介 质。 要从宏观上研究流体的运动规律，必须在数学上对流体质点 的运动特征给出描述。描述流体质点运动，常采用两种方法： 拉格朗日法（Lagrange）法和欧拉法（Euler）。
13
wenku.baidu.com
三 迹线 流线 脉线
描述流体运动，除了用数学式表示外，还常用几何图形来表示， 即描绘出一些线来表明流体运动的图景。
1 迹线 与拉格朗日法相联系 是一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线， 它给出同一质点在不同时刻的速度方向。
本章暂不涉及引起流体运动的动力要素—力。
研究流体运动就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化以 及建立它们之间的关系式。
流体运动学是研究流体运动而不涉及力的规律及其在工程上的 应用。
1
第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流 体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介 质。
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
是描述液体运动 常用的一种方法。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
2
第一节 描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法 连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流 体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介 质。 要从宏观上研究流体的运动规律，必须在数学上对流体质点 的运动特征给出描述。描述流体质点运动，常采用两种方法： 拉格朗日法（Lagrange）法和欧拉法（Euler）。
13
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三 迹线 流线 脉线
描述流体运动，除了用数学式表示外，还常用几何图形来表示， 即描绘出一些线来表明流体运动的图景。
1 迹线 与拉格朗日法相联系 是一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线， 它给出同一质点在不同时刻的速度方向。
第3章 流体运动学2
图 3－12 一元流动
§3.4
连续性方程
mt dt mt
(mⅡ mⅢ )t dt (m Ⅰ mⅢ )t
稳定流动：
mⅡ m Ⅰ
上式中 m Ⅰ和 m Ⅱ 依次表示dt时间间隔流入和流出控制体的质量， 上式表明dt时间间隔内流入与流出的流体质量相等。至此，我们
已将适用于系统的质量守衡定律转换为针对控制体的连续性方程
了。
§3.4
连续性方程
1 A11dt 2 A22dt
1 A11 2 A22
或Qm1 Qm2
由于两个有效断面是任取的，所以上式也可表示为：
Qm A Const
一元稳定流动的连续性方程，既适用于不可压缩流体，也适用于
可压缩流体。物理意义：沿一元稳定流动的流程质量流量不变。
不可压缩流体
Q
i
Ai i 0
其意义是：稳定流动中，流入与流出控制体的流量代数和为0。
§3.4
连续性方程
设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、
3.4.3 空间运动的连续性方程
dy和dz，如下图所示。
y
dx x 2
uy
wk.baidu.com
dx x 2
假设微元平行六面体形 心的坐标为x、y、z，在
右边
( x, y , z , t )
§3.4
连续性方程
mt dt mt
(mⅡ mⅢ )t dt (m Ⅰ mⅢ )t
稳定流动：
mⅡ m Ⅰ
上式中 m Ⅰ和 m Ⅱ 依次表示dt时间间隔流入和流出控制体的质量， 上式表明dt时间间隔内流入与流出的流体质量相等。至此，我们
已将适用于系统的质量守衡定律转换为针对控制体的连续性方程
了。
§3.4
连续性方程
1 A11dt 2 A22dt
1 A11 2 A22
或Qm1 Qm2
由于两个有效断面是任取的，所以上式也可表示为：
Qm A Const
一元稳定流动的连续性方程，既适用于不可压缩流体，也适用于
可压缩流体。物理意义：沿一元稳定流动的流程质量流量不变。
不可压缩流体
Q
i
Ai i 0
其意义是：稳定流动中，流入与流出控制体的流量代数和为0。
§3.4
连续性方程
设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、
3.4.3 空间运动的连续性方程
dy和dz，如下图所示。
y
dx x 2
uy
wk.baidu.com
dx x 2
假设微元平行六面体形 心的坐标为x、y、z，在
右边
( x, y , z , t )
流体力学ppt课件
p yx y
pzx z
dv dt
Fy
1
pxy x
p yy y
pzy z
流体运动方程 的普遍形式
dw dt
Fz
1
pxz x
p yz y
pzz z
矢量形式
d d V tF 1 p x xp yyp zz
4
一、流体的运动方程
在运动流体中选取一小六面体体元，
其边长分别为：x,y,z
z
根据牛顿第二定律：
xyzdV =质量力+表面力
ddV tF dF 质 t F 表
x
z y
x
y
为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。
5
表面力分析
周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个
侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：
x
yz
x ?
p xx
p xx
前后侧面： pxxpxxxxyz
pxxyz
小体元所受的x方向的表面力 = 前后侧面之和： pxx xyz x
6
右左侧面：
pyx
pyx y
yxz
《水力学》课件——第三章 流体运动学
uM 0
=
lim (uM0
t
t0
uM0 ) + (uM t
u)
M
0
u
(u )u
t
举例
A A’ B B’
uAdt
uBdt
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t + (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
例如 d = + (u )
dt t
d= dt
t + ux x + uy y + uz z
号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。
• 总流过水断面上的流速
与法向一致，所以穿过 过水断面 A 的流量大小
为 Q = u d A ，其中 u
A
为流速的大小。
• 定义体积流量与断面面积
之比 v = Q
速
A
为断面平均流 ，
它是过水断面上不均匀流速 u 的一个平均值，假设过水 断面上各点流速大小均等于 v，方向与实际流动方向相 同，则通过的流量与实际流 量相等。
第三章 流体运动学
在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流 动的动力学因素。
连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束，也在本章的讨论范围之中。
流体力学ppt课件
•
p
mg
p
/
mg
:
单位重量流体所具有的压能。
•z p :
单位重量流体所具有的势能。
•
u2 2g
1 mu2 2
/ mg
:
单位重量流体所具有的动能。
56
• z p u2 : 单位重量流体所具有的机械能。
2g
1
Z1
0
2 Z2
0
由此可见,对于理想流体恒定元流,其单位重量流体的 机械能沿流线是守恒的。
32
2.断面平均流速
•过流断面上实际的点流速分布都是不均匀的
•在工程流体力学中，为简化研究，通常引入断面平 均流速概念
v Q AudA
AA
六、均匀流与非均匀流、渐变流
1.均匀流 (u )u 0
即迁移加速度等于零。各流线为彼此平行的直线。
2.非均匀流 (u )u 0
各流线或为直线但彼此不平行或为曲线。天然 河流是典型的非均匀流。
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
流体力学：第3章流体运动学(上)
v (a, b, c, t ) a ( a , b, c , t ) t
Euler法：
B(r, t ) M (r)
B(r vt , t t ) M (r vt )
v(r, t ) ui vj wk
质点
3.2.3 质点导数
.
算子
全 导 数
质点导数 随体导数
D Dt
(b) Re~15
(c) Re~25
(d) Re~40
(e) Re~60
例如电线在风中发声，潜艇的通气 管、拖缆在水中抖颤发声。
(f) Re>400
图9.6.1 真实流体的圆柱绕流
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.0 流体质点和空间点
•流体质点：是个物理点，它是在
2. 流线
• 根据定义，流线的微分方程为
udl 0
i j k dx dy dz 0 ux u y uz
其中
dl d xi d y j d zk
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
1.基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化 2.拉格朗日变数：（a,b,c,t）——区分流体 质点的标志 3.质点物理量：B(a,b,c,t)， 如：
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uvrv(a,b,c,t) t
uz
z (a , b , c ,t) t
流体质点加速度可表示为
av
2rv(a,b,c,t) t2
一、拉格朗日法
流体质点的压力和密度表示为
p p(a, b, c,t)
(a, b, c,t)
用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难 。而且在实际工程问题中，需要了解的是流动参数在空 间的分布规律，一般不需要了解流体质点详细的运动过 程。所以除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运 动中多采用欧拉描述。
特点：跟着选定的流体 质点，观察它的位移， 又称为“跟踪法”。
一、拉格朗日法
用拉格朗日法描述流体的运动时，运动质点的位置坐标不
是独立变量，而是起始坐标(a,b,c)和时间变量t 的函数即
x x a,b,c,t
y
y
a
,
b
,
c
,
t
或 rr(a,b,c,t)
z
z
a
,
b
,
c
,
t
Baidu Nhomakorabea
式中a,b,c,t 统称为拉格朗日变量，不同的运动质点的起
可得到质点P的加速度
avx x v vy y v vz v z v t v t v v
avx x v vy y v vz v z v t v t v v
由上式可见，在欧拉法中，流体质点的加速度包括两部
分，一部分是随时间的变化率 v ，另一部分是随空间
位置的变化率 (vv)。
t
加速度是速度场的随体导数。
加速度=当地加速度（局部加速度、时变导数） +迁移加速度（位变导数）
加速度在空间坐标x，y，z方向的分量为
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
始坐标不同。
固定a,b,c而令t改变，上式描述的是 初始时刻位于（ a,b,c)处的这一流体质点的运动规律；
固定t而令a,b,c改变，上式描述的是
t时刻不同流体质点在空间中的位置（分布）。
一、拉格朗日法
流体质点速度在直角坐标系中表示为
ux
x (a , b , c ,t) t
uy
y (a , b , c,t) t
uy
uz y
uz
uz z
当地加速度:反映流场的不定常性
稳定场， 定常场
当地加速 度为0
均匀场
迁移加速 度为0
迁移加速度:反映流场的不均匀性
例题：给定速度分布 vx x t，vy y t，v z 0 ，求t=0时的
ayd d y t ty xyd d x t yyd d y t zyd dz tayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x zd d x t y zd d y t zzd dx ta zd d z t tz x xz y yz z zz
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
ux uy
ux (x, uy (x,
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
a vtvx x vvy y vvz v z
哈密顿算子
i jk x y z
且有矢量运算公式 vvvx x vvy v yvz vz
t)
dx txd t xxd x yxd y zxdz
y y ( x , y , z , t ) dy tyd t xyd x yyd y zydz
z z(x, y,z,t)
dz tzd t xzd x yzd y zzdz
a xd d x t tx x xd d x t y xd d y t zxd dz ta xd d x t tx x x x y y x z zx
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
定义：如果在全部空间或部分空间里的每一 点，都对应着某个物理量的一个确定的值， 就说在这空间里确定了该物理量的一个 场。——具有物理量的空间。
内容
第一节 描述流动的两种方法 第二节 流动的分类 第三节 流体运动学的基本概念 第四节 连续性方程 第五节 流体微团运动分析
§3-1描述流动的两种方法
流体的运动可以看成充满一定空间的众多流 体质点运动的组合。研究流体的流动，就是研究 流场中流体运动参数的分布规律，其描述方法一 般分为以下两种：
描述方法
速度场与加速度场（欧拉描述下）
速度场：速度矢量的集合。任意瞬间，在流体流动的任一 空间上，速度矢量都有确定的大小和方向。
可写成
(r,t)
其标量分量为
x x(x, y, z,t) y y(x, y, z,t) z z(x, y, z,t)
加速度场
i j k a
x
d
dt
x(x
,
y
,
z
,
ddxvdyvdzv
二、欧拉法
着眼于流场（充满运动流体的空间）中的空间点 ，即设法描述出空间点处的运动参数，研究其随 时间的变化规律，以及相邻空间点之间这些参数 的变化规律。如果不同时刻每一空间点处流体质 点的运动状况都知道，则整个流场的运动状况也 就清楚了。
注意：空间点的运动参数并不是指空间点本身的 运动参数，而是某一时刻流过该空间点处的流体 质点的运动参数。