随机误差统计分布规律.

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2.1.1随机误差的正态分布性质

任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的。这一事实可以由下述现象反映出来：对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各个测定值的尾数上，总是存在着差异，表现出不定的波动状态。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。
随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。在对大量的随机误差进行统计分析后，人们认识并总结出随机误差分布的如下几点性质：
1.有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率为零。也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。
2.单峰性：随机误差具有分布上的单峰性。绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，零误差出现的概率比任何其他数值的误差出现的概率都大。
3.对称性：大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。
4.抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数趋于无穷时，全部随机误差的算数平均值趋于零。

统计学中的抽样误差分布

在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。本文将介绍统计学中的抽样误差分布。

一、抽样误差的产生原因

抽样误差的产生主要有以下几个原因：

1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。

2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。

3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。

二、抽样误差的分布

在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：

1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。这也是许多统计推断方法的基础。

2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。

3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。

4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。

三、抽样误差的影响

抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：

实验名称：时间测量中随机误差的分布规律 (2)

实验名称：时间测量中随机误差的分布规律

实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。

实验器材及规格：秒表0.01s

实验原理：

1常用时间测量仪器的简要原理：

机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。按一定频率发出有规律的声音和闪光。

电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。

V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。时标由DC10

集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。

2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：

()/2

()

X X

f x e

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∑

平均值计算公式：

X X n

=∑

标准差计算公式：

σ=

（1）统计直方图方法

在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max min

R X X

=-。

将极差分为K 个部分。每个区间长度x ∆

MAX MIN

X X R x K K

-∆=

将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。最后以X 为横轴i n

随机误差统计分布有关问题解答

“时间测量中随机误差的分布规律”的几个问题

1,在做这个实验时,数据的实际分布并不符合高斯分布.所以,不

以学生数据是否为高斯分布作为评分标准。

2, 把全部数据输入计算机（或计算器），用统计功能自动给出平均值和测量列的标准差。然后，按照66页（1）正态分布的标准形式，计算各个区间的概率密度，然后手写作图。该曲线并不一定是直方图的包络线。

3，不把全部数据输入计算机，只输入各个区间的中点值和相对频数，计算机自动给出直方图；在用高斯拟合，得到曲线。注意，用其它拟合（如劳伦兹拟合）也可以，甚至相关系数更好。我们只做高斯拟合。

4，计算机的高斯拟合是一级拟合，有常数项，所以形式发散（积分为无穷大）。而高斯函数的标准形式是零级，没有常数项（见66页（1）或29页（5）），且收敛。

（4）两者对照如下：

()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+=22002exp 2/w x x w A

y y π 式中y 0

为直流偏置项，A 为曲线下与直流偏置项之间的总面积，0x 为峰值，即平均值，w = 2σ, 曲线半高宽的 0.849倍。

与标准形式比较须设

()()⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=-=22022002exp 212exp 2/1σπσπx x w x x w A y y z 这时候满足归一化条件。2/w =σ。

关于单摆实验

单摆实验中内容3需要精确测量周期、摆角和线长，譬如采用数字毫秒计计时。

内容4，需要采用“气垫实验”中测量瞬时速度的装置，还要精确测量摆角。

这两部分内容不做。

§1—2随机误差的正态分布讲解

(-2 , +2 )
95.5
(-2.58, 2.58) (-3, +3)
(-2.58 , +2.58 )
99.0
(-3 , +3 )
99.7
例1-2 在消除了系统误差的情况下，某土壤试样中有机质的含量经多次测定，获得总体
平均值为2.64%。若σ=0.1%，
求⑴分析结果落在(2.64±0.20)%区间的概率; ⑵分析结果大于2.90%的概率.
x: 测量值
μ: 总体平均值
x-μ: 随机误差
特点: σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布
对称性:曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向
总体平均值集中的趋势；
| u | 面积 | u 面积 | u 面积 | u 面积
0.674 0.2500 1.000 0.3413 1.645 0.4500 1.960 0.4750
2.000 0.4773 0.500 0.1915
2.576 1.500
0.4950 3.000 0.4332 2.500
0.4987 0.4938
—决定曲线的中心位置，代表数据集中趋势，

随机误差统计规律分布特点

随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。

随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。

正态分布具有以下特点：

1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。

2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。

3.均值与中位数相等。

4.标准差越小，分布曲线越陡峭。

5.曲线下方的面积为1。

正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。

随机误差的统计规律

实验目的

(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程

实验方法原理

对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果

,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最

大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K

个，则每个小区间的间隔∆为 K

x x '

-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。以测量数

据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一

组矩形图，这就是统计直方图。直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。

实验步骤

(1) 用钢卷尺测量摆线长。 (2) 用游标卡尺测量摆球直径。

(3) 当摆长不变，摆角(小于5o

)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。

(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。

数据处理

990.0=l m 03364.0=d m 00682.12

l L m

2044.40='T s

051.2100

1001

∑=i i

T s

00672401100

()()(=--=

∑=n n x x

x S i i

知识笔记-2.2 随机误差的分析1-随机误差的统计处理

§ 2.2随机误差的分析

§ 2.2.1随机误差的统计处理

1、测量值的数学期望：对某一被测量进行n 次等精度测量，得到x 1,x 2...x n ,其算数平均值为：1

i i x x n ==∑，也称为样本平均值。当测量次数n →∞时，样本平均值x 的极限称为测量值的数学期望。

2、方差：当n →∞时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值，可写为：

221111lim ()lim n n i x i n n i i x E n n σδ→∞→∞===-=∑∑ 3、标准差：

1lim n i n i n σδ→∞==∑ 标准差反映了测量的精密度。

4、正态分布

根据概率论中的中心极限定理和随机误差的性质可知，在多数情况下，随机误差服从正态分布。其分布密度可以写为如下公式：

22-(x -E )1(x )=exp[]2σ2πσ

i x i ϕ 测量值x i 的分布曲线如图所示：可以看出，测量值对称的分

布在数学期望的两侧。

根据随机误差的正态分布曲线，可以得出以下结论：

☆ δ愈小、Φ(δ)愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概

率大；

☆随着δ的加大, Φ(δ)很快趋于0，即超过一定界限的随机

误差实际上几乎不出现(有界性；

☆ σ愈小，正态分布愈尖，表明测得值愈集中，精密度高；

☆ 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 (对称性、补

偿性)。

5、残差：

i i u x x =-

注意两点：☆ 残差的代数和等于0.

☆当测量次数趋于无穷时，残差等于随机误差.

6、有限次测量的标准差：

贝塞尔公式：∑-==∧

σn u i i n 1112 用极差法求标准差：=σC

测量值和随机误差的概率分布

总之σ决定了正态分布曲线的形状，曲线形状则生动直观地表明了测量值的离散程度(见图2-4)
相同
2 1
f (x)
1
2
x
图2-4 与正态分布曲线的形状
• 由于正态分布曲线完全决定于µ和σ ，一旦它们确定之后，正态分布曲线就完全确定了，所以正态分布记为
N (， 2）
• 测量及其统计处理的最终目的是为了较正确地估计出这两个参数
第二章
测量值和随机误差的概率分布
• 随机误差服从一定的统计规律。
• 随机误差的波动变化将导致测量值的波动变化，所以在多次测定中，测量值与随机误差一样，也服从一定的统计规律。
• 这种统计规律称为测量值和随机误差的概率分布。
§2-1测量值的分布
2-1-1 频率分布（requency distribution） • 在相同条件下，重复测定某合成反应产物的百分
f (u)
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1 0 1 2 3 u
图2-7标准正态分布曲线
§2-4 积分概率
2-4-1总概率
• 已知直方图中所有矩形面积的总和为1，恰好
等于样本中所有测量值出现的总频率。由此
类推，正态分布曲线与横轴所围的面积为1
一总体中所有测量值出现的总概率为1
f (x)dx 1
f ( x) 1 e(x )2 / 2 2

用Excel研究单摆测重力加速度实验中的随机误差分布规律

般而言，在单摆实验中只需研究周期的随
机误差分布规律，是因为周期测量对重力加速这度随机误差和系统误差的影响均大于摆长，而从
导致周期测量对重力加速度不确定度的影响远大于摆长［。当单摆的线长为４ｍ时，用单摆５］１ｃ利
知，利用拟合直线的斜率忌可计算出ｇ的大小。
一
Ｌ
ｇ
（）３
考虑空气浮力、空气粘滞阻力的情况下，摆线质量远小于小球质量，摆的摆角≤ ５，摆球在同一单。且竖直平面内摆动时，单摆周期Ｔ满足下式：则
丁㈣
利用上述ｇ的测量方法，１ｍ改变一次每０ｃ单摆的摆长（由于摆球是锥体，实验中的摆长即为线长，这对拟合直线的斜率无影响）共改变五次，
且精度较高，用较为广泛。在物理实验教学中，应
百度文库
单摆法测重力加速度是一个设计性实验，该实验
有两个实验目的：一，第由于单摆的摆球不是小
球，而是锥体等不规则物体，需要同学自己设计实验方案测出重力加速度；第二，要求同学利用统计方法研究摆球运动周期的随机误差分布规律，从而加深对随机误差统计规律的认识Ｌ。目前，３］人们对重力加速度的测量计算已进行了大量研究，提出了各种计算方法，其中图像法是最为精确的种方法［。然而，随机误差分布规律的研究４］对

随机误差符合统计规律

随机误差是一种不可预测的数据偏差，它是由于自然界中的噪声或其他随机因素引起的。随机误差可以遵循特定的统计规律，这种规律可以表示为概率密度函数形式。常见的统计规律包括正态分布、均匀分布、指数分布和卡方分布。这些分布表示了特定情况下随机误差出现的概率。例如，正态分布描述的是大多数随机误差出现在平均值附近的情况，而均匀分布描述的是所有随机误差均匀分布在范围内的情况。

随机误差的统计分布实验报告

引言

在实验操作过程中，实验者经常会遇到一些误差，其中包括系统误差和随机误差。系

统误差通常是由于测量仪器的不准确性或实验条件的变化而引起的，它们通常是可确定的

和可纠正的。而随机误差则是由于测量时产生的偶然因素所导致的误差，它们通常是无法

预测和纠正的。本实验旨在对随机误差的统计分布进行探究，并对实验数据进行误差分

析。

实验方法

1. 实验仪器：数码万用表，函数信号发生器，示波器。

2. 实验步骤：

（2）调节函数信号发生器的频率和幅度，使信号调制混沌。

（3）在示波器上观察到混沌信号，并记录。

（4）重复测量实验数据并记录。

结果与分析

本实验的测量数据共进行了20次，数据结果如下表所示：

实验数据 |

| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

| 1 | 5.15 | 5.13 | 5.11 | 5.16 | 5.10 |

| 2 | 5.14 | 5.10 | 5.10 | 5.17 | 5.10 |

| 3 | 5.09 | 5.17 | 5.12 | 5.14 | 5.14 |

| 4 | 5.12 | 5.16 | 5.12 | 5.13 | 5.17 |

| 5 | 5.10 | 5.15 | 5.14 | 5.11 | 5.12 |

| 6 | 5.13 | 5.13 | 5.13 | 5.15 | 5.09 |

| 7 | 5.11 | 5.12 | 5.16 | 5.10 | 5.11 |

| 8 | 5.09 | 5.11 | 5.12 | 5.10 | 5.12 |

02-实验二随机误差的统计分布规律.

3. 分析本实验的测量结果和误差来源。数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。 x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n

（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。 6

如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。但是从长期来看如果抛掷的次数足够多，则将会达到。设想：如果抛掷了 6400 次，可以预料，0 个正面将出现100 次，1 个正面将出现 600 次，2 个正面将出现 1500 次等等。也就是说，在抛掷的数量足够多的情况下，我们可以预期，随着实验次数的增多，当测量次数取无穷大时，最终将出现和图 8-2 相同的出现概率。图1-2 25 64次抛掷中预期的出现频率图 8-2 20 15 系列1 10 5 0 1 2 3 4 5 每次抛掷的正面数目 6 7 7

随机误差的正态分布随机误差的正态...

δ − 随机误差 σ − 随机误差的标准偏差
随机误差
正态分布
例如用同一个量具对某一轴的直径进行测量。真值14.36mm，50次重复测量。
随机误差的正态分布
特点：
单峰性：小误差比大误差出现的概率大, 误差概率与误差大小有关。
对称性：绝对值相等的正负出现的概率相等。
有界性：极大正误差和极大负误差出现的概率很小
准确度：差精密度：差
2.2 随机误差
y
研究随机误差是在假定无系统误差的前提下进行的；
随机误差：其大小和符号不可预测；
产生因素：无法预测和控制；
变量特点：概率分布服从一定的统计规律。
δ
2.2.1 随机误差的分布规律
正态分布的概率密度函数
− δ2
y(δ ) = 1 e 2σ 2 2π σ
4. 计算标准差估计值； 5. 判别（含剔除）异常数据
n
∑ 4 :σl =
Vi 2 1 ; (i = 1, 2,..., n)
削弱和消除系统误差的基本方法
• 换位抵消法,又称对照法：通过交换测量条件，使产生系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而抵消其影响。如下可消除R1和R2的误差。
相乘
R1
Rx
Vs
例：电阻电桥（采用Vo=0的测量）
Vo
R2

时间误差分布规律sqq

实验题目：时间测量中的随机误差分布规律

实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统

计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验仪器：电子秒表、机械节拍器(或电子节拍器)

实验原理：

1 、实验仪器简要原理：

机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。按

一定频率发出有规律的声音和闪光。

电子秒表：机心由CMOS 集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，分辨频率为0.01s 。

2、统计分布规律原理

1)函数公式

在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各

测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：

（1）22

2)(21

)(σπσx x e x f --= （2）⎰-=a a dx x f a P )()(

(1)式中x 为测量的算术平均值 n x x n i i ∑==

1,sigma 为测量列的标准差 1)(12--=∑n x x

n i σ (2)式中σσσ3,2,=a

分别对应不同的置信概率

2 )统计直方图方法与概率密度分布曲线

统计直方图是用实验研究的某一物理现象统计分布规律的一种简便易行，直观清晰的方法。

本实验中利用式（1）得到概率密度分布曲线f(x)-x 图像，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差（由测试者的心理因素、外界环境、仪器系统误差、测量次数非无穷大等决定）范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布。