随机误差统计分布规律.
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
1-4随机误差的统计分布
大学物理实验 4 1.4 随机误差的统计分布1.4.1 随机误差的正态分布1．正态分布规律在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果1x ，2x ，…n x 一般存在着一定的差异。
如果该被测量的真值为a ，则根据误差的定义，各次测量的误差为1,2,3,i i x a i n δ=-=大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差i δ服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。
正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1-2所示，横坐标为误差i δ，纵坐标为随机误差的概率密度分布函数()f δ。
当测量次数n →∞时，此曲线完全对称。
2．正态分布的性质（1）单峰性。
误差为零处的概率密度最大，即绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
（2）对称性（抵偿性）。
大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧，当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。
（3）有界性。
在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度，即非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
根据误差理论可以证明函数()f δ的数学表达式为()2221e 2πf δσδσ-= （1-3）测量值的随机误差出现在(),d δδδ+区间内的可能性为()d f δδ，即图1-2中阴影线所包含的面积元。
式（1-3）中的σ是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。
1.4.2 标准误差及其计算1．标准误差的物理意义按照概率理论，误差δ出现的区间(),-+∞∞的事件是必然事件，所以()d 1f δδ+-=⎰∞∞，即曲线与横轴所包围面积恒等于1。
当0δ=时，由式（1-3）得()102πf σ= （1-4）图1-2 随机误差的正态分布曲线第1章 测量误差与数据处理的基础知识 5 由式（1-4）可见，若测量的标准误差σ很小，则必有f (0)很大。
用Excel研究单摆测重力加速度实验中的随机误差分布规律
知， 利用拟合直线 的斜率 忌 可计算出ｇ的大小。
一
Ｌ
ｇ
（） ３
考虑空气浮力 、 空气粘滞阻力的情况下 ， 摆线质量 远小于小球 质 量 ， 摆 的摆 角≤ ５， 摆球 在 同一 单 。且 竖 直平 面 内摆 动时 ， 单摆 周期 Ｔ满 足下式 ： 则
丁 ㈣
利用上 述 ｇ的测 量 方法 ， １ ｍ 改 变 一次 每 ０ｃ 单 摆 的摆 长 （ 由于摆球 是锥体 ， 实验 中的摆 长 即为 线长， 这对 拟合直 线 的斜 率 无 影 响 ）共 改 变 五次 ，
２ 随机误差 的分布规律
一
结果进行修正。但当明显的系统误差消除或修正 后 ， 同一 条 件 下多次 测量 同一 物理量 时 ， 在 测量结 果仍会出现一些无规律 的起伏 ， 这主要是 由随机
误差 引起 的 。随 机误 差 的 出现 不 可 避 免 ， 于单 对 次测 量而 言 ， 它是没 有规 律 的 ， 当测量 次数 足够 但 多时 ， 随机误 差 服从 统计 分 布规律 ， 以用统 计方 可
重 复测 量 了 ２ ０次 周 期 ， 次 测 量 包 含 ５ ０ 每 Ｏ个周 期， 测量 数据 如表 １ 所示 。
法估算随机误差。鉴于单摆法测重力加速度实验
表 １ 单摆运动 ５ Ｏ个 周 期 的 时 间
为 了用 统计 方法 得 到周期 的随机误 差分 布规
律， 需将 表 １中 ２ ０组数据 从 小到 大进行 分类 ， ０ 计
ｇ＝ ４
１
（） ２
为了提高 ｇ的测量精度， 一般采用图像法求解 ｇ 。
具 体方法是 这样 的 ： 过改变 摆长 Ｌ， 量 出相应 通 测 的周期 Ｔ， 合 出 — 的关 系 图 ， 由 （）式 可 拟 Ｌ 再 ３
测量值和随机误差的概率分布
（2-8）
• 视为概率在微小区间 xi , xi x 上的增量
2 由概率密度定义推论 （1）点上的概率为零
f (x) dx f (x) 0 0
某点的概率密度大，则测量值在该点附近的概率大
（2）无穷小区间上的概率
dp f (x)dx
（2-9）
（3）区间（a，b）上的概率
b
P(a,b) a f (x)dx
•令 •即
f (r)
1
r2
e 2 2
2
f (x)dx f (r)dr
（2-15）
• f（r）为随机误差的正态分布密度函数，r为随机 误差
2-2-2 正态分布
• 因为
1
lim n n
1
ri
lim
n
n
(xi )
lim 1 n n
xi
0
（2-16）
• 即随机误差的总体平均值为0
• 所以正态分布曲线的位置是确定的，在曲线最高
Si
ni nx
x
ni n
（2）所有矩形面积之和等于频率的总和1
S
Si
ni nx
x
ni n
1
2 形状与分布规律
（1）频数曲线在横轴上跨越的范围就是测量值分布 的范围
这个范围并不小，说明测量值是分散的
（2）频数曲线两边低，中间高，
说明较大或较小的值，即偏离较远的值，出现的频 率小；
中间值，即趋近于样本平均值(60.78)的值，出现的 频率大，说明测量值又是集中的
• 前两条是一般统计检验的理论根据和出发点。 • 第三条说明增加测定次数可以减小直至消除随机
误差。
§2-3 标准正态分布（u分布）
1002随机误差
14 3.08
0.07
2
0.0133
频率密度 fi / x
11 8 8 7 5 3 1
x 3.01
fivi 0
n=150 fi 0.9999
10
2、统计直方图 根据表1-1的数据可按下列步骤作出统计直方图。
以xi为横坐标，以fi 或 fi /x为纵坐标建立坐标系。
2 i
vi2
n
2 x
2
x
vi
vi2
n
2 x
i1
i1
i1
i1
n
n
i
vi
n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
2
i
n
i2
n
2 i j
2 x
i 1
n
i1 n2
1
2
单峰性
A、对称性 f ( ) 0 f ( ) f ( )
B、抵偿性 C、单峰性 D、有界性
n
随着测量次数的增加， lim
i
i 1
0
n n
δ=0时, fmax ( ) f (0) f ( ) f (0)
随机误差δ出现在一个有限的区间
内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。
1879.64
li
vi
-0.01
0
+0.04
+0.05
-0.05
-0.04
+0.04
随机误差及数据处理
（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
5
(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
6
(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
02-实验二 随机误差的统计分布规律.
3. 分析本实验的测量结果和误差来源。
数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。
由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。
x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。
然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。
6如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1）其中nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ（3）⎰=aa-f(x)dx P(a)（4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
系统误差和随机误差
系统误差与随机误差
由于测量工具（或测量仪器）本身固有误差、测量原理或测量方法本身理论的缺陷、实验操作及实验人员本身心理生理条件的制约而带来的测量误差称为系统误差．系统误差的特点是在相同测量条件下、重复测量所得测量结果总是偏大或偏小，且误差数值一定或按一定规律变化．减小系统误差的方法通常可以改变测量工具或测量方法，还可以对测量结果考虑修正值．
随机误差又叫偶然误差，即使在完全消除系统误差这种理想情况下，多次重复测量同一测量对象，仍会由于各种偶然的、无法预测的不确定因素干扰而产生测量误差，称为随机误差．
随机误差的特点是对同一测量对象多次重复测量，所得测量结果的误差呈现无规则涨落，既可能为正（测量结果偏大），也可能为负（测量结果偏小），且误差绝对值起伏无规则．但误差的分布服从统计规律，表现出以下三个特点：单峰性，即误差小的多于误差大的；对称性，即正误差与负误差概率相等；有界性，即误差很大的概率几乎为零．从随机误差分布规律可知，增加测量次数，并按统计理论对测量结果进行处理可以减小随机误差．。
大学物理实验理论考试题及答案
一、选择题(每题4分,打“* ”者为必做,再另选做4题，并标出选做记号“* ”,多做不给分，共40分)1某间接测量量的测量公式为,直接测量量x和y的标准误差为和，则间接测量量N的标准误差为？B ；，2。
用螺旋测微计测量长度时，测量值=末读数—初读数（零读数），初读数是为了消除（ A ）（A)系统误差(B）偶然误差（C）过失误差（D)其他误差3 在计算铜块的密度ρ和不确定度时,计算器上分别显示为“8。
35256”和“0.06532”则结果表示为:( C ）(A) ρ=（8。
35256 ± 0.0653) （gcm– 3 )，（B）ρ=（8。
352 ± 0。
065）（gcm– 3 ），（C) ρ=(8.35 ± 0.07） (gcm– 3 )，(D) ρ=（8.35256 ± 0.06532）（gcm – 3 )（E）ρ=（± 0。
07）（gcm– 3 ），(F) ρ=（8.35 ± 0。
06）（gcm– 3 ），4 以下哪一点不符合随机误差统计规律分布特点（ C ）（A) 单峰性（B) 对称性（C）无界性有界性（D）抵偿性5 某螺旋测微计的示值误差为，选出下列测量结果中正确的答案：（ B )A．用它进行多次测量，其偶然误差为；B．用它作单次测量，可用估算其误差;C.用它测量时的相对误差为。
无单位；有单位。
6 在计算数据时，当有效数字位数确定以后,应将多余的数字舍去.设计算结果的有效数字取4位，则下列正确的取舍是：（ B ）四舍六入逢单配双A:4。
32749→4.328; B:4。
32750→4.328 C：4.32851→4。
328 D：4.32850→4。
3297、在气体比热容比测定实验中，由于大气压强变大,则小球的振动周期将（Ｂ)(A）变大（B)变小（C）不变（D）不确定8、分光计采用双游标读数的原因是（ C ）A：消除视差引起的系统误差B: 消除视差引起偶然误差C ：消除偏心差引起的系统误差D ：消除偏心差引起的偶然误差9、扭摆仪上只有圆盘时,其摆动周期为T1 ，放上待测物体后，摆动周期为T2 ,则（Ａ）（A）T1〈T2（B）T1 = T2（C）T1〉T2（D）不能确定10、若给示波器y轴输入一个周期性三角波电压，在x 轴输入一个直流电压，则示波器显示的波形为（Ａ）（A) （B）（C）(D）11）A．不等间距的衍射条纹；干涉B．等倾干涉条纹；迈克尔孙干涉仪C．等间距的干涉条纹；中间疏外边密D．等厚干涉条纹.12、下列哪些概念不适用拉伸法测杨氏模量实验。
随机误差
(x)
(b
1 a)B(g,
h)
x b
a a
g 1
1
x b
a a
h1
数学期望 bg ah
gh
标准方差 (b a) gh
(g h) g h 1
贝塔分布的性质与密度函数图
在给定分布界限a,b 下通
过参数g,h 取不同值，贝塔
0
1 a2 x2
a xa 其他
数学期望 E 0
f (x )
标准方差
a
2
置信因子 k a 2
服从反正弦分布的可能情形
度盘偏心引起的测角误差；
正弦（或余弦）振动引起的位移误差； -a
o
无线电中失配引起的误差。
a
x
瑞利分布
概率密度函数
f (x)
2、类型
▪正态分布统计检验
❖夏皮罗-威尔克检验 ❖偏态系数检验 ❖峰态系数检验
▪一般分布检验
❖皮尔逊检验
皮尔逊 2
检验( n 50
)
1、提出原假设
H0 : F (x) F0 (x)
▪把整个数轴分成m个区间
(, a1], (a1, a2 ],L L , (am1, )
▪总体X 的分布函数 F(x)未知 ▪ fi 频数，样本的观察值落
在区间 [3 ,3 ] 内的概率P 3
P 3 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
随机误差服从正态分布，且标准偏差为 ，则 在该条件下，进行100次测量，可能有99次的随 机误差落在区间内[3 , 3 ]
多数随机误差都服从正态分布规律
2019/8/19
21
随机误差的正态分布规律
次 数 统 计
长度相对测量值
2019/8/19
22
随机事例的几个例子
彩票摇奖
2019/8/19
23
下图是射击弹着点示意图，请你分别 说出图a、b、c各是什么原因造成的，应 如何克服？
偏差特别大
弹着点接近 正态分布
弹着点均偏 向右上侧
2019/8/19
找出传感器实际特性曲线与拟合直线之间的最大偏差lmax再除以传感器量程就得到1拟合直线yaxb2实际特性曲线20191537用一台3位精度为05级已包含最后一位的1误差的数字式电子温度计测量汽轮机高压蒸汽的温度数字面板上显示出如图所示的数值
项目1 检测技术基础知识
一．教学目的 1. 学习测量的基本概念、误差的概念以及传感
请判断右图数字表的 位数、分辨力及分辨率。
2019/8/19
仪表背面的接线端子
43
可靠性 ：可靠性是反映检测系统在规
定的条件下，在规定的时间内是否耐用的一 种综合性的质量指标。
浴盆 曲线
2019/8/19
44
“老化”试验：在检测设备通电的情况下，
将之放置于高温环境 低温环境 高温环 境……反复循环。老化之后的系统在现场使用 时，故障率大为降低 。
2019/8/19
40
判定数字仪表位数的练习
请判断下图数字表的位数
2019/8/19
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分辨力
分辨力是指仪器能检出和显示被测信号的最小变化量， 是有量纲的数。当被测量的变化小于分辨力时，传感器对输 入量的变化无任何反应。对数字仪表而言，如果没有其他附 加说明，一般可以认为该表的最后一位所表示的数值就是它 的分辨力。一般地说，分辨力的数值小于仪表的最大绝对误 差。例如，下图所示的数字式温度计分辨力为0.1℃，若该仪 表的精度为1.0级，则最大绝对误差将达到±2.0℃，与分辨 力相比差得多。有时在没有其它附加说明的少数情况下，也 可以认为分辨力就等于它的最大绝对误差。
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实验题目：时间测量中的随机误差分布规律
实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分
布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。
（2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
（3）电子秒表兼有数种测时功能。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器
作时标，一般用六位夜晶数字显示。
（4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
六档方波脉冲
作为时标信号和闸门时间。
2、统计分布规律和研究
(1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）
的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
其中n
x
x n
i i
∑==
1
为测量的算术平均值，
1
)(1
2
--=∑=n x x
n
i i
σ为测量列的标准差，
⎰-=a a
dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a
(2)概率密度分布曲线
求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率
密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。
实验步骤：1、时间测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。
（2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。
2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。
实验器材：电子秒表、机械节拍器
实验桌号：6号
数据处理：
实验所测的原始数据如下（单位：秒）：
表一：原始数据
数据分析如下：
最小值：x min =5.03s 最大值：x max =5.24s
平均值：
s
x i i
x
12.5150
150
1
==
∑=
标准差：
s
x i i
x 047.01
150)
(1501
=--=
∑=σ
统计频数得下表：
表二：节拍器的频数和频率分布表
5.18 5.15 5.07 5.18 5.10 5.16 5.13 5.18 5.04 5.145.24 5.18 5.18 5.08 5.16 5.18 5.11 5.19 5.05 5.165.20 5.18 5.10 5.09 5.18 5.17 5.14 5.18 5.12 5.135.18 5.13 5.16 5.12 5.14 5.09 5.09 5.14 5.15 5.095.15 5.10 5.14 5.13 5.13 5.15 5.16 5.13 5.05 5.165.15 5.13 5.13 5.05 5.09 5.17 5.10 5.11 5.06 5.155.22 5.10 5.15 5.12 5.10 5.17 5.08 5.08 5.13 5.075.11 5.09 5.11 5.08 5.14 5.13 5.13 5.05 5.09 5.065.17 5.18 5.14 5.15 5.05 5.14 5.23 5.12 5.11 5.085.16 5.19 5.12 5.12 5.13 5.15 5.13 5.06 5.08 5.135.15 5.24 5.16 5.14 5.10 5.05 5.08 5.09 5.17 5.125.09 5.09 5.10 5.08 5.09 5.14 5.03 5.04 5.18 5.045.19 5.17 5.15 5.09 5.13 5.19 5.10 5.07 5.18 5.085.20 5.18 5.10 5.06 5.10 5.19 5.09 5.05 5.05 5.175.13 5.16 5.13 5.08 5.03 5.05 5.05 5.19 5.12 5.10
区域起始/s 区域末尾/s 区域中点/s 频数频率
5.020 5.045
5.032550.0335.045 5.070 5.0575140.0935.070 5.095 5.0825260.1735.095 5.120
5.1075170.1135.120 5.145 5.1325350.2335.145 5.170 5.1575200.1335.170 5.195 5.1825270.1805.195 5.220
5.207520.0135.220 5.245
5.232540.027
根据上表作出统计直方图，并拟合一条高斯曲线：
节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n/N
图一：节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
由公式：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
⎰-=a
a
dx x f a P )()(以及σ=0.047s 得
P(σ)=0.683； P(2σ)=0.954； P(3σ)=0.997；
所以考虑测试者的心理因素、外界环境和仪器系统误差等因素的影响，该测量结果基本符合正态分布。
测量结果平均值的标准差可计算得： A 类不确定度为：
s s
n
A u x
004.0150
047.0==
=
=σ
σ
B 类不确定度为u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s ； 合成不确定度68.0,067.0067
.0004.02
222
==+=
+=
P s U u
u B
A
那么结果最后可表成：t=(5.12±0.07)s P=0.68。