第11课时正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性

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三角函数的周期性和奇偶性

三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。

例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。

这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。

余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。

3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。

正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。

二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。

具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。

例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。

正弦,余弦函数的性质

余弦函数：单调减区间： [2k ,2k ], k Z 单调增区间： [2k ,2k 2 ], k Z
余弦函数：当且仅当 x 2k，k Z时取得最大值 1 当且仅当x 2k，k Z时取得最小值 - 1
例4：求下列函数的最值，并写出取得最值时的自变量x的集合
正余弦函数的性质——单调性
1
2

3 2

2
-1
2

3 2
2
由函数周期性可知：
正弦函数 y sin x在每一个闭区间 [

2 2 其值从 1增大到1 ；
2 k ,

2 k ]上都是增函数
3 在每个闭区间 [ 2 k , 2k ] 2 2 上都是减函数，其值从 1减小到 1 ；

例6：求下列函数的单调区间
x (1) y sin( ) 2 3
x (3) y sin( ) 2 3
x (2)y cos ( ) 2 3
x (4)y cos( ) 2 3
课堂小结：
1、通过本节课，你学了哪些知识？
2、通过本节课学习你掌握了哪些数学方法？
注：在不加特别说明的情况下，涉及的周期都是指最小正周期。
思考1：是不是所有的周期函数都有最小正周期呢？
例如：f(x)=1,就没有最小正周期。
2 思考2：对于函数 y sin x, 有 sin( ) sin , 6 3 6

2 能否说是它的周期 ? 3
例1. 求下列三角函数的周期：
1.4.2正弦、余弦函数的性质
山东省北镇中学
高一数学组
复习回顾问题1：

正弦函数余弦函数的图像与性质

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数，用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用正弦和余弦函数来描述，如桥梁振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。

正弦函数余弦函数的性质

1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y
1
y=sinx (xR)
2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-
o
-1
y=cosx (xR) 单调性（单调区间）
x
函数
奇偶性 [

2
+2k, +2k],kZ 单调递增 +2k,
3 2 2

y=sinx
奇函数

余弦函数的单调性
y
1
-3

5 2
-2

3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…

2
…
0
1
…

2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ 减区间为 [2k, 2k + ], kZ ，其值从-1增至1 其值从 1减至-1
k

k

4
x k

4
,k Z
y为减函数
函数
奇偶性 [

2
单调性（单调区间） +2k, +2k],kZ 单调递增

正弦函数奇函数
[

2
+2k,
3 2
2
+2k],kZ 单调递减
单调递增

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性含解析

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数．能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)

∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x，所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)，即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4

三角函数的周期性与奇偶性知识点

三角函数的周期性与奇偶性知识点三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学中有着广泛的应用，涉及到周期性与奇偶性的概念。

本文将详细介绍三角函数的周期性与奇偶性知识点，以便读者更好地理解和运用这些函数。

一、正弦函数的周期性与奇偶性正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

换句话说，当自变量增加2π时，正弦函数的值会再次重复。

具体而言，正弦函数的周期性可以表示为sin(x + 2π) = sin(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加一个周期的长度，正弦函数的值将保持不变。

正弦函数还具有奇偶性。

奇函数的特点是在原点关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)。

对于正弦函数来说，sin(-x) = -sin(x)，因此它是一个奇函数。

这也意味着，正弦函数的图像关于坐标原点对称。

二、余弦函数的周期性与奇偶性余弦函数也是一种周期函数，其周期同样为2π。

与正弦函数类似，余弦函数的值在自变量增加一个周期的长度后会再次重复，即cos(x +2π) = cos(x)。

不同的是，余弦函数是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。

在余弦函数中，cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的周期性与奇偶性正切函数是一个没有周期的函数，它在某些点上是无界的。

因此我们不能像正弦函数和余弦函数一样讨论它的周期性。

然而，正切函数具有奇偶性。

在正切函数中，tan(-x) = -tan(x)，因此它也是一个奇函数。

与正弦函数一样，正切函数的图像关于原点对称。

综上所述，三角函数的周期性与奇偶性是它们在数学中重要的性质。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数是奇函数而余弦函数是偶函数。

正切函数虽然没有周期，但仍然是一个奇函数。

这些性质在解决数学问题和实际应用中起到重要的作用。

通过了解三角函数的周期性与奇偶性，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质。

这对于解题和应用三角函数来说是非常有帮助的。

《正余弦函数的性质》课件

对称性
正余弦函数关于原点对称
正余弦函数关于y轴对称
正余弦函数关于x轴对称
正余弦函数关于直线y=x对称
正余弦函数的应用
第五章
在三角函数中的应用
正余弦函数是三角函数的基础，广泛应用于解三角形、解析几何等领域正余弦函数在解三角形中的应用：利用正余弦定理求解三角形的边角关系正余弦函数在解析几何中的应用：利用正余弦函数表示圆、椭圆、双曲线等曲线的方程正余弦函数在物理、工程等领域中的应用：如振动、电磁场、机械运动等
斜边与对边的比值
正矢函数：y=sinhx，表示双曲正弦函数
余矢函数：y=coshx，表示双曲余弦函数
正双曲函数： y=tanhx，表示双曲
正切函数
余双曲函数： y=cothx，表示双曲
余切函数
三角恒等式与变换
正余弦函数的三角恒等式：sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 + x)
余切函数在区间[0, π/2]上是单调递减的
凹凸性
正弦函数：在定义域内是单调递增的，因此是凹函数
正切函数：在定义域内是单调递增的，因此是凹函数
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
余弦函数：在定义域内是单调递减的，因此是凸函数
余切函数：在定义域内是单调递减的，因此是凸函数
零点
正弦函数的零点：x=nπ，n为整数余弦函数的零点：x=nπ+π/2，n为整数正切函数的零点：x=nπ/2，n为整数余切函数的零点：x=nπ，n为整数
图像变换
平移：沿x轴或y 轴移动图像
伸缩：改变图像的大小和形状
旋转：改变图像的方向和角度
反射：将图像翻转或镜像

正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法： (1)公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx 2π ＋φ)＋B 的形式，再利用 T＝求得；(2)图象法，利用变换 |ω| 的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．
19π 2．[变设问]若本例条件不变，求 ƒ － 6 的值． 19π 19π π 解：ƒ － 6 ＝ƒ 6 ＝ƒ 3π＋6
1．4.2
第一课时
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
[新知初探]
1．周期函数 (1)周期函数的概念
条件 ①对于函数ƒ(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) 函数ƒ(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的
定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数， π 若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈0，2 时，ƒ(x)＝sin x， 5π 求ƒ 3 的值． [解] ∵ƒ(x)的最小正周期是π， [典例]
∴ƒ
5π 5π π ＝ƒ －2π＝ƒ － 3 3 3 π π π －＝ƒ ＝sin ＝ 3 3 3 5π ＝ 3
周期
结论
(2)最小正周期
条件周期函数ƒ(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x)的最小正周期
[点睛]
对周期函数的两点说明

正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

例2 判断下列函数的奇偶性：
(1) y 2 sin 2x
xR
(2) y x sin( x) x R
(3) y x2 cos x
xR
(4) y sin( x )
2
x [0,2 ]
(5) y 1 cos x cos x 1 x R
三、课堂小结:
本节课我们主要学习了
（1）正弦、余弦函数的周期性与奇偶性；
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
一、复习回顾:
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系y ？ 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx22源自1 2222
x
2
O
2
2-1
2
2
2
t
p
1 2
5730
(3) y 2sin( 1 x ), x R
26
(4) y 2sin( 3x ) 1, x R
4
例2、设函数f (x)(x R)是以3为最小
正周期的周期函数,且x 0,3时f (x)
2x,求f (2), f (4), f (9)的值. 2
正弦函数与余弦函数的奇偶性： y=sinx x∈R为奇函数 y=cosx x∈R为偶函数
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
正、余弦函数是周期函数， 2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
例题讲解：
例1 求下列函数的周期：
(1) y 3cos x, x R (2) y sin 2x, x R

正弦、余弦、正切函数图象及其性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调

正弦、余弦函数的性质（正弦、余弦函数的性质（二）
（奇偶性、单调性）奇偶性、单调性）
武汉睿升学校：武汉睿升学校：关俊
正弦、余弦函数的周期性：正弦、余弦函数的周期性：正、余弦函数的一般形式：余弦函数的一般形式：
f ( x) = A sin(ω x + ϕ ) f ( x) = A cos(ω x + ϕ )
T= 2π
ω
f ( x + T ) = f ( x)
y = − sin(πx +
π
6
)
下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？
1，y = sin x
2，y = sin x 3，y = sin x + sin x
1 4，y = sin x + 2
1 5、函数对于任意实数x满足条件、函数f(x)对于任意实数满足条件 f ( x + 2) = 对于任意实数 f ( x)
y
1 -4π -3π -3π
−
5π 2
y
1 π
π
2
-2π -2π
− 3π 2
-π -π
−Leabharlann oπy=sinx
2π π
3π 2
3π 2π
5π 2
4π 3π
5π
7π 2
6π 4π
-1
2
o
-1
x x
关于与x轴的交点对称关于与轴的交点对称（kπ ,0） k ∈ Z
2k + 1 y=cosx关于（关于 π ,0） k ∈ Z 点对称 2
f ( − x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x )

高一数学必修一三角函数奇变偶不变

高一数学必修一三角函数奇变偶不变
三角函数的奇偶性：
正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（1）正弦函数的奇偶性：sin（-x）=-sin（x），所以正弦函数是奇函数。

（2）余弦函数的奇偶性：cos（-x）=cos（x），所以余弦函数是偶函数。

（3）正切函数的奇偶性：tan（-x）=-tan（x），所以正切函数是奇函数。

三角函数的周期性：
正弦函数，余弦函数，正切函数都是周期函数。

（1）正弦函数的周期性：sin（x+2π）=sin（x），所以正弦函数的周期为2π。

（2）余弦函数的周期性：cos（x+2π）=cos（x），所以余弦函数的周期为2π。

（3）正切函数的周期性：tan（x+π）=tan（x），所以正切函数的周期为π。

注意：三角函数的周期性和奇偶性是三角函数的基本性质之一，掌握良好非常重要。

1.4.3正余弦函数的性质周期性、奇偶性

(2) y sin z 的对称中心为( k ,0) , k Z z k 2 x k x k 6 2 3
对称中心为 (

6
k

2
,0) , k Z
二、正、余弦函数的单调性:
y sin x
-3
5 2
y
1
-2
3 2
-

4T 4
三、正、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
-4 -3 -2 -
y=sinx (xR) 奇函数
定义域关于原点对称
y=cosx (xR) 偶函数
1T 2
2T
1 3y 2 sin x , x R 6 2
3T 4
探究：你能探究出下列函数的周期吗？
y A sin( x )的周期： y A cos( x )的周期：
2 y A sin( x )的周期： T | |
2 对称轴： x k , k Z
2 对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z 2
题型一、”整体法”求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
例1、求下列函数的单调区间（ 1 ）y sin(2 x ) 4 (3) y sin(2 x ) 4
2 y A cos( x )的周期： T | |
练习:求下列函数的周期：
1 1 y sin( x ) 3 4

正弦函数、余弦函数的性质——周期性

课题：正弦函数、余弦函数的性质（1）【学习目标】1.从实例中感知周期现象.2.理解周期函数的概念，能熟练求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.【学习重点】正弦函数、余弦函数的周期性.【学习难点】周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单应用.【教具准备】三角板或直尺【学法指导】类比学习、讲练结合、合作探究等【学前准备】1. 自学课本34～37页，写下疑惑摘要.2. 请画出正弦函数、余弦函数的图像：y=sinx,x R ∈ y=cosx, x R ∈ y小试牛刀：求函数周期：（1）y =sinπ43, x R ∈ （2）y =21cos x., x R ∈【学习过程】一、周期现象：问题：今天是星期二，则过了七天是星期几过了十四天呢……从上面的问题你发现了什么你还能找出类似规律的现象吗––π2π2π-2πππ-π-5π-O x y 11-x o探究任务：周期性1.请观察正弦线的变化规律，有什么新的发现2.正弦函数、余弦函数是周期函数吗如果是，又是怎样周期性变化的你能用定义证明吗3.定义：对于函数f (x )如果存在一个____________，使得当x 取定义域内的___________，都有_________那么函数f (x )就叫做周期函数，_____________叫做这个函数的周期.周期函数的周期_______________. 例如2k )0,(≠∈k Z k π都是正弦函数的周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个___________，那么它就叫做函数f (x )的最小正周期. 说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

小结：正弦函数是周期函数,_________________都是它的周期，最小正周期是_________.余弦函数是周期函数,_________________都是它的周期，最小正周期是_________.【典型例题】例1：若T 是f (x )的周期，那么2T 、3T 、4T … 呢怎样求小结：数学中的周期函数，其实质就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数. 例2：求下列函数的周期：（1）y=3cosx, x R ∈（2）y=sin2x x R ∈,（3）y=2sin (62π-x ),x R ∈思考：从例2的解答过程中发现函数的周期与解析式中哪些量有关系说明：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T πω=.可以按照如下的方法求它的周期： y=Asin （πϕω2++x ）=Asin [ϕωπω++)2(x ]=Asin （ϕω+x ）. 于是有：f ( x +ωπ2)= f (x )，所以周期T=ωπ2，最小正周期：2||T πω= 一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||T πω=．练习：（1）sin3y x =，x R ∈ （2）cos(2)3y x π=+，x R ∈；（3）1sin()24y x π=-，x R ∈．例3：画出函数y=︱sin x ︱的函数图象并观察其周期，并验证.变式训练：1.已知f (x )是周期为5的周期函数，且f (1)=2007，求f (11).2.已知奇函数f (x )是R 上的函数，且f (1)=2，f (x +3)= f (x )，求f (8).方法总结：求函数周期的方法有1.定义法（例2）2.图象法（例3）3.公式法（周期T=ωπ2，最小正周期2||T πω=）【学习小结】这节课你学到哪些知识点：1. 2. 3. 4.哪些数学方法：.【思维拓展】1. 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常值函数f (x )= c （c 为常数，x R ∈）,所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常值函数没有最小正周期. 思考：函数D （x ）=⎩⎨⎧，，01有最小正周期吗【试一试】※1.判断函数的f (x )=2sin 2x +x cos ,R x ∈周期性。