8-6 二阶常系数线性微分方程

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微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解

微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。

在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。

首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。

二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。

这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。

要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。

齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。

特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。

假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。

这两个解可以是实数或复数。

根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。

接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。

特解是指使得原方程成立的一个特定解。

二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线性微分方程
1、二阶常系数线性微分方程的概念、二阶常系数线性微分方程的概念形如 y′′ + py′ + qy = f (x) （1））
的方程 (其中 p , q 为常数 ),
称为二阶常系数线性微分方程. 称为二阶常系数线性微分方程.
当f ( x ) ≡ 0时，
方程 (1) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 当f ( x ) ≡ 0时， y′′ + py′ + qy = 0
*
的个解, Y 是 (2)对的次程的解一特 , (2)对程(1) (1)的解与应齐方 (1) 通是二阶非齐次线性微分方程(2) (2)的那么y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
*
通解. 通解.
定理4 定理 4
非齐次方程(2)的端 f (x)是几 (2)的设次方程 (2) 右个函
2i
y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx). 得齐次方程的通解为
4、典型实例、
特征方程的两个根 r1 ,r2 方程y ′′ + py ′ + qy = 0的通解
实根 r1 ≠ r2 实根 r1 = r2
一对共轭复根 r1, 2 = α ± iβ
y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
例2
. 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解特征方程为特征根为
r 2 + 2r + 5 = 0 ,
r， = −1± 2i, 12
故所求通解为 y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).

二阶微分方程

是线性非齐次方程的解，这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，是二阶线性齐次方程的通解，又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2，得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数，我们可以猜想该方程，均为常数， ′ 形式的解，为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时，即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解方程⑤称为方程④的特征方程特征方程的根称为特征根特征根. 程的根称为特征根由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程，因此， r2 + pr + q = 0，，设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′

二阶常系数线性微分方程的解法

3
即原方程的通解为
y

C1e x

C2e3x

x

1 3
.
17
例5 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解 .
解特征方程 2 3 2 0 ,
特征根 1 1，2 2 ，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x .
2是单根，
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
因为 r 0, 2 , r i 2i 不是特征根,故设特解为
x2Qm ( x)，是二重特征根
然后将y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定 Q( x) ,从而得到特解 y .
若
f
(x)

Pm ( x)，可看成是 r

0
的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1 的通解.
解特征方程 2 2 3 0
8
例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,

二阶线性常系数微分方程

令zu
0
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 zC 2Z (x)z(x)
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
由此得原方程③的通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 U ( x ) y 1 ( x ) u ( x ) y 1 ( x )
因此特y 原征方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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例5. 求 x 2 y 方 ( x 2 ) ( 程 x y y ) x 4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x 2 y (x 2 )(xy y ) 0
由观察可知它有特解: y1x, 令 yxu(x),代入非齐次方程后化简得
uux 解上述可降阶微分方程,可得通解:
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得

二阶常系数线性齐次微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。

一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。

2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。

二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。

2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。

四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。

二阶线性常系数齐次微分方程的解

有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i

二阶线性微分方程讲解

r1 x y u ( x ) e 设 2 代入方程(1): 2 u (2r1 p)u (r1 pr 1 q)u 0
y1 e
r1x
是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
取 u x, 得到另一个线性无关的特解 y xer1x 2
u 0
y py qy f ( x),
p, q为常数。
(4)
由解的结构可知, (4)的通解是: 故只要求出(4)的一个特解待定系数法
y Y y

y
即可.
1. f ( x) Pm ( x)e ，其中λ是常数， P 是x的一 m ( x)
个m次多项式；因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积, 不妨设 y * Q( x)e x 是非齐次方程(4)的特解，Q(x)为待定多项式，将
在 xk中取 k=0，于是设特解 y*=Aex 则 y*′=Aex，y*〞=Aex x x 代入原方程，得: 2 Ae Ae 即 2A=2 比较两端x同次幂系数, 得: 所以特解为: A=1,
Ae 2e
x
x
y e
*
x
x
所求通解为:
y C1e
C2 e
x/2
e
x
y 2 y 3 y 3x 1的通解 . 例5 求微分方程解: 方程所对应的齐次方程为: y 2 y 3 y 0
x
y * Q( x)e x * x y e [Q( x) Q ( x)] * x 2 y e [ Q( x) 2Q ( x) Q ( x)]
代入(4)式，并消去eλx 整理后，得
2 Q (2 p)Q ( x) ( p q)Q( x) Pm ( x)

二阶常系数线性微分方程

E-mail: xuxin@
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。定义形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为： 2 x y* x e (ax b).
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代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解：特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x

微分方程中的线性方程与常系数方程

微分方程中的线性方程与常系数方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程可以分为线性方程和非线性方程。

本文将重点讨论微分方程中的线性方程与常系数方程。

一、线性方程线性微分方程是指满足线性叠加原理的微分方程。

线性叠加原理即线性微分方程的解的线性组合也是其解。

一般形式的一阶线性微分方程可以写作：y' + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数，y是未知函数。

该方程可以用线性代数的方法求解，不再赘述。

对于高阶线性微分方程，一般形式可以表示为：yⁿ + a₁(x)yⁿ⁻¹ + a₂(x)yⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁(x)y' + aₙ(x)y = Q(x)这里yⁿ表示y的n次导数，a₁(x)到aₙ(x)为已知函数，Q(x)为右端函数。

高阶线性微分方程的求解涉及到特征方程、齐次解和非齐次解等概念，需要借助一些数学方法。

二、常系数方程常系数方程是指方程中的系数是常数。

常系数线性微分方程是微分方程中最基础也是最常见的一类，常见的常系数方程有以下几种：1. 一阶常系数线性微分方程：y' + ay = b其中a和b均为常数。

该方程的解可以通过分离变量、求指数、利用一阶线性微分方程的通解公式等方法求解。

2. 二阶常系数齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = 0其中b和c是常数。

该方程的解可以通过特征方程的求解，求出对应的特征根后，利用特征根的性质和初值条件求解出具体的解。

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = f(x)其中f(x)为已知函数。

该方程的解可以分为齐次解和非齐次解两部分。

齐次解可以通过特征方程的求解得到，而非齐次解可以通过待定系数法、常数变易法等方法求解。

类似地，对于高阶常系数线性微分方程，解的求解方法也可以通过特征方程和初值条件来确定。

二阶常系数线性微分方程

3. f ( x) A1 cos x A2 sin x
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a

二阶线性微分方程

二阶线性微分方程\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]的微分方程，其中$p(x)$、$q(x)$、$r(x)$都是已知的函数，$y$是未知函数，$y''$表示关于自变量$x$的二阶导数。

在解二阶线性微分方程时，主要有三个步骤：寻找特解、寻找齐次方程的通解、将特解和齐次方程的通解相加得到二阶线性微分方程的通解。

首先，我们来看如何寻找特解。

对于非齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$，我们可以根据非齐次项$r(x)$的形式来选择合适的特解形式。

常见的特解形式包括：常数特解、多项式特解、指数函数特解、三角函数特解等。

如果非齐次项$r(x)$是一个常数，我们可以选择一个与$r(x)$无关的常数作为特解。

如果$r(x)$是一个多项式，我们可以选择与$r(x)$同次数的多项式作为特解。

如果$r(x)$是指数函数$e^{kx}$，我们可以选择同样的指数函数$Ae^{kx}$作为特解。

如果$r(x)$是三角函数$\sin(kx)$或$\cos(kx)$，我们可以选择相同的三角函数$A\sin(kx)$或$A\cos(kx)$作为特解。

特解确定之后，接下来需要寻找齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的通解。

齐次方程的特征方程是由方程的系数$p(x)$和$q(x)$决定的，它是一个二阶常系数线性齐次方程的特殊形式。

解特征方程可以得到齐次方程的通解形式。

特征方程的解决定了齐次方程的解的形状。

将特解和齐次方程的通解相加，即可得到二阶线性微分方程的通解。

特解与齐次方程的解相加得到的通解可以覆盖方程的所有解。

需要注意的是，特解和齐次方程的通解的系数可以通过给定的初始条件来确定。

初始条件可以是函数在其中一点$x_0$的值$y(x_0)$和导数$y'(x_0)$的值。

根据初始条件，可以求解出特解和齐次方程的通解中的任意常数。

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程在微积分的学习中，我们经常接触到二阶常系数齐次线性微分方程，那么什么是二阶常系数齐次线性微分方程呢？简单来说，二阶常系数齐次线性微分方程是指形如$y''+ay'+by=0$ 的微分方程，其中 $a$ 和 $b$ 都是常数，齐次指方程右边恒等于 $0$。

从这个微分方程的形式中我们可以看出，它是一个二阶微分方程，即方程中含有 $y''$ 这一项，同时它是一个常系数微分方程，因为$a$ 和$b$ 都是常数，不会随着自变量的变化而改变。

而且，由于 $y''+ay'+by=0$，方程右边恒等于 $0$，可以说是一次条件齐次线性微分方程。

那么为什么我们要学习二阶常系数齐次线性微分方程呢？这是因为它们在物理、工程、自然科学和社会科学等领域中都具有非常广泛的应用。

例如，在物理学中，可以用二阶常系数齐次线性微分方程来描述运动学问题、振动问题和电磁学问题等；在经济、生态和环境科学等领域中，也会出现这样的微分方程。

不过，对于二阶常系数齐次线性微分方程，我们不仅需要掌握它的基本概念和性质，还需要学习如何解这类微分方程。

对于 $y''+ay'+by=0$ 这样的常系数齐次线性微分方程，我们可以通过求解其特征方程 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ 来确定其通解的形式。

关于特征方程，它的形式为$r^2+ar+b=0$，其中$r$ 是特征根，$\lambda$ 是 $r$ 的一种更广泛的表示形式，在解这类微分方程的时候常常用到。

特征方程的根决定了通解的形式，当特征方程的两个根不相等时，通解可以表示为 $y=c_1 e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$ 的形式；当特征方程仅有一个根时，通解可以表示为 $y=(c_1+c_2 x)e^{\lambda x}$ 的形式；当特征方程的两个根为实数且相等时，通解可以表示为 $y=(c_1+c_2 x)e^{\lambdax}$ 的形式；当特征方程的两个根为纯虚数时，通解可以表示为$y=e^{\alpha x}(c_1 \cos{\beta x}+c_2 \sin{\beta x})$ 的形式。

二阶常系数线性微分方程

r2 p r q 0 ; （1）写出特征方程：（2）求出特征根：r1 , r2 ;
（3）按下表写出微分方程的通解：
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根r1r2 微分方程 y py qy 0 的通解
两个不等实根 r1 r2
两个不等实根 r1 r2 一对共轭复根 r1, 2 i ,
欧拉公式： r2 e i cos i sin i ,
y1 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y2 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y c1 y1 c2 y2 c1e ( i ) x c2e ( i ) x
设 y* 是二阶非齐次线性方程 y py q y f ( x ) 的一个特解, Y 是与之对应的齐次方程的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程的通解.
对应的齐次方程：y py qy 0 通解问题已经解决 , 如何求非齐次方程的特解？
方法：待定系数法，其特点是不用做积分运算。
( 2) f ( x ) 0 时，y py qy f ( x ) 为非齐次方程 .
二、解的性质与结构
定理1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是齐次方程 y py qy 0 的解，则 c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x )也是它的解，
1 重新组合 y1 ( y1 y2 ) ex cos x , 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cos x C2 sin x ).
综上所述，求二阶齐次线性微分方程 y py qy 0 的通解步骤为：

二阶线性微分方程

§4 二阶线性微分方程【目的要求】1、会验证两函数的线性相关与线性无关；2、了解二阶线性齐次微分方程解的叠加定理；3、了解二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理及通解；4、了解复数的基本知识；5、熟练掌握二阶常系数线性齐次方程通解的特征根求解法；6、熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程特解的待定系数求解法．【重点难点】二阶线性齐次微分方程解结构及的叠加定理．【教学内容】在n 阶微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=中, 若未知函数y 及其各阶导数y ',y ',…,()n y 都是一次的, 则称此方程为n 阶线性微分方程. 其一般形式为()(1)1()()()n n n y a x y a x y f x -+++= (1)其中12(),(),,(),()n a x a x a x f x 是区间I 上的连续函数. 若()0f x ≡, 则称方程(1)为n 阶线性齐次微分方程; 否则, 则称方程(1)为n 阶线性非齐次微分方程. 本节主要讨论二阶线性非齐次微分方程()()()y p x y q x y f x '''++= (2)及二阶线性微分方程()()0y p x y q x y '''++= (3)的有关理论及解法, 所得结论可以相应推广到n 阶线性微分方程.一、二阶线性微分方程解的结构我们首先讨论二阶线性微分方程解的结构.定理 4.1(解的叠加原理) 如果函数)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个解, 则1122()()y C y x C y x =+也是方程(3)的解, 其中12,C C 是任意常数.注意尽管1122()()y C y x C y x =+是方程(3)的解, 又有两个任意常数, 但它不一定是方程(3)的通解.例如, 1sin 2y x =, 23sin cos y x x =都是方程40y y ''+=的解, 但11223()()C sin 2C y x C y x x +=, 其中31232C C C =+. 因此, 1122()()C y x C y x +中实际只含有一个任意常数, 他并不是方程40y y ''+=的通解.要判断1122()()y C y x C y x =+在什么情况下是方程(3)的通解, 需要引入线性相关与线性无关的概念.定义 4.1 设)(,),(),(21x y x y x y n 是定义在区间I 上的函数, 如果存在不全为零的常数n k k k ,,21, 使得02211≡+++n n y k y k y k , 则称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关; 否则, 称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关. 定理 4.2 设)(),(21x y x y 是定义在区间I 上的函数, 则)(),(21x y x y 线性无关的充要条件是)()(21x y x y 不恒为常数. 例如, 当(,)x ∈-∞+∞时, 2,x x e e 线性无关; 2,x x 线性无关; ,2x x 线性相关. 有了函数线性无关的概念, 我们就有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构定理.定理 4.3 设)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个线性无关的特解, 则其通解为1122()()y C y x C y x =+. (12,C C 为任意常数)例如, 方程0y y ''+=式二阶齐次线性方程. 容易验证, 1sin y x =, 2cos y x=都是所给方程的两个解, 且21cos cot sin y x x y x==≠常数, 即它们是线性无关的. 因此, 方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+.定理4.4 设*y 是方程(2)的一个特解, 而Y 是其对应的齐次方程(3)的通解, 则*+=y Y y是二阶线性非齐次微分方程(2)的通解.例如, 方程2y y x ''+=是二阶线性非齐次微分方程. 已知12sin cos Y C x C x =+是对应齐次方程0y y ''+=的通解; 有容易验证2*2y x =-是所给方程的一个特解. 因此,212sin cos 2y C x C x x =++-是所给方程的通解.定理 4.5 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解, 则**+21y y 是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.二、二阶线性常系数齐次常微分方程由定理4.3知道, 要求二阶线性齐次方程(3)的通解, 只需求出它的两个线性无关的特解12,y y . 一般来说, 没有普遍适用的方法方法能求出12,y y , 但对于线性常系数齐次微分方程, 却能比较方便的求出它的两个线性无关的特解. 形如0=+'+''qy y p y (4)的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程, 其中q p ,为常数. 方程(4)把二阶线性齐次方程(3)中,y y '的系数(),()p x q x 看做常数,p q 的特殊情形.先来分析方程(4)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上看, 它的特点是y '', y '与y 各乘以常数因子后相加等于零, 如果能找到一个函数y , 使得y '', y '与y 之间只相差一个常数, 这样的函数就有可能是方程(4)的特解. 易知在初等函数中, 函数rx e 符合上述要求, 于是, 令rx y e =来尝试求解, 其中r 为待定常数.将rx y e =, rx y re '=, 2rx y r e ''=代入方程(4), 得2()0rx e r pr q ++=,即 20r p r q ++=, (5) 由此可见, 如果r 是方程(5)的根, 则rx y e =就是方程(4)的特解, 这样, 齐次方程(4)的求解问题就转化为代数方程(5)的求根问题.方程(5)称为微分方程(4)的特征方程, 并称特征方程的两个根12,r r 为特征根.根据初等代数的知识, 特征根有三种可能的情况, 下面分别讨论.1. 特征方程有两个不相等的实根特征根为1,2r =(240p q ->), 方程(4)的两个特解为x r e y 11=,x r e y 22=, 且线性无关, 从而方程(4)的通解为1212r x r x y C e C e =+,2. 特征方程有两个相等的实根特征根为1,22p r =-（240p q -=）, 这样只能得到方程(4)的一个特解x r e y 11=,因此, 我们还要设法找出另一个特解, 并使2y 与1y 线性无关, 即21y y ≠常数, 为此设 12r x y u e=即12r x y ue =, 其中()u u x =为待定函数.将12r x y ue =, 121()r x y e u ru ''=+, 12211(2)r x y e u ru r u '''''=++代入方程(4), 得12111[(2)()]0r x e u r p u r pr q '''+++++=,因为10r x e ≠, 120r p +=, 2110r pr q ++=, 所以0=''u ,积分, 得 12u C x C =+.为简便起见, 取u x =, 得12r x y xe =, 从而方程(4)通解为112()r x y C C x e =+.3. 特征方程有一对共轭复根特征根为1,2r i αβ==±（240p q -<）, 方程(4)的两个复数形式的特解为x r e y 11=,x r e y 22=. 应用欧拉公式cos sin i e i θθθ=+, 得)sin (cos 1x i x e y x ββα+=, )sin (cos 2x i x e y x ββα-=.令1121()cos 2x y y y e x αβ=+=, 2121()s i n 2x y y y e x iαβ=-=, 根据定理4.3, 1y ,2y 也是方程(4)的特解, 且线性无关, 故方程(4)的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.综上所述,要求二阶常系数线性齐次微分方程(4)的通解, 只须先求出其特征方程(5)的根, 再根据根的情况便可确定其通解, 现列表总结如下(见表4.1):表4.1例1 求微分方程032=-'+''y y 的通解.解原方程的特征方程为0322=-+r r ,解得特征根为1,321=-=r r . 所以, 原方程的通解为312x x y C e C e -=+.例2 求微分方程440y y y '''++=的通解.解原方程的特征方程为2440r r ++=,解得特征根为122r r ==-. 所以, 原方程的通解为212()x y C C x e -=+.例3 求微分方程 250y y y '''++=的通解.解原方程的特征方程为2250r r ++=,解得特征根为1212r i =-±，. 所以, 原方程的通解为12(cos 2sin 2)x y C x C x e -=+.三、二阶线性常系数非齐次常微分方程二阶线性常系数非齐次常微分方程的一般形式()y py qy f x '''++= (6)其中,p q 为常数, ()0f x ≠.由线性非齐次方程通解结构的定理4.4可知, 方程(6)的通解等于对应的齐次方程(4)的通解与它本身的一个特解之和. 在上一节已经讨论了齐次方程(4)通解的求法, 现在只需讨论如何求出非齐次方程(6)的一个特解*y .本节只介绍当方程(6)中的()f x 取两种常见形式时求*y 的方法. 这种方法的特点是不用积分就可求出*y 来, 该方法叫做待定系数法. ()f x 的两种形式是(1) )()(x P e x f m x λ=, 其中λ为常数, )(x P m 是关于x 的一个m 次多项式:1110()m m m m m P x a x a x a x a --=++++;(2) ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 其中,λω为常数, ()l P x , ()n P x 分别是关于x 的l 次、n 次多项式.下面分别介绍()f x 为上述两种形式时*y 的求法.1. )()(x P e x f m x λ=型的解法由于方程(6)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积, 而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数乘积, 因此, 我们推测方程(6)的特解可能为x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式). 把*y 及其导数代入方程(6), 然后考虑能否选取适当的多项式()Q x , 使x e x Q y λ)(=*满足方程(6). 为此, 将*()x y Q x e λ=x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(6)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (7)以下分三种不同的情形, 分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ, 要使式(7)的两端恒等, 可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(7)式, 并比较两端关于x 同次幂的系数, 就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程. 联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =. 从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ, 要使式(7)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =并用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的重根, 即,02=++q p λλ 02=+p λ. 要使(7)式成立, 则)(x Q ''必须是一个m 次多项式, 可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述, 若方程式(6)中的x m e x P x f λ)()(=, 则它的特解为x m k e x Q x y λ)(=*,其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式, k 按λ不是特征方程的根, 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为022=+r r ,特征根根为 2,021-==r r .2λ=-是特征方程的单根.令 x e xb y 20-=*, 代入原方程解得230-=b 故所求特解为x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r ,解得特征根 121==r r对应齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ,由于1=λ是特征方程的二重根, 所以令x e b ax x y )(2+=*,把它代入所给方程, 并约去x e 得126-=+x b ax ,比较系数,得61=a , 21-=b , 于是 x e x x y )216(2-=*, 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*. 2. ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+型的解法对于这种形式的特解形式, 我们不准备作深入讨论, 仅给出结论, 并通过例子加以说明.如果()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 则方程(6)的特解可设为(1)(2)*[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+其中(1)()m R x 、(2)()m R x 是m 次多项式, max{,}m l n =, 而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0、1.例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解先求对应齐次方程230y y y '''--=的通解. 特征方程为 2230r r --=,解得特征根 121,3r r =-=,又1=ω，故ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k . 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y c o s s i n+-=*' x b xa y s i n c o s --=*'' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r , 解得, 特征根 121,3r r =-=.所以对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 321+=-.再求非齐次方程的一个特解*y .由于()s i n x f x ex =+, 根据定理 4.5, 分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y , 则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ, ω±i i ±=均不是特征方程的根, 故特解为 )s i n c o s (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数, 得14=-a , 024=+c b , 142=-c b ,解得 111,,4105a b c =-==-. 于是所给方程的一个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

二阶常系数齐次线性微分方程解读

t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解：所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方程的通解. 特征根通解实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x

二阶常微分方程解

第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解.本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法.先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法.§ 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了,下面讨论这样两个特解的求法.我们先分析方程可能具有什么形式的特解,从方程的形式上来看,它的特点是22dx y d ,dx dy,y 各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y,其22dx y d ,dxdy ,y 之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程的特解,在初等函数中,指数函数e rx,符合上述要求,于是我们令y ＝e rx其中r 为待定常数来试解将y ＝e rx,dxdy＝re rx,22dx y d ＝r 2e rx代入方程得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx＝0或 e rxr 2＋pr ＋q ＝0因为e rx≠0,故得r 2＋pr ＋q ＝0由此可见,若r 是二次方程r 2＋pr ＋q ＝0的根,那么e rx 就是方程的特解,于是方程的求解问题,就转化为求代数方程的根问题.称式为微分方程的特征方程.特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程.特征方程的两个根r １,r 2,称为特征根,由代数知识,特征根r 1,r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论.1若特证方程有两个不相等的实根r １,r 2,此时e r １x ,e r2x 是方程的两个特解.因为 x r xr 21e e ＝e x)r r (21-≠常数所以e r1x ,e r2x 为线性无关函数,由解的结构定理知,方程的通解为y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x2若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2,此时p 2－4q ＝0,即有r 1＝r 2＝2p-,这样只能得到方程的一个特解y １＝e r １x,因此,我们还要设法找出另一个满足12y y ≠常数,的特解y 2,故12y y 应是x 的某个函数,设12y y ＝u,其中u ＝ux 为待定函数,即 y 2＝uy 1＝ue r １x对y 2求一阶,二阶导数得dx dy 2＝dxdu e r1x＋r １ue r1x＝dx du ＋r 1uer1x 222dx y d ＝r 2１u ＋2r 1dx du ＋22dx ud e r1x将它们代入方程得r 21u ＋２r 1dx du ＋22dxu d e r1x＋p dxdu ＋r 1uer1x＋que r1x ＝0或22dx u d ＋2r 1＋p dxdu＋r ２１＋pr 1＋que r1x ＝0因为e r1x ≠0,且因r 1是特征方程的根,故有r ２１＋pr １＋q ＝0,又因r 1＝－2p故有2r 1＋p ＝0,于是上式成为 22dxu d ＝0 显然满足22dxud ＝0的函数很多,我们取其中最简单的一个 ux ＝x则y 2＝xe rx 是方程的另一个特解,且y 1,y 2是两个线性无关的函数,所以方程的通解是y ＝C 1e r1x ＋C 2xe r1x ＝C 1＋C 2xe r1x3若特征方程有一对共轭复根 r 1＝α＋i β,r 2＝α－i β此时方程有两个特解y 1＝eα＋i βxy 2＝eα－i βx则通解为y ＝C 1e α＋i βx ＋C 2e α－i βx其中C 1,C 2为任意常数,但是这种复数形式的解,在应用上不方便.在实际问题中,常常需要实数形式的通解,为此利用欧拉公式e ix ＝cosx ＋isinx,e －ix ＝cosx －isinx有 21e ix＋e －ix＝cosxi 21e ix－e －ix＝sinx21 y 1＋y ２＝21e αxe i βx＋e －i βx＝e αxcos βxi 21 y 1－y 2＝i21e αxe i βx－e －i βx＝e αxsin βx由上节定理一知,21 y 1＋y 2,i21y 1－y 2是方程的两个特解,也即eαxcosβx,e αx sin βx 是方程的两个特解：且它们线性无关,由上节定理二知,方程的通解为y ＝C 1e αx cos βx ＋C 2e αx sin βx或 y ＝e αx C 1cos βx ＋C 2sin βx其中C 1,C 2为任意常数,至此我们已找到了实数形式的通解,其中α,β分别是特征方程复数根的实部和虚部.综上所述,求二阶常系数线性齐次方程的通解,只须先求出其特征方程的根,再根据他的三种情况确定其通解,现列表如下特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根微分方程22dx y d ＋p dx dy＋qy ＝0的通解有二个不相等的实根r 1,r 2y ＝C 1e r1x＋C 2e r2x有二重根r 1＝r 2y ＝C 1＋C 2xe r1x有一对共轭复根β-α=β+α=i r i r 21y ＝e αx C 1cos βx ＋C 2sin βx例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解1 22dx y d ＋3dx dy－１０y ＝0 2 22dx y d －4dx dy ＋4y ＝0 3 22dx y d ＋4dxdy ＋7y ＝0 解 1特征方程r 2＋3r －10＝0有两个不相等的实根r 1＝－5,r 2＝2所求方程的通解 y ＝C 1e －5r＋C 2e 2x2特征方程r 2－4r ＋4＝0,有两重根 r 1＝r 2＝2所求方程的通解y ＝C 1＋C 2xe 2x3特征方程r 2＋4r ＋7＝0有一对共轭复根r 1＝－2＋3i r 2＝－2－3i所求方程的通解 y ＝e －2x C 1cos3x ＋C 2sin 3x§ 二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知,求二阶常系数线性非齐次方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝fx 的通解,只要先求出其对应的齐次方程的通解,再求出其一个特解,而后相加就得到非齐次方程的通解,而且对应的齐次方程的通解的解法,前面已经解决,因此下面要解决的问题是求方程的一个特解.方程的特解形式,与方程右边的fx 有关,这里只就fx 的两种常见的形式进行讨论.一、fx ＝p n xe αx ,其中p n x 是n 次多项式,我们先讨论当α＝0时,即当fx ＝p n x 时方程22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝p nx 的一个特解.1如果q ≠0,我们总可以求得一n 次多项式满足此方程,事实上,可设特解~y ＝Q nx ＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n,其中a 0,a 1,…a n 是待定常数,将~y 及其导数代入方程,得方程左右两边都是n 次多项式,比较两边x 的同次幂系数,就可确定常数a 0,a 1,…a n .例1. 求22dx y d ＋dxdy＋2y ＝x 2－3的一个特解. 解自由项fx ＝x 2－3是一个二次多项式,又q ＝2≠0,则可设方程的特解为~y ＝a 0x 2＋a 1x ＋a 2求导数~'y ＝2a 0x ＋a1~"y ＝2a代入方程有2a 0x 2＋2a 0＋2a 1x ＋2a 0＋a 1＋2a ２＝x 2－3比较同次幂系数⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=3a 2a a 20a 2a 21a 2210100 解得 47a 21a 21a 210-=-==所以特解~y ＝21x 2－21x －472如果q ＝0,而p ≠0,由于多项式求导一次,其次数要降低一次,此时~y ＝Q n x 不能满足方程,但它可以被一个n ＋1次多项式所满足,此时我们可设~y ＝xQ n x ＝a 0x n ＋1＋a 1x n ＋…＋a n x代入方程,比较两边系数,就可确定常数a 0,a 1,…a n .例2. 求方程22dx y d ＋4dxdy＝3x 2＋2的一个特解. 解自由项 fx ＝3x 2＋2是一个二次多项式,又q ＝0,p ＝４≠0,故设特解~y ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x求导数~'y ＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a2~"y ＝6a 0x ＋2a1代入方程得12a 0x 2＋8a 1＋6a 0x ＋２a 1＋4a 2＝3x 2＋2,比较两边同次幂的系数⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=2a 4a 20a 6a 83a 1221010 解得 3219a 163a 41a 210=-==所求方程的特解 ~y ＝41x 3－163x 2＋3219x3如果p ＝0,q ＝0,则方程变为22dxyd ＝p nx,此时特解是一个n ＋2次多项式,可设~y ＝x 2Q nx,代入方程求得,也可直接通过两次积分求得.下面讨论当α≠0时,即当fx ＝p n xe αx 时方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝p nxe αx的一个特解的求法,方程与方程相比,只是其自由项中多了一个指数函数因子e αx ,如果能通过变量代换将因子e αx 去掉,使得化成式的形式,问题即可解决,为此设y ＝ue αx ,其中u ＝ux 是待定函数,对y ＝ue αx ,求导得dx dy ＝e αxdxdu＋αue αx 求二阶导数 22dx y d ＝e αx22dx u d ＋2αe αxdxdu＋α2ue αx代入方程得e αx22dx u d ＋2αdx du ＋α2u ＋pe αxdx du ＋αu ＋que αx＝p n xeαx消去e αx得22dx u d ＋2α＋p dxdu ＋α2＋p α＋qu ＝p nx 由于式与形式一致,于是按的结论有：1如果α2＋p α＋q ≠0,即α不是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根,则可设的特解u ＝Ｑn x,从而可设的特解为~y ＝Q n xe αx2如果α2＋p α＋q ＝0,而２α＋p ≠0,即α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的单根,则可设的特解u ＝xQ n x,从而可设的特解为~y ＝xQ n xe αx3如果r 2＋p α＋q ＝0,且２α＋p ＝0,此时α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的重根,则可设的特解u ＝x 2Q n x,从而可设的特解为~y ＝x 2Q n xe αx例3. 求下列方程具有什么样形式的特解122dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝e 3x 2 22dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝3xe －2x 3 22dx y d ＋αdxdy ＋y ＝－3x 2＋1e －x解 1因α＝3不是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的根,故方程具有形如~y ＝a 0e3x 的特解.2因α＝－2是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的单根,故方程具有形如~y ＝xa 0x ＋a 1e －2x的特解.3因α＝－1是特征方程r 2＋2r ＋1＝0的二重根,所以方程具有形如~y ＝x 2a 0x 2＋a 1x ＋a ２e －x的特解.例4. 求方程22dxyd ＋y ＝x －2e 3x的通解.解特征方程 r ２＋1＝0特征根 r ＝±i 得,对应的齐次方程22dxyd ＋y ＝0的通解为 Y ＝C 1cos x ＋C ２sin x由于α＝3不是特征方程的根,又p n x ＝x －2为一次多项式,令原方程的特解为~y ＝a 0x ＋a 1e 3x此时u ＝a 0x ＋a 1,α＝3,p ＝0,q ＝1,求ux 的导数dxdu ＝a 0,22dx u d ＝0,代入22dx u d ＋２α＋p dxdu＋α2＋αp ＋qu ＝x －2得： 10a 0x ＋10a 1＋6a 0＝x －2比较两边x 的同次幂的系数有⎩⎨⎧-=+=2a 6a 101a 10010 解得 a 0＝101,a 1＝－5013于是,得到原方程的一个特解为~y ＝101x －5013e3x所以原方程的通解是y ＝Y ＋~y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋101x －5013e 3x例5. 求方程22dx y d －2dxdy－3y ＝x ２＋1e －x的通解. 解特征方程 r 2－2r －3＝0特征根 r 1＝－1,r 2＝3所以原方程对应的齐次方程22dx y d －2dxdy－3y ＝0的通解Y ＝C 1e －x ＋C 2e 3x ,由于α＝－1是特征方程的单根,又p n x ＝x 2＋1为二次多项式,令原方程的特解~y ＝xa 0x 2＋a 1x ＋a 2e －x此时 u ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x,α＝－1,p ＝－2,q ＝－3对ux 求导dx du＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a 222dx ud ＝6a 0x ＋2a 1代入22dx u d ＋2α＋p dxdu ＋α2＋pr ＋qu ＝x 2＋1,得－12a 0x 2＋6a 0－8ax ＋2a 1－4a ２＝x 2＋1比较x 的同次幂的系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==-0a 8a 6121a 1a 121000 解得 329a 0a 4a 2161a 2011-==--=故所求的非齐次方程的一个特解为~y ＝－4x 3x 2＋4x ＋89e－x二、fx ＝p n xe αx cos βx 或p n xe αx sin βx,即求形如22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝p nxe αx cos βx 22dx y d ＋p dx dy＋qy ＝p nxe αx sin βx 这两种方程的特解.由欧拉公式知道,p n xe αx cos βx,p n xe αx sin x 分别是函数p n xe α＋i βx 的实部和虚部.我们先考虑方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝p nxe α＋i βx方程与方程类型相同,而方程的特解的求法已在前面讨论.由上节定理五知道,方程的特解的实部就是方程的特解,方程的特解的虚部就是方程的特解.因此,只要先求出方程的一个特解,然而取其实部或虚部即可得方程或的一个特解.注意到方程的指数函数e α＋i βx 中的α＋i ββ≠0是复数,而特征方程是实系数的二次方程,所以α＋i β最多只能是它的单根.因此方程的特解形为Q n xeα＋i βx或x Ｑn xeα＋i βx.例6. 求方程22dxyd －y ＝e xcos2x 的通解. 解特征方程 r 2－1＝0特征根 r 1＝1,r 2＝－1于是原方程对应的齐次方程的通解为Y ＝C 1e x ＋C 2e －x为求原方程的一个特解~y .先求方程22dxyd －y ＝e １＋2ix的一个特解,由于1＋2i 不是特征方程的根,且p n x 为零次多项式,故可设u ＝a 0,此时α＝1＋2i,p ＝0,q ＝－1代入方程22dx u d ＋2α＋p dxdu＋α2＋αp ＋qu ＝1 得１＋2i 2－1a 0＝1 ,即4i －4a 0＝1,得a 0＝)1i (41 ＝－81i ＋1这样得到22dx y d －y ＝e １＋2ix的一个特解y ＝－81i ＋1e １＋2ix由欧拉公式y ＝－81i ＋1e １＋2ix＝－81i ＋1e xcos ２x ＋isin2x＝－81e xcos2x －sin2x ＋icos2x ＋sin2x取其实部得原方程的一个特解~y ＝－81e xcos ２x －sin2x故原方程的通解为y ＝Y ＋~y ＝C 1e x＋C 2e－x－81e x cos2x －sin2x 例7. 求方程22dxyd ＋y ＝x －2e 3x＋xsinx 的通解.解由上节定理三,定理四,本题的通解只要分别求22dxyd ＋y ＝0的特解Y,22dxy d ＋y ＝x －2e 3x的一个特解~1y , 22dxy d ＋y ＝x sin x 的一个特解~2y 然而相加即可得原方程的通解,由本节例4有Y ＝C 1cosx ＋C 2sinx,~1y ＝101x －5013e3x下面求~2y ,为求~2y 先求方程22dxy d ＋y ＝xe ix由于i是特征方程的单根,且pn x＝x为一次式,故可设u＝xax＋a1＝a0x2＋a1x,此时α＝i,p＝0,q＝1,对u 求导dxdu＝2ax＋a1,22dxud＝2a代入方程22dxud＋2α＋pdxdu＋α2＋pα＋qu＝x得 2a０＋2i2ax＋a1＋0＝x即 4iax＋2ia1＋2a＝x比较x的同次幂的系数有：⎩⎨⎧=+=a2ia21ia41得41a41i41a1=-==即方程22dxyd＋y＝xe ix的一个特解~y＝－4ix2＋41xe ix＝－4ix2＋41cosx＋isinx＝41x2sinx＋41xcosx＋i－41x2cosx＋41xsinx取其虚部,得~2y＝－41x2cos x＋41x sin x 所以,所求方程的通解y ＝Y＋~1y＋~2y＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋101－513e３x－41x ２cosx ＋41xsinx综上所述,对于二阶常系数线性非齐次方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝fx 当自由项fx 为上述所列三种特殊形式时,其特解~y 可用待定系数法求得,其特解形式列表如下：自由项fx 形式特解形式fx ＝p n x当q ≠0时~y ＝Q n x当q ＝0,p ≠0时~y ＝Q n x当q ＝0,p ＝0时~y ＝x 2Q n xfx ＝p n xeαx当α不是特征方程根时~y ＝Q nxeαx当α是特征方程单根时~y ＝xQ n xe αx当α是特征方程重根时~y ＝x 2Q n xe αxfx ＝p n xe αx cos βx 或fx ＝p n xe αx sin βx利用欧拉公式e i βx ＝cos βx ＋isin βx,化为fx ＝p n xe α＋i βx 的形式求特解,再分别取其实部或虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法,当然可以用于一阶,也可以推广到高阶的情况.例8. 求y＋3y ″＋3y ′＋y ＝e x 的通解解对应的齐次方程的特征方程为r 3＋3r 2＋3r ＋1＝0 r 1＝r 2＝r 3＝－1所求齐次方程的通解Y ＝C 1＋C 2x ＋C 3x 2e －x由于α＝1不是特征方程的根因此方程的特解~y ＝a 0e x代入方程可解得a 0＝81故所求方程的通解为y ＝Y ＋~y ＝C 1＋C 2x ＋C 3x 2e －x＋81e x.§ 欧拉方程下述n 阶线性微分方程a 0xnn n ax y d ＋a 1x n －11n 1n dxyd --＋…＋a n －1x dxdy＋a ny ＝fx 称为欧拉方程,其中a 0,a 1,…a n 都是常数,fx 是已知函数.欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程.下面以二阶为例说明.对于二阶欧拉方程a 0x 222dx y d ＋a 1x dxdy ＋a 2y ＝fx 作变量替换令x ＝e t,即t ＝ln x引入新变量t,于是有dx dy ＝dt dy dx dt ＝dt dy x 1＝x 1dtdy22dx y d ＝dx d x 1dt dy ＝x 1dx d dt dy ＋dt dy dx d x 1 ＝x 122dt y d dx dt －2x 1dt dy ＝2x 122dt y d －2x 1dt dy 代入方程得a 022dt y d －dt dy ＋a 2dtdy＋a 1y ＝fe t即 22dty d ＋002a a a dt dy ＋01a a y ＝0a 1fe t它是yt 的常系数线性微分方程.例9. 求x 222dx y d ＋x dx dy ＝6lnx －x1的通解. 解所求方程是二阶欧拉方程作变换替换,令x ＝e t ,则dx dy ＝x 1dxdy22dx y d ＝2x 122dt y d －2x 1dt dy 代入原方程,可得 22dty d ＝6t －e －t两次积分,可求得其通解为 y ＝C 1＋C 2t ＋t 3－e －t代回原来变量,得原方程的通解y ＝C 1＋C 2lnx ＋lnx3－x1第八节常系数线性方程组前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个,但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多个未知函数的常微分方程组.本节只讨论常系数线性方程组,并且用代数的方法将其化为常系数线性方程的求解问题.下面以例说明.例1. 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--)2(0y 3x 4dtdy)1(e y 2x dtdx t的通解.解与解二元线性代数方程组中的消元法相类似,我们设法消去一个未知函数,由1得y ＝21 dtdx －x －e t3将其代入2得 21 22dt x d －dt dx －e t－4x －23 dtdx －x －e t＝0 化简得22dt x d －4dtdx －5x ＝－2e t它是一个二阶常系数非齐次方程它的通解为 x ＝C 1e 5t＋C 2e －t＋41e t代入3得 y ＝2C 1e 5t－C 2e －t－21e t即所求方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=--t t 2t 51t t2t 51e 21e C e C 2y e 41e C e C x例2. 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+)2(t 2y x dtdy dt dx )1(yt dt dydt dx 2的通解解为消去y,先消去dtdy,为此将1－2得dtdx ＋x ＋2y ＋t ＝0即有 y ＝－21 dtdx＋x ＋t 3代入2得dt dx －21dt d dt dx ＋x ＋t －x ＋21 dtdx ＋x ＋t －2t ＝0 即 22dt x d －2dtdx＋x ＝3t －1 这是一个二阶常系数线性非齐次方程,解得x ＝C １e t ＋C 2te t －3t －7代入3得 y ＝－C 1e t－C ２21＋te t＋t ＋５所以原方程组的通解为⎪⎩⎪⎨⎧+++--=--+=5t e )t 21(C e C y 7t 3te C e C x t2t 1t 2t 1。