高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
( x , y) x y 0
开区域 o o
x
( x, y)1 x y 4
2
2
解： 该函数定义域应满足 a 2 x 2 y 2 0 即 x 2 y 2 a 2 所以定义域为
a
y
x2 y 2a2 a
y
x y 0 闭区域 1 x 2 y 2 4
第七讲 多元函数微分学
(x, y)1 x 1, 1 y 1 (x, y) 1 x 1, 1 y 1
x
-1
y o o -1
1
1
1
-1 -1
1
如图，这样的区域俗称矩形域 意义的自变量的范围 .
二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有 例1 求函数 z a 2 x 2 y 2 的定义域
z 2 zz 2 z xx x 2 yx xy r z 2 zz 2 z yy y 2 xy yx
3
x 2 y 2 x x 2 y 2 y3
3
,
,
3 2
( x 2 y 2 ) 2 xy
第七讲 多元函数微分学 例2 解： 设 r x 2 y 2 z 2 ，求证： 把 y, z 看作常量，得
第七讲 多元函数微分学 3.高阶偏导数
， ，一般说来， xy 它们仍然是自变量 x , y 的函数．如果 ， 的偏导数存在，可 以继续对 x 或 y 求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数
高等数学教学资料-第七章
0, ,
当 0(x 0 )2 (y 0 )2 时，
(x2y2)six n2 1y20 原结论成立．
例3
求极限
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lx im 0sixn2xy(2y) x2x2yy2, y0
也有不属 E的 于点（P点 本身可以E属 ，于 也
可以不属 E） 于，则P称 为E的边界点．
E的边界点的全体 E的 称边 为界．
•P
设 D是开集．如果对于 D内
任何两点，都可用折连线结起来， E
且该折线上的点都属D于，则称 开集D 是连通的．
• •
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
（5）二元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P(x,y)D，变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为 zf(x,y)（或记为zf(P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ， n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
高等数学多元函数微分学习题集锦
x = 0或y = 0，
⎪⎩0,
其它
其中 a > 0 ，求 fx (0, 0), f y (0, 0).
解
fx (0,0) =
lim
Δx→0
f (Δx,0) − Δx
f (0,0)
z
= lim a2 − Δx2 − a
Δx→0
Δx
= lim
−(Δx)2
=0
• O
x
Δx→0 Δx( a2 − Δx2 + a)
+
y02 b2
+
z02 c2
−1),
由
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪
Lx0 Ly0 Lz0
= = =
1 x0
+λ
2 x0 a2
= 0,
1 y0
+λ
2 y0 b2
=
0,
1 z0
+λ
2z0 c2
= 0,
得
⎪ ⎩
Lλ
=
x02 a2
+
y02 b2
+
y02 c2
−1 = 0,
⎧ ⎪
x
0
=
⎪
a 3
⎪ ⎨
y0
=
⎪
b 3
n2 = (2,− 3,5)
因此切线的方向向量为 l = n1 × n2 = (16,9, −1)
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
y0
a
a 3
a 3
a. 3
可见当三个数相等时,其乘积最大.
Smax
a 3
3.
17
7.8.2 条件极值
无条件极值：对自变量除了限制在定义域 内外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
对于有些实际问题，可以把条件极值化为无 条件极值.但在很多情形下，将条件极值化为无条件 极值并不简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方 法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这 就是拉格朗日乘数法.
的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又
f x ( x0, y0 ) 0， f y ( x0, y0 ) 0， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， fxy ( x0, y0 ) B， f yy ( x0, y0 ) C，
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
满足 z x2 y2 0 和 x y z 1 0.
令
F x2 y2 z2 (z x2 y2 ) ( x y z 1),
分别对x, y, z求偏导，并使之为零，再结合条件，得
24
解出
2x 2x 0,
22zy
2y
0,
0,
z x2 y2 ,
x y z 1 0,
s x(a x 2 y) 0. y
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(
(
(
x 2 + y 2 ≤ 1, x
+ y }
(
1
- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim
= lim 2
=- t →0 t →0
习题 8-1
1. 求下列函数的定义域：
(1) z =
解： x -
x - y ；
y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D =
{x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }
x
(2) z = ln( y - x) +
；
1 - x
2 - y 2
解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D =
{ x , y ) y > x ≥ 0 且 x
2
+ y 2 < 1
}
(3) u = R 2 - x 2 - y 2
- z 2 +
1
x 2 + y 2
+ z 2 - r 2
(R > r > 0) ；
解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒
⇒ D = {
x , y , z ) r 2
< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2
}
(4) u = arccos
z
x 2 + y 2
。
解：
z
2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤
x 2 + y 2 且 x 2 + y 2
≠ 0
2. 求下列多元函数的极限:：
(1) lim ln( x + e y )
x →1 x 2 + y 2
y →0
；
解： lim
x →1
y →0
ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)
1
= ln 2
(2) lim 2 - xy + 4
多元函数微分学例题
{2ax + 2by = 3
2bx + 4ay = 4
当8a2 − 4b2 ≠ 0 时, f (x, y)有唯一驻点.
x0
=
3a − 2b 2a2 − b2
,
y0
=
4a − 3b 2(2a2 − b2 )
.
记 A = f xx ( x0 , y0 ) = −2a, B = f xy ( x0 , y0 ) = −2b, C = f yy ( x0 , y0 ) = −4a.
≠ 0,
证明: 对任意常数C, f (x, y) = C为一直线的充要条件是
( f y )2 f xx − 2 f x f y f xy + f yy ( f x )2 = 0.
f xx
+
f xy
dy dx
+
f yx
dy dx
+
f yy
⎛⎜⎝
dy dx
⎞⎟⎠2 +
fy
d2 y dx 2
=
0,
将 dy = − fx dx f y
例9. 设 f ( x, y) = 3 x + 4 y − ax2 − 2ay2 − 2bxy, 试问参数 a, b满足什么条件时, f (x, y)有唯一极大值? f (x, y)有唯
一的极小值?
当8a2 − 4b2 ≠ 0 时, f (x, y)有唯一驻点
高等数学第七章
CC(p)p2C2
是微分方程的解
CC(p)p2C1p
是微分方程的解
CC(p) p2C 1pC 2 是微分方程的通解
思考与练习
通解就是微分方程的全部解吗 ？ 说明: 通解不一定是微分方程的全部解 .
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 .
当自变量取 x0，未知函数取值 y (x0) ，或其导数取
y
Cy e x
作业 P309习题7-3
1(2)(3)
第四节 一阶线性 微分方程
一、一阶线性微分方程
形如
y p (x )y q (x ) 的方程， 称为一阶线性微分方程。
特别地 1)如果 q(x)0
该微分方程称为一阶齐次线性微分方程
2)如果 q(x)0 该微分方程称为一阶非齐次线性微分方程
例如，微分方程 可化为
内容提要
1. 微分方程的定义 ； 2. 微分方程的阶； 3. 微分方程的解（通解和特解）； 4. 微分方程的初始条件和初值问题。
教学要求
理解和掌握基本概念，特别是通解和特解的定义
一、问题的提出
例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
(x2)dy y dx
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A (2，1,-6)，
B (0，2，0)，
C (-3，0,5)，
D (1，-1，-7).
解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则
(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).
(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).
同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).
3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即
(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得z =11，故所求的点为M (0，0，
149
). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2
高等数学第七章(7-1
1
解
因为
0
| xy | 1 2 | xy | 1 2 2 2 2 x y 2 x y 2
1
1 x2
| xy | x2 1 0( 2 ) ( ) 0, （当( x, y) (0, 0) 时) 2 x y 2
由夹逼准则， 原极限为0．
例6
xy 证明极限 ( x , ylim x 2 y 2 不存在． ) (0,0)
y
再例如:
d
c
0
a
b
x
B {( x, y) | a x b, c y d }
--对应边平行于坐标轴的矩形 记为[a, b]×[c,d]，称为两线段[a, b]与[c, d]的笛卡尔乘积集．
(1)点的邻域
在平面上，以点P0 ( x0 , y0 ) 为心， 0 为半径
称为点 p0 的 的圆内所有点 P( x, y) 所成的点集， 邻域， 记作 U ( P0 , ) 在 邻域中去掉中心点 P0 后的点集, 称为 点 P0 的去心 邻域, 记作 U ( P0 , )
第一节
多元函数的基本概念
平面点集及n维空间的点集
多元函数概念
多元函数的极限 多元函数的连续性
一、平面点集及n维空间的点集
1.平面点集
定义: 坐标平面上具有某种性质的点的集合， 称为平面点集。 例如:
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
1 / 28
习题8-1
1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；
解：0,0x y D ≥≥⇒=
(
){,0,x y y x ≥≥
(2) 2
2
1)ln(y
x x
x y z --+
-=；
解：2
2
0,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}
2
2,01x y y x x
y >≥+
(3) )0(1
2
2
2
2
2222>>-+++
---=
r R r
z y x z y x R u ；
解：2
2
2
2
2
2
2
2
0R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0
D ⇒=
(){}
2
2222,,x y z r
x y z R <++≤
(4) 2
2
arccos
y
x z u +=。
221,0x y D ≤+≠⇒=
(
){}
22,0x y z x y ≤
+≠
2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2
2
y 0
1)e ln(lim
y
x x y x ++→→；
解：y 1ln 2x y →→=
= (2) xy xy y x 4
2lim
0+-→→；
解：令t=xy
，1
2
0000
1(4)1
2lim 14x t t y t -→→→→-+===-
2 / 28
(3) x xy
y x sin lim
5
0→→；
解：0050
sin sin lim
5lim 55x x y y xy xy
x x →→→→==
(4) 2
2x 2
2220
0e
)()cos(1lim
y y x y x y x ++-→→；
解：2222222
2
222x 001cos()1
1cos()2(sin ),lim 20022()e
y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xy
高等数学D第七章多元函数的微分
的常数A ，则 A 为 称 zf(x ,y )当 (x ,y) (x 0,y 0)时
的极限. 记作
limf(x,y)A
(x,y) (x0,y0)
lim f (x, y)
xx0 yy0
注 (x, y)趋向于 (x0, y0)的方向有任意多个,
路径也是多种多样的.
31
二元函数的极限与一元函数的极限的 相同点和差异是什么
35
同一元函数一样, 二元连续函数的和、差、 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 称为多元初等函数, 在其定义区域内亦是 连续的.
36
例
讨论二元函数
f
(x,
y)
xy x2 y2
是否连续，并求
lim f (x, y)
z
R
d
M 1
P
M2
Q
N
dM 1M 2?
在直角三角形
M1NM2和 M1PN
中, 用勾股定理
O
y
x
d2 M1P 2 PN 2 NM 2 2
M1Px2x1, PNy2y1, N2M z2z1
d M 1P2PN 2NM 22
6
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
2 则方程的通解为 y C1 C 2 x e 1x
（ 3）特征方程有共轭复根
i ， 则方程的通解为 y e x C1 cos x C 2 sin x
2． n 阶常系数齐次线性方程
yn
p1 y n 1
p2 y n 2
pn 1 y p n y 0 其中 p i i 1,2, , n 为常数。
相应的特征方程
（ 1）若 不是特征根，则令 y Rn x e x
（ 2）若 是特征方程单根，则令 y xRn x e x
（ 3）若 是特征方程的重根，则令 y x2 Rn x e x
2． f x Pn x e x sin x 或 f x Pn x e x cos x
其中 Pn x 为 n 次多项式， , 皆为实常数
其结论很容易地推广到更高阶的
二阶齐次线性方程
y pxy qxy 0
（ 1）
二阶非齐次线性方程
y pxy qxy f x
（ 2）
1．若 y1 x ， y 2 x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
C1y1 x C 2 y2 x （ C1， C2 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
y1 x
1
ln( x 1)
p
p
属于一阶线性方程
x1
x1
1
1
p
dx
高等数学下册同济大学出版社经管类第2版-第七章-多元函数微分学PPT课件
*
4
例 4 求 二 元 函 数 z a 2 x 2 y 2 的 定 义 域 ．
解 由根式函数的定义容易知道， 该函数的定义域 为满足x2y2a2的x,y,即定义域为
D(x,y)|x2y2a2 .
这里D在xO面 y上表示一个以原点为圆心，a为半 径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）.
y
a x2 y2 a2
区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连
通 性 (如 果 一 块 部 分 平 面 内 任 意 两 点 均 可 用 完 全 属 于 此 部 分 平 面 的 折 线 连 结 起 来 ，这 样 的 部 分 平 面 称 为 具 有 连 通 性 ) 的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线 称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内 的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域．
第七章 多元函数微分学
*
1
第一节 多元函数的极限及连续性
一、多元函数
1.实例分析
例 1设 矩 形 的 边 长 分 别 x和 y ， 则 矩 形 的 面 积 S 为 S x .y
在 此 ， 当 x 和 y 每 取 定 一 组 值 时 ， 就 有 一 确 定 的 面 积 值 S ． 即 S 依 赖 于 x 和 y 的 变 化 而 变 化 ．
y2
1
0,
即 1 x2 y 2 9 ,函 数 定 义 域 为
第七章 多元函数微积分
高等数学练习题 第七章 多元函数微积分
系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念
一．选择题
1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)
ln(1y x z +=
的定义域 （ C ）
（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）
（A ）
1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y
4．若)0()l n
(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）
（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -
（C ）
)ln (ln 2
1
y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题
1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d
2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为
3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___
4
． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __
； 5. ln()z y x =-+
的定义域
6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =
7．已知2
2),(y x x
y y x f -=+，则=),(y x f 8．已知v
u w
高等数学课后习题答案--第七章
14. 计算下列映射的导数： ⎛x+ y ⎞ ⎟ （1） f ( x, y ) = ⎜ ⎜ x 2 + y 2 ⎟; ⎝ ⎠
⎛ u cos v ⎞ ⎟ ⎜ （2） g (u , v) = ⎜ u sin v ⎟. ⎟ ⎜v ⎠ ⎝
⎛ dx ⎞ ⎛ dx + dy ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ df = J , 【解】 (1) J = ⎜ ⎜ dy ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 2x 2 y ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ ⎝ 2 xdx + 2 ydy ⎠ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
（4）
x2 y2 z2 . ( x , y , z ) →( 0, 0 , 0 ) x 2 + y 2 + z 2 lim
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1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A (2，1,-6)，
B (0，2，0)，
C (-3，0,5)，
D (1，-1，-7).
解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则
(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).
(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).
同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).
3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即
(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得z =11，故所求的点为M (0，0，
149
). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2
12
14M M =，2
2
13236,6M M M M ==
所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.
解：所求平面方程为1235y x z
+
+=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为
Ay +Bz =0.
又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为
Ax +Cz +D =0.
又点M 1和M 2都在平面上，于是
A D C D +=⎧⎨
+=⎩ 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.
显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？
解：表示以点（1，-2，0
9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.
解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
1. 下列各函数表达式:
(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,
求(f x y -； (2)
已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).
解：（1
）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2
）2
222(()2f x y x y x y -=+=-+
所以22(,)2f x y x y =-
2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1
z x y =+-；
(2) z =
(3) (,))f x y x y =-；
(4) 22(,)f x y =
解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠
故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。 （2）由
2210
10x y ⎧-≥⎨-≥⎩
可得11
11x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩
或
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。 （3）由
10
0x x y -≥⎧⎨->⎩
可得
1
x y x ≥⎧⎨<⎩
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐
标1x ≥的部分。 （4）由
222
131
0x y x y ⎧-≤--≤⎨-≥⎩
可得
222
24
x y y x ⎧≤+≤⎨≤⎩
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。 3. 说明下列极限不存在：
(1) 00
lim x y x y
x y
→→-+；
(2) 362
00
lim x y x y
x y →→+.
解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有
(,)(0,0)0 (1)1
lim lim (1)1x y x y kx
x y k x k x y k x k →→=---==+++。