高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

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高等数学高教版课后习题答案

2．
z r 3 (2 s i n2 c o s s i n3 c o s 3 2 s i n c o s 2 ) 。
4．
dz 3 12t 2 。 dt 1 9t 2 24t 4 16t 6
5． 6．
dz e x (1 x) 。 dx 1 x 2 e 2 x
答案与提示
第七章多元函数微分学
§ 1 多元函数的极限与连续 1．（1）0；（2）2；（3）0；（4）不存在；（5）0；（6）不存在；（7）0；（8）不存在。 8 2．（1） ln 2 ；（2）0；（3）；（4）0。 5 3．（1）不连续；（2）不连续；（3）连续。 4．（1）当 x m 且 y n （ m, n Z ）时连续；（2）当 x 2 y 2 1 时连续；（3）除点 (a, b) 外都连续。 5．（1）当 | x || y | 时连续；（2）除点 (0, 0) 外都连续。 § 2 全微分与偏导数
（3）
2z ， cos xf1 sin 2 xf11 2 x
2z ， sin x sin yf12 xy
2z ； cos yf 2 sin 2 yf 22 2 y
（4）
2z 4 xy 3 f12 y 4 f 22 ， 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 x 2
x 2 x y2 （2） J y x2 y2 y x y2 x 2 x y2
2
xdx ydy du x 2 y 2 ，。 dv ydx xdy x2 y2
（3）
（4）
z z x xy y (ln x 1) ， x xy 1 ln x 。 x x

多元函数微分学的应用习题及详细解答

（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2

第7章多元函数的微分

解设M ( x, y, z)是所求轨迹上任一点, | MM0 | R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 球面方程.
11
3.曲面与方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
6
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
空间两点间距离公式
特殊地若两点分别为M( x, y, z) , O(0,0,0) d OM x2 y2 z2
空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间距离公式有类似的表达形式，是平面两点间距离公式的推广.
32
例设函数
f
(
x,
y)

x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
讨论在（0，0）点处, 函数的极限是否存在.
解：当P(x, y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,
lim
x0
f
( x,0)
lim
x0
x0 x2 02

lim0
x0

0
同样, 当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,
如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的
每一点连续, 则称函数 f ( x, y) 在D内连续, 或称函数 f ( x, y)是 D内的连续函数.
35
同一元函数一样, 二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数称为多元初等函数, 在其定义区域内亦是连续的.

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

多元函数微分学选择题

第七章多元函数微分学1 多元函数题目尽量简单，难难度系数在0.1-0.5每个题目都标上难难度系数），格式如下：选择题：1、设。

，则。

等于（）（c, 难难度系数0.1） A 、 B 、 C 、 D 、 1、2200lim3x y xyx y →→+之值为（）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、不存在C 、13 D 、 142、若()(),ln 1ln xy xy e f x y x x e x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则(),f x y 等于（）（D, 难难度系数0.2） A 、1xye B 、x x e yC 、 xxe D 、 2x yxe ye3、已知ln x y x =是微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭的解，则x y ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式为（）（A, 难难度系数0.3） A 、22y x - B 、22y x C 、22x y- D 、22x y4、设函数(),zf x y =的定义域为(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则函数()23,z f x y =的定义域为（）（B, 难难度系数0.3） A 、 (){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ B 、 (){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤C 、(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤ D 、 (){},11,11D x y x y =-≤≤-≤≤ 5、下列函数中，在点()0,0处连续的函数是（）（c, 难难度系数0.3）A 、33x y z x y +=+ B 、()()()()222,,0,010,,0,0xyx y x y z x y -⎧≠⎪++=⎨⎪=⎩C 、sin(),00,0xy x z xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ D 、 ()()()(),,0,00,,0,0x y x y x y z x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩6、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（）（D, 难难度系数0.1）A 、22x y - B 、 22x y + C 、 2()x y - D 、 xy7、22(,)(,)limx y x yx xy y →∞∞+=-+（）（A, 难难度系数0.3）A 、 0B 、 1C 、1- D 、 ∞8、设(),,0,xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，则(),f x y 在()0,0点（）（D, 难难度系数0.2） A 、极限存在且为1 B 、极限存在且为1- C 、连续 D 、极限不存在9、设()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则（）（c, 难难度系数0.2）A 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 B 、极限()(,)(0,0)lim ,x y f x y →存在，且(),f x y 在点()0,0处连续 C 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 D 、极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处连续 10、函数()1,sin cos f x y x y=的间断点为（）（D, 难难度系数0.1）A 、(),x y ，其中2,1,1,2,x y n n π===±±B 、 (),x y ，其中2,1,1,2,2x y n n ππ==+=±±C 、(),x y ，其中,1,1,2,x y n n π===±±D 、(),x y ，其中,,1,1,2,2x n y n n πππ==+=±±11、下列式子正确的是（）（D, 难难度系数0.3） A 、2200lim 0x y xyx y →→=+ B 、 00lim0x y xy x y →→=+ C 、 32600lim 0x y xy x y →→=+ D 、 2244lim 0x y x y x y →∞→∞+=+12、00limx y xyx y →→+之值为（）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、不存在C 、∞ D 、 1-13、2(,)lim x y →=（）（A, 难难度系数0.2）A 、 12B 、不存在C 、 1-D 、 ∞的不存在14、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（）（B, 难难度系数0.1）A 、()22y x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭B 、211y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ C 、 11y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭D 、 22x y - 15、函数22ln 4x y z +-=的定义域是（）（c, 难难度系数0.2）A 、 224x y +≥且20x y >≥B 、 224x y +>且20x y ≥≥C 、224x y +>且20x y >≥ D 、 224x y +≥且20x y ≥≥16、已知函数()2,4f x y x y =+，则(),f x y xy -=（）（B, 难难度系数0.2）A 、 ()2x y - B 、()2x y + C 、24x y - D 、 24x y +17、已知函数()33,2f x y x y =+，则(),f y x --=（）（C, 难难度系数0.1）A 、332xy - B 、 332y x + C 、 332x y -- D 、 332x y -+18、已知函数()2,2x y f x y x y-=-，则()1,3f =（）（B, 难难度系数0.1）A 、15 B 、 5 C 、 15- D 、 5- 19、已知函数()22,3f x y x y x y -+=+，则(),f x y =（）（D, 难难度系数0.2）A 、223()()x y x y -++B 、22()3()x y x y -++C 、22xxy y ++ D 、 22x xy y -+20、已知函数(),32f x y x y =+，则()(),,f xy f x y =（）（B, 难难度系数0.2）A 、32x y +B 、364xy x y ++ C 、36xy x + D 、34xy y +20、()2222arcsin ln 14x y z x y +=++-的定义域是（）（D, 难难度系数0.2） A 、(){}22,14x y x y ≤+≤ B 、(){}22,14x y x y <+< C 、(){}22,14x y xy ≤+< D 、 (){}22,14x y x y <+≤21、)]ln(ln[x y x z -=的定义域是（）（D, 难难度系数0.2）A 、(){},0,1x y x x y x <<<+B 、 (){},,0,1x y x y x >≥+C 、(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >≥+⋃<<<+ D 、 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y xx y x>>+⋃<<<+ 22、()()ln arcsin 3z y x x =-+-的定义域是（）（C, 难难度系数0.2）A 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤< B 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤<≤ C 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤≤ D 、(){},,,2,24x y y x y x x ><≤≤23、02sin limx y xyx →→=（）（A, 难难度系数0.1）A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在24、()2222001lim52sin34x y xy x y →→+=+（）（D, 难难度系数0.2）A 、不存在B 、∞C 、1D 、 025、(,)(0,0)limx y →=（）（A, 难难度系数0.2）A 、14B 、∞C 、1D 、 0 26、00x y →→=（）（D, 难难度系数0.2）A 、∞B 、1C 、0D 、 16-27、二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、不存在D 、028、二重极限26300lim y x yx y x +→→值为（）（D, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在 29、二重极限()102lim1xx y xy →→+=（）（A, 难难度系数0.2）A 、 2eB 、1C 、∞D 、 030、22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+=）（）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在31、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x xxyy x f 的连续范围是（）（D, 难难度系数0.3） A 、220xy +≠ B 、0xy ≠ C 、0x ≠ D 、全平面32、函数2222y x z y x+=-在22y x =处（）（B, 难难度系数0.1）A 、不能判定B 、间断C 、连续D 、不间断也不连续 33、函数2sinzx xy=在0xy =处（）（A, 难难度系数0.1） A 、连续 B 、不能判定 C 、不间断也不连续 D 、间断34、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点（）（A, 难难度系数0.2）A 、间断B 、连续C 、极限存在D 、不间断也不连续 35、函数()22(,)ln f x y x y =+在点)0,0(（）（B, 难难度系数0.2）A 、连续B 、间断C 、极限存在D 、不间断也不连续2 偏导数1、设(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在，则()()00000,,limx f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（）（c, 难难度系数0.2） A 、()00,x f x y ' B 、 ()002,x f x y ' C 、 ()002,x f x y ' D 、()001,2x f x y ' 2、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0y f '=（）（B, 难难度系数0.3）A 、 1B 、 12C 、 2D 、 0 3、若()22,f xy x y x y xy +=++，则(),x f x y =（）（A, 难难度系数0.3）A 、1- B 、 2y C 、 ()2x y + D 、 2x4、二元函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（）（c, 难难度系数0.2） A 、连续，偏导数存在 B 、连续，偏导数不存在 C 、不连续，偏导数存在 D 、不连续，偏导数不存在 5、已知(),f x y = ）（D, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在6、二元函数()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（）（c, 难难度系数0.3）A 、连续，偏导数存在B 、连续，偏导数不存在C 、不连续，偏导数存在D 、不连续，偏导数不存在7、设函数(),z f x y =满足222fy∂=∂，且()(),01,,0y f x f x x ==，则(),f x y =（）（B, 难难度系数0.4） A 、21xy y -+ B 、 21xy y ++ C 、221x y y -+ D 、 221x y y ++8、设(),zf x y =在点()00,x y 处偏导数存在，则()00,x y zx ∂=∂（）（B, 难难度系数0.3）A 、()()00000,,limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ B 、 ()()00000,,lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆C 、()()0000,,limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆ D 、 ()()0000,,lim x f x y x f x y x∆→+-∆9、若()22,f xy x y x y xy +=+-，则()(),,x y f x y f x y +=（）（c, 难难度系数0.3）A 、22x y + B 、 23y + C 、 23y - D 、 23x +10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（）条件（D,难难度系数0.3）A 、充分条件但非必要条件B 、必要条件但非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件 11、二元函数(),f x y 在点()0,0处连续，且偏导数存在，()0,00f =，则当()(),0,0x y ≠时，(),f x y 可以等于下列四个式子中的（）（c, 难难度系数0.3）A 、2422x y x y ++ BCD 、22xy x y +12、已知(),f x y = ）（c, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在13、二元函数()()()()()544,,0,0,0,,0,0x xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（）（c, 难难度系数0.3）A 、 0B 、∞C 、 1D 、不存在但不是无穷大14、二元函数()()()()()3322,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩，则下列各式错误的是（）（c, 难难度系数0.4） A 、()0,0x f =0 B 、()0,x f y y =- C 、()0,01xy f = D 、 ()0,01xy f =-15、曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是（）（c, 难难度系数0.3）A 、2π B 、 3π C 、4π D 、 6π 16、设x zy =,则xy z =（）（c, 难难度系数0.2）A 、1ln x xy x -B 、()1ln x y x y -+C 、()11ln x y x y -+D 、2ln x y x17、()22,f x y xy x y π=---，则(,)f x y x∂=∂（）22y x y --（c, 难难度系数0.2）A 、22y x y π--- B 、 22y x y -- C 、2y x - D 、 22y x y --18、设()22,f x y xy x y e =--+，则(,)f x y y∂=∂（）（B, 难难度系数0.2）A 、22y x y e --- B 、2x y - C 、 22y x y -- D 、 22y x y --19、已知理想气体状态方程RT PV =，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂PT T V V P （）（A, 难难度系数0.3 A 、1- B 、 1 C 、 2 D 、没意义20、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（）（C,难难度系数0.3）A 、 1B 、1- C 、 0 D 、不存在21、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,1x f =（）（A,难度系数0.3） A 、1- B 、 1 C 、 0 D 、不存在22、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,x f y =（）（B,难度系数0.3）A 、yB 、y -C 、x -D 、123、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则(),0y f x =（）（A,难度系数0.3）A 、xB 、y -C 、x -D 、124、设)cos()2cos(),(y x y x y x f +-=，则=')4,(ππyf （）（D,难度系数0.3）A 、0BC 、D 、 -25、设y x y x u arcsin)1(-+=，则xu∂∂在(2,1)的值是（）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、226、设(ux y =+-，则(,1)x f x 的值是（）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、2 27、设(21)arcsinx ux y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（D,难度系数0.3）A 、1-B 、1+C 、1-D 、 31+28、设(21)arccosx u x y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（B,难度系数0.3）A 、1-B 、1-C 、1+D 、 31+29、设(1)arctanx u y y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（D,难度系数0.3）A 、15 B 、 15- C 、25- D 、 2530、设2arctan (21)arccoty xue y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（）（C,难度系数0.3）A 、35 B 、35- C 、 65- D 、6531、设(21)arctanyux x x=+-，则u y ∂∂在(1,1)-的值是（）（B,难度系数0.3）A 、32 B 、 12 C 、12- D 、1 32、设2arctan 2y ux x =+，则uy∂=∂（）（D,难度系数0.3） 33、设2arcsin 2y ux y =+，则ux∂=∂（）（A,难度系数0.3）A 、212y yx - B 、22ln yxx C 、2ln y x x D 、2122214y yx x -++34、设(),z f x y x y ==+()3,4x f =（）（D,难度系数0.3）A 、35 B 、85 C 、15 D 、 2535、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1x y f y ==∂=∂（）（C,难度系数0.3）A 、23 B 、13 C 、12D 、 1 36、设2e xyu =，则2u uxy x y∂∂+=∂∂（）（C,难度系数0.4） A 、1 B 、224xy x eyC 、0D 、224xy x ey-37、设2x yue=，则2ux y∂=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、22x yxe B 、2x ye C 、()2321x yyx e+ D 、()2221xyx x y e +38、设2sin xu xz y=+，则42u x y z ∂=∂∂∂（）（A,难度系数0.3） A 、0 B 、2xz C 、2z D 、21sin xy y-39、设xyz ln =，则22zx ∂=∂（）（D,难度系数0.4） A 、1 B 、0 C 、2ln 2ln ln x y y y x + D 、 2ln 2ln ln xy y y x- 40、设xyzln =，则2zx y∂=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、ln 2ln ln 1xx y y x - C 、 ln ln ln 1x y x y xy ⋅+ D 、 2ln 2ln ln x y y y x - 41、设yxz u arctan =，则222222u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂（）（C,难度系数0.3）A 、()2224xyzxy-+ B 、()2224xyzxy-+ C 、 0 D 、1A 、B 、C 、连续D 、不连续 42、设()22,f xy x y x y -=+，则1f f x y y∂∂+=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、2 D 、43 全微分及其应用1、函数(),zf x y =在点()00,x y 处具有偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''是函数在该点可微的（）（A,难度系数0.2）A 、必要条件但非充分条件B 、充分条件但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件 2、二元函数(),f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（）（C,难度系数0.3）A 、()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B 、()(),00,0lim0x f x f x→-=,且()()00,0,0lim0y f y f y →-= C 、()(,0,0,0,0lim0x y f x y f →-=D 、()()0lim ,00,00x x x f x f →''-=⎡⎤⎣⎦,且()()0lim 0,0,00y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 3、若函数(),f x y 在点()00,x y 处的偏导数存在，则(),f x y 在该点处函数（）（D,难度系数0.3）A 、有极限B 、连续C 、可微D 、 A 、B 、C 都不成立 4、考虑二元函数(),f x y 的下面4条性质：①(),f x y 在点()00,x y 处连续， ②(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续， ③(),f x y 在点()00,x y 处可微， ④(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（）（A,难度系数0.3） A 、②⇒③⇒① B 、③⇒②⇒① C 、③⇒④⇒① D 、 ③⇒①⇒④ 5、设z=()1,1dz =（）（B,难度系数0.3）A 、()12dx dy + B 、 dx dy + C 、 ()13dx dy + D 、)dx dy + 6、设1zx uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1,1,1du=（）（B,难度系数0.3）A 、dx dy dz ++B 、 dx dy -C 、 dx dz -D 、 dy dz -7、设cos ,sin x r y r θθ==，则xdy ydx -=（）（B,难度系数0.2）A 、2rd rdr θ+ B 、 2r d θ C 、 rdr D 、 rd θ8、在下列条件中，使函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且全微分为零的是（）（D,难度系数0.3） A 、具有偏导数且()()0000,0,,0x y f x y f x y ''== B 、()00,x y f∆=C 、()0022,sin x y x y f∆+∆∆=D 、()()0022,x y fx y ∆=∆+∆9、下列函数在点()0,0处可微的是（）（C,难度系数0.3）A、z =B 、()()()(),0,00,,0,0x y z x y ≠==⎩ C 、()()()()()22221sin ,,0,00,,0,0x y x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩ D 、()()()()22,,0,00,,0,0xy x y x y z x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩10、若()()(),,zf x y x yg x y ==+，(),g x y 在点()0,0处连续，则(),f x y 在该点处结论错的是（）（C,难度系数0.3）A 、有极限B 、连续C 、不可微D 、 dz dx dy =+11、若函数(),f x y 在点()00,x y 处不连续，则（）、（D,难度系数0.1） A 、()00,f x y 必不存在 B 、()()00(,),lim,x y x y f x y →必不存在C 、()()0000,,,x y f x y f x y 必不存在D 、 (),f x y 在()00,x y 必不可微12、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与z y∂∂连续的（）条件（A,难度系数0.2） A 、必要 B 、充分 C 、充要 D 、无关 13、设432z x y x =+，则()1,2dz =（）（C,难度系数0.2）A 、()3342423x ydx x y dy ++ B 、1234dx dy + C 、 3412dx dy + D 、3412dx dy -14、arctanxz y=，则dz =（）（D,难度系数0.2） A 、22xdy ydx x y -+ B 、22xdx ydy x y -+ C 、22ydx xdy x y ++ D 、 22ydx xdyx y -+15、(),fx y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的（）条件（B,难度系数0.2）A 、必要B 、充分C 、充要D 、无关16、若(),f x y =()1,1df=（）（D,难度系数0.2）A 、22xdx ydy x y ++ B 、221xdx ydyx y +++ C 、2dx dy+ D 、3dx dy+17、u =()0,1处的du =（）（B,难度系数0.3）A 、2dxB 、dxC 、()2222yx dx xydy x y--+ D 、222y dx xydyx y-+ 18、设yx yx y x z-+++=arctanln 22，则d z =（）（D,难度系数0.3） A 、()()22x y dy x y dxx y --++ B 、()()22x y dx x y dyx y --++C 、()()22x y dx x y dyx y ++-+ D 、()()22x y dx x y dyx y -+++19、设(),zf x y =在点()00,x y 处的全增量为z ∆,全微分为dz ,则(),z f x y =在点()00,x y 处的全增量与全微分的关系式是（）（B,难度系数0.2） A 、zdz ∆= B 、()z dz o dz ∆=+ C 、()z dz o z ∆=+ D 、()z dz o dx ∆=+20、函数)ln(22z y x u++=，则在点)1,0,1(A 处的全微分为（）（C,难度系数0.2）A 、22dx ydy zdz x y z ++++ B 、2222dx ydy zdzx y z ++++ C 、22dx dz + D 、2dx dz+ 21、函数32),(y x y x f =在点)0,0(处（）（D,难度系数0.3）A 、两个偏导函数连续B 、可微C 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都不存在 D 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都存在，但不可微22、若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（）（B,难度系数0.3）A 、(),z f x y =在点()00,x y 处连续B 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续C 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在D 、曲面(),zf x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面23、二元函数),(y x f 在点),(000y x M 处连续，且),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，这是),(y x f 在点可微的（）条件（B,难度系数0.2）A 、充分非必要B 、必要非充分C 、充分必要D 、既非充分亦非必要 24、．难度0、3答案设2yu x =，则du =（）（A,难度系数0.3）A 、22212ln y y y xdx yx xdy -+ B 、2221ln y y y xdx x xdy -+C 、221()y y x dx dy -+ D 、22212ln y y y x dy yx xdx -+25、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=（）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.20-C 、0.2040402004-D 、0.2040402004 26、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全微分d z =（）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.2040402004C 、0.2040402004-D 、0.20- 27、x y ucos )(ln =,则d u =（）（A,难度系数0.3）A 、cos cos (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ B 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤⋅+⎢⎥⎣⎦C 、cos sin (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ D 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦28、z yxu)(=,则d u =（）（D,难度系数0.3）A 、11()ln z x x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ C 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 29、2221zy x u++=,则d u =（）（C,难度系数0.3）A 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ B 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ C 、 ()()32222x y z xdx ydy zdz --++++ D 、()()32222xy zxdx ydy zdz ++++30、(),f x y =()0,0处（）（C,难度系数0.3）A 、不连续B 、()0,0x f 与()0,0y f 不存在C 、不可微D 、可微31、设xy zxe y =+，则()1,1dz =（）（B,难度系数0.2）A 、edx dy +B 、 ()21edx e dy ++C 、xyedx dy + D 、()()211xy xy xy e dx x e dy +++4 多元复合函数的求导法则1、设(),u f x y =，且cos ,sin x r y r θθ==，其中f 具有二阶连续的偏导数，则22uθ∂=∂（）（C,难度系数0.3） A 、 2222sin cos xx yy r f r f θθ+B 、 22222sin sin 2cos xx xy yy r f r f r f θθθ-+C 、 22222sin sin 2cos cos sin xx xy yy x y r f r f r f rf rf θθθθθ-+--D 、2222sin cos cos sin xx yy x y r f r f rf rf θθθθ+--2、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则2ty z∂=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、2132333xyf x yf xyzf ++ B 、 222333x yf x yzf +C 、2223333x yf x yzf f ++ D 、 2223333x yf x yzf xf ++3、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则22tx∂=∂（）（D,难度系数0.3）A 、222112233f y f y z f ++B 、 2121323222yf yzf y zf ++C 、 2222112233121323222y f yf y z f f yzf y zf +++++D 、2222112233121323222f y f y z f yf yzf y zf +++++4、设函数()()(),ux y x y x y ϕϕ=++-，其中函数ϕ具有二阶导数，则必有（）（B,难度系数0.3） A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 20u x y ∂=∂∂ D 2220u ux x y∂∂+=∂∂∂ 5、设()(),,,zf x v vg x y ==，其中,f g 均有二阶连续导数，则（）（C,难度系数0.3）A2222f f vx v x ∂∂∂+∂∂∂ B222222f f v f vx v x v x∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂C222222222f f v fv f v x x v x v x v x∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ D2222222f fv f v x v x v x∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭6、设函数222200,0x y z x y +≠=+=⎩，又,x t y t ==，则t dzdt ==（）（C,难度系数0.3） A 、 0 B、 C 、D 、 17、设函数()()()(),x yx yux y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（）（B,难度系数0.4）A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u ux y x ∂∂=∂∂∂ 8、设函数()21ax e y z u a -=+，又sin ,cos y a x z x ==，则du dx=（）（A,难度系数0.3）A 、sin ax e x B 、cos ax e x C 、21(cos sin )1ax e a x x a ++ D 、 21cos 1axe x a + A 、 B 、 C 、 D 、 9、设()v uf z,=，其中e ,x u v x y -==+，下面运算中（）（B,难度系数0.3）:e x z f f I x u v-∂∂∂=-+∂∂∂，222:v f y x z II ∂∂=∂∂∂A 、I 、II 都不正确B 、I 正确，II 不正确C 、I 不正确，II 正确D 、 I 、II 都正确10、设(),u f x y xz =+有二阶连续偏导数，则2ux y∂=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、 ()2111222f xf x z f xzf ++++ B 、 1222xf xzf +C 、21222f xf xzf ++ D 、 22xzf11、设()(),,,,zf x y z yg x t ==，其中,f g 可微，则zx∂=∂（）（B,难度系数0.3） A 、()(),,,y x f x y z g x t - B 、 1x y x z f f g f +-C 、 ()(),,,y x f x y z g x tD 、1x y x zf fg f ++12、若设()22222,f x y x y M x y∂++=∂∂，其中f为二次连续可微函数，则（）（D,难度系数0.3）A 、2f f M x u v ∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭ B 、 22222f f M x u v ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭C 、22222f f M xy u v ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭ D 、 22224f f M xy uv ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭13、若函数(),x y uxyf f t xy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为可微函数，且满足()22,u u x y G x y u x y ∂∂-=∂∂，则(),G x y 必等于（）（B,难度系数0.3） A 、x y + B 、 x y - C 、 22x y - D 、 ()2x y +14、设()()2,zf x yg x xy =-+，其中f有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则下列正确的是（）（C,难度系数0.3）A2x x xy zf g yg x∂''=++∂ B2,,2xy x xy xy xy xy z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ C2122222z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ D 2122222zf xg g xyg x y∂'''''''=-++-∂∂ 15、设函数()2222,z x y u x y ϕ=+=+，其中函数ϕ可微，则下列四个式子正确的是（）（B,难度系数0.2） Az u x u x ϕ∂∂∂=⋅∂∂∂ B z d u x du x ϕ∂∂=⋅∂∂ C z d du x du dx ϕ∂=⋅∂ D z du x u dxϕ∂∂=⋅∂∂16、设y zxyf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为（）（D,难度系数0.2）A 、2xy B 、 ()2x y z + C 、()2x y + D 、 2z17、设)(22y x z-=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（）（C,难度系数0.2）A 、y z y x z x∂∂=∂∂ B 、 y z x x z y ∂∂=∂∂ C 、 y z x x z y ∂∂-=∂∂ D 、 yzy x z x ∂∂-=∂∂5 隐函数求导法1、设有三元方程ln 1xzxy z y e-+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）（D,难度系数0.3）A 、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),z z x y =B 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =C 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),z z x y =D 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =2、已知,tan ,cos zxx y z e xe t y t +-===，则220t d zdt ==（）（D,难度系数0.3）A 、12 B 、 14 C 、 18 D 、 138- 3、若(),u u x y =为可微函数，且满足()22,1,y x y x uu x y x x==∂==∂，则必有2y x u y=∂=∂（）（C,难度系数0.3）A 、 1B 、12 C 、 12- D 、 1- 4、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（）（B,难度系数0.3） A 、 x B 、 z C 、 x - D 、 z -5、设(),z z x y =由方程()22y z xf y z +=-确定，f 可微，则z zxy x y∂∂+=∂∂（）（B,难度系数0.3）A 、xB 、yC 、zD 、 1 6、设函数(),z f x y =由方程()x y z x y z e-++++=确定，则（）（C,难度系数0.3）A 、z zx y∂∂≠∂∂ B 、2222z z x y ∂∂≠∂∂ C 、 222z z x y y ∂∂=∂∂∂ D 、 222z z x x y ∂∂≠∂∂∂7、设(),z x y 由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=确定，则zx∂=∂（）（C,难度系数0.2）A 、z x B 、 x z C 、 z x - D 、 x z- 8、设ln x zz y=，则()0,1=dz （）（B,难度系数0.2） A 、1122dx dy + B 、 1122dx dy - C 、 dx dy + D 、 dx dy - 9、设(),0f x az y bz ++=，则z zab x y∂∂+=∂∂（）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、1- D 、 ab10、设(),z z x y =由方程222124y z x ++=确定，则（）（C,难度系数0.3） A 、2z xx z∂=-∂ B 、 224z x z ∂=-∂ C 、 2223416z x x z z ∂=--∂ D 、2223416z x x z z∂=-+∂11、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分=dz （）（C,难度系数0.3）A dy -B dy +C 、 dx -D 、dx +12、设⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微函数，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（）（D,难度系数0.3） A 、()x y z + B 、0 C 、z - D 、 z13、若(),zz x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（）（A,难度系数0.3）A 、zB 、z -C 、0D 、 114、由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dz dx =（）（B,难度系数0.3）A 、13y z - B 、 13x z + C 、13x z - D 、13yz+15、设函数()zf u =，又方程()()d xyu u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),Pt u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠、则()()z zP y P x x y∂∂+=∂∂（）（A,难度系数0.3） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、()()xPy yP x +6 方向导数与梯度1、函数(),arctanxf x y y =在点()0,1处的梯度等于（）（A,难度系数0.2） A 、iB 、i- C 、jD 、j-2、设2uxy z =-，则在点()1,2,2-处方向导数的最大值为（）（C,难度系数0.2） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 3、设2uxy z =，则在点()01,1,1M 处方向导数的最大值为（）（D,难度系数0.2）A 、B 、 4C 、 1D 、4、函数(),zf x y =在点()0,0处的两个偏导数()()0,0,0,0x y f f ''都存在，则在点()0,0处，函数(),z f x y =（）（B,难度系数0.2）A 、沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等B 、关于x 连续，关于y 也连续C 、沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等D 、连续 5、设22223326ux y z xy x y z =++++--在原点沿()1,2,1方向的方向导数为（）（C,难度系数0.2） A 、B 、C 、D 、 6、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点有方向导数的（）条件（D,难度系数0.1）A 、无关B 、充要C 、必要D 、充分7、在梯度向量的方向上，函数的变化率（）（B,难度系数0.1） A 、 B 、最大 C 、 D 、8、函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是（）（B,难度系数0.2）A 、0B 、cos cos cos αβγ++ C 、1 D 、{cos ,cos ,cos }αβγ9、函数xyxu =在点)1,1,1(的梯度为（）（B,难度系数0.3）A 、{}1,1- B 、 {}1,1,0- C 、{}1,1,0- D 、{}1,1-10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，则),(y x f （）（D,难度系数0.2）A 、在该点可微；B 、在该点连续；C 、在该点沿任意方向的方向导数存在；D 、以上结论都不对、； 11、函数e cos()x u yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是（）（D,难度系数0.3）A 、13 B 、13- C 、23- D 、 2310．难度0、3答案函数)ln(22z y x u++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是（）（C,难度系数0.3） A 、1 B 、0 C 、 12 D 、12- 12．难度0、2答案设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向（）（B,难度系数0.2）A 、{3,1,2}---B 、 {3,1,2}C 、{1,3,2}D 、{3,2,1}13、函数z=在点()0,0处沿方向{}1,0的方向导数zl∂=∂（）（A,难度系数0.2） A 、 1 B 、1- C 、0 D 、不存在 14、设2)0,0(,1)0,0(='='y x f f ，则（）（D,难度系数0.3）A 、),(y x f 在点)0,0(处连续；B 、 dy dx y x df 2),()0,0(+=；C 、 βαcos 2cos )0,0(+=∂∂lf ，其中βαcos ,cos 为l 的方向余弦；D 、),(y x f 在点)0,0(处沿x 轴负方向的方向导数为1-。

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章微分方程【圣才出品

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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解．（3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成（7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C．（9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

微积分第七章-多元函数微分学习题

总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当自变量改变量Δx、Δy等趋于0时，全微分等于偏导数乘以自变量改变量。因此，在求函数在某一点的切线斜率时，可以使用偏导数；而在计算函数在某一点的微小改变量时，则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内，一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

高等数学教材第七章答案

高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。

第七章多元函数微积分

高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第一节空间解析几何基础知识第二节多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示（D ）（A ）平面（B ）柱面（C ）球（D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域（ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4．球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第三节偏导数第四节全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于（ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ）（A ）221()f x y y -；（B ）4f yf y '+；（C ）0；（D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第五节多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ）（A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。

高等数学课后习题答案--第七章

135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;

第七章多元函数积分学知识点总结及典型例题(吐血推荐)

第七章多元函数微分学本章学习基本要求：1.会求空间中两点之间的距离。

2.了解多元函数的概念及二元函数的表示法与几何意义。

3.掌握二元函数的极限的运算。

4.熟练掌握求偏导数与全微分的方法，掌握求多元复合函数偏导数以及隐函数偏导数的方法。

5.掌握二元函数极值的必要条件，充分条件，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值与最小值。

6.掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz .例 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D --解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.例 2、求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---..二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=例 5、 z 轴上，求与点(4,1,7)A -, 点(3,5,2)B -等距离的点.解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(. 例 6、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.例2 设P 在x 轴上, 它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍, 求点P 的坐标. 解因为P 在x 轴上，设P 点坐标为),0,0,(x,113)2(22221+=++=PP x x,21)1(22222+=+-+=PP x x,221PP =PP221122+=+∴x x ,1±=x所求点为.)0,0,1(,)0,0,1(-练习题：例 3、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .例 4、求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立. 例 7、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)Mxyz C M A z ∈⇔= 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .第二节空间曲面及空间曲线定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4) 椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a 双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a 二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a 1．用定义求曲面∑方程的方法（1）设(,,)M xyz 是曲面∑上任意一点，根据题意，列出点M 所满足的条件，得到含有,,x y z的等式，化简得(,,)0F x y z =。

7章多元函数答案详解

第7章多元函数及其微积分学第一节空间解析几何初步【基础作业题】1、在空间直角坐标系中画出点(1,2,3)P -，并求它关于下列对称的点的坐标.图：如左图，观察可得（1）关于原点对称；（-1，-2,3）（2）关于y 轴对称；（-1,2,3）（3）关于yOz 平面对称；（-1,2，-3）2、求球心在点(2,1,3)M -，且通过点(1,0,0)的球面方程. 解：因为球心在点(2,1,3)M -，所以球面方程可设为2222(2)(1)(3)x y z R ++-+-=由题意，球面过点(1,0,0)，所以2222(12)(01)(03)19R R ++-+-=⇒=故所求的球面方程为222(2)(1)(3)19x y z ++-+-=。

3、指出下列方程在空间中各表示什么图形，并作出其草图.(1) 221x y += (2 ) 22z x y =+解：解：这表示圆柱面这表示旋转抛物面第二节多元函数的概念【基础作业题】1、求下列函数的定义域，并在平面直角坐标系中画出定义域的图形.(1)22z y x =- (2) 2ln()z y x =- 解：由题意，220y x -≥ 解：由题意，20y x -> 所以定义域为2{(,)|2}x y y x ≥ 所以定义域为2{(,)|}x y y x >2、设22(,,)cos g x y z x y z =⋅+，求(1)(2,0,2)g ；(2)(1,,3)2g π.解：由题意，(2,0,2)g =222cos026⋅+=(1,,3)2g π221cos392π=⋅+=3、求下列二元函数的极限.(1)(,)(0,4)2limx y x y → (2)(,)(0,0)lim 24x y xy xy →-+解：(,)(0,4)2limx y xy→ 解：原极限(,)(0,0)(24)lim (24)(24)x y xy xy xy xy →⋅++=-+⋅++2004⨯== (,)(0,0)(24)lim x y xy xy xy →⋅++=-(,)(0,0)lim (24)x y xy →=-++(204)4=-++=-【提高练习题】1．证明极限(,)(0,0)limx y x yx y →+-不存在.证：当(,)x y 沿射线y kx =趋于(0,0)时，有(,)(0,0)(,)(0,0)1l i ml i m1x y x y x yx k x kx yx k x k→→+++==---，由于k 值不同，极限值不一样，由此可知，当(,)x y 按不同的方式趋于(0,0)，所得的极限值不同，故原二重极限不存在.第三节偏导数【基础作业题】1、求下列函数关于各自变量的一阶偏导数.（1）2(,)321f x y x y =+- （2）(,)3y xf x y x y =++解：6x f x '= 解：1ln y x x f yxy y -'=+2y f '= 1ln yx y f x x xy -'=+2、设11()x yz e-+=，求证222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 解：由题意，1111()()221111[()]x yx y z e e z x x x y x x -+-+∂∂=⋅-+=⋅=⋅∂∂同理，11()2211x y z e z y y y-+∂=⋅=⋅∂所以，222222112z z xy x z y z z x y x y∂∂+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂ 3、求下列函数的所有二阶偏导数.(1) 22442z x y x y =-- (2 ) 2ln()z x y =解：因为2344z xy x x∂=-∂，解：因为222112()2z x y xy x x y x x y x ∂∂=⋅=⋅=∂∂2344z x y y y ∂=-∂， 2222111()z x y x y x y y x y y∂∂=⋅=⋅=∂∂所以2222412z y x x ∂=-∂，28z xy x y ∂=∂∂ 所以 2222z x x ∂=-∂，20z x y∂=∂∂2222412z x y y ∂=-∂，28z xy y x ∂=∂∂ 2221z y y ∂=-∂，20z y x∂=∂∂【提高练习题】1、设ln()z x xy =，求22zx∂∂与32z x y ∂∂∂.解：因为1ln()ln()ln()ln()1z xy x xy xy x y xy x x xy∂∂=+⋅=+⋅⋅=+∂∂ 所以 ()2211ln()1z z xy y x x x x xy x ∂∂∂∂⎛⎫==+=⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 2210z y x y x ⎛⎫∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭2、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求''(0,0,1)xx f ，''(0,1,0)yz f -，'''(2,0,1)zzx f .解：因为 222,2,x y f y zx f xy z ''=+=+ 22z f yz x '=+所以 2,2,xx yz f z f z ''''== 2,zz f y ''= 0zzx f '''=故 (0,0,1)212,xx f ''=⨯= (0,1,0)200,yz f ''-=⨯= (2,0,1)0zzx f '''=第四节多元复合函数的偏导数【基础作业题】1、求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设 22,,z u v u x y v x y =+=+=-，求,z z x y∂∂∂∂. 解:21212()2()4z z u z vu v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=++-=∂∂∂∂∂212(1)2()2()4z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅-=+--=∂∂∂∂∂（2）设 arctan(),xz xy y e ==，求d d zx. 解:全导数 2222d d 11d d 1()1()1x xz z z y y xe y x e x x y x xy xy x y∂∂+=+⋅=⋅+⋅⋅=∂∂+++ （3）设 222ln(1),,sin tz x y x e y t =++==，求d d zt. 解:全导数22222d d d 11222cos d d d 11tz z x z y x e y t t x t y t x y x y ∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂++++ 44424242sin cos 4sin 21sin 1sin t t t t e t t e te t e t+⋅+==++++ 2、求函数22(,)xyz f x y e =-的一阶偏导数.解:设22,xyu x y v e =-=，则(,)z f u v = 所以1222xy xy u v z z u z vf x f e y x f ye f x u x v x∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂12(2)2xy xy u v z z u z v f y f e x y f xe f y u y v y∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅-+⋅⋅=-⋅+⋅∂∂∂∂∂ 【提高练习题】1、设()z xy xF u =+，其中()F u 可导，yu x=，试证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 解:由题意，2()()()()()z u yy F u x F u y F u x F u x x x∂∂''=++⋅⋅=++⋅⋅-∂∂1()()z u x x F u x x F u y y x∂∂''=+⋅⋅=+⋅⋅∂∂ 所以 21[()()()][()]z z y xy x y F u x F u y x x F u x y x x∂∂''+=++⋅⋅-++⋅⋅∂∂ ()()()xy xF u yF u xy yF u ''=+-++ z xy =+2、设()f x ''连续，1()()z f xy yf x y x =++，求2zx y ∂∂∂.解:由题意，211()()()1z f xy f xy y yf x y x x x∂''=-+⋅++⋅∂ 2211()[()()][()()1]z f xy x f xy xy f xy f x y yf x y x y x x∂'''''''=-⋅+⋅+++++⋅∂∂ 11()()()()()f xy f xy y f xy f x y yf x y x x'''''''=-+⋅+++++ ()[()()]f x y y f xy f x y '''''=++++第五节隐函数的偏导数【基础作业题】1、求下列隐函数的导数或偏导数。

高等数学多元函数微分学习题集锦

第七章、多元函数微分法习题课
解法3
隐函数求导法，
u = f ( x , y ( x , z ) ) = f ( x , y ( x , z ( x )) ) , dz ⎞ ⎛ du = f x + f y ⋅ ⎜ y x + yz ⋅ ⎟ , dx ⎠ dx ⎝ gx yx = − gy gz yz = − gy
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标并求此最小体积
2
2
2
解
设 P ( x 0 , y 0 , z 0 )为椭球面上一点，令
则 Fx′ |P =
2 x0 , F ′ | = 2 y0 , Fz′ |P = 2 z0 , y P a2 c2 b2 过 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面方程为
第七章多元函数微分法及其应用习题课
一、主要内容二、典型例题三、作业
一、主要内容
平面点集平面点集和区域和区域
极限运算极限运算多元连续函数多元连续函数的性质的性质
第七章、多元函数微分法习题课
多元函数概念多元函数概念
多元函数多元函数的极限的极限
多元函数多元函数连续的概念连续的概念
dz . 消去 d y 即可得 dx
第七章、多元函数微分法习题课
⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 例7. 求曲线 ⎨ 在点(1,1,1) ⎩2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 的切线与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
n1 = (2 x − 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) = (−1, 2 , 2 ) n 2 = (2 , − 3 , 5 )

高等数学上第七章教材答案

高等数学上第七章教材答案首先，我们需要明确在高等数学第七章教材中涉及的主要内容和问题。

第七章通常是关于多元函数的导数和微分学的学习。

在本文中，将提供一些关于多元函数导数和微分的例题和详细解答。

1. 多元函数的导数第七章首先介绍了多元函数的导数的定义和性质。

多元函数的导数可以通过偏导数求解，即固定其它变量，只对某个变量求导。

举例来说，如果给出一个多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是变量，我们可以通过求解∂f/∂x 和∂f/∂y 来得到该函数的偏导数。

例题 1：考虑函数 f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2，求该函数的偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y。

解答 1：对于∂f/∂x，将 y 视为常数，则有∂f/∂x = 2x + 3y。

对于∂f/∂y，将 x 视为常数，则有∂f/∂y = 3x + 2y。

2. 多元函数的微分在第七章的后半部分，我们学习了多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以用于估计函数值的变化。

多变量函数的微分可以通过求出各个偏导数的和来得到。

例题 2：给定函数 g(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y^3，求该函数在点 (1, 2) 处的微分dg。

解答 2：首先计算各个偏导数：∂g/∂x = 3x^2 + 2y^2，∂g/∂y = 4xy - 3y^2。

然后带入点 (1, 2) 得到∂g/∂x = 7，∂g/∂y = -8。

因此，在点 (1, 2) 处的微分dg = ∂g/∂x · dx + ∂g/∂y · dy = 7dx - 8dy。

3. 高阶偏导数和混合偏导数在处理多元函数时，我们还需要了解高阶偏导数和混合偏导数的概念。

高阶偏导数指的是多次对同一变量求导的结果，而混合偏导数则是对多个变量进行求导后的结果。

例题 3：考虑函数 h(x, y) = x^3 + x^2y + xy^2 + y^3，求该函数的二阶偏导数∂^2h/∂x^2。

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