平方根与立方根3

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平方根与立方根的性质及运算

平方根与立方根的性质及运算平方根与立方根是数学中常见的运算，它们具有一些独特的性质。

在本文中，我们将探讨平方根和立方根的性质以及它们的运算规则。

一、平方根的性质与运算平方根是指某个数的平方等于给定的数的运算。

设a为一个正实数，那么b是a的平方根的充分必要条件为b^2=a，记作b=√a。

平方根有以下性质和运算规则：1. 平方根的非负性：对于任意实数a，如果a为非负数，那么√a也为非负数。

这意味着平方根不可能为负数。

2. 平方根的不唯一性：对于一个正实数a，如果b是a的平方根，那么-b也是a的平方根。

因此，一个正实数可以有两个平方根，分别是正数和负数。

3. 平方根的运算规则：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|二、立方根的性质与运算立方根是指某个数的立方等于给定的数的运算。

设a为一个实数，那么b是a的立方根的充分必要条件为b^3 = a，记作b=∛a。

立方根具有以下性质和运算规则：1. 立方根的非负性：与平方根类似，对于任意实数a，如果a为非负数，那么∛a也为非负数。

2. 立方根的不唯一性：与平方根不同的是，立方根只有一个实数解。

因此，一个实数只有一个立方根。

3. 立方根的运算规则：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛(a*b) = ∛a * ∛b(b) ∛(a^2) = |a|(c) ∛(a^3) = a三、平方根与立方根的运算在实际运算中，我们常常需要计算不同根之间的运算，包括加法、减法和乘法。

下面是一些常见的运算规则：1. 平方根的加法和减法：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √a ± √b = √(a ± b)2. 立方根的加法和减法：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛a ±∛b ≠ ∛(a ± b)3. 平方根和立方根的乘法：设a为一个非负实数，则有以下运算规则：(a) √a * ∛a = √(a^2) = |a|综上所述，平方根与立方根具有一些独特的性质和运算规则。

平方根与立方根(3)

板书设计（提纲挈领、画龙点睛、强化刺激）
课后反思（总结得失、完善自我、提高素养）
3
4
1
太山庙乡第一初级中学教学活动设计
个人批注
三、能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔 1、概括：如果一个数的立方根 a，那么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a ，读作“三次根号 a” a 称为被开方数，3 称根指数。 2、立方根的性质：正数有一个立方根，是正数负数有一个立方根，是负数 0 有一个立方根，是 0 3、平立根与立方根的区别和联系联系：①0 的平方根、立方根都是 0 ②平方根、立方根都是开方的结果。区别：①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同，正数 a 的平方根为±
a ，a 的立方根表示为 3 a
④被开方数的取值范围不同
2
太山庙乡第一初级中学教学活动设计
四、当堂训练（围绕目标、注重实效、独立完成） 1、求下列各数的立方根 8 ① ②－125 ③－0.008 27 3 2、求下列各式的值 3 8 ② 3 0.064 ③（ 3 9 ）³
个人批注
3、立方根等于本身的数有平方根等于本身的数有－ 64 的立方根是
学习活动过程一、揭题示标（简明扼要、具体实用、操作性强）个人批注
问题：现有一只体积为 216cm³正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
二、新知探究（先学后教、合作探究、反馈指导）自学指导
1、类比平方根的概念，这个实际问题，能抽象出什么数学概念？在数学上提出怎样的计算问题？ 2、2 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是 8？ 3、－3 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是－27？ 4、27 的立方根是什么？－27 的立方根呢？0 的立方根呢？ 5、类比平方根的性质，你能总结出立方根的性质吗？ 6、什么叫开立方？开立方与是互逆运算。求一个数的立方根可以通过运算来求。 7、一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？

平方根与立方根的计算

平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是非常常见的运算。

平方根是指一个数的平方等于该数时所求得的值，用符号√表示；而立方根是指一个数的立方等于该数时所求得的值，用符号^3√表示。

本文将详细介绍平方根和立方根的计算方法及其应用。

一、平方根的计算计算一个数的平方根是求解一个方程的过程。

设某数的平方根为x，那么根据平方根的定义可得 x^2 = a，其中a为待求的数。

要计算a的平方根，可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法进行逼近求解，或者使用计算器或电脑软件进行计算。

以牛顿迭代法为例，假设要计算一个数a的平方根，首先先猜测一个初始解x0，然后利用迭代公式进行迭代计算，直到收敛为止。

迭代公式如下：x(n+1) = (x(n) + a/x(n)) / 2其中，n表示迭代次数，x(n)表示第n次迭代得到的近似解。

二、立方根的计算计算一个数的立方根与计算平方根类似，同样是求解一个方程。

设某数的立方根为x，那么根据立方根的定义可得 x^3 = a，其中a为待求的数。

立方根的计算方法也可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法进行逼近求解，或者使用计算器或电脑软件进行计算。

以牛顿迭代法为例，假设要计算一个数a的立方根，先猜测一个初始解x0，然后利用迭代公式进行迭代计算，直到收敛为止。

迭代公式如下：x(n+1) = (2*x(n) + a / (x(n)^2)) / 3其中，n表示迭代次数，x(n)表示第n次迭代得到的近似解。

三、平方根与立方根的应用平方根和立方根在生活中有着广泛的应用。

比如，在几何学中，平方根用于计算图形的边长、面积和体积；在物理学中，平方根用于计算速度、加速度等；在工程学中，平方根用于计算电路中的电流、电压和功率等。

而立方根则在物理学和工程学中更为常见。

比如，在物理学中，立方根用于计算物体的体积、密度和各种物理量的单位转换；在工程学中，立方根用于计算水流、气流和声音等的流量和能量。

总之，平方根和立方根的计算是数学中的常见问题。

平方根与立方根的计算

平方根与立方根的计算计算平方根和立方根是数学中一种常见的运算方法，通过计算可以得到一个数的平方根和立方根的值。

在数学中，平方根和立方根是指一个数的二次方和三次方的根。

一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方的根。

计算平方根的方法有多种，其中比较常用的方法有近似法和公式法。

1. 近似法近似法是一种通过逼近来计算平方根的方法。

例如，对于一个非负数x，可以通过以下步骤进行近似计算：步骤1：选取一个数a作为初始近似值。

步骤2：计算近似值的平方，判断近似值是否接近于x。

步骤3：如果近似值的平方与x相差较大，则调整近似值，并继续迭代计算。

步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。

近似法可以通过逐步迭代来逼近平方根的真实值，但是该方法的计算效率相对较低，精度也有一定的限制。

2. 公式法公式法是一种通过数学公式来计算平方根的方法。

其中，最常用的公式是牛顿迭代法。

牛顿迭代法通过迭代来逼近平方根的值，公式如下：设f(x) = x^2 - a，其中a为待求平方根的数。

根据泰勒公式展开，得到f(x)在x0附近的近似式：f(x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x - x0)令f(x) ≈ 0，得到x = x0 - f(x0)/f'(x0)将f(x) = x^2 - a代入上述公式中，可以得到如下迭代公式：x = (x0 + a/x0)/2通过不断迭代，可以逐步逼近平方根的真实值。

公式法相对于近似法而言，计算效率更高，精度也更高，但是需要一定的数学知识和计算工具的支持。

二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方的根。

计算立方根的方法也有多种，其中常用的方法有近似法和公式法。

1. 近似法近似法和平方根的计算方法类似，只是将二次方改成了三次方。

通过逐步逼近来计算立方根的值，可以得到一个近似结果。

2. 公式法公式法中，最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

其中，牛顿迭代法的公式如下：设f(x) = x^3 - a，其中a为待求立方根的数。

平方根与立方根知识点

平方根与立方根知识点数字的平方根与立方根是数学中的基本概念，对于数学学习和实际生活中的计算都具有重要意义。

本文将介绍平方根与立方根的定义、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

1. 平方根的定义与性质平方根是一个数的平方等于它本身的非负实数根。

以数a为例，记作√a，其中a≥0。

以下是平方根的一些基本性质：1）非负实数a的平方根有两个，一个正数和一个负数。

通常平方根指的是非负数平方根，即正数√a。

2）如果a和b是非负实数，且a<b，则√a<√b。

也就是说，非负实数的平方根是一个非递减的函数。

3）平方根的运算可以与其他数学运算相结合，比如加法、减法、乘法和除法。

例如√(a+b)=√a+√b，√(a-b)=√a-√b，√(a*b)=√a*√b，√(a/b)=√a/√b。

2. 平方根的计算方法计算平方根的方法有很多种，以下介绍两种常用的方法：1）查表法：在没有计算器的情况下，可以使用查表法来近似计算平方根。

首先，找到与所求数最接近的两个平方数，然后在这两个平方数的平方根之间做线性估算。

2）牛顿迭代法：这是一种更精确的计算平方根的方法，可以通过迭代逼近来得到平方根的近似值。

具体步骤是：先猜测一个初始值，然后通过不断迭代求解来逼近平方根的真实值。

3. 立方根的定义与性质立方根是一个数的立方等于它本身的实数根。

以数a为例，记作³√a。

以下是立方根的一些基本性质：1）任何实数都有唯一的立方根，不论正负。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。

2）如果a和b为任意实数，则³√(a*b)=³√a*³√b，³√(a/b)=³√a/³√b。

3）立方根的运算结果也可以带有虚数单位i，表示在复数域中的解。

4. 立方根的计算方法计算立方根的方法也有很多种，以下介绍两种常用的方法：1）估算法：根据所求数的数量级，可以先估算出一个近似值，然后通过不断迭代逼近来逐步得到精确值。

平方根和立方根的概念

平方根和立方根的概念
平方根和立方根是数学中常用的两个概念，用来表示一个数的平方和立方的根。

平方根: 给定一个非负实数x，它的平方根是一个实数y，满足y的平方等于x。

平方根通常表示为√x，其中√符号称为根号。

例如，√4 = 2，因为2的平方是4。

同样地，√9 = 3，√16 = 4，以此类推。

立方根: 给定一个实数x，它的立方根是一个实数y，满足y的立方等于x。

立方根通常表示为³√x，其中³√符号表示立方根。

例如，³√8 = 2，因为2的立方是8。

同样地，³√27 = 3，³√64 = 4，以此类推。

需要注意的是，平方根和立方根可能为正数、负数或零，具体取决于被开方数的正负。

在一些情况下，我们可能会使用正数平方根（称为主方根）来代表平方根的解。

平方根和立方根在数学和实际应用中有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学和计算机科学中。

它们帮助我们计算面积、体积、方程的解等。

八年级数学平方根与立方根3

我们在有理数里我们可以很快找到25的算术平方根，但是有些找起来很困难，例如：1024的算术平方根是多少？另外前的5的算术平方根是多少？我们可以利用我们手上的计算器来解决
计算器的使用
1、用计算器求下列各数的算术平方根：（1）2809；（2）0.0529；（3）5；例：利用计算器键入： “ ”、 “2” 、“8”、“0”、“9”、“=” 2、用计算器求下列各数立方根: （1）4913；（2）25；例：利用计算器键入： “3”、 “SHIFT”、“ “=” ”、“4913”、
２、-27的立方根是多少？
一个数a的立方根，用“ a ”表示（读作 “三次根号a”；其中a叫做被开方数。
3、求下列各数的立方根：(运用上述符号口答) （1）27；（2）-27；（3）0；（4） 0.125；（5）216；（6）64；（7）5；（8）1/125 （9）-0.064
3
六、思考：
§12.1 平方根与立方根
学习目标：
1、了解一个数的平方根、算术平方根、立方根的概念，并会用符号（根号）表示它们；
2、了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方根、立方根的概念求一些数的平方根、算术平方根和立方根；
3、会用计算器求一个非负数的平方根或算术平方根、一个数的立方根。
1.洋洋在玩“七巧板”时,不小心把“七巧板” 里的正方形丢了,爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形,但现在只知道正方形的面积是25平方厘米,问爸爸能否完成这个任务? 2.现有体积是216立方厘米的一个正方体木盒, 它的每条棱长是多少? 25叫5的二次幂;216是 6的三次幂
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
注意：平方与开平方互为逆运算．另外因为负数没有平方根，所以负数（在初中阶段）是不能开平方运算的．

平方根与立方根的比较

平方根与立方根的比较在数学中，平方根和立方根是两个常见的概念。

它们分别是一个数字的二次方根和三次方根。

在这篇文章中，我们将比较平方根和立方根，并讨论它们在数学和实际生活中的应用。

一、平方根平方根是一个数字的二次方根，表示为√x。

在数学中，平方根是使得它的平方等于给定数字的非负实数。

例如，√4 = 2，因为2的平方是4。

平方根可以是一个实数或一个复数。

平方根的应用广泛，特别是在几何学和物理学中。

在几何学中，平方根被用来计算图形的边长或对角线长度。

在物理学中，它用于计算物体的速度、加速度和其他与运动相关的量。

二、立方根立方根是一个数字的三次方根，表示为³√x。

在数学中，立方根是使得它的立方等于给定数字的实数。

例如，³√8 = 2，因为2的立方是8。

与平方根类似，立方根也可以是实数或复数。

立方根在数学、化学和物理学中都有着广泛的应用。

在数学中，它被用于解方程和计算立方体的体积和表面积。

在化学中，立方根可以用来计算溶液的浓度和反应速率。

在物理学中，立方根被用于计算某些物体的质量或体积。

三、虽然平方根和立方根都是求一个数字的根，但它们之间存在一些关键的区别。

首先，平方根表示的是一个数字的二次方根，而立方根表示的是三次方根。

这个区别导致了平方根和立方根的算术性质和应用领域的差异。

其次，平方根和立方根的计算方式也不同。

对于一个数字 x，平方根可以使用根号√x来表示和计算，而立方根则使用³√x来表示和计算。

对于非完全平方数或非完全立方数，平方根和立方根都是无理数，不能精确表示。

在实际生活中，平方根和立方根的应用也有所不同。

平方根通常用于测量长度、面积和速度等物理量，而立方根则更多地用于计算体积和浓度等三维量。

四、结论平方根和立方根都是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。

虽然它们的计算方式和应用略有不同，但都可以用来解决各种实际问题。

通过对平方根和立方根以及它们的比较进行分析，我们可以更好地理解它们的特点和应用。

平方根和立方根的概念

平方根和立方根的概念
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目录
CONTENTS
1 平方根 2 立方根
平方根
平方根的定义
平方根：一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。
平方根的表示方法：用“√”表示，如√4=2。
添加标题
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平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

立方根的运算
立方根的定义：一个数的立方根是指这个数开立方后的结果
立方根的表示方法：用符号 "√[3]"表示
立方根的运算法则：a^3=b，则a是b的立方根
立方根的性质：一个数的立方根只有一个，且为正数
立方根的应用
解方程：立方根可以用于解方程，例如x^3=8，解得x=2 计算体积：立方根可以用于计算体积，例如边长为2的正方体的体积为8 计算面积：立方根可以用于计算面积，例如边长为2的正方体的表面积为24 计算长度：立方根可以用于计算长度，例如边长为2的正方体的对角线长度为4
立方根
立方根的定义
立方根是指一个数的立方等于另一个数的运算
例如，2的立方根是8，因为2的立方等于8
立方根的符号是 "√[3]"
立方根的性质：一个数的立方根只有一个，且是唯一的
立方根的性质
立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就是a的立方根。立方根的性质：立方根具有唯一性，即一个数只有一个立方根。立方根的运算：立方根的运算遵循乘法和除法的运算法则。立方根的应用：立方根在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
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七年级数学平方根和立方根3

（1）课内：P9
本上）
；室内蹦床 /category/snbczhly-3.html ；； 2019.1 ；
看着三位村长："在沼泽中有无旱路可走?" "有的！道路方面必然非常曲折,但是还是有旱路的,或者说并不是特别的泥泞."鲶鱼村村长介绍道,波博斯基久居沼泽地,那一带的水文地貌了如指掌. 沼泽地由大大小小的水潭组成,有些地方则是芦苇丛生的烂泥地.只有本地人知道如何绕开烂泥,德军对此一无所知. 波博斯基和他的伙计添油加醋的介绍着,言语间还眉飞色舞. "够了！"李小克一拍桌子,"三位长者,我不是想听你们自我介绍儿时的回忆的.我需要你们派出向导,咱们那次军事行动要携带一些重武器,我可不想咱们的迫击炮掉进泥里." 耶夫洛夫拍拍有些情绪激动的别列科夫."同志,一到战争的时候,你平时温柔的样子就一去不复返.你冷静下来,我们慢慢说." 李小克缓缓坐下,刚才他确实有些失态."我是太激动了,毕竟那次行动是民兵部队第一次出动.我不希望大家有白白的牺牲,所以村长们,你们必须重视起来." 军事行动的地点确定下来,战士们将躲藏在公路两侧的森林,以伏击战术迅速消灭一支德军部队.剩下的,就是如何到达它里. 波博斯基拍着胸膛保证,他会选出最好的向导,所有的重武器都不会丢失. 李小克看看身边的几人."耶夫洛夫,福明,军事行动我们就那样定下咯?" "就那样吧."福明完全同意,至于耶夫洛夫,他也没有异议. 那次行动,侦察兵将背着电台先期抵达目的地,即蛰伏在公路两旁的森林中. 部队并不愁没有目标,即使现在很多苏力游击队已经成立,他们却是一群散兵游勇.很多人是阵地战中吓破了胆子,希望在森林中缓过神,有些家伙甚至变成了强盗. 那些人会打击德国人,也会抢劫本国的普通民众.

平方根与立方根

平方根与立方根平方根和立方根是数学中常见的运算概念，用来表示一个数的平方和立方的根数。

平方根是指一个数的平方等于给定的数，立方根是指一个数的立方等于给定的数。

在实际生活和学术研究中，平方根和立方根都有着广泛的应用。

本文将对平方根与立方根进行详细介绍和解释。

1. 平方根是指一个数的平方等于给定的数。

例如，数学中表示平方根的符号为√，我们通常说√4 = 2，意味着2的平方等于4。

平方根是对称的，也就是说，如果一个数的平方根是 x，那么这个数的相反数的平方根也是 -x。

例如，√9 = 3，所以√(-9) = -3。

平方根可以用于解决各种问题，尤其是在几何学和物理学中。

在几何学中，平方根可以帮助我们计算直角三角形的斜边长度。

例如，如果一个直角三角形的两条边长分别为3和4，那么斜边的长度可以通过计算√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5得到。

在物理学中，平方根可以用来计算速度和加速度。

例如，当我们知道一个物体的初始速度和加速度时，可以使用平方根来计算它在特定时间内的位移。

这种应用广泛存在于运动学和动力学等领域。

2. 立方根是指一个数的立方等于给定的数。

与平方根类似，立方根可以用符号表示为^3√。

例如，^3√8 = 2，意味着2的立方等于8。

立方根的性质与平方根相似，即一个数的立方根可以为正数、负数或零。

立方根也有广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。

在几何学中，立方根可以用于计算立方体的边长。

例如，如果一个立方体的体积为27，那么它的边长可以通过计算^3√27 = 3得到。

在物理学中，立方根可以用来计算物体的密度和体积。

例如，当我们知道一个物体的质量和密度时，可以使用立方根来计算它的体积。

这种应用广泛存在于材料科学和天体物理学等领域。

总结：平方根和立方根是常见的数学运算概念，在几何学、物理学以及其他领域有广泛的应用。

平方根表示一个数的平方等于给定的数，而立方根表示一个数的立方等于给定的数。

平方根与立方根运算

平方根与立方根运算平方根和立方根是数学运算中常见的概念，用于求一个数的平方根和立方根。

在计算平方根和立方根时，我们需要使用根号符号来表示。

1. 平方根运算平方根是指一个数的二次方根，用以表示一个数的平方根是多少。

假设有一个数x，它的平方根记为√x，其中√表示开平方根的运算符号。

平方根可以通过不同的方法进行计算。

其中，最常用的方法是使用手算或者计算器。

举个例子来说明平方根的计算方法。

假设我们要计算数字16的平方根，可以采用以下步骤：1）写出根号符号√。

2）写出要计算的数16。

3）将根号符号放在16的前面，即√16。

4）当计算器或者手算时，我们可以得到结果，即√16=4。

计算平方根的结果可以是一个实数或者是一个无理数。

无理数是指不能被有理数表示的数，比如根号2。

2. 立方根运算立方根是指一个数的三次方根，用以表示一个数的立方根是多少。

假设有一个数x，它的立方根记为³√x，其中³√表示开立方根的运算符号。

与平方根一样，立方根的计算也可以通过手算或者计算器完成。

举个例子来说明立方根的计算方法。

假设我们要计算数字27的立方根，可以采用以下步骤：1）写出立方根的符号³√。

2）写出要计算的数27。

3）将立方根符号放在27的前面，即³√27。

4）通过计算器或者手算得到结果，即³√27=3。

类似于平方根，立方根的结果也可以是一个实数或者无理数。

3. 平方根和立方根的运算性质平方根和立方根的运算满足以下性质：（1）平方根和立方根的运算结果是唯一的。

对于任何一个数x，它的平方根和立方根是确定的。

（2）平方根和立方根的运算结果都可以是实数或无理数。

实数是有理数和无理数的统称，它们都可以表示为分数的形式或者不能表示为分数的形式。

（3）平方根和立方根的运算可逆。

即对于任何一个数x，可以通过平方或立方运算得到它的平方根或立方根。

4. 应用举例平方根和立方根的运算在数学和实际生活中有着广泛的应用。

平方根和立方根

平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的运算，它们分别表示一个数的二次方和三次方的根。

在实际生活中，平方根和立方根有着广泛的应用，尤其在几何学、物理学和工程学领域中常常会遇到这些运算。

本文将详细介绍平方根和立方根的概念、计算方法以及常见的应用。

一、平方根的概念和计算方法平方根是指一个数的二次方的根。

对于非负实数a，若存在一个非负实数x满足x^2=a，则称x是a的平方根，记作√a。

其中，√a中的符号√被称为根号。

平方根的求解可以通过开方运算来实现。

1. 一般开方对于一个非负实数a，我们可以使用开方运算来求解它的平方根。

以2为例，2的平方根可以表示为√2。

为了求解√2，我们可以使用数值近似的方法，例如使用二分法来逼近√2的值。

通过不断逼近的运算，我们可以得到2的平方根的数值近似。

2. 特殊开方除了一般开方，对于一些特殊的数，它们的平方根可以通过简单的方法求解。

例如，2的平方根可以表示为√2，5的平方根可以表示为√5。

这些数的平方根在计算中常被使用，可以通过查表或使用计算器来得到数值近似。

二、立方根的概念和计算方法立方根是指一个数的三次方的根。

对于任意实数a，若存在一个实数x满足x^3=a，则称x是a的立方根，记作³√a。

立方根可以通过开方运算和近似计算来求解。

1. 开三次方与平方根类似，我们可以使用开三次方运算来求解一个数的立方根。

以3为例，使用开三次方运算我们可以得到³√3。

在计算中，我们可以通过数值逼近的方法得到立方根的数值近似。

2. 近似计算对于一些特殊的数，它们的立方根可以通过近似计算得到。

例如，8的立方根可以表示为³√8，27的立方根可以表示为³√27。

这些数的立方根也常被使用，可以通过查表或使用计算器来得到数值近似。

三、平方根和立方根的应用领域平方根和立方根在现实生活中有着广泛的应用。

下面将介绍它们在几何学、物理学和工程学中的常见应用。

1. 几何学中的应用平方根和立方根在几何学中经常被使用，例如在计算图形的面积和体积时，我们常常需要求解边长的平方根和立方根。

平方根与立方根

三、平方根與立方根除了平方根以外，三次方根（也稱立方根）及其它的高次方根也常出現在高中數學課程中，如指數與三角函數等單元。

在國中階段，方根的學習是以認識及計算平方根為主，在本章中，我們將學習平方根與立方根的四則運算與根式中分母的有理化，並介紹雙重根式的化簡。

3-1 平方根我們知道每一個正數a，讀作「二次根號a」，並簡稱為「根號a」；而負的平方根記作「，例如：4的平方根記作及-2。

當a=0時，a的兩個平方根都為0。

在這裡，a稱為被開方數。

在本節中，除了在雙重根式的情形外，所有的被開方數均為非負的有理數。

【平方根的乘法與除法】我們首先看如何做平方根之間的乘法及除法運算。

因為2=⨯=⨯=22⨯= ab，由定義我們知道2= ab，所以=a、b≥0。

同樣的，我們知道a≥0、b>0。

在數學上，我們稱含有根號的算式為根式【範例1】計算下列根式：(1) (2)(3)(4)【解】(1) 6==(2)32 ===(3) 3===(4) 3====【類題練習1】計算下列根式：(1) (2)(3) (4)【最簡根式】當一個整數a為某個整數的平方時，我們就稱a為完全平方數，也叫做平方數，例如：81=29，所以819=。

另外，當被開方數是整數，且不是一個完全平方數時，我們可利用數的標準分解式及平方根的乘法，來化簡根式。

例如：化簡時，我們先把360寫成標準分解式：360=322235(23)25⨯⨯=⨯⨯⨯，再化簡得到=當被開方數為有理數時，通常會將運算結果寫成分母不含有根號的=改寫成下列的形式：3===）也就是說，習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成或q的形式，其中pq為最簡分數，n為大於1的整數，並且不能被任何大於1的整數的平方整除，我們稱這種形式的根式q)為「最簡根式」。

例如：稱將平方根化成最簡根式的過程為「平方根化簡」。

【範例2】將下列根式化為最簡根式：(1) (2) (3)【解】(1) ===(2) ===(3)2====【類題練習2】將下列根式化為最簡根式：(1) (2) (3) (4)當兩個根式經過化簡後，如果在它們的最簡根式的根號內有相同的被開方數時，我們就稱這兩個平方根為同類方根。