导数在研究函数中的应用学案6选修11

研卷知古今；藏书教子孙。

导数在研究函数中的应用（单调性）

【学习任务】

1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；

2. 能利用导数研究函数的单调性；

3. 会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次. 【课前预习】 1、 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则

在这个区间上为 ；

若

，则

在这个区间上为

2、若函数

n mx x f +=)(是R 上的单调函数，则n m ,应满足

3、用导数确定函数

])2,0[(sin )(π∈=x x x f 的单调递减区间为

4、已知函数

)0()(2

3

>+++=a d cx bx ax x f ，且0)()(='='n f m f )(n m <，则)(x f 在 和

内的增函数；在 内是减函数。 5、函数

13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为

【合作探究】

知识点一：利用导数求函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间： 1．32)(2

4+-=x x x f ； 2．2

2)(x

x x f -=； 3．

).0()(>+=b x

b

x x f

知识点二：利用导数比较大小

例 2 已知a 、b 为实数，且e a b >>，其中e 为自然对数的底，求证：a b

b a >．

知识点三：求解析式并根据单调性确定参数 例 3 已知

c x x f +=2)(，且).1()]([2

+=x f x f f

(1)．设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；

(2)．设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-内为减函数，且在（－1，0）内是

增函数．

【课堂小结】

通过本节课的学习，使我们学会了从几何直观了解函数单调性和导数的关系；并能利用导数研究函数的单调性；

30分钟小练

1、 设x x y ln 82-=，则此函数在区间)4

1

,

0(为 2、 若

),0(∞+-

==在与x

b

y ax y 上都是减函数，下列对函数bx ax y +=3的单调增区间为 3、 若函数

ax x a x y ++-=232

131在（1，2）内是减函数，且在),2(∞+内是增函数，则a 的取值

为 。

4、 函数)(x f 3221343

x ax a x =---在（3,+ ∝）上是增函数, 则实数a 的取值范围是 5、 确定函数f(x)=x 3

－6x 2

+9x+2单调增区间是 ，单调减区间是 ．

6、已知函数f(x)=x 2

(x －3)，则f(x)在R 上的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ． 7 、若三次函数f(x)=x 3

+kx 在（－∞，+∞）内是增函数，则实数k 的取值范围是 ．

8、求函数x x x y +-=232的单调区间．

9、若函数f (x )＝3

1x 3－21ax 2

＋(a －1)x ＋1在区间(1，4) 内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增

函数，试求实数a 的取值范围．

10、 设f(x)=(x －1)2，g(x)=x 2

－1，

(1)写出f[g(x)]的解析式； (2)求函数f[g(x)]的单调区间．