EM第7讲亥姆霍兹定理

Research Institute of RF & Wireless Techniques
电磁场与电磁波
Electromagnetic fields and
electromagnetic waves
第7讲亥姆霍兹定理及矢量场分类
黄惠芬
华南理工大学电子与信息学院
射频与无线技术研究所
TEL: 89502331
Email:huanghf@
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T e c h n o l o g y 第2讲内容
亥姆霍兹定理 矢量场的分类 例题 矢量场的唯一性定理
格林定理
A A
rot (1
=∇×
矢量函数F(r)的散度是由F1(r)决定的；矢量函数F(r)的旋度是由F2(r)决定的。

换言之，此矢量函数F(r)是由其本()F r Δ i ()F r Δ×
A A
=∇×
rot (1
亥姆霍兹定理(3)：
若矢量场F(r) 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有
标量泊松方程，斯算子。

ρ
E ϕ=−∇
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T e c h n o l o g y
u称为F的标量位函数，是F的标量源函数（散度源）据分布，由泊松方程求出位函数，再由函数求出矢量场F。

无旋场是保守场，沿任一闭合路径的积分为零，有：
由 表明，任一标量场Φ的梯度的旋度一定等于零。

因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

无旋场、梯度场和保守场是等价的。

ρρ0)(=∇×∇Φ7.2 矢量场的分类
由为简化运算，令得：
（1-100）
0,G ∇=i
上式称为拉普拉斯方程。

若矢量场F的旋度
据亥姆霍兹定理，F可以表示为两个场的叠加，其中一个无旋有散，记为F1，；另一个有旋无散，记为F2，则：
按无旋有散场解式(1—102)，再按有旋无散场解式(1～1O3)，分别求出Ft和F2，则F可求。

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T e c h n o l o g y 7.3 例题
例1-12 已知矢量 求它们的源分布，并说明哪一个矢量可以表示为一个标量函数的梯度函数及哪一个矢量可以表示为一个矢量函数的旋度。

解：根据亥姆霍兹定理，矢量场有两种源——通量源和旋涡源，这两种源分布分别由矢量场的散度和旋度决定，故分别求A和B的旋度和散度：
Research Institute of RF & Wireless Techniques 由
有：
=y x z A A A ∂∂∂∇++A i
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S o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y 则A可以表示为一个标量函数的梯度函数。

A是无旋场，它是由通量源产生的，其源分布为：
∇A i
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S o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y 7.4 矢量场的唯一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。

已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。

S
Φ,Ψ
V
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o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y 小结 亥姆霍兹定理 矢量场的分类 例题 矢量场的惟一性定理
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o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y 习题无。