函数凹凸性的应用举例

作者 筒 介 ： 庆 喜 （９ ０ ） 男 。 建 仙 游 人 。 建 水 利 电 力 职 业技 术 学院 讲 师 。 朱 １７ － ， 福 福
ｌｌ ｌ
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得（ ｅ Ｔ＂ｅ 化 为 （＋ ）２＋） 竺 叙 ａ＋￣ １孚≤ｅ ｂ ４ ａ ｂ ｅ（ｂ≤ ．
例 ２求 证 不 等 或 （＋ ）２ ≤ａ－ ｂ （ ＜ ＜ ） ． ａ ｂ ｅＣ ｅ＋ ０ ａ ｂ 分析 ：不 难看 出 圆锥 中液 面下 落 的距 离 Ｈ 随时 间ｔ 是单 调 增 加 的 函数 ．由 于正 方 体 中液 面 上 升 的 速 度是 一 个常 量 ， 以 自变量 ｔ 稳 定 增加 的 ． 所 是 因此
的 图形 是 （ 向上 ） 的 （ 凹弧 ）如 果 对 Ｉ 凹 或 ； 上任 意 两
量越 来越 小 时 ， 函数 图形 是 凸 的 ， 函数 Ｙ的增 量 保 当 持 不变 时 ． 函数 图像 是 直线 。对于减 函数 我们 可 以作 类似 的分 析 。 例 ｌ 如 图 １液 体 从 一 圆锥 形 漏 斗流 入—— 正 ．
以 函数 ｙ ｆ ） 某 区 间 Ｉ 单 调增 加 为 倒说 明 。 －（ 在 ￣ 上 我 们 不难 理 解 ， 随着 自变 量 ｘ的 稳定 增 加 ． 函数 Ｙ 当
的增 量越来 越 大 时 ， 函数 图形 是 凹 的 ， 当函数 Ｙ的增
点．都 ｆ ） ｘ２有（ ＜ 、 ｘ 掣
那 称（ Ｉ 么ｆ 上 ｘ ） 在
点．都 ｆ ） ｘ２有（ ＞ 、 掣 ｘ
一
，么 ｆ Ｉ 那 称（ 上 ｘ ） 在
的图形 是 （ 向上 ） 的 （ 凸弧 ） 凸 或 。
般 看ｆ是 间Ｉ 的 函 则 （ 地， （ 区 上 凹 数， 有ｆ ｘ ） ∑
ｉ＝ ｌ
方体容器中， 开始时漏斗盛满液体 ． 经过 ５ ０秒漏完 ，
定 理设 ｆ ） ａ ］ （ 在［－ 上连续 ， （ ｂ 内具有一阶 ｘ ｂ 在 ａ） —
和 二 阶导数 ， 如果 在 （ｂ内 ｆ （ ＞ （ ｆ （＜ ）那 么 ａ ） ” ）０或 ” ）０， ， ｘ ｘ
数关系用图像表示只可能是以下哪一选项？
ｆ） ［，］ （在 ａ 上的图形是凹的（ ｘ ｂ 或凸的） 证明全略） 。（
关键 词 ： 二阶 导数 ； 凸性 ； 凹 解法 中圈分 类号 ： ７ 文献标 识码 ： ０１ ４ Ａ
函数 的 凹凸性 ．反映 在 函数 图形 上就 是 曲线 的
函数 图形 应是 凹的 ． 正 确答 案选 Ｃ 。 故 Ｂ）
２ 应 用 凹 凸性的 常规 定义证 题
弯曲方向．通过它可 以较好地掌握 函数对应曲线的
明
Ｉｔ ｃ … ＋ ｂ ｘ ｏ … ｃ 【 ≤ ｃ ｌ ＋ ｏ＋ ｏｎ Ｉ
出 发绕 Ｏ点逆 时 针 方 向旋 转 Ａ 。 “
ｎ（ｏ。 Ｉ ｒ． ＋ ｏ ｐＩｔｒ ｃ ＋ Ｉ Ｉ － ｃｘ ＋ …・ｃ ） Ｉ
证 明 ： ￣ ｃｔｉ ｌ２， ，） ｌＥ（ ∞，∞） 令 ＝ｏｘｉ ， … ｎ， ｌ 一 ＋ ， （ ＝ 则 ｉ （ １２ … ，） ｉ ，， ｎ ＝
、 二 ， 二
，
例 ４如 图 ２ 。半 径 为 ｒ４ － 的 圆 Ｃ切 直 线 Ａ Ｂ于 Ｏ点 。 射
线 Ｏ 从 Ｏ Ｔ Ｂ
Ｔ
‘
’
ａ
ｅ＋ 。 ｜ ｂ 命题证毕。 Ｉ
例 ３ 】≠ｋ ０ １２ …… ，， 设 【 ，＝ ，， ｉ ｎ ｋＥｚ且 Ｐ ， ） ≥１证
到Ｏ Ｏ Ａ， Ｔ交 圆 Ｃ于 Ｐ， 记 Ｐ Ｏ为 ， Ｃ 弓形 Ｐ ＭＯ的面
积 ｓｆ） －（， 定 ｆ） ［ ，］ 的凹 凸性 。 ｘ 试判 （ ｌ在 Ｏ２上 ｘ
简析： 由题 意可得 Ｓ Ｓ囊 － 形 △ ， 眦
设 ｆ） ｌｌ ＝ （ ＝ ｕｐ ｕ ，
ｕ
・
又 为 囊懈： ｛４ｘｘ６－｛ 因 Ｓ形 ｛ ： × －， ２ Ｚ Ｓｓ × ｘ 眦
。 ｆ
【＝８ 【 ★ ０由上面定理可知 ，ｘ ０ ∞） ｘ 【 ） ＞， ） ｅ ｆ） （ ｌ在（ ， 上的图
液面下降的距离 Ｈ的变化将越来越快 ． Ｈ关于 ｔ 的
形 凹 。有ｆ ＿＞ 是 的故 （ ） ｂ
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，该 代 （ 把 式 入ｆ： ｘ ）
收 藕 日期 ：０ ６ ０ － ８ ２０－ ６ ０
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拳庚善：函敦凹凸性的应甩奉 饲
福毫
函数 凹凸性 的应 用举例
朱庆 喜
（ 建水 利 电力 职业技 术学 院 ， 建 福 福 摘
用。
永安
３６０） ６ ０ ０
要 ：该 文主 要根 据 函数 凹凸性 的定 义形 式 ．通过 例 子反 映 出函数 凹 凸性 的简捷 有 效应
已知 正 方体 容 器 液 面上 升 的速 度 是 一 个 常 量 ． Ｈ是
圆锥 中液 面下 落 的距离 ， Ｈ 与下 落 时 间 “ 的 函 则 秒）
詈＜ ．ｆ） 中 是 内 任 点ｉ， ， ） （， Ｉ的 意 （ ２ 】其 【 ｉ －， ｌ…
ｎ（ ｆ） ）若 （ 是区间 Ｉ ｘ 上的凸函数时， 则不等号反向） 。
性 状 。 文在 理解 函数 凹 凸性 常识 的基 础 上 ， 本 通过 例
子进 一步 说 明 函数 凹 凸性 的简 捷应 用 。 １ 函数凹 凸性 的直 观解 曩 法
对 函数 凹凸性 定 义 ．不 同教材 有 不 同的定 义形
式。 下面给出其 中一种定义形式 ：
定 义 设 ｆ ） 区 间 Ｉ 连续 ， （在 ｘ 上 如果 对 Ｉ 任 意 两 上
成立 。
分析 ： 此例 可 利 用单调 函数特 性证 明 ． 现改 用 凸
函数 的定义 求证 。
液体从漏斗漏出的速度为一常量 。又由于圆锥的截
面越 向下 越 小 ， 以随着 时 间 ｔ 所 的稳 定 增 加 ． 锥 中 圆
证明 ： ｆ ）ｘ＊ ｘ Ｏ易算得 ｆｘ （ 设 （ － ｅ ，＞ ， ｘ－ ） １ （＝