算子方程X-A ＊X -t A=I的正算子解的研究

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总复习(信号与线性系统必过知识点)(课堂)-2022年学习资料

1.了连续时门素统的橇念-线性附不变系统-1齐次性et→rt-aet→art-2叠加性-e t+e2t-> t+rt-3线性-e,t→r,t-ae t+be2 t->ar t+br t-0-4时不变性et→rt-e -to→rt-to-drt-5微分性-de→-dt-6积分性-∫exlr→∫rxdx-●-7因果性tຫໍສະໝຸດ 0: t=0→t<0:rt=0
例1：一连续时间系统输入-输出关系为-r=Te以=eehr-0-试确定该系统是否为线性时不变系统。-解：⊙ 、积分系统是线性系统-.所以该系统是线性系统-o7e-=je-dr,令x=r--则贴：7-》cwa=edr ●-而u-=aodr=7-}-所以该系统是线性时不变系统。
例2：已知某线性时不变系统：-当激励et=,初始状态x10=1,X20-=2时，-响应rt=6e-2t-5 -3tt;-当激励et=3,初始状态保持不变时，响应-r2t=8e-2t-7e-3t。-求：（1激励e=0 初始状态x10=1,X20=2时的响应-r3t=?-2激励e①=2（①），初始状态为零时的响应r4=?-●
2.4本零状态响定的一般步骤-a求传输算子Hp;-b求单位冲激响应h;-c计算卷积；-0-●
3、连续时间系统的频域分析-完备正交函数集的概念-周期信号的傅立叶级数展开-非周期信号的傅立叶变换-傅立叶换的性质-0-●
3.1常用完备正交岛数集-0-1三角正交函数集-cos nt,sinnt-n=0,1,2,Λ，00-to, o+T-2指数函数集-eine-n=0,±1，±2，Λ，±o0-●
内容回顾-2、系统分析-系统的描述：线性常系数微分方程-oooooOoooOO-连续系统-时域：-yt=e *ht-系统响应-的求解-频域：-Yjo=EjoHjo-复频域：-Y s=EsHs-系统的描述：线性常系数分方程-离散系统-yk=ek*hk-不作要求-复频域：Y,（z=EzHz

算子方程的数字求解

Tx f
(8.1.21)
通常，构造一个算子： P:X→X,使得P为某个收缩映射，当x=Px为P的不动点时，即得方程的解。
首先考虑Y=X,T=I-A是由X到X的线性算子，其中I是X
上的恒等算子， A属于X→X赋范线性空间的有界算子，
且 A 1 ，则A是X上的收缩算子，构造Px=Ax+f,即利用
迭代： xk1 Axk f , k 0,1,2,...
Px Py Ax f Ay f A x y
因为 A 1; 所以P是收缩映射。由收缩映射定理，则P在X中
有唯一不动点 x ,满足 x P x A x f ，从而有
T x (I A) x f
定理8.1.3
考虑非线性方程，假定有A:Y→X 具有如下的特性：Ay=0=>y =0;构造P:X→X 为Px=x+A(Tx-f),即利用迭代
(8.1.22)
则可以得到定理8.1.2
定理8.1.2
定理：设X是Banach空间,T:X→X是线性算子，且T=I-A;A属于
赋范线性空间的有界算子， A 1; f X ，则对任意 x X ，由式（8.1.22）给出的迭代算法都收敛到方程Tx=(I-A) X=f的唯一解。证明：对于任意 x, y X ,则有：
引出
xk1 xk A(Txk f )
(8.1.23)
定理：在上述假设条件下，设S是X中的有界闭集，即有： d0 diaS sup x y
x, yS
P:S→S 是收缩映射，即有0≤c<1,使得：
P(x) P( y) c x y , x, y S
则式(8.1.23)的迭代算法对任意 x0 S 收敛到唯一点 x S
牛顿迭代法
定理8.1.4: 考虑非线性算子方程Tx=0,其中T : D X Y ，X和Y

一类动力学方程及流体力学方程解的Gevrey类正则性

Boltzmann 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 碰撞算子 Q(f, f ) 的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . Fokker-Planck 方程、Landau 方程以及 Boltzmann 方程线性化模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gevrey 函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究现状及本文主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 存在性及唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间齐次情形 . . . . . . . . . . . 动力学方程的正则性理论: 空间非齐次情形 . . . . . . . . . . Navier-Stokes 方程的正则性理论 . . . . . . . . . . . . . . .
第二章预备知识 2.1 2.2 2.3 基本记号
Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 基本函数空间及常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 Lp 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolev 空间及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hilfer_分数阶脉冲随机发展方程的平均原理

第 63 卷第 1 期2024 年 1 月Vol.63 No.1Jan.2024中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENIHilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理*吕婷1，杨敏1，王其如21. 太原理工大学数学学院，山西太原 0300242. 中山大学数学学院，广东广州 510275摘要：利用分数阶微积分理论、半群性质、不等式技巧和随机分析理论，建立了分数布朗运动驱动的Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理，证明了原方程的适度解均方收敛于无脉冲平均方程的适度解，并通过实例说明了所得理论结果的适用性.关键词：平均原理；Hilfer分数阶导数；脉冲随机发展方程；分数布朗运动中图分类号：O211.63 文献标志码：A 文章编号：2097 - 0137（2024）01 - 0145 - 09Averaging principle for Hilfer fractional impulsivestochastic evolution equationsLÜ Ting1， YANG Min1， WANG Qiru21. School of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China2. School of Mathematics， Sun Yat-sen University， Guangzhou 510275， ChinaAbstract：By using fractional calculus，semigroup theories，inequality techniques and stochastic analysis theories， an averaging principle for Hilfer fractional impulsive stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion is established. The mild solution of the original equations converges to the mild solution of the reduced averaged equations without impulses in the mean square sense is proved. And an example is presented to illustrate the applicability of our obtained theoretical results.Key words：averaging principle； Hilfer fractional derivative； impulsive stochastic evolution equations；fractional Brownian motion在实际生活中，系统常受外力影响或内部产生的“噪声”干扰，所以，随机微分方程可以更加准确的刻画系统的变化特征，因而研究随机微分方程是很有必要的且存在实际的应用价值. 另外，现实生活中的许多现象都有长期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分数布朗运动可以较好的描述长期后效现象，这推动了更多学者们对分数布朗运动驱动的随机微分方程的广泛关注. 分数布朗运动（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一个依赖于Hurst参数H∈(0，1)的高斯随机过程，当H=1/2时，分数布朗运动简化为标准布朗运动；当H≠1/2时，分数布朗运动既不是半鞅也不是Markov过程；当H >1/2 时，分数布朗运动具有自相似性、长时记忆性等特征，这些性质使分数布朗运动可以引入到数理金融（Bollerslev et al.，1996）、网络通信（Leland et al.，1994）、生物医学工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等随机模型中作为随机噪声项，得以更好的描述系统特征和保证模型性能. 除此之外，具有脉冲干扰的微分方程能准确的呈现出系统的瞬时变化规律，因此，脉冲随机微分方程吸引了很多学者的关注，详见文DOI：10.13471/ki.acta.snus.2023A006*收稿日期：2023 − 01 − 16 录用日期：2023 − 03 − 22 网络首发日期：2023 − 11 − 15基金项目：国家自然科学基金（12001393，12071491）；山西省自然科学基金（201901D211103）作者简介：吕婷（1999年生），女；研究方向：分数阶随机微分方程；E-mail：********************通信作者：杨敏（1986年生），男；研究方向：泛函微分方程理论及其应用；E-mail：******************第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）献（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.另一方面，平均原理作为一种高效、准确的近似分析方法，在非线性动力系统的研究中发挥着重要作用. 它的主要思想是对原始动力系统进行简化得到一个平均系统，并且这个简化后的平均系统可以反映原系统的动力学行为. 目前为止，随机微分系统的平均原理理论已经获得了极大的发展. 例如，Cerrai et al.（2009）研究了一类随机反应扩散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy 噪声驱动的脉冲随机微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz 系数条件下，考虑了脉冲中立型随机微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和时滞的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a ）在非Lipschitz 系数条件和无周期条件下，考虑了由分数布朗运动驱动的脉冲随机微分方程的平均原理.但现有研究存在两方面不足：一是大多数平均原理建立在有限维空间上，很少考虑空间是无穷维的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b ），二是Caputo 分数阶脉冲随机微分方程已有相应的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；刘健康等，2023），但Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理尚未见到研究结果. 基于上述讨论，本文在Hilbert 空间上考虑如下Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理ìíîïïïïïïD γ，β0+x (t )=Ax (t )+f (t ，x t )+h (t ，x t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ， t ∈J =(0，b ]，Δx (t k )=I k (x (t k ))=x (t +k )-x (t -k )， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x (t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x (0)=φ0，（1）其中D γ，β是Hilfer 分数阶导数，γ∈[]0，1，β∈()12，1，x (⋅)取值于实可分Hilbert 空间X . 闭线性算子A ：D (A )⊂X →X 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元. B H Q (t )是定义在实可分Hilbert 空间Y 上的分数布朗运动，其中Hurst 参数H ∈()12，1. P C ()[]-λ，0；X 指从[]-λ，0到X 上所有具有càdlàg 路径的连续函数φ构成的空间，其范数 φP C =sup-λ≤t ≤0φ(t )<+∞，x t =x (t +τ)(τ∈[-λ，0])是P C -值的随机过程. x (t -k )和x (t +k )分别表示x (t )在t =t k 时的左极限和右极限，I k 表示x (t )在t =t k 时刻的脉冲扰动，脉冲时间序列{t k }满足0<t 1<⋯<t m <t m +1=b . 系数函数 f ：J ×P C →X ，h ：J ×P C →L 02(Y ，X ). 1 预备知识假设(Ω，F ，{F t }t ≥0，P )是一个带流的完备概率空间，其中{F t }t ≥0满足通常条件，即{F t }t ≥0是右连续的且F 0包含所有零测集. {B H (t )}t ∈R 是带有Hurst 参数H ∈()12，1的一维分数布朗运动，即B H (t )是一个中心高斯过程且具有以下协方差函数R H (t ，s )=E (B H (t )B H (s ))=12()t 2H +s 2H -|t -s |2H， t ，s ∈R =(-∞，+∞).记X 和Y 是两个实可分Hilbert 空间，L (Y ，X )是从Y 映射到X 上所有有界线性算子构成的空间. Q ∈L (Y )是一个非负自伴算子，满足Qe n =λn e n ，有限迹tr Q =∑n =1∞λn <+∞，其中{λn }≥0，(n =1，2，⋯)是一个非负有界实数序列，{e n }(n =1，2，⋯)是空间Y 上一组标准正交基. {B H n (t )}n ∈N +是独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列，现在我们在空间Y 上定义无穷维分数布朗运动如下：B HQ(t )=∑n =1∞B H n(t )Q 12e n =∑n =1∞B H n (t )λn e n ， t ≥0，则B H Q (t )∈L 2(Ω，Y )且在空间Y 中收敛，其中L 2(Ω，Y )表示所有强可测，平方可积的Y -值随机过程组成的146第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理空间.若ψ∈L (Y ，X )并且使得ψQ 12是Hilbert-Schmidt 算子，满足范数 ψ2L 02=∑n =1∞λn ψe n 2<+∞，则ψ被称为从Y 映射到X 的Q -Hilbert-Schmidt 算子. 记L 02≔L 02(Y ，X )是所有Q -Hilbert-Schmidt 算子ψ∈L (Y ，X )构成的空间，定义空间L 02的内积为ψ1，ψ2L 02=∑n =1∞ψ1e n ，ψ2e n ，则L 02(Y ，X )是一个可分Hilbert 空间. 引理1（Abouagwa et al.，2021）对任意ϕ：J →L 02(Y ，X )，∫0bϕ(s )2L 02d s <+∞成立，当t ∈J ，∑n =1∞ϕ(t )Q 12e n 一致收敛，则对任意t 1，t 2∈J 且t 2>t 1，有E∫t 1t 2ϕ(s )d B H Q(s )2≤2H (t 2-t 1)2H -1∫t 1t 2ϕ(s )2L 02d s .定义1（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 是一个Lebesgue 可积函数，对任意β∈(0，1)，函数f 的β阶Riemann-Liouville 积分定义为I βa +f (t )=1Γ(β)∫a t (t -s )β-1f (s )d s ， t >a ，β>0，其中Γ(⋅)是Gamma 函数.定义2（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 的β阶Riemann-Liouville 分数阶导数定义为LD βa +f (t )=1Γ(n -β)d nd t n∫at (t -s )n -1-βf (s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中n ∈N +. 定义3（Yang et al.，2017a ）函数f ：[a ，+∞)→R 且f ∈C n [a ，+∞)，f 的β阶Caputo 分数阶导数定义为CD βa +f (t )=1Γ(n -β)∫at (t -s )n -1-βf (n )(s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中C n [a ，+∞)表示在区间[a ，+∞)上n 次连续可微的函数构成的空间，n ∈N +.定义4（Sheng et al.，2022）函数f ：[a ，+∞)→R 的Hilfer 分数阶导数定义为D γ，βa+f (t )=I γ(1-β)a +d d t I (1-γ)(1-β)a+f (t )， 0≤γ≤1，0<β<1.注1（Sheng et al.，2022）当γ=0，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Riemann-Liou ‐ville 分数阶导数D 0，β+f (t )=d d tI 1-β0+f (t )=L D β0+f (t ).当γ=1，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Caputo 分数阶导数D 1，β0+f (t )=I 1-β0+dd tf (t )=C D β0+f (t ).引理2 方程（1）等价于如下的积分方程x (t ) = φ0t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1(Ax (s )+f (s ，x s ))d s+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1h (s ，x s )d B H Q(s )+t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)∑0<t k <tIk(x t k). (2)证明可参考文献（Yang et al.，2017a ；Ahmed et al.，2018）. 为了给出方程（1）的适度解，引入以下Wright-type 函数M β(θ)=∑n =1∞(-θ)n -1(n -1)Γ(1-βn )， 0<β<1，θ∈C .147第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）引理3（Yang et al.，2017a ）若积分等式（2）成立，其等价于如下的等式：x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t Tβ(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t Tβ(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)，(3)其中P β(t )=∫∞βθM β(θ)S (t βθ)d θ，T β(t )=t β-1P β(t )，S γ，β(t )=I γ(1-β)0+T β(t ).定义5 若一个P C -值的随机过程x ：[-λ，b ]→X 满足以下条件，则称x (t )是方程（1）的适度解.（i ） x (t )是F t -适应的且∫0bE x (s )2d s <+∞几乎必然成立；（ii ） x (t )=φ(t )，-λ≤t ≤0；（iii ）当t ∈J 时，x (t )具有càdlàg 路径且对任意t ∈J 有x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s+ ∫t(t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k). (4)本文中，我们假设如下条件成立：（H0）当t ≥0时，S (t )是一致算子拓扑连续的，且S (t )是一致有界的，即存在M >1，使得supt ∈[0，+∞)S (t )<M .引理4（Yang et al.，2017b ）在条件（H0）下，对任意t >0，{P β(t )}t >0和{S γ，β(t )}t >0是线性算子，且对任意x ∈X 有P β(t )x ≤M Γ(β) x ， S γ，β(t )x ≤Mt (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β) x .定义6（Liu ，2007）设X n (n ≥1)，X 是同一概率空间(Ω，F ，P )上的随机变量，若E (|X n |2)<+∞，且lim n →∞E (|X n -X |2)=0成立，则称X n 均方收敛于X .2 平均原理接下来，我们建立Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理.首先，定义方程（1）的扰动形式为ìíîïïïïïïD γ，β0+x ε(t )=Ax ε(t )+εf (t ，x ε，t )+εHh (t ，x ε，t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ，t ∈J =(0，b ]，Δx ε(t k)=x ε(t +k )-x ε(t -k )=εI k (x ε(t k ))， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x ε(t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x ε(0)=φ0.（5）然后根据方程（1）适度解的定义，可以得到方程（5）的适度解为：x ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x ε，s )d s+ εH∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x ε，s )d B HQ (s )+ε∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)， (6)其中ε∈(0，ε0]是一个很小的正参数，ε0是一个固定的常数.为了得出本文的主要结果，假设系数函数f ，h 具有周期T ，则存在正整数m ∈N +，使得0<t 1<…<t m <T ，那么对整数k >m ，有t k =t k -m +T ，I k =I k -m . 现引入可测的系数函数f ˉ：P C →X ，h ˉ：148第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理P C →L 02(Y ，X )，-I k ：P C →X ，其中f ˉ(x )=1T∫T f (s ，x )d s ，hˉ(x )=1T∫Th (s ，x )d s ，-I (x )=1T ∑k =1m I k (x ). 另外，我们做如下假设：（H1）对任意x ，y ∈P C ，t ∈J ，存在正常数M 1使得f (t ，x )-f (t ，y )2∨ h (t ，x )-h (t ，y )2L 02≤M 21 x -y 2.（H2）对任意的x ，y ∈P C ，存在正常数c k 和d k ，使脉冲函数I k 满足I k (x )2≤c k ， I k (x )-I k (y )2≤d k x -y 2.（H3）对所有T ∈J ，x ∈P C ，存在有界函数ρi (T )>0(i =1，2)使得1T ∫0T f (s ，x )-f ˉ(x )2d s ≤ρ1(T )()1+ x 2，1T∫0T h (s ，x )-h ˉ(x )2d s ≤ρ2(T )()1+ x 2，其中lim T →∞ρi (T )=0(i =1，2).则方程（5）对应如下无脉冲项平均系统：ìíîïïïïD γ，β0+z ε(t )=Az ε(t )+εf ˉ(z ε，t )+ε-I (z ε，t )+εH h ˉ(z ε，t)d B H Q (t )d t ， t ∈J =(0，b ]，I (1-β)(1-γ)0+z ε(0)=φ0，z ε(t )=φ(t )，-λ≤t <0.（7）参考文献（Gu et al.，2015）中引理2.12的证明，可以得到方程（7）的适度解z ε(t )为z ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f ˉ(z ε，s )d s+ εH∫t (t -s )β-1P β(t -s )h ˉ(z ε，s )d B H Q (s )+ε∫t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s . (8)定理1 假设条件（H0）~（H3）成立，则当ε趋于零时，方程（5）的适度解x ε(t )均方收敛于平均方程（7）的适度解z ε(t ). 即任意给定一个很小的数δ>0，存在M 0>0，α∈(0，1)以及ε1∈(0，ε0]，使得当ε∈(0，ε1]时有E()sup t ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.证明由式（6）和式（8），有x ε(t )-z ε(t )=ε∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[f (s ，x ε，s)-f ˉ(z ε，s)]d s + εH∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[]h (s ，x ε，s )-hˉ(z ε，s)d B HQ(s )+ ε()∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s ，(9)从而对任意ν∈(0，b ]，利用基本不等式得到E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤3ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[]f (s ，x ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2+ 3ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[h (s ，x ε，s )-h ˉ(z ε，s )]d B H Q(s )2+ 3ε2E ()sup 0<t ≤ν ∑0<t k<tS γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t(t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≤N 1+N 2+N 3. (10)对于第1项，由引理4可得149第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）N 1≤6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，x ε，s )-f (s ，z ε，s )d s 2 +6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2≔N 11+N 12 . ()11利用假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 11≤6M 2M 21ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)∫νE()sup 0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s =Λ11ε2ν2β-1∫νE()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s ，（12）其中Λ11=6M 2M 21(2β-1)Γ2(β).由假设条件（H3）得到N 12≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0t f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ12ε2ν2β，（13）其中Λ12=6M 2(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ1(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t2. 对于第2项，由引理4可以推出N 2≤6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )d B HQ (s )2+ 6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，z ε，s )-h ˉ(z ε，s )d B H Q(s )2≔N 21+N 22 . (14)由引理1、假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 21≤12M 2H Γ2(β)ε2H ν2H -1E ()sup0<t ≤ν∫t (t -s )2(β-1) h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )2d s≤Λ21ε2H ν2(H +β-1)∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s ，（15）其中Λ21=12M 2M 21H(2β-1)Γ2(β).由引理1、假设条件（H1）和假设条件（H3）得到N 22≤12M 2H (2β-1)Γ2(β)ε2H ν2(H +β-1)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0th (s ，z ε，s)-h ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ22ε2H ν2H +2β-1，（16）其中Λ22=12M 2H(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ2(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t 2. 对于第3项，由基本不等式得到N 3≤6ε2E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t S γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)2+ 6ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≔N 31+N 32， (17)由引理4、假设条件（H2）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 31≤6ε2M 2ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t I k (x ε，tk)2≤6ε2M 2mν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m I k (x ε，t k)2≤6ε2M 2m 2c k ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)=Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)， (18)其中Λ31=6m 2M 2c kΓ2(γ(1-β)+β).150第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理N 32≤6M 2ε2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1I ˉ(z ε，s )d s 2≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0tI ˉ(z ε，s)2d s≤6M 2mε2ν2β-1(2β-1)T 2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m∫0tI k(zε，s)2d s ≤6M 2m 2c k ε2ν2β-2(2β-1)Γ2(β)=Λ32ε2ν2(β-1)， (19)其中Λ32=6M 2m 2c k(2β-1)Γ2(β).将估计式（11）~（19）代入式（10），则对任意ν∈(0，b ]，得到不等式E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+ (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s . (20)令Ξ(ν)=E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2，由于E()sup -λ≤t <0x ε(t )-z ε(t )2=0，则Ξ(s +τ)=E()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12=E()sup 0<s 1≤sx ε(s 1+τ)-z ε(s 1+τ)2， τ∈[-λ，0)，因此，Ξ(ν)≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1) + (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νΞ(s +τ)d s . (21)对任意ν∈(0，b ]，令Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )，则Ξ(t )≤Θ(t )，Ξ(t +τ)≤Θ(t )，τ∈[-λ，0). 从而得到Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )≤max{}sup -λ≤t ≤0Ξ(t )+sup 0<t ≤νΞ(t )≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+ Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+()Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1)∫0νΘ(s )d s . (22)由Gronwall 不等式，可推出Θ(ν)≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1，（23）即有E()sup -λ<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)× exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1. (24)即存在M 0>0和α∈(0，1)，使得对所有t ∈(0，M 0ε-α]⊂(0，b ]满足E()sup 0<t ≤M 0ε-αx ε(t )-z ε(t )2≤με1-α，其中常数μ=(Λ12M 2β0ε1+α-2αβ+Λ22M 2H +2β-10ε2α(1-H -β)+2H -1+Λ31M 2(γ-1)(1-β)0ε2α(1-γ)(1-β)+α+1)+Λ32M 2(β-1)0ε3α-2αβ+1exp ()Λ11M 2β0ε2-2αβ+Λ21M 2H +2β-10ε2H -α(2H +2β-1) . (25)所以对任意给定的数δ>0，存在ε1∈(0，ε0]，使得对任意ε∈(0，ε1]和t ∈[-λ，M 0ε-α]⊂ [-λ，b ]，有E()supt ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.定理1证毕.注2 现有文献考虑的是有限维空间上含泊松跳以及Wiener 过程的无脉冲扰动的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），与之相比，本文考虑了分数布朗运动驱动的含脉冲项的Hilfer 分数阶随机微分方程. 更为重要的是，我们在Hilbert 空间上建立了具有算子的Hilfer 分数阶151第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）脉冲随机发展方程的平均原理，一定程度上丰富了Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理的相关理论.3 实例为了说明所得结果的适用性，我们考虑以下含脉冲的Hilfer 分数阶随机发展方程ìíîïïïïïïïïïïD γ，23x ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )+εsin 2(t )x ε，t (z )+2εH cos 2(t )x ε，t(z )d B H Q (t )d t ， I 13(1-γ)x ε(0，z )=φ0，Δx ε(t k ，z )=εx ε(t k ，z )(4+k )(5+k )， z ∈[0，π]，k ∈1，2，⋯，m ，x ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，x ε(t ，0)=x ε(t ，π)=0， t ∈(0，m π].（26）令空间X =Y =L 2[0，π]，系数函数f ()t ，x ε，t =sin 2(t )x ε，t (z )，h ()t ，x ε，t =2cos 2(t )x ε，t (z )，脉冲函数I k =x ε(t k ，z )(4+k )(5+k ).定义算子A ：D (A )→X ，Ax ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )，其中定义域D (A )={}x ∈X ， x ，x '全连续，x ″∈X ， x (0)=x (π)=0，则A 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元，且对任意t ≥0，S (t )是紧的、解析且自伴的，由一致有界定理可知存在一个常数M >0，使得 S (t )≤M ，且A 有离散谱，其特征值是-n 2，n ∈N +，对应的标准正交特征向量为ωn (z )=(nz )，n =1，2，⋯，则当x ∈D (A )时，Ax =-∑n =1∞n 2x ，ωn ωn . 为了定义算子Q ：Y →Y ，选择一组非负有界实数序列{λn }n ≥1，并在Y 中选取标准正交基{e n }n ≥1，使得Qe n =λn e n 成立，并且假设tr (Q )=∑n =1∞λn <+∞，从而可以定义随机过程B H Q(t )=∑n =1∞λn B H n (t )e n ，其中H ∈()1/2，1，{B Hn(t )}n ∈N +，是一个独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列.取T =π，则f ˉ(x )=1π∫πf (s ，x )d s =12x ， h ˉ(x )=1π∫0πh (s ，x )d s =x ，I ˉ(x )=1π∑k =1m x (4+k )(5+k )=mx 5(5+m )π，于是方程（26）的平均系统为ìíîïïïïïïïïïïïïD γ，23y ε(t ，z )=Ay ε(t ，z )+ε()m 5(5+m )π+12y ε，t (z )+y ε，t εH (z )d B H Q (t )d t ，I 13(1-γ)y ε(0，z )=φ0，y ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，y ε(t ，0)=y ε(t ，π)=0.（27）显然，平均系统（27）比原系统（26）简单. 假设条件（H0）~（H3）满足，根据定理1，当ε趋于零时，系统（26）的适度解均方收敛于平均系统（27）的适度解.参考文献：刘健康，王进斌，徐伟，2023. Caputo 分数阶中立型微分方程的随机平均原理［J ］. 山西大学学报（自然科学版），46（2）：304-308.ABOUAGWA M ，BANTAN R A R ，ALMUTIRY W ，et al ，2021. Mixed Caputo fractional neutral stochastic differential equationswith impulses and variable delay ［J ］. Fractal Fract ，5（4）：239.152153第 1 期吕婷，等：Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理AHMED H M，EL-BORAI M M，EL-OWAIDY H M，et al，2018. Impulsive Hilfer fractional differential equations［J］. Adv Differ Equ，2018（1）：1-20.AHMED H M，ZHU Q，2021. The averaging principle of Hilfer fractional stochastic delay differential equations with Poisson jumps［J］. Appl Math Lett， 112： 106755.BOLLERSLEV T， OLE MIKKELSEN H， 1996. Modeling and pricing long memory in stock market volatility［J］. J Econom， 73（1）： 151-184.BOUDRAHEM S，ROUGIER P R，2009. Relation between postural control assessment with eyes open and centre of pressure visual feedback effects in healthy individuals［J］. Exp Brain Res， 195（1）： 145-152.CERRAI S， FREIDLIN M， 2009. Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations［J］. 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高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性

第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一性.其中A 'A 是单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数，并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。

算子与本征值问题的求解方法

算子与本征值问题的求解方法算子和本征值问题是量子力学中的重要概念，用于描述量子系统的性质和行为。

本文将介绍算子和本征值的基本概念，并探讨几种常见的求解方法。

一、算子和本征值的定义算子是一个数学对象，它作用在函数上并产生另一个函数。

在量子力学中，算子常用来描述物理量的测量。

一个算子可以表示为一个方阵，例如矩阵形式。

本征值问题是指在给定一个算子后，寻找它的本征值和本征函数。

本征值是算子作用在本征函数上得到的标量结果。

本征函数是指对于一个给定的本征值，算子作用在该函数上只会得到该本征值的倍数。

二、常见的求解方法1. 基本定义法最简单的求解本征值问题的方法是使用算子的本征方程。

对于一个算子A，它的本征方程可以表示为Aψ = λψ，其中λ为本征值，ψ为本征函数。

通过解本征方程，可以求得算子A的所有本征值和本征函数。

2. 幂法幂法是一种迭代方法，用于求解特征值问题。

它的基本思想是通过多次迭代，将一个初始向量不断乘以矩阵A，直到收敛为止。

收敛后的向量即为矩阵A的本征函数，而本征值则可以通过将本征函数代入本征方程求得。

3. 特征值分解法特征值分解法是一种将矩阵对角化的方法，用于求解本征值问题。

它的基本思想是将矩阵A分解为特征向量的矩阵乘以特征值的对角矩阵。

通过计算特征向量和特征值，可以得到矩阵A的本征值和本征函数。

4. 基于数值计算的方法对于较大的矩阵或复杂的本征值问题，常常使用数值计算的方法求解。

这些方法包括正交迭代法、QR方法、拉普拉斯变换法等。

这些方法通过数值计算的方式逼近本征值和本征函数，可以得到较好的结果。

三、算子与本征值问题的应用算子和本征值问题在量子力学、信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。

在量子力学中，算子和本征值问题被用于描述粒子的能量和动量等性质。

在信号处理中，算子和本征值问题可用于信号特征提取和数据降维等。

在图像处理中，算子和本征值问题被应用于图像压缩和特征分析等方面。

总结：算子和本征值问题是量子力学中的重要概念，用于描述量子系统的性质和行为。

非线性算子方程的正算子解问题

第41卷第3期2 0 18 $ 5 月安徽师范大学学报（自然科学版"_Journal of Anhui Normal University (Natiaral Science)Vol.41 No. 3 May . 2 0 1 8D O I；10.14182/J.c n k i1001 -2443.2018.03.002非线性算子方程的正算子解问题杨凯凡(陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723001)摘要:研究算子方程！ (0<q<s)的正算子解的存在性问题，利用算子理论知识，给出了该算子方程有正算子解的一些必要条件和充分条件，并研究方程中各算子之间的关系。

关键词：算子方程;正算子解;谱分解;谱半径中图分类号：〇177.91 文献标识码:A文章编号！1001 -2443(2018)03 -0217 -031预备知识算子理论是泛函分析的重要分支。

算子方程是算子论中的一个热点问题，一直以来都受到很多学者的关注。

对于算子方程的正算子解的研究产生于20世纪九十年代，并在控制论[1]，动态规划[2]和统计学[3]等方面都有广泛的应用。

近年来，算子方程的研究得到了很大的发展，关于各类算子方程的论文也层出不穷[4]-[9]，使得算子方程成为一个非常活跃的领域。

本文在无限维可分H ilbert空间H上研究非线性算子方程! + $!!q$ ='⑴的正算子解的问题，其中B(H)表示H上的所有有界线性算子组成的全体。

X是B(H)上的未知算子，$，Q "(())是给定的算子且Q>0，s，q是给定的正整数且q<s。

近年来，众多的学者们利用矩阵论的知识，通过构造迭代序列，在有限维空间上，对此类方程做了一定的研究，得到了这类方程有正定矩阵解的条件。

本文不再局限于有限维空间，而是在无限维空间上，利用算子论的知识，研究算子方程（1)，给出此类方程有正算子解的一些充分条件和必要条件。

泛函分析ppt课件

映照，如果存在数a (0<a<1)，使得对所有的x,y
∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必存唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压缩映照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空间
距离空间： Lp[a,b]

关于算子方程AX=XAX与AX=XA=XAX

关于算子方程AX=XAX与AX=XA=XAX安桂梅;白朝芳;杜拴平【期刊名称】《应用泛函分析学报》【年(卷),期】2003(005)001【摘要】用A的不变子空间作参数,给出了算子方程AX=XAX的全部解. 当A是单射或稠值域时,或者当A是正规算子时,给出了算子方程AX=XA=XAX的全部解. 我们还给出正规算子X是算子方程AX=XZ=XAX的解的充分必要条件.%In this paper, we give the representation of the solution set of the operator equation AX=XAX in terms of the invariant subspaces of A and the representation of solution set of AX=XA=XAX in the cases that A is a normal operator or an operator with dense range or with injectivity. We also give a sufficient and necessary condition for a normal operator X to be a solution of equation XAX=XA=XA.【总页数】4页(P9-12)【作者】安桂梅;白朝芳;杜拴平【作者单位】山西师范大学数学与计算机系,山西,临汾,041004;山西师范大学数学与计算机系,山西,临汾,041004;山西师范大学数学与计算机系,山西,临汾,041004【正文语种】中文【中图分类】O177.1【相关文献】1.算子方程AX-XA*=B的正解与实正解 [J], 田学刚;王少英2.算子方程AX=XAX的解 [J], 许俊莲3.关于算子方程XA-AX=Xp的注记 [J], 郑艳萍;段樱桃;杜鸿科4.C*代数上方程ax=xax与ax=xa=xax的解 [J], 田学刚;王少英5.关于算子方程AX+XA*=A*X+XA=I的求解问题 [J], 吕小秀; 李四信因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

解线性方程组的迭代方法优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

Lx Ux
第16页
a11
其中
D
a22
,
ann
0
L
a21 a31
an1
0 a32
an 2
0
an,n1
0
0 a12 a13
U
0 a23 0
a1n
a2n
an1,n
0
A D L U , 因D1存在，故Ax b x D1(L U )x D1b
记 BJ D1(L U ) I D1A , fJ D1b 则有迭代格式： x(k1) BJ x(k) fJ
注：怎样判断迭代过程终止？
利用定理2误差预计式能够判断迭代过程是否能够
终止，但这种方法比较麻烦，通常采取方法是经过前
后两次迭代近似值差来判断，即利用：
max
1i n
|
x(k 1) i
x(k) i
|
或 || x(k1) x(k) ||
终止迭代过程。
上述这种求解方程组方法称为Jacobi迭代法。
第14页
a1n xn(k ) b1)
即
x2( k
1)
1 a22
(a21x1(k )
a23 x3(k )
a2n xn(k ) b2 )
xn( k
1)
1 ann
(an1x1(k )
an2 x2(k )
a x(k) n,n1 n1
bn
)
3、判断迭代格式收敛性。取初值 x(0) 带入计算。
第15页
Jacobi 迭代矩阵形式
例1：用迭代法解方程组
82xx11
x2 10
x2
x3
1 x3
4
x1
x2

第三章线性算子与线性泛函

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18
定理3的证明：由于f 是M的有界线性泛函，那么 | f (x) ||| f ||M || x ||,这里|| f ||M sup{| f (m) |;mM}.
||m||1
令p(x) || f ||M || x ||,则p是X上的次可加正齐次泛函，由定理1，存在X上的连续线性泛函F满足:
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14
2 在扩大的定义域上作 f的线性延拓令 f1λx1yfyλc,λx1yX1.
易证 f1是 X1上的线性泛函 ,且 f1|Mf.
3 恰当选择被控制的延拓
f在X1上的线性延拓具有形式:
令f1λx1y f yλc,λx1yX1.
选择恰当的c使得
这表明sup p yM
y -
x1
f
y
inf
yM
p
y
x1
f
y.
取满足下面的不等式的c即可
sup p
yM
y -
x1
f
y
c
inf p y
yM
x1
f
y.
精选2021版课件
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2 做出f满足以下条件的全部延拓;
f |M f
f
x
px,xX
记这些延拓的全体为Γ.那么我们有
Γg|g是Dg上的线h-Steinhaus定理)：设X 是Banach空间，
Y是赋范线性空间，算子族{T; } B(X ,Y ) 满足:
sup || T x || ,x X .那么sup || T || .
推论1：设 fn是Banach空间X 上的一列有界线性泛函,
如果 fn在X的每点x处有界, 那么 fn一致有界.

解第一类算子方程的一种正则化方法

ｏｆｔｈｅＦｉｒｓｔＫｉｎｄ
ＳＯＮＧ一ｃｈｕｎ，ＺＡＮＧＬｉ－ｚｈｕ， Ⅳ Ｚｈｕａｎｇ— ｙｕａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＨａｒｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５００８０，Ｃｈｉｎａ）
ｗｉｔｈａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｔｈｅｉｒｇｈｔ — ｈａｎｄｓｉｄｅ，ａｎｄｂｙａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＡｒｃａｎｇｅｌｉ ’ Ｓｃｉｒｔｅｉｒｏｎｔｏｃｈｏｏｓｅ
＝Ｙ（２）（３）
到方程的稳定近似解．对右端项为近似的第一类算子方程的稳定近似解的构造及其性质，有许多学者进行了研究，如ＴｉｋｈｏｎｏｖＡＮ，ＧｒｏｅｔｓｃｈＣＷ，杨宏奇，侯宗义等．但往往实际问题中，算子及其右端项都是近似给定的．
ｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｅｄａｎｄｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｒｅｇｕｌａｒ－ｉｚｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｐｅｒａｔｏｒｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｆｓｔｒｋｉｎｄ；Ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄｐｒｏｂｌｅｍ；ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＡｒｃａｎ —

一类算子方程的正算子解的刻画

维普资讯
是表示无限维Ｈｉｅｔ间，（表示上ｌｒ空ｂ国）
其中，
…
（＝ｍａ｛： ∈ （｝Ｐ）ｘＰ），（一ｒｉ｛： ∈ （｝Ｐ）ａｎＰ）．
…
３主要结论及其证明
有界线性算子组成的全体，表示上的单位算子．Ｊ
１
ｌ１
．
对于国（上的正算子Ｐ，然有）显
论的知识，有限维空间上对这类方程的正定矩阵在
（）ｌｌｌ（＞Ｏ，１ｌｌｌＰ — Ｐ￡）
（） … （ＪＰ≤ （Ｊ２Ｐ） ≤ … Ｐ），
解进行了刻画，文在无限维Ｈｉｅｔ间上，本ｌｒ空ｂ利用
— ＪＸ＋Ａ，ＸＡ— ＪＸ—Ａ，ＸＡ — Ｊ形式的矩等阵方程受到国内外许多学者的关注＿］前人用矩阵３．
满足Ａ≤Ｂ，则对任意Ｔ ∈国（，ＴＡＴＴＢ）有 ≤
任意 ∈ 有ｌｘ＼ｌＴ
杨凯凡
（西理工学院数学系，陕西汉中７３０）陕２０１
摘要：无限维Ｈｉｅｔ间上研究了一类算子方程的正算子解存在的充分条件和必要条件以及正算子解在ｌｒ空ｂ
的范围，且用迭代的方法得到了方程的正算半径算正可谱谱中图分类号：７．１０１７９文献标识码：Ａ文章编号：６１１８（０８０ —０２ —０１７ — ７５２０）８０２３

铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解

铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解铁木辛柯梁四阶偏微分方程是一种常见的工程数学问题，其求解方法之一是利用有限差分法进行数值模拟。

本文将介绍铁木辛柯梁四阶偏微分方程的定义和性质，以及如何利用有限差分法对其进行数值解析。

铁木辛柯梁四阶偏微分方程是描述弹性梁振动问题的一类方程，在工程力学和结构分析中有广泛的应用。

其一般形式可以表示为：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = f(x)u是梁的位移函数，x是空间变量，f(x)是外力项。

铁木辛柯梁四阶偏微分方程的解代表了梁在给定外力作用下的变形情况。

1. 线性性质：方程是线性的，即其解满足叠加原理，可以分解为若干个简单形式的解的线性组合。

2. 边界条件：通常需要给定边界条件才能获得唯一解，例如位移和受力边界条件。

3. 初值条件：梁振动问题通常需要给定初值条件，如初始位移和速度，才能解得全体解。

4. 解的存在性和唯一性：在适当的边界条件和初始条件下，铁木辛柯梁四阶偏微分方程存在唯一解。

有限差分法是一种常用的数值计算方法，用来近似求解微分方程。

通过在区域内采用离散的网格点，将微分方程的微分算子用有限差分算子替代，从而将微分方程转化为代数方程组，再通过数值求解方法得到近似解。

对于铁木辛柯梁四阶偏微分方程，可以将其进行空间离散化，假设空间区域用n个网格点离散化为\Delta x的格点间隔，即x_i=i\Delta x，i=0,1,...,n。

然后利用中心差分法对微分算子进行离散化，即：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} \approx \frac{u_{i-2} - 4u_{i-1} + 6u_i - 4u_{i+1} + u_{i+2}}{\Delta x^4}将原方程代入离散化的微分算子，得到差分方程：通过整理可得：根据给定的边界条件和初始条件，可以通过迭代计算在网格点处的位移值u_i，从而得到铁木辛柯梁四阶偏微分方程的数值解。

克劳修斯克拉伯龙方程

克劳修斯克拉伯龙方程引言克劳修斯克拉伯龙方程是一种经典的线性偏微分方程，描述了物理系统中的波动现象，包括声波、光波、电磁波等。

该方程由奥地利数学家耶纳·克劳修斯 (Joseph Johann von Clausius) 和德国数学家拉尔夫·斯·克拉伯龙(Ralph Schrödinger) 分别在19世纪和20世纪初提出。

克劳修斯克拉伯龙方程在科学研究、工程应用和自然界中广泛应用，对于理解和解释波动现象具有重要意义。

方程形式克劳修斯克拉伯龙方程的一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波函数，t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算子。

方程右侧表示波函数u相对于空间的二阶导数，左侧表示波函数u相对于时间的二阶导数。

该方程描述了波函数u在时间和空间上的演化。

方程解析对于克劳修斯克拉伯龙方程的解析解的求解是一项复杂的任务，通常需要采用数值方法进行近似求解。

然而，对于一些简单的情况，可以找到其解析解以帮助我们理解波动现象。

克劳修斯克拉伯龙方程的解具有波动性质，可以表示为：u(x, t) = A*sin(kx - ωt + φ)其中，A是振幅，k是波数，x是位置，ω是角频率，φ是相位。

这个解描述了一个沿着x轴传播的波动，振幅随位置的变化满足正弦函数的关系。

在一些特殊的情况下，克劳修斯克拉伯龙方程的解可以表示为波包形式：u(x, t) = ∫(-∞, ∞)A(k)*e^(i(kx - ωt))dk其中，A(k)是波包的频谱分布，k是波数。

这个解表示了连续的波动，可以通过频谱分布A(k)来描述。

应用领域克劳修斯克拉伯龙方程在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用领域：声波传播：利用克劳修斯克拉伯龙方程可以描述声波在空气、水等介质中的传播和反射。

这在工程学中的声学设计和物理学中的声学研究中很有价值。

M^(n)(c)×R_(1)中具有三个不同特征值的伪平行类空超曲面

几何弦理论的模型空间,因此刻画伪平行超曲面的
特征具有一定意义.对于空间形式及黎曼乘积空间
中的伪平行超曲面的分类已经得到许多深刻的结
果[4].关于伪黎曼空间形式中伪平行超曲面还没
有完全分类结果,但也得到了许多深刻的结论,
收稿日期:2019
11
j}使得 Tk ≠0.由方程(
{
,
}
,
)
T ⊥ ei ej 根据方程(
9 得到λiλj=c+φ;
情形2:
T ∈s
ei,
ej },根据方程 (
11)得到
pan{
λiλj=cc
o
s
h2θ+φ;
由以上讨论,假设 Aη 的三个特征值为ν,
λ,
μ,
对应特征向量的下标组成的集合分别记为 A,
B,
C.
则λμ,
AηX ,
T>
定义 1 设 f:
Σn →Mn (
c)×R1 是等距浸入,
若对于任意的 X ,
Y ∈TΣ ,存在 Σ 上的实值光滑
n
n
函数φ,使得
R(
X,
Y)·B =φ(
X ∧Y)·B
则称f 是伪平行浸入.
或
2
λiλj +φ)=0
+ε
(
9)
(
c
εTjTk (
λi -λk )=0,(
k ≠i,
10)
j)
的八个模型以来,许多数学工作者对与该结论相关
的乘积空间中子流形问题进行了深入研究,并将其
推广到 Lo
r
en

数字图像处理第三版中文的答案解析冈萨雷斯

第二章2.1 （第二版是0.2和1.5*1.5 的矩形，第三版是0.3和1.5圆形）节提｛ftKrtHE砸，如昭上的一t打印点离眼睛03 m远请采用纯几何方法，估计能辨别朋最小打印点的首律为制单起见.像设在中央RI处的像点变得远比视网JB区储的感受界（辭狀休）的虫赴小吮祀蛍砂U不能陶!倒陽坟丸亦说i划映凹町建悭为直泾为1.5 .uni的逊I形阵列.井且锥状1点间的阿隔住该评列匕均匀分命对应点的视网膜图像的直径x可通过如下图题 2.1所示的相似三角形几何关系得到，即d 2 x 2,* j0.3 0.017解得x=0.06d。

根据2.1节容，我们知道：如果把中央凹处想象为一个有337000 个成像2单元的圆形传感器阵列，它转换成一个大小327.5成像单元的阵列。

假设成像单元之间的间距相等，这表明在总长为 1.5 mm （直径）的一条线上有655个成像单元和654个成像单元间隔。

则每个成像单元和成像单元间隔的大小为s=［（1.5 mm）/1309］=1.1 x 10-6 m。

如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元，在我们可以认为改点对于眼睛来说不可见。

换句话说，眼睛不能检测到以下直径的点：x 0.06d 1.1 10 6m，即d 18.3 10 6m2.2当我们在白天进入一家黑暗剧场时，在能看清并找到空座时要用一段时间适应。

2.1节描述的视觉过程在这种情况下起什么作用？亮度适应。

2.3虽然图2.10中未显示，但交流电的却是电磁波谱的一部分。

美国的商用交流电频率是77HZ。

问这一波谱分量的波长是多少？光速c=300000km/s ，频率为77Hz。

因此X=c/v=2.998 * 10 8（m/s）/77（1 ⑸=3.894*10 6m = 3894 Km.2.514 lum的€€0扭像札t：片百工（M牧20朋个兀索.将立枭化對相距0話m远的一个方形样卅凶域该撮橹机徘呈米陡分辨务少线讨？摄偉机配齐「一牛算mm检头（提示：磺憎处理模23所不.但使用摄掠叽瞬头加魚距瞽代眼昭的焦矩）根据图2.3得：设摄像机能看到物体的长度为x （mm），则有：500/x=35/14; 解得:x=200 ,所以相机的分辨率为：2048/200=10; 所以能解析的线对为：10/2=5 线对/mm.2.7假设中心在（x0,y0 ）的平坦区域被一个强度分布为：2 2i （x, y） Ke ［（x x0）（y y0）］的光源照射。

泛函分析若干基本概念的理解_傅中志

1 空间与算子这部分内容将结合工程问题而讨论, 首先给出工程问题的一般模型[ 1] , 如图 1 所示. 根据模型中的已知项和待求项, 可以将工程问题分为 3 种基本类型: ( 1) 已知输入和模型, 求解输出, 这就是所谓工程正问题; ( 2) 已知输出和模型, 反求输入, 这就是所谓工程反问题; ( 3) 已知输入和输出, 求解模型, 即所谓模型辨识问题, 试验资料基础上的建模过程也应划入此类.
图 1 工程问题的一般模型
从空间中定义距离的必要性开始, 以空间 Y 为例, 假设根据某一输入值( 如试验得到的一组材料参数) x I X , 根据特定模型( 算子 T ) 得到输出的预测值为 y = T x , 而通过实测得到的真实输出为 y * , 一
收稿日期: 2008 - 02 - 23. 作者简介: 傅中志( 1984 - ) , 男, 江苏南京人, 在读博士研究生, 研究方
强收敛检验模式和弱收敛检验模式都只有在准确
模型 T * 未知时有其存在的意义, 当准确模型T * 被揭示后, 就可以直接用 T * 检验经验模型 T , 它不再需要依赖
解, 分别阐述了共轭算子在经济学中的含义及相伴算子在力学中的含义, 通过将泛函分析中的基本概念还原到具
体学科中加深了对概念的理解.
关键词
泛函分析; 线性算子; 收敛性; 共轭算子; 相伴算子 .
中图分类号 O177
/ 泛函分析0 是一门高度抽象, 高度概括的数学基础课, 是现代数学分析的重要基础, 因其在微分方程、积分方程、变分法、量子力学等领域有广泛的应用, 国内大多数理工科院校将其作为非数学专业博士课程开设. 但是, 由于这门课程的高度抽象性, 往往使不少初学者在诸多抽象概念和缺乏直观意义的定理面前望而却步. 笔者认为将泛函分析的基本概念和工程或生活实际结合起来, 对于这门课程的学习有很多益处, 不但能够加深对概念本身的理解, 同时还能激发学习兴趣, 开拓研究思路. 基于上述认识, 笔者在学习/ 泛函分析0 过程中, 对若干概念进行了探讨, 形成本文内容, 详述于下.

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。

关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。

因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。

我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。

(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。

则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。