金优课高中数学北师大选修课时作业：平面图形的面积含解析

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高二北师大数学选修224.3定积分的简单应用平面图形的面积

解：

y y

x x2

x

0及x

1
，所以两曲线的交点为
（0，0）、（1，1），面积
S=

1
0
xdx 1 x2dx ，所 0
以S =
1
(
0
x
-
x2 )dx

2

3
3
x2

x3 3
1 0
1 =3
y x
B C y x2
O DA
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例 2．计算由直线 y x 4 ，曲线 y 2x 以及 x
轴所围图形的面积 S. 分析：首先画出草图（图 1.7 一 2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分
3
S＝ 2 [(4x 3) ( x 2 4x 3)]dx 0
3
3 [(2x
2

6)

(

x2

4x

3)]d x＝ 9 4
y
o
x
y=－x2+4x-3
3、求曲线 y log 2 x 与曲线 y log 2 (4 x) 以及 x 轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为
4.3定积分的简单应用 ——平面图形的面积
一、教学目标： 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”

北师大版高中数学选修2-2：平面图形的面积

（设为s2）
O
x
由上面分析知
S1
由积分公式表及牛顿-莱布尼茨公式得
由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a<b)所围
成平面图形的面积S
y f (x)
y
y f (x)
y g(x)
oa
bx
(1)
y g(x) (2)
b
b
b
(1) S a f (x)dx a g(x)dx a [ f (x) g(x)]dx
bb
b
bb
((21)
SS aa
ff((xx))ddxx| a
g(xx))ddxx| aa [ f ((xx))gg((xx))]]ddxx
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
求曲线y=
x与直线y=2-x,y

1 3
x
围成图形的面
积.
平简单图形的面积面
图
形的面积
分转割化法为
复杂图形的面积
(1)根据题意画出图形. (2)确定积分的上、下限. (3)确定被积函数，当某一边界是不同函数时，要分段去求. (4)写出相应的定积分表达式. (5)计算定积分,求出面积.
的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负
号.
y
y f (x)
s1
a
o
s2
s3
bx
2.微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，

高中数学北师大版选修2-2课时作业4.3.1 平面图形的面积 Word版含解析

选修第四章§课时作业一、选择题．如图，阴影部分面积为( )．[()－()]．[()－()]＋[()－()]．[()－()]＋[()－()]．[()－()]解析：∵在区间(，)上()>()，而在区间(，)上()<()．∴＝[()－()]＋[()－()]，故选.答案：．由＝，＝，＝所围成的图形的面积为( )．．．．解析：因为曲线所围成的图形关于轴对称，如图所示，面积满足＝＋－＝＋－＝，所以＝，故选.答案：．由直线＝，＝－＋及轴围成平面图形的面积为( ) ．[(－)－] ．∫[(－＋)－]．∫[(－)－] ．[－(－)]解析：如图，由图可知，＝∫[(－)－].答案：．[·北京高考]直线过抛物线：＝的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于( ) ．．．．解析：由题知，抛物线的焦点为()，又过且与轴垂直，∴为＝，∴与所围成的图形面积＝×－－＝－＝－(＋)＝－＝.答案：二、填空题．从如图所示的长方形区域内任取一个点(，)，则点取自阴影部分的概率为．解析：根据题意得：阴＝＝＝，则点取自阴影部分的概率为＝＝.答案：．曲线＝(≤≤π)与直线＝围成的封闭图形的面积为．解析：由于曲线＝(≤≤π)与直线＝的交点的横坐标分别为＝及＝，因此所求图形的面积为∫(－)＝(－－)＝－.答案：－．[·山东高考]设>，若曲线＝与直线＝，＝所围成封闭图形的面积为，则＝.解析：由已知得＝＝＝＝，所以＝，所以＝.答案：三、解答题．求由曲线＝－＋与＝－所围成的平面图形的面积．解：＝－＋与＝－交点的横坐标为＝，＝.所以所求图形的面积为＝(－＋)－(－)＝(－－＝.．在曲线＝(≥)上的某点处作一切线使之与曲线以及轴所围图形的面积为.求切点的坐标以及切线方程．解：由题意可设切点的坐标为(，)，则切线方程为＝－，可得切线与轴的交点坐标为(，)．画出草图，可得曲线＝，直线＝－与轴所围图形如右图所示．故＝＋＝∫＋[∫－∫(－)]＝＋＝＝，解得＝，所以切点坐标为()，所求切线方程为＝－.。

北师大数学选修22课时分层作业1 平面图形的面积简单几何体的体积含解析

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若y ＝f (x )与y ＝g(x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x B.⎠⎛a b [g(x )－f (x )]d x C.⎠⎛a b |f (x )－g(x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x ；当f (x )≤g(x )时，所求面积为⎠⎛ab [g(x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab|f (x )－g(x )|d x .]2．由抛物线y ＝x 2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45π B.165π C.85πD.325πD [V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.]3．如图，阴影部分的面积是( )A ．23B ．2－ 3C ．323D ．353C [S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.]4．由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A ．6πB ．12πC ．24πD ．3πB [因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.]5．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，阴影部分是由抛物线y ＝x 2及线段OA 围成的封闭图形，现在在△OAB 内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为( )A.23B.43C.49D.29D [由题得直线OA 的方程为y ＝2x ，所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 32|0＝4－83＝43. S △AB O ＝12×3×4＝6.所以P 点恰好落在阴影内的概率为436＝29.] 二、填空题6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．⎠⎛01(x －x 3)d x [画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .]7．由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．π(e －1) [体积V ＝π⎠⎛01e x d x ＝π(e －1)．]8．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．163 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．[解] 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10．设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解] 如图，M 为图中阴影部分．(1)图中M 的面积为 ⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪1＝π3.[能力提升练]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623C [∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1．如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312| 20＝4－43＝83.] 2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5axA [显然，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33 ＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .]3．一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．4．由x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0，y ＝cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________．3 [根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x ＝2sin x |π30＝ 3.]5．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积．[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为即所求面积为2732.。

高中数学北师大版选修22第4章平面图形的面积习题课参

平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的大体定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点： 1、定积分的概念及几何意义； 2、定积分的大体性质及运算的应用三、教学方式：探析归纳，讲练结合四、教学进程（一）练习1．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰． ∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分32166x x -+-⎰x ． 5．如何用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部份面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。

（二）、新课探析例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部份面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方式：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每一个曲边梯形肯定其存在的范围，从而肯定积分的上、下限；⑶肯定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

【金版优课】高二数学北师大版选修2-2课时作业：4.3.1 平面图形的面积 Word版含解析

选修2-2 第四章 §3 课时作业22一、选择题1．如图，阴影部分面积为( )A ．⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d xC ．⎠⎛ac [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x解析：∵在区间(a ，c )上g (x )>f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )<f (x )． ∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]d x ，故选B.答案：B2．由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A ．43B ．34C ．2D ．1解析：因为曲线所围成的图形关于y 轴对称，如图所示，面积S 满足12S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x －⎠⎛02x 24d x ＝x 33⎪⎪⎪ 10＋x ⎪⎪⎪21－x 312⎪⎪⎪20＝23，所以S ＝43，故选A.答案：A3．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成平面图形的面积为( ) A ．⎠⎛01[(1－y )－y ]d yB ．∫120[(－x ＋1)－x ]d xC ．∫120[(1－y )－y ]d yD ．⎠⎛01[x －(－1)]d x解析：如图，由图可知，S ＝∫120[(1－y )－y ]d y .答案：C4．[2013·北京高考]直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A ．43B ．2C ．83D ．1623解析：由题知，抛物线C 的焦点为F (0,1)，又l 过F 且与y 轴垂直，∴l 为y ＝1，∴l 与C 所围成的图形面积S ＝4×1－⎠⎛2－2x 24d x ＝4－x 312⎪⎪⎪2－2＝4－(812＋812)＝4－43＝83.答案：C 二、填空题5．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13.答案：136．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6(sin x －12)d x ＝(－cos x －12x )⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.答案：3－π37．[2012·山东高考]设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案：49三、解答题8．求由曲线y ＝－x 2＋2x 与y ＝2x 2－4x 所围成的平面图形的面积．解：y ＝－x 2＋2x 与y ＝2x 2－4x 交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝2.所以所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x ＝(x 2－⎪⎪13x 3)20－⎪⎪(23x 3－2x 2)20＝4.9．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为(x 02，0)．画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如右图所示．故S ＝S 1＋S 2＝∫x 020x 2d x ＋[∫x 0x 02x 2d x －∫x 0x 02(2x 0x －x 20)d x ] ＝⎪⎪13x 3x 020＋⎪⎪⎪⎪13x 3x 0x 02－(x 0x 2－x 20x )x 0x 02＝x 3012＝112，解得x 0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。

北师大版高中数学选修平面图形的面积教案(1)

定积分的简单应用（一） 3.1平面图形的面积一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。

二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数2xy =y x=ABC D O和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。

优课系列高中数学北师大版选修22 4.3.1平面图形的面积课件(14张)

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.805:00:0305:00:03September 8, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午5时0分3秒05:00:0321.9.8 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午5时0分21.9.805:00September 8, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三5时0分3秒05:00:038 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午5时0分3秒上午5时0分05:00:0321.9.8
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2 求抛物线 y x2与直线 y 2x 所围成平面图形的面积。
y
y 解2x析：y x2 与 y 2x的交点是(0,0) 和 (2,4) ，所围
面积。
课后思考：
思考题：试求下列曲线所围平面图形的面积。
y y x3
1
o
1x
y2 x
面图形的面积为S，则
y f (x)
b
b
S a f (x)dx a g(x)dx
S
g(x)
oa
bx
例 3 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的图形的面积.

2022年优课系列高中数学北师大版选修22平面图形的面积课件(15张)

2022年优课系列高中数学北师大版选修22平面图形的面积课件（15张
）
情境导入（半分钟）如何估算这片树叶的面积？
学习目标（半分钟）
1、加深对定积分几何意义的了解 2、能用定积分求曲边图形的面积
复习回顾（1分钟）
1、定积分的几何意义？
表示的是_______与______ 和______
和__X_轴__所围成的平面图形各部分面积的_代__数__和__，其中x轴上方的面积取_正__值__，
例2
y
A
0a
bX
1
a
b
A2
a
b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
步骤：
1.作图象 2.求交点，确定积分上下限 3.确定被积函数 4.用微积分基本定理求定积分
如何用定积分求树叶的面积？
解：两曲线的交点
Sห้องสมุดไป่ตู้
学习检测2（5分钟）
1、求由曲线形的面积
,直线y=x所围成的平面图
如何求图中阴影部分面积？与刚才的题目有何不同之处？
学习指导3（6分钟）
看课本P88例题3，思考在用定积分求面积时，如何对图形进行合理分割？
学习检测3（6分钟）
解：两曲线的交点直线与x轴交点为(4,0)
S2 S1
x轴下方的面积取_负__值__。
+
+
-
-
2、微积分基本定理？
学习指导1（5分钟）
看课本P87例题1，思考如下问题：
如何求由一条曲线f(x)和直线x=a，x=b，x轴所围图形的面积？
y
0
x
例1
学习检测1（3分钟）

金优课高中数学北师大选修21课时作业：第3章习题课4 含解析

习题课(4)一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S ＝4π.故选B.答案：B2．方程1－|x |＝1－y 表示( ) A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0. ∴y ＝|x |，|x |≤1，∴曲线表示两条线段，故选A. 答案：A3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A ．263B ．433C ．463D ．233解析：如右图，a ＝2，由AC →·BC →＝0⇔∠C ＝90°， |BC |＝2|AC |，∴|OC |＝|AC |，∴C (1，－1)代入椭圆方程得14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，又a 2＝4，∴c 2＝4－43＝83，∴c ＝263.∴2c ＝463.答案：C4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2.又直线AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2.代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 答案：B5．[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．因为抛物线的焦点为(0，p2)，直线方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13.故选C.答案：C6．[2014·浙江省学军中学期中考试]如图，F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．13B ．15C ．2D ． 3解析：本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨令|AB |＝3，|BF 2|＝4，|AF 2|＝5，∵|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，∴∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 1|＋3－4＝5－|AF 1|，∴|AF 1|＝3，∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，∴a ＝1，|BF 1|＝6.在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2＝36＋16＝52，又|F 1F 2|2＝4c 2，∴4c 2＝52，∴c ＝13，∴双曲线的离心率e ＝ca＝13，故选A.答案：A 二、填空题7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．解析：设AF 1＝1，由△ABF 2是正三角形知，|AF 2|＝2，|F 1F 2|＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝2c 2a＝|F 1F 2||AF 1|＋|AF 2|＝33.答案：338．若直线y ＝2x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y 2＝4x，整理得4x 2－16x ＋9＝0，由根与系数之间的关系知x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－6＝2，所以线段AB 的中点坐标为(2,1)．答案：(2,1)9．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是__________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7.∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1.由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2.∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.答案：x 22－y 25＝1三、解答题10．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，Δ＝4a 2－4(3－a 2)(－2)＝24－4a 2>0， ∴a ∈(－6，6)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2. (1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ (1＋a 2)[(2a 3－a 2)2＋83－a 2]＝2(1＋a 2)(6－a 2)|3－a 2|. (2)由题意知，OA ⊥OB ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0. 即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.即a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．11．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．解：(1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25)，∴中点坐标为M (－35，25)．(2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2，|AB |＝1＋k 2l ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.12．已知抛物线C 1：y 2＝4px (p >0)，焦点为F 2，其准线与x 轴交于点F 1；椭圆C 2：分别以F 1、F 2为左、右焦点，其离心率e ＝12；且抛物线C 1和椭圆C 2的一个交点记为M .(1)当p ＝1时，求椭圆C 2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，且与抛物线C 1相交于A ，B 两点，若弦长|AB |等于△MF 1F 2的周长，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得c a ＝12，①c ＝1，②∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝1，且A (1,2)，B (1，－2)， ∴|AB |＝4.又∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6≠|AB |. ∴直线l 的斜率必存在．②设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k (x －1)，得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∵直线l 与抛物线C 1有两个交点A ，B ， ∴Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 4 ＝16k 2＋16>0，且k ≠0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(2＋4k 2)2－4]＝(1＋k 2)(16k 2＋16k 4)＝4(1＋k 2)k 2， ∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6， ∴由4(1＋k 2)k 2＝6，解得k ＝±2.故所求直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．。

高中数学 4.3.13.2 平面图形的面积简单几何体的体积课时作业北师大版选修22

§3 定积分的简单应用3．1 平面图形的面积3．2 简单几何体的体积课时目标进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V ＝ʃb a π[f (x )]2d x .一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπ0cos x d xB ．ʃπ20cos x d x ＋|ʃππ2cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ2－2x 3d xB ．|ʃ2－2x 3d x |C ．ʃ2－2|x 3|d xD ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ20(x 2－1)d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20|x 2－1|d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积可以表示为( )A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45π 6．由y ＝e －x ，x ＝0，x ＝1围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.π2(1－e －2)B.π2C.π2(1－e)D.π2e －2 二、填空题7．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________．9．曲线y ＝2x，直线x ＝2，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y ＝4x －x 2和直线y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71213．在曲线y ＝x 2 (x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x 轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答案知识梳理1．S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x 轴上方还是在x 轴下方面积都是正数，故选B.]2．D [所求面积ʃ2121x d x ＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 3．C 4.C 5.B6．A [V ＝πʃ10(e－x )2d x ＝πʃ10e－2x d x ＝－π2e －2x |10＝π2(1－e －2)．] 7.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193. 8. 342解析作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x 即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 9.23π解析 V ＝ʃ32π·(2x )2d x ＝－4πx |32＝23π. 10. 解由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92. 11．解由y ＝4x －x 2得顶点P (2,4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －x 2y ＝x ，得交点Q (3,3)，O (0,0)．如图所示又由上图知V ＝π·ʃ30y 2d y ＋πʃ43(2＋4－y )2d y －πʃ40(2－4－y )2d y ＝π·13y 3|30＋π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y －834－y 32＋4y －12y 2|43－π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ＋834－y 32＋4y －12y 2|40 ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫273＋4＋283＋4－72－16＋162＝272π. 12．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10 ＝13－14＝112.] 13．解由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示．故S ＝S 1＋S 2＝ʃx 020x 2d x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0x 02x 2d x －x 0x 022x 0x －x 20d x ＝13x 3|x 020＋13x 3|x 0x 02－(x 0x 2－x 20x )|x 0x 02＝x 3012＝112，解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。