初一数学.春季.直升班.教师版.第3讲 二次根式(二)1
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
二次根式(2)(20201109205243)
、学习目标 1、掌握二次根式的基本性质：Ja 2 3 = a2、能利用上述性质对二次根式进行化简 、学习重点、难点重点：二次根式的性质 苗=a难点：综合运用性质= a 进行化简和计算 三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？3、在化简过程中运用了哪些数学思想？（三）自主学习自学课本第3页的内容，完成下面的题目:观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到: 当 a 0 时，-、a = ______a a > 0J a =a = « 0 a=0-a ac02、 化简下列各式： 2 计算：丫匸47 =_苇 D 2 = ______________Y （1）=_J （-20）2 = ________ 观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a ：：： 0时-a 二 ____3 计算： -°2二 ________ 当a = 0时八a - _______（四）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质: 二次根式（2）（2）二次根式 '.x 25 有意义，则x （3）在实数范围内因式分解：X 2-6= x 2 - （ ）2=（ x+（二）提出问题I -- 1、式子'a a 表示什么意义？ ）（X-____） 2、如何用^ = a 来化简二次根式？ 1、计算:0.22 202 二(1)j0.3二_______ (2)J(-°.3) = ------------- (3)J(-5)= ------------------------ (4)「(2a)2二____ (a<0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质(I a )2二a(a亠0)与•. a2二a有什么区别与联系。
(五)展示反馈1、化简下列各式(1)斗衣"0) (2) J x42、化简下列各式(1) ：. (a匚3)2(a 一3) (2) 七一3 2(x v-2 )(六)精讲点拨利用痔=a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“ a”的取值。
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式课件(超经典)
加减乘除法
二次根式的加减法、乘法和除法有什么规则？在本节课中，我们将深入探讨 这些运算规则，并通过实例演示如何运用它们。
解二次方程
二次根式在解二次方程中有着重要的应用。我们将学习如何使用完全平方公 式和求根公式来解二次方程，并通过实例进行深入分析。
应用实践
二次根式不仅仅在数学中有应用，还广泛应用于几何、物理和其他学科。在本节课中，我们将探索这些应用领 域。
二次根式课件(超经典)
欢迎进入超经典的二次根式课件！本课程将深入讲解什么是二次根式以及二 次根式的定义和性质，帮助你轻松掌握这一重要数学概念。
引言
什么是二次根式？本节将介绍二次根式的概念和基本性质，？这节课将详细讲解如何合并同类项、分解因数和有理化 分母，并教你如何求解二次根式。
总结
在本次课程中，我们将回顾重点难点，探讨二次根式与其他学科的联系，并 进行动手练习，巩固所学知识。
参考资料
为了帮助你更好地理解二次根式，我们提供了一些优质的参考资料，包括书籍、网站、视频教程等。
初中数学二次根式的知识点汇总
初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。
在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。
以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。
一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。
它可以表示为√a或±√a。
2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。
3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。
如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。
4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。
二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。
2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。
3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。
4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。
三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。
2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。
3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。
2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。
3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。
2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。
六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。
2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。
3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。
七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。
2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。
3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。
- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。
- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。
4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。
- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。
- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。
5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。
对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。
6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。
- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。
- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。
- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。
以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。
初中数学《二次根式》说课稿（通用6篇）
初中数学《二次根式》说课稿初中数学《二次根式》说课稿（通用6篇）作为一名教学工作者，往往需要进行说课稿编写工作，说课稿有助于提高教师理论素养和驾驭教材的能力。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是小编收集整理的初中数学《二次根式》说课稿，希望对大家有所帮助。
初中数学《二次根式》说课稿篇1一、说教材本节课选自人教版九年级数学上册第二十一章二次根式第一节的内容。
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本章是在第13章实数(13.1平方根;13.2立方根;13.3实数)的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、和运算。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也为以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下重要基础。
二、说学情学生已经学习了平方根(算术平方根)等有关知识，有了一定的知识基础和认识能力。
本课时及后面的知识的学习，对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有了更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究与思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。
三、说教学目标根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标：1.知识与技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范围和被开方数的取值范围2.过程与方法：根据条件处理问题的能力及分类讨论问题的能力3.情感态度价值观：严谨的科学精神四、说教学重点和难点教学重点：二次根式中被开方数的取值范围教学难点：二次根式的取值范围五、说教法教学活动的本质是一种合作，一种交流。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。
为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。
第3讲二次根式ppt课件全面版
值,然后代入代数式计算,根据题意,得 x-1=0,y+3=0,解得:x=1,y=-3,
所以 x+y=-2.
(2)∵ ������-2 ≥0,(n-2 017)2≥0, ������-2+(n-2 017)2=0,
∴ ������-2=0,(n-2 017)2=0,解得:m=2,n=2 017.
∴m-1+n0=2-1+2 0170=12+1=32.
x2
1 x2
5
的值.
解:(1)
(2)由x2-4x+1=0 x+ -4=0 x+ =4. ∴原式=
1.(04浙江)若数轴上表示数x的点在原点的
左边，则化简 3x x2 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2.能使等式
x x2
x 成立的x的取值
x2
范围是（ B ）
(3)
2
2
2 1
(4) 3 18 1 50 4 1
2 1
5
2
(5)先化简，再求值：x2 x
1 1
x(1
1 x
)
，
其中 x 2 1
7.
x
的取值范围是(
A.x≥-12,且 x≠1 B.x≠1
C.x≥-12
D.x>-12,且 x≠1
答案:A
2.下列式子中,属于最简二次根式的是(
A. 9
B. 7
C. 20
答案:B
)
)
D.
1 3
考点梳理 自主测试
3.下列根式中,不能与 3合并的是( )
A.
初中数学中的二次根式
二次根式：从基本概念到应用解析概述:在数学中，二次根式是初中阶段的重要内容之一。
它不仅涉及数学基础知识，还有广泛的应用领域。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质以及解题方法，并探讨其在实际生活中的应用。
通过阅读本文，您将对二次根式有更深入的理解。
一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
二次根式的值是使得该值的平方等于被开方数的非负实数。
2. 二次根式的性质- 二次根式的值是非负实数。
- 二次根式的平方等于被开方数。
- 二次根式可以进行加减乘除运算。
二、二次根式的解题方法1. 化简二次根式当二次根式中的根号下含有可以分解的因子时，我们可以利用数的性质将其化简。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 合并二次根式当二次根式中的根号下含有相同的因子时，我们可以将其合并。
例如，√7 + √7可以合并为2√7。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为有理数。
例如，1/√2可以有理化为√2/2。
4. 求解二次根式的值对于给定的二次根式，我们可以利用数的性质和运算法则求解其具体的数值。
例如，求解√9就是求解方程x²=9的解，得到x=±3。
三、二次根式的应用1. 几何应用二次根式在几何学中有广泛的应用。
例如，勾股定理中的斜边长度就是两个直角边平方和的二次根式表达。
2. 物理应用二次根式在物理学领域也有重要的应用。
例如，牛顿第二定律中的动能公式K=1/2mv²中，速度的平方根就是动能的二次根式。
3. 经济金融应用在经济金融领域，二次根式经常用于计算利率、复利等涉及到指数增长的问题。
总结归纳:本文通过对二次根式的定义、性质、解题方法以及应用的详细介绍，使读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为初中数学的重要内容，不仅能够帮助我们理解数学的基本概念，还可以应用于几何学、物理学以及经济金融等实际领域。
初中数学知识点归纳二次根式
初中数学知识点归纳二次根式二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。
下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。
1.二次根式的定义与性质二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。
二次根式有以下基本性质：（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；（3）0<√a<√b，其中a<b。
2.二次根式的化简化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。
（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。
（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。
3.二次根式的运算二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，将根号内的数进行化简和整理即可。
（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化简来求解。
（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。
4.二次根式的应用二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。
（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利用二次根式计算直角三角形的边长。
（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如矩形、正方形、圆等。
5.二次根式的估算在实际生活和解题过程中，我们常常需要对二次根式进行估算。
可以利用四舍五入和近似计算的方法对二次根式进行估算，得到一个较为接近的结果。
以上就是关于初中数学中二次根式的相关知识点的归纳。
通过学习和掌握这些知识，可以更好地理解和运用二次根式，提高数学解题的能力。
二次根式的概念 经典课件(最新版)
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
初中数学课件
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初 中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
当堂练习
初中数学课件
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
初中数学课件
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
初中数学课件
典例精析
例1 下列各式是二次根式吗?不含二次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
七年级二次根式知识点归纳
七年级二次根式知识点归纳二次根式是初中数学中非常重要的一部分知识，它常常出现在代数表达式、分式化简、勾股定理等问题中。
在七年级的数学课程中，学生首次接触二次根式，本文将对此部分内容进行详细的归纳总结。
1. 二次根式的概念及表示方法二次根式是指形如$\sqrt{a}$的数学表达式，其中$a$为非负实数。
二次根式可以用有理化的方法表示为$\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a}\times\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}$，其中分母$\sqrt{a}$通常称为二次根式的根数。
2. 二次根式的简化二次根式的简化是指将形如$\sqrt{a}$的二次根式化为最简形式的过程。
有两种情况需要进行二次根式的简化：（1）被开方数$a$是平方数或完全平方数，即$a=b^2$或$a=p\times q^2$，其中$p$为质数，$q$为正整数。
这时，二次根式可以直接化为整数或分数，例如$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
（2）被开方数$a$不是平方数或完全平方数，例如$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$。
这时，需要采用有理化的方法，将二次根式的分母有理化为整数，例如$\sqrt{7}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}$，$\sqrt{10}\times\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=2\s qrt{10}$。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法当两个二次根式的根数相同时，可以直接将根数不变的二次根式相加减，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
当两个二次根式的根数不同时，需要进行有理化处理，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{3\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6} =5\sqrt{6}$。
七年级数学二次根式的知识点
七年级数学二次根式的知识点数学是一门让很多学生感到头疼的学科，而七年级的数学课程更是让学生们感到困难重重。
二次根式是七年级数学的关键知识点之一，也是难点之一。
在本文中，将重点讨论七年级数学二次根式的知识点，以帮助学生们更好地掌握这个难点。
一、二次根式的含义二次根式是指包含平方根的式子，也即形如√a的形式，a为正实数。
当a为正整数的时候，二次根式表达的是一个正的整数，可表示为对称轴上与原点距离的长度或者半径；当a不是整数的时候，二次根式表示无理数，需要用图形上近似的方法表示。
二、二次根式的性质1. 二次根式的乘法：两个二次根式的积可以转化为一个二次根式。
例如：√a * √b = √(ab).2. 二次根式的除法：两个二次根式的除法可以转化为一个二次根式，即：√a / √b = √(a/b).3. 二次根式的加减法：二次根式的加减法要求被加减数的根数相同。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能合并。
三、二次根式的简化二次根式的简化指的是将二次根式中含有的因数化简成最简式的过程。
例如：√16 = 4，√8= 2√2.四、二次根式的应用1. 在计算中，二次根式可以化简方便运算。
例如：√20 = 2√5.2. 二次根式广泛应用于几何图形中，例如表示道路中心线避让障碍物的限制范围，表示正方形、圆形、三角形面积等。
3. 二次根式也广泛应用于物理学、工程学、天文学等领域，例如计算地球表面正方形区域的面积。
针对以上内容，学生们应该掌握二次根式的含义、性质、简化和应用技巧。
同时，老师们也应该通过更加生动形象的教学方法来帮助学生们更好地理解和掌握这个难点。
初中数学教案：二次根式的运算与性质
初中数学教案：二次根式的运算与性质一、引言二次根式是初中数学中一个重要的概念，通过对二次根式的运算与性质的学习，学生可以进一步掌握数学知识，并在解决实际问题中运用到二次根式。
本教案旨在帮助初中生全面了解二次根式的运算与性质，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二、二次根式的基本概念1. 二次根式的定义二次根式是形如√a（其中a为非负实数）的数，简称为二次根式。
√a通常读作“根号a”。
2. 化简二次根式在化简二次根式时，我们需要将根号内的数分解成若干个因子的乘积，使其中至少有一个因子的平方是已知的。
然后，我们可以将这个因子移到根号外，并进行简化计算。
三、二次根式的运算1. 二次根式的加减法求解二次根式的加减法时，我们首先要保证根号下的数相同，然后将根号内的数进行加减，并将根号内的数与根号外的系数分别加减。
2. 二次根式的乘法求解二次根式的乘法时，我们将根号内的数分别相乘，并将根号外的系数相乘。
3. 二次根式的除法求解二次根式的除法时，我们需要将被除数、除数均进行化简，然后将根号内的数相除，并将根号外的系数相除。
四、二次根式的性质1. 同底数的二次根式比较大小当两个二次根式具有相同的底数时，我们可以通过比较它们的指数确定大小关系。
指数较大的二次根式对应的数值较大。
2. 二次根式的相互转化对于一个二次根式，我们可以通过对底数进行分解，将二次根式转化为两个二次根式的乘积。
3. 二次根式的倍数关系如果两个二次根式具有相同的底数，且其中一个二次根式的指数是另一个二次根式的整数倍，那么它们之间存在倍数关系。
五、练习题与考点总结1. 练习题（1）计算：√9 + √16 - √25 = ？（2）化简：√24（3）计算：(5 - √3)(5 + √3) = ？（4）化简：(8√2 - 5√3)(2√2 + 4√3)（5）计算：√64 ÷ √4 = ？（6）化简：√75（7）比较大小：√17与√18哪个大？2. 考点总结（1）掌握二次根式的基本概念和化简方法；（2）熟练掌握二次根式的加减法、乘法和除法运算；（3）了解二次根式的性质，包括同底数的比较、相互转化和倍数关系。
七年级数学二次根式知识点
七年级数学二次根式知识点数学是一种基础学科，它是我们日常生活中必不可少的一部分。
在七年级数学中，我们会涉及到很多知识点，而二次根式则是其中的一个重要内容。
下面，我们将详细介绍七年级数学二次根式的知识点。
一、概念和符号在学习二次根式前，我们首先需要了解“根式”的概念。
根式是指由根号“ ”及其中的一组数的有理数次幂（指数为正整数）所组成的式子。
例如，“3的平方根”可表示为“ ”。
而二次根式则是指由根号及一个含有平方项的式子所组成的根式。
例如，“2的平方根”可表示为“ ”。
在二次根式中，我们还需要了解几个符号。
其中，“ ”表示“非负”。
例如，“ ”代表的数是非负数。
而“ ”则表示“开方”。
例如，“ ”表示开根号，即求某个数的平方根。
二、化简二次根式在处理二次根式的计算中，我们经常需要将其化简。
化简二次根式的方法有很多种，下面我们就以几个例子来说明其中一些方法：1.约分法将根号中的数分解成两个因数，然后尝试约分。
例如，“ ”可化简为“ ”。
2.提取公因数法如果二次根式中含有相同的项，我们可以将其提取出来作为公因数。
例如，“ ”可化简为“ ”。
3.配方法如果二次根式的分子（或分母）中含有二次项，而且二次项系数为整数，我们可以采用配方法来化简。
例如，“ ”可化简为“ ”。
三、加减二次根式在对二次根式进行加减运算时，我们需要先将其化简，然后将同类项相加（或相减）。
如果二次根式的根号内部分别为“a”和“b”，则只有当“a”等于“b”时，它们才是同类项，可以相加（或相减）。
例如，“ + ”可化简为“ ”，而“ + ”无法化简。
四、乘除二次根式在对二次根式进行乘除运算时，我们需要首先将它们化简，然后按照普通的乘除法则进行计算。
例如，计算“ × ”，我们可以将其化简为“ ”，再将相应的项相乘，得到“2”。
五、应用题二次根式在日常生活中应用广泛。
例如，在计算房间面积、画框大小、制作图形等方面均需要用到二次根式。
初中七年级数学教案二次根式与二次方程
初中七年级数学教案二次根式与二次方程初中七年级数学教案：二次根式与二次方程教案设计：一、教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质；2. 学会化简二次根式；3. 掌握二次方程的解法；4. 能够应用二次根式和二次方程解决实际问题。
二、教学准备：1. 教材：初中数学教材《数学七年级上册》；2. 教具：黑板、粉笔、教学课件；3. 学具：直尺、铅笔、计算器等。
三、教学过程：Step 1：导入新知教师出示一些与二次根式相关的实际问题，引发学生思考。
如：问题1：一个正方形的边长是8厘米，求其对角线的长度。
问题2：一条铁丝长12米，如果要将其弯成一个边长为3米的正方形，剩下的铁丝可以围成一个圆的圆周，请问这个圆的半径是多少？学生回答完问题后，教师引导他们总结规律，引入二次根式的概念。
Step 2：二次根式的概念与性质1. 教师通过讲解和举例，向学生介绍二次根式的定义和基本性质。
2. 讲解二次根式的化简方法，并通过例题让学生掌握。
Step 3：二次方程的解法1. 教师引入二次方程的概念，并讲解一元二次方程的标准形式。
2. 通过实例，教师讲解二次方程求解的基本步骤和方法。
3. 引导学生进行练习，巩固求解二次方程的能力。
Step 4：应用实例教师提供一些实际问题，引导学生应用二次根式和二次方程解决问题。
如：问题1：一个长方形的长是5cm，宽是2cm，求它的面积和周长。
问题2：一个物体从离地面25米处自由落下，求它落地时所用的时间。
Step 5：归纳总结1. 教师与学生一起回顾本节课的重点知识，并进行归纳总结。
2. 教师提供相关习题，检验学生的掌握情况。
四、教学反思：本课设计了一系列的学习活动，通过实例引导学生理解和掌握了二次根式与二次方程的相关知识。
通过引入实际问题，增强了学生对数学知识应用的兴趣和能力。
下一步，教师可以通过巩固练习和拓展应用，进一步提高学生的解决问题的能力。
(精品)初中数学讲义二次根式1 教师
源于名校,成就所托标准教案教学过程1.定义：)0a≥叫做二次根式,其中a是被开方数,有意义的条件是a≥.2.二次根式的性质性质1 ()0a a=≥;（双重非负性）性质2 ()20a a=≥一般地,()()()00a aa aa a≥⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质3 =()0,0a b≥≥性质4 =)0,0(>≥ba3. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式.化简关键：将被开方数因式分解或因数分解,使出现完全平方数或偶次方因式,最后结果的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即化成最简二次根式. 它同时满足两个条件：（1）被开方数中各因式的指数都为1;（2）被开方数不含分母.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个根式叫做同类二次根式,同类二次根式可以进行合并.5.二次根式的加法和减法一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.（化简,合并）)0()(≥+=+ccbacbca6.二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变；)0,0(≥≥=⋅b a ab b a（2）两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变. )0,0(>≥=b a baba 7.分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.一般方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号. 8.有理化因式两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就称这两个含有二次根式的非零代数式叫做互为有理化因式. 注:有理化因式不唯一(1)；(2);热身练习1. 当x 取何值时,下列各式有意义.（确定字母的取值范围）32x ⎛⎫⇒≥ ⎪⎝⎭; （2()0x ⇒≤ （3x 是任意实数)(4) ()2x ⇒>;(5) ()43x x ⇒≥-≠且(6)()3x ⇒=2. 二次根式的运算（1）（48－814）－（313－5.02） ＝33（2）（548＋12－76）÷3；原式＝（203＋23－76）×31＝203×31＋23×31－76×31＝20＋2－76×33＝22－221． （3）50＋122+－421＋2(2－1)0；原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2 ＝52．精解名题例1：)0(323543<a c b a易知0c ≤，则原式=()2234a b c =⨯⨯-⨯⨯212ab c =-练习：化简二次根式(1), 0a <易知则原式=3=3=-(2)0)m ≤ =m 7-（3）已知,02x <<,解 原式=22x x =++-2222x xx x +-==例2：解不等式)1x x ≥+ 3x ≤-练习：解方程和不等式（1）(1)=- x =(2) 1040252x x +=+ 5552102103x +--=（3）463146x x -+< 215x >例3分析：如果把两个式子通分,或把每一个式子的分母有理化再进行计算,这两种方法的运算量都较大,根据式子的结构特点,分别把两个式子的分母看作一个整体,用换元法把式子变形,就可以使运算变为简捷．a+b ＝2(n+2),ab=(n+2)2-(n 2-4)＝4(n+2),练习： 有这样一道题,计算：的值,其中,某同学把“”错抄成“”,但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事？试说明理由.析解：这是一道说理型试题,既然x 的值取错,计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与x 的值无关.这时应从二次根式的化简入手,揭开它神秘的面纱.原式备选例题例1. 已知：x+y=-5,xy=4,求xyy x +的值. 分析：因为xy=4,所以x 、y 同号,又因为x+y=-5,所以x 、y 同为负数.解法一：经分析知,x<0,y<0 原式=xyxy y x x xy y xy x xy y xy xxy yxy )(22+-=-+-=+=+ 当x+y=-5,xy=4时,原式=25解法二：设xy yx +=m 两边平方得：22)(222222+-+=++=++=xyxyy x xy y x x y y x m 当x+y=-5,xy=4时,4252=m ,即原式=25例2. 一类特殊的二次根式求和问题+⋅⋅⋅+ 答案910巩固练习1．如图所示,数轴上点A 与点B 分别对应实数a 、b,下列四个等式中正确的个数有（ B ） （1）a a -=2 （2）a a =2)( （3）b a b a +=+2)( （4）a b a b -=-2)(A 、1B 、 2C 、 3D 、4 2. 若0,0x y >>,则化简 C ） ACD 3．设24-的整数部分为a ,小数部分为b ,则b a 1-的值为（ .A ）（其中2=1.414）· 0· 1· A· BA 221-B 2C 212+ D 2-4．把（a-1）11a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ D ）． A 1a - B 1a - C -1a - D -1a - 5．设38877665a =-+-----,则 ( A ) A 01a << B 1a = C 12a << D 2a >6. 当m 为何值时,最简二次根式246m -与2364m -是同类二次根式 答案：813m =7. 看下列解题过程是否正确,如果错误请说明理由并改正. （1）()22121÷⨯--解 原式=21÷2=同一级运算中,要按从左到右的顺序进行 （2）()632÷-解 原式=6362÷-÷23=- 乘法对加法的分配律在除法中不能随便套用8.已知32a =+，221144a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？（2）如何确定1a a -和1a a+的值是正值还是负值？10a a+>（3）求221144a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值分析：先把第二个式子化简,再把两个式子进行通分,然后进行计算．小结（1）善于把握二次根式中的隐含条件; （2）根据二次根式的4条性质会化简二次根式; （3）准确掌握同类二次根式的概念; （4）二次根式比较大小的常见方法; （5）掌握二次根式的四则运算. 课后作业1. 下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥3的是（D ） （A ）31-=x y （B ）31-=x y（C ）3-=x y （D ）3-=x y 2. 下列变形中,正确的是………（ D ）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)52(-＝－52（C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯ 3. 下列各组二次根式中,不是同类二次根式的是（ D ）A 、45与20B 、3x 与2xyC 、x 5与2345y x D 、xy 与yx 11+ 4. 下列根式中,不属于最简二次根式的是（ D ）1. A 、a 3 B 、22y x + C 、x 331D 、95. 若0,0x y >>,则化简 ）C ACD 6. 如果最简二次根式83-a 和a 217-是同类二次根式,那么求使a x 42-有意义的x 的取值范围. 10x ≥7. 分母有理化：10321032-+(2221122+===+8. 解方程：)35(3)51(5+=+x x5x =x =5x =45x =-9. 解不等式：x x 181)83(21+<-12>x >2) 10.0+2)=++．(11|1=．111=1。
初中数学二次根式知识点(K12教育文档)
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二次根式一．知识框架二．知识概念 1、二次根式：一般地，形如a (a≥0)的代数式叫做二次根式.当a ＞0时,a 表示a 的算数平方根,其中0=01）是非负数； (2）; （3)；2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. (2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a5。
有理化根式： 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式6.二次根式的加法和减法（1）同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
第3讲 二次根式
4.二次根式的乘除法
（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算： ＝1； 4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：( +1)( -1)=1.
2；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b= + ,则a=1,b=0.
(2)两个重要性质：
①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝ ；
(3)积的算术平方根： ＝ · (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14； ＝2；
=；=2；
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
第3讲二次根式
一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
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模块一：二次根式的大小比较
1
1.414≈
1.732
2.236≈． 2．平方法：若22a b >（0a >且0b >），则a b >． 3．带分母的二次根式比较大小：
（1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小． （2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小． 4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小． 模块二：二次根式的配方
配方：2(0,0)x y x y -=>>
2(0,0)x y x y +=>>．
模块三：双重二次根式的化简 1．配方法：
（1
将x ±
表示成2形式，利用待定系数法得：a b x
ab y +=⎧⎨=⎩
，求得a 和b ，
则=； （2
将
，转化成（1）的类型即可； （3
类型：
1）的类型即
可．
2．平方法． 例题1比较大小：（1
________2；
（2
________ （3
；
（4
）2++
（5
（6
） （7
； （8
．
例题2（1
）比较大小：
2-
（2
）设a
1b =
，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）． A ．a b c >>B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>
（3）已知1c >
，x =
y =
z =x ，y ，z 的大小．
例题3（1）（成外半期）若2
2
4250x y x y +--+=，
的值为________．
（2
）已知0(0,0)x y x y -=>>
的值为________．
例题4（1
）已知0x -，则x =________．
（2
）已知40y --=，则y =________．
（3
）已知4=0x y +-，则x =________，y =________． （4
）已知111
+242
a b +，则a =________，b =________．
例题5（1
）++x y z
________．
（2）（成外半期）若实数x ，y ，z
1
()2
x y z ++，则2x y z
-+的值为________．
（3
）如果52
c
a b +--．那么a b c ++的值是________
例题6（1）计算下列各式：
．
（2）计算下列各式：
（3
的结果是________．
例题7（1）计算下列各式：
-
（2
________．
例题8（1
）若x y +=
x y -xy ．
（2）设M ，x ，y
x y M ++的值是________．
例题9
．
演练1（1）比较大小：
（2
<<，则a，b，c的大小关系是（）．
A．a b c
>>B．a b c
<<C．b c a
>>D．c a b
<<
演练2已知非零实数a、b满足等式
542 b a
a b ab b a ++=+
演练3设a，b，c是实数，
若14
a b c
++=，则2bc=________．演练4计算：
演练5代数式：（1
________．
（2
4
+=________．。