初一数学.春季.直升班.教师版.第3讲二次根式(二)1

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【初中数学】初中数学二次根式知识集锦

【—二次根式知识】如果一个数x²=a，那么我们就叫这个数x是a的平方根。

二次根式

1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

2、正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。

二次根式的定义和概念：

1、定义：一般形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a≥0时，表示a的算术平方根;当a小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)被开方数必须大于等于0。

2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式。√ā(a≥0)是一个非负数。其中，a叫做被开方数。

√a的性质和几何意义

1)a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性 ]

2)(√a)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]

3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。

4) √a^2 = a

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、

√a(a≥0)、√x+y 等;

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a^2、

√(x+y)^2、√x^2+2xy+y^2等

最简二次根式同时满足下列三个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式;(2)被开方数中不含有能开的尽的因式;(3)被开方数不含分母。

知识的学习不仅仅需要的是积累，更应该是释放，即灵活的运用于实际。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

二次根式的ppt课件

根式与指数运算
总结词
根式与指数运算是二次根式运算中的重要技巧，通过将根式转化为指数形式或将指数转化为根式形式，可以简化计算过程。
VS
详细描述
在进行二次根式运算时，需要将根式与指数运算相结合。例如，可以将根式转化为分数指数幂的形式，或将分数指数幂转化为根式形式。通过这些转化技巧，可以简化二次根式的计算过程。
三角函数应用
正弦、余弦、正切的定义
在三角函数中，二次根式用于定义正弦、余弦和正切函数。
单位圆中的角度测量
二次根式用于计算在单位圆中不同角度所对应的长度。
04
二次根式的运算技巧
分母有理化
总结词
二次根式分母有理化是二次根式运算中的重要技巧，通过将分母转化为二次根式，可简化计算过程。
详细描述
分母有理化主要分为两种情况，一种是分母本身就是二次根式，另一种是分母为有理数，需要将其转化为二次根式。在进行分母有理化时，需要先确定分母的平方根，然后将其写成最简二次根式的形式。
二次根式是指根号内含有变量的表达式，其一般形式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进行四则运算，运算顺序先乘方再乘除，最后加减。

初中数学二次根式知识点总结PPT

分母有理化
将二次根式中的被开方数进行因式分解，使其变成完全平方数的形式，从而简化根式。
STEP 03
配方法
将被开方数进行适当的配方，使其变成完全平方数的形式，从而简化根式。
通过分子分母同时乘以共轭式的方法，将分母中的根号消去，达到化简的目的。
求值策略及实例分析
01
02
03
直接代入法
有针对性的强化训练，提高解题能力和思维水平。
THANKS
感谢您的观看
在信号处理、控制系统等领域中，复数可以用于描述和分析周期性信号、振动等问题。
量子力学中的应用
在量子力学中，波函数通常表示为复数形式，用于描述微观粒子的状态和行为。
Part
06
总结回顾与提高建议
关键知识点总结回顾
二次根式的定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式子叫做二次根式。注意被开方数$a$必须是非负数。
提高学习效果的建议和方法
深入理解概念
通过多做练习题，加深对
1
二次根式相关概念的理解
，如定义、性质和运算法
则等。
多角度思考
4
尝试从多个角度思考和解决问题，培养发散性思维和创新能力。
总结归纳方法
将二次根式的知识点进行
2
归纳总结，形成自己的知
识体系，便于记忆和复习

初中数学二次根式的知识点汇总

二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。

一、二次根式的定义和表示方法

1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。它可以表示为√a或±√a。

2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。

3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。

4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。

二、二次根式的比较大小

1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。

2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。

3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。

4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。

三、二次根式的加减法运算

1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。

2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。

3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。

四、二次根式的乘法运算

1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。

2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。

3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。

五、二次根式的除法运算

1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。

2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化

2.7第3课时二次根式的混合运算1省级一等奖教案(含反思)

第 3 课时二次根式的混淆运算

1．娴熟掌握二次根式的综合运算．( 要点、难点 )

一、情境导入

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 (3 － 2)cm、 (3 ＋ 2)cm ，求这个三角形的面积和周长．

二、合作研究

研究点一：二次根式的混淆运算

计算：

(1) ab( a3b＋ab3－ab)(a ≥0， b≥ 0) ；

(2)(2 3 1 1 2 －)×( 8＋) ；

2 2 2 3

(3)(3 2＋ 48) ×( 18－ 4 3) ．

解： (1) 原式＝ab(a ab＋b ab－ ab) ＝ a ab×ab＋ b ab× ab－ ab

2 2 ab＝ a b＋ ab

－ ab ab；

2 6 6 2 2 6

(2) 原式＝ ( 6－2 )( 2＋3 ) ＝6× 2＋ 6×3－2× 2－2×3＝2 3＋2－

3 5

1－3＝1＋3 3；

(3) 原式＝ (3 2＋ 4 3)(3 2－ 4 3) ＝(3 2) 2－(4 3) 2＝ 18－ 48＝－ 30.

方法总结：二次根式的混淆运算，一般先将二次根式转变为最简二次根式，再灵巧运用乘法公式等知识来简化计算．

研究点二：二次根式的化简求值

已知 a＝ 1 ， b＝ 1 ，求 a2＋ b2＋ 2的值．

5－2 5＋ 2

分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋ b2＝ (a ＋ b) 2－ 2ab，最后辈入求解．

＝5＋ 2

＝ 5＋ 2， b＝

1 5－2

解：∵a＝＝

5－2 （ 5－2）（ 5＋2）5＋ 2 （ 5＋2）（ 5－ 2）＝ 5－ 2，∴ a＋ b＝ 2 5 ，ab＝1. ∴a2＋ b2＋ 2＝（ a＋ b）2－ 2ab＋ 2＝（ 2 5）2－ 2＋2＝

二次根式ppt课件

公式是：v gR ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
典例精析
例1
当 x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义?
解：由 x - 2≥0，得
当 x≥2 时，x 2在实数范围内有意义.
新知讲解
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32； (2) 6； (3)
(5)
xy x , y异号； (6)
性质
a
2
a a ≥ 0

a a ≥ 0
a

a a＜0
2
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式： 3 ；5 ；a 2 ； x 1 x≥1 ；3 27 ； x 2 2 x 1
. 一定是二次根式的有(
A. 3 个
B. 4 个
B
)
C. 5 个
2.化简下列各式
(1) 16
(2) (5)2

七年级(上)数学自招班--第15讲二次根式(二) 教师版

1
2
3
2 1
3
6
2．
【例4】若 x y 3 5 2 ， x y 3 2 5 ，求 xy . 【解析】由已知可得： x2 2xy y2 3 5 2 ， x2 2xy y2 3 2 5 ，
故 4xy 4 5 4 2 ， xy 5 2 ．
【例5】 ⑴ 设 M ，x ，y 均为正整数，且 M 28 x y ，则 x y M 的值是________．
【例2】计算下列各式：
⑴ 7 2 10 ；
⑵ 74 3 ；
⑶ 14 6 5 14 6 5 ；
⑷ 4 15 4 15 ．
【解析】⑴ 5 2 ；⑵ 2 3 ；
⑶ 解法一：原式 32 2 3 5 ( 5)2 32 2 3 5 ( 5)2
(3 5)2 (3 5)2 3 5 (3 5) 2 5
设 p 3a 1 3b 1 3c 1 3d 1 则（）．
A． p 5
B． p 5
C． p 5
D． p 与 5 的大小关系不确定．
【解析】显然， 0 a 1 ，所以 a1 a 0 ，即 a a2 ，同样的 b b2 ， c c2 ， d d 2 ，所以
p 3a 1 3b 1 3c 1 3d 1
15
二次根式（二）
板块一二次根式的大小比较
经典例题
【例1】 ⑴ 已知 a 1 b 1 c 1 ，则 a,b,c 的大小关系是（）

初中数学七年级上册第3章二次根式复习(公开课) 能力提升2

能力提升2

观察下列分母有理化

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

2009

+++•

=_________

=-==

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初中数学二次根式PPT课件图文

混合运算,二是与实数的性质、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值结合一起考查,各种题型均有体现.
命题角度1:二次根式的化简及乘除【典例3】(2016·聊城中考)计算: =______.
【思路点拨】把化成最简二次根式,再应用二次根式的运算顺序及法则运算.
【解析】选A.A、正确;B、故此选项错误;C、故此选项错误;D、故此选项错误.
3.(2015·凉山州中考)下列根式中,不能与合并的是 ( )
【解析】选C.A. 是同类二次根式，能与合并；B. 是同类二次根式，能与合并； C. 不是同类二次根式，不能与合并； D. 是同类二次根式，能与合并.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).
乘除
考点一二次根式有意义的条件【典例1】(1)(2016·自贡中考)若代数式有意义,则x的取值范围是________. (2)(2015·攀枝花中考)若y= 则xy=______
【思路点拨】(1)根据绝对值、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值、开立方等计算. (2)先根据分式混合运算的法则进行化简,再把a,b的值代入计算.
【自主解答】(1)原式= (2)原式=
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题 (1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, (a≥0,b≥0), (a≥0,b>0), 利用这两个等式可以化简二次根式.

二次根式课件ppt课件

负数没有算术平方根。
学习目标
• 认识二次根式的概念并会判断 • 知道二次根式有意义的条件 • 探索二次根式的基本性质，并会应用二次
根式的性质进行计算
自学指导：
30
正方形喷泉池的面积为30 m2,
那么正方形的边长是 30 m
圆形花坛的面积为S,
那么这个圆的半径是
s
__________
思考：上述式子有什么特点？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
为了方便起见，我们把一个数的算术平
方根（如 5，
Fra Baidu bibliotek
）2也叫二次根式。
3
自我检测1：
1.下列哪些是二次根式?为什么?
(1) 35 (3)3 2
(2) (3) 2
(4) xy (x、y异号)
解: (1) (2) 是二次根式
2.说一说，下列各式是二次根式吗?
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
自学指导：
30
正方形喷泉池的面积为30 m2,
那么正方形的边长是 30 m
思考：上述式子有什么特点？
s

初中数学知识点归纳二次根式

二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。

1.二次根式的定义与性质

二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。二次根式有以下基本性质：

（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；

（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；

（3）0<√a<√b，其中a<b。

2.二次根式的化简

化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。

（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。

（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。

3.二次根式的运算

二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。

（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，

将根号内的数进行化简和整理即可。

（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化

简来求解。

（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和

除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。

4.二次根式的应用

二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。

（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利

用二次根式计算直角三角形的边长。

（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如

专题1.1 二次根式浙教版初中数学单元考点题型举一反三讲练(教师版)

专题1.1 二次根式单元考点题型举一反三讲练

【浙教版】

【考点1 二次根式相关概念】

【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．

【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，

，

（y ≤0），

和

（a ＜

0，b ＜0）中，是二次根式的有（） A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可．【答案】解：式子，

，

（y ≤0），

（a ＜0，b ＜0）是二次根式，共4个，

故选：B ．

【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．

【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤

中最简二次根式是（）

A．①②B．③④⑤C．②③D．只有④

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【答案】解：③＝＝|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；

④＝＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式；

⑤＝＝，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；

因此只有①②符合最简二次根式的条件．

故选：A．

【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；