(通用版)202x高考数学一轮复习 2.8 指数式、对数式的运算讲义文

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2025年高考数学一轮复习-拓展拔高2-指数与对数的运算【课件】

k>0,所以2x-3y=
=
=
>0,
lg2 lg3
lg2·lg3
lg2·lg3
25
2lg 5lg lg·(2lg5−5lg2) lg·lg32
故2x>3y,2x-5z=
=
=
<0,故2x<5z.
lg2 lg5
lg2·lg5
lg2·lg5
所以3y<2x<5z.
解法三(作商法):
令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.
1
log0.1 0.7
,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为(
A.a<clog0.70.7=1,
所以b>1,因为0.71<0.70.3<0.70,

即ln
ln
x<x,从而当x>1,y>1时, = < ,
e
e
e

1−
令g(t)= ,t>1,g'(t)= <0,g(t)在(1,+∞)上单调递减,
e
e

则由x>1,y>1, < 得y>x>1,所以y>x>z.
e e
思维升华
(1)若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在

2025年高考数学一轮知识点复习-对数与对数函数【课件】

第三步：将 y＝log2(x＋1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换，得 y ＝|log2(x＋1)|的图象，如图 3.
第四步：将 y＝|log2(x＋1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，便得到所求函数的图象，如图 4.
方法二：y＝|log2(x＋1)|＋2 ＝l－oglo2（g2（x＋x＋ 1）1）＋＋ 2（（x≥－0）1<，x<0），分别作出函数在(－1，0)和[0，＋∞)上的两段图象即得 y＝|log2(x＋1)|＋2 的图象(如图 4)．
(2)已知当 0<x≤14时，有 x<logax，则实数 a 的取值范围为__11_6_，__1__．
【解析】若 x<logax 在 x∈0，14时成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象在
y＝logax 图象的下方，则
0<a<1， 14<loga41，所以a12>14，解得116<a<1.
即实数 a 的取值范围是116，1.
4．(2024·吉林永吉四中月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为
() A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C√．(3，＋∞)
D．(1，3)
解析设 g(x)＝x2－2x－3，可得函数 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，
＋∞)上单调递增，又 x2－2x－3>0，解得 x<－1 或 x>3，根据复合函数的单调
方法二：可以画直线 y＝1，直线与四个函数图象交点的位置自左向右，其对应函数的底数由小到大．
3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知 a＝log52，b＝log83，c＝21，则下列判断正确
的是( )

高考文科数学一轮总复习第二章指数式、对数式的运算

第4讲指数式、对数式的运算一、知识梳理 1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N ＋.na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N ＋，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N ＋时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N ＋，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mnna m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn＝1a m n ＝1n am (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．对数概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1) 运算法则log a (M ·N )＝log a M ＋log a Na >0，且a ≠1，M >0，N >0log a MN ＝log a M －log a Nlog a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)推论①log a m b n ＝n m log a b ；②log a b ＝1log b a ；③log a b ·log b c ＝log a c (a ，b 均大于0且不等于1，c >0)1．计算(1)lg 14－lg 25＝．(2)2log 510＋log 50.25＝．答案：(1)－2 (2)22．化简(1)a 12a 14a －18＝．(2)2x －13⎝⎛⎭⎫12x 13－2x －23＝．答案：(1)a 58(2)1－4x －1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N ＋)．( ) (3)log 2x 2＝2log 2x .( )(4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视n 的范围导致na n (a ∈R )化简出错； (2)对数的运算性质不熟致误． 1．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y解析：选D.因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y |＝－2x 2y .2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12指数幂的化简与求值(师生共研)计算：(1)⎝⎛⎭⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a -13b13(a >0，b >0)．【解】 (1)原式＝(－1)－23×⎝⎛⎭⎫338－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a -13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1.[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．1．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12＝．解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12＝－49＋49＋105＝10 5. 答案：10 52．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a -13b 23的结果为．解析：原式＝4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23 ＝－6ab －1＝－6a b .答案：－6ab3．已知x 12＋x －12＝3，则x 2＋x －2＋3＝．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47，所以x 2＋x －2＋3＝50.答案：50对数式的化简与求值(师生共研)计算下列各式：(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2； (2)log 225·log 322·log 59； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2.【解】 (1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋lg 2(2lg 2＋2lg 5)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)法一：log 225·log 322·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6.法二：log 225·log 322·log 59＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232lg 3·lg 32lg 5＝6.(3)lg27＋lg 8－lg 1 000lg1.2＝lg8271 000lg65＝12lg64×271 000lg65＝12lg43×33103lg65＝12lg⎝⎛⎭⎫4×3103lg65＝32lg65lg65＝32.[提醒]对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．计算2log63＋log64的结果是()A．log62B．2C．log63 D．3解析：选B.2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥4，f（x＋1），x<4，则f(2＋log23)的值为()A．24 B．16C．12 D．8解析：选A.因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.3．lg2＋lg5＋20＋(513)2×35＝．解析：原式＝lg10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1324．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝．解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.答案：10[基础题组练]1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a －14)4＝1a解析：选D.对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a －14)4＝1a.2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么PQ 的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B.由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝PQ ，即P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.故选B.3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D.由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23，故选D.4．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，则f (f (log 23))＝( )A ．－9B ．－1C ．－13D ．－127解析：选B.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0以及log 23>1，则f (log 23)＝－⎝⎛⎭⎫12log 23＝－2log 2313＝－13，所以f (f (log 23))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝3×⎝⎛⎭⎫－13＝－1，故选B. 5.a 3a ·5a 4(a >0)的值是．解析：a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a 45＝a 3－12－45＝a 1710.答案：a 17106．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为．解析：由2x ＝3，log 483＝y ，得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：37.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝．解析：原式＝（log 62）2＋log 62·（2－log 62）2log 62＝2log 622log 62＝1. 答案：18．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a -32÷3a -32·a -12＝3a 2÷3a －2 ＝a 23÷a －23＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3（4－3）lg 3＝115；法二：原式＝lg ()3×925×2712×35×3 －12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.[综合题组练]1．定义a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2D ．0解析：选D.因为2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln1212＝－2ln 2. 则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0.2．化简：（a 23·b －1）-12·a -12·b 136a ·b 5＝．解析：原式＝a -13·b 12·a -12·b 13a 16·b 56＝a－13－12－16·b 12+13－56＝1a. 答案：1a3．(2020·洛阳市第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝．解析：法一(定义法)：因为函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，所以2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，所以2a ＝－1，解得a ＝－12.法二(取特殊值)：由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，所以ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，所以2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，所以a ＝－12.答案：－124．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.答案：7 2。

高三第一轮复习数学指数式与对数式.doc

高三第一轮复习数学 --- 指数式与对数式一、教学目标： 1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．二、教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明三、教学过程：（一）主要知识： 1．幂的有关概念n 个(1) 正整数指数幂 a na a aa (n N )(2)零指数幂 a 01 (a 0)(3) 负整数指数幂 a n1 a0, n Na nmna m(4) 正分数指数幂 a na 0,m, n N , n 1 ；m1 1(5) 负分数指数幂 ana0, m, n N , n 1mna ma n(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .2．有理数指数幂的性质1 a r a s a r s a 0, r , s Q2 a rsa 0, r , s Qa rs3abra 0b,0r , Qa rb r3．根式的内容x na（）根式的定义一般地，如果，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1, n N ，1 :na 叫做根式，n 叫做根指数， a 叫被开方数。

(2) 根式的性质 : ①当 n 是奇数，则n ana ；当 n 是偶数，则 n a naaaaa 0②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零4．对数的内容 (1) 对数的概念如果 a bN ( a 0, a 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记 blog a N (a 0, a1)(2) 对数的性质：①零与负数没有对数 ② log a 1 0③ log a a 1(3)对数的运算性质① log a MN log a M log a N②Mlog a M log a NlogaN③ log a M nn log a M 其中 a>0,a ≠ 0,M>0,N>0(4) 对数换底公式： log a N log m N0, a 0且 a 1, m 0且 m 1)( Nlog m a（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例 1 计算下列各式① (1)21( 1) 3 46 63 2 (1.03)0 ( 6 )3 3224 1a 3 8a 3 b(1 23b 3a (a0, b 0)②22)4b 3 23 ab a 3a③2(lg 2) 2 lg2 lg 5(lg 2 )2 lg 2 1④ lg 5(lg 8lg1000) (lg 2 3 )2lg1lg 0.066思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。

2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数【课件】

4．计算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝____6____.
【解析】 log29×log34＋2log510＋log50.25 ＝2log23×lloogg2243＋log5(100×0.25)＝4＋2＝6.
1
2
5．计算：log5[42log210 －(3 3) 3 －7log72 ]＝___1___.
教材改编 2．函数 f (x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且 a≠1)的图象必过定点__(_－__1_，__－__2_) _．
【解析】令 x＋2＝1，得 x＝－1.此时 f (－1)＝－2，∴f (x)的图象必过点(－1，－2)．
3．计算：lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝____2____.
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为
的图象关于直线
y＝x 对称．
反函数，它们
『基础过关』思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.( × ) (2)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数．( × ) (3)函数 y＝ln11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ ) (4)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 a<b.( × )
第二章函数
第六节对数与对数函数
课前双基巩固
——整合知识夯实基础
『知识聚焦』
1．对数的概念、性质及运算
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记概念作 x＝logaN ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN

2025年高考数学一轮复习第三章-第六节对数与对数函数【课件】

01
强基础知识回归
知识梳理
一、对数的概念与性质
1.对数的概念
=
log
如果________(
> 0，且 ≠ 1)，那么数叫作以为底的对数，记作 =_______，
真数
其中叫作对数的底数，叫作______.
常用对数
两个重要对数：以10为底的对数lg 称为__________；以无理数e
B.(2,3]
C.[3, +∞)
D.[2,3]
[解析] 由− + − > ，得 < < .设函数 = − + − = ，

= − + − ，则抛物线 = − + − 的对称轴方程是 = ,∴ 函数

= − + − 的单调递增区间是(, ]，单调递减区间是[, ). ∵ = 是减函
B.
C.
D.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[解析] = + ，函数的定义域为 −, +∞ ，有 = ，函数图象过
原点，A，D选项不符合， = +
≥ ，B选项不符合.故选C.
4.函数 = log 1 − 2 + 6 − 8 的单调递减区间为( B )
2
A.[3,4)
典例1 化简或求值：
（1）
2
3
lg 3+5lg 9+5lg 27−lg 3
lg 81−lg 27
；
解原式
4
=
1
4lg 3−3lg 3
4
=
9

log − log
=_______________；

2020年高考数学第一轮复习数学2.8 对数与对数函数

2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数（一）知识梳理 1．对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log aaa MMN N=- log log n a a M n M=其中a>0,a ≠0,M>0,N>0；log log (0,01,01)log m a m NN N a a m m a=>>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称指数函数对数函数一般形式Y=a x(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数性０＜a<1,在(-∞,+ ∞)上为减函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0?4．几个注意点1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制（二）小题训练1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则解：利用中间值和1来比较:372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，2. （江西文4）若01x y <<<，则A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y <3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --=的定义域为．4.（2020年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）5.(2020北京春季高考)函数f(x)=|log 2x|的图象是( )解析:f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 答案:A（三）题型剖析考点一：对数函数性质应用例1：取值 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ 3．指对数互化例2．已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。

(通用版)2020高考数学一轮复习2.10对数函数讲义文

第十节对数函数一、基础知识批注——理解深一点1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y ＝log a x 的3个特征(1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R.2．对数函数y＝loga x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a ,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、常用结论汇总——规律多一点对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打(1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)若log a m <log a n ，则m <n .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×(二)选一选1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.2．函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．3．设a ＝log 23，b ＝log 123，c ＝3－2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选C 因为a ＝log 23＞1，b ＝log 123＜0，c ＝3－2＝132＞0，但c ＜1，所以b ＜c ＜a .(三)填一填 4．函数y ＝log 0.5x －3的定义域为________．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5x －，解得34<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)考点一对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －，x >1，－x ，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. [解题技法]利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [口诀归纳]指对函数反函数，图象夹着对称轴；图象均有渐进线，牢记轴上特殊点．考点二对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a . 因为b ＝ln 2＝1log 2e＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b . [答案] D [解题技法]比较对数值大小的常见类型及解题方法考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 [解题技法] 求解对数不等式的两种类型及方法考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． [解题技法]求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．函数y ＝log 3x －＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选 C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,01，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0，且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14.12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C.2．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0. (2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章 §2.8 对数与对数函数

则 Δ＝4a2－452a－1<0，解得12<a<2. 综上，a 的取值范围为12，1.
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知识过关
一、单项选择题 1.(2023·哈尔滨模拟)函数 y＝ log0.54x－3的定义域为
A.[1，＋∞)
B.34，1
内容索引
第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N . 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
(2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b 的取值范围是
A.[2 2，＋∞)
B.(2 2，＋∞)
C.[5，＋∞)
√D.(5，＋∞)
画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示，因为a<b，且f(a)＝f(b)，
所以－log3a＝log3b，故1a＝b，且 0<a<1，令 y＝a＋4b，所以 y＝a＋4a，
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.( × ) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( × ) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.( × ) (4)函数y＝log2x与y＝log1 x 的图象关于x轴对称.( √ )

高考数学理一轮复习 2-8对数与对数函数精品课件

(4)命题等价于x2－2ax＋3＞0的解集为 {x|x＜1或x＞3}． ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3，即a＝2.
(5)∵y＝f(x)≤－1，∴u＝g(x)值域为[2，＋∞)．
∴3－a2＝2，即a＝±1.
[规律总结]
(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成
立问题，一般转化为求函数的最值问题．,(2)值域为R的问题
[解] 设 u＝g(x)＝x2－2ax＋3 ＝(x－a)2＋3－a2. (1)∵u＞0 对 x∈R 恒成立， ∴umin＝3－a2＞0， ∴－ 3＜a＜ 3(或由 x2－2ax＋3＞0 的解集为 R 得 Δ ＝ 4a2－12＜0 求出－ 3＜a＜ 3)． (2)∵f(x)的值域为 R， ∴Δ＝4a2－12≥0，即 a≥ 3或 a≤－ 3. ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．
实质是 x 能取遍某区间上的所有值，一般利用方程有解的条
件求参数的取值范围．
备选例题2
题型三
对数函数的图象与性质 ①对数函数的图象思维提示 ②对数函数的定义域、值域及单调性例3 已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3) 当 a 、 b 满足什么条件时， f(x) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒取正值．
(3)由 f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知 u＝x2－2ax＋3＞0 对 x∈[－1，＋∞)恒成立． ∵g(x)的对称轴为 x＝a， ∴当 a＜－1
a＜－1 时，g(－1)＞0，即 2a＋4＞0
，
解得－2＜a＜－1. 当 a≥－1 时，Δ＜0，即－ 3＜a＜ 3， ∴－1≤a＜ 3. 故所求 a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1， 3)，即(－2， 3)．

(通用版)2020高考数学一轮复习2.8指数式、对数式的运算讲义文

第八节指数式、对数式的运算一、基础知识标注——理解深一点1. 指数与指数运算(1) 根式的性质① (n a ) n ＝a ( a 使 na 存心义) ．―→负数没有偶次方根.②当n 是奇数时，n a n ＝ a ；当 n 是偶数时， n a n ＝ | a | ＝a ， a ≥0，－ a ， a <0.(2) 分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的重点．m① a n＝ na m ( a >0， m ，n ∈ N * ，且 n >1) ．m11② a n＝＝ ( a >0， m ， n ∈ N * ，且 n >1) ．mn a ma n ③ 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没存心义． (3) 有理数指数幂的运算性质① a r · a s ＝a r ＋s ( a >0， r ， s ∈ Q)；a r② s ＝ a r－s (a >0，r ， s ∈ Q)；a③ ( a r ) s ＝ a rs ( a >0， r ， s ∈ Q)；④ ( ab ) r ＝a r b r ( a >0， b >0， r ∈ Q)．(1) 有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，不然不可以用性质来运算．(2) 有理数指数幂的运算性质也合用于无理数指数幂．2．对数的观点及运算性质一般地，假如 a ( a >0，且 a ≠1) 的 b 次幂等于 N ，就是 a b ＝ N ，那么，数 b 就叫做以 a为底 N 的对数，记作： log a N ＝ b .指数、对数之间的关系(1) 对数的性质①负数和零没有对数； ② 1 的对数是零；③底数的对数等于 1.(2) 对数的运算性质假如 a >0，且 a ≠1， M >0 ， N >0，那么① log a ( MN )＝ log a M ＋log a N ；M② log a N ＝log a M － log a N ；③ log a ( N n ) ＝ n log a N ( n ∈ R) ．二、常用结论汇总——规律多一点1．换底公式的变形1(1)log a b ·log b a ＝ 1，即 log a b ＝log b a ( a ， b 均大于0 且不等于 1) ；(2)log nn0 且不等于 1， m ≠0， n ∈ R) ； am b ＝ log a b ( a ，b 均大于m(3)logN＝log a M log b M，，N 均大于 0 且不等于 1， >0) ．＝(M log a N log b Nab M2．换底公式的推行log a b ·log b c ·log c d ＝ log a d ( a ，b ， c 均大于 0 且不等于 1， d >0) ．3．对数恒等式a log a N ＝ N ( a >0 且 a ≠1， N >0) ．三、基础小题加强——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打(1) 4 π －4＝π － 4.()(2) n a n 与( n a ) n 都等于 a ( n ∈ N * ) ．() (3)log2x 2＝2log 2 .( )x(4) 若 MN >0，则 log a ( MN )＝log a M ＋ log a N .()答案： (1) × (2) × (3) × (4) ×( 二) 选一选1．已知 a >0，则以下运算正确的选项是()3433A ． a 4 · a 3 ＝ aB ． a 4 · a 4 ＝02412C ． ( a 3 ) 2＝ a 9D ． a 3 ÷ a 3 ＝a答案： D2．化简 4 16x 8y 4( x <0，y <0) 得 ( )A ． 2x 2yB ．2xyC ． 4x 2yD ．－ 2x 2y分析：选 D 由于 x <0， y <0，4111 18 484＝(16)8422因此 16x y ＝ (16 x · y )44 ·(x ) 4 ·(y ) 4＝ 2x | y | ＝－ 2x y .3．设 x ＋ x －1＝ 3，则 x 2＋ x －2 的值为 ( ) A ． 9B ． 7C ． 5D ． 3分析：选 B ∵x ＋ x －1＝ 3，∴ ( x ＋ x －1) 2＝ 9，即 x 2＋ x －2＋ 2＝ 9，∴ x 2＋ x －2＝ 7. ( 三) 填一填4． lg 2＋ lg 50的值是 ________．分析： lg 2＋ lg 50＝ lg100＝ 1.答案： 15． 4 log 2 3 ＝ ________.分析： 4log 23＝22log 23＝2log 2 9＝ 9.答案： 9考点一指数幂的化简与求值[ 典例 ] 化简以下各式：3 011－ 20.5(1)25 ＋2 · 2 4 2 －(0.01) ；51121－ 2－ 3(2) 6a3· b·－ 3a2b－1÷(4 a 3 · b) 2 .[ 解 ]1× 4 1 1 11 2 11 116(1) 原式＝ 1＋ 9 2 －1002＝1＋×－10＝1＋－10＝ .443 6 15121113 )＝－513(2) 原式＝－5a 6b－3÷(4 a 3 · b －3)2＝－ 5a 6b－3÷(a 3 b2a 2 ·b 2 ＝－244515 ab·＝－2.4ab 3 4ab[ 解题技法 ]指数幂运算的一般原则(1) 有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2) 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3) 底数是负数，先确立符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4) 假如根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5) 运算结果不可以同时含有根号和分数指数幂，也不可以既有分母又含有负指数．[ 题组训练 ]1．若实数 a >0，则以下等式建立的是()－ 2B ． 2a － 31A ．( －2) ＝4＝ 2a 314＝ 1C ． ( －2) 0＝－ 1D ． ( a4 )a分析：选 D 关于 A ，( －2)－ 21－ 32＝，故 A 错误；关于 B ，2a ＝3，故 B 错误；关于 C ，( －4a12) 0 ＝1，故 C 错误；关于 D ， ( a 4 ) 4＝ 1，故 D 正确．a2 1 2 122．化简 4a3· b33 b 3的结果为 ()÷ －3a2a8aA ．－ 3bB ．－ b6a D ．－ 6abC ．－ b2 11 26a分析：选 C原式＝－ 6333 3 ＝－ 6－ 1bab＝－ .ab3－2＋－ 2721 3．计算：－3＋ (0.002) 2＝ ________.282 232 13 3分析：原式＝－3 ＋－＋50021 24 4＝－ 9＋ 9＋ 10 5＝ 10 5.答案： 10 5考点二对数式的化简与求值[ 典例 ]计算以下各式：lg 2 ＋ lg 5 － lg 8；(2)log23·log 38＋ (3)log 34.(1)－ lg 40lg 502×5 5lg 8lg 4[ 解 ](1) 原式＝lg50＝5＝ 1.40 lg4lg 33lg 2 1 34(2) 原式＝· log2＝ 3＋2＝ 5.lg 2＋3 2＝ 3＋ 3log 3lg 3[ 解题技法 ]对数运算的一般思路第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，拆而后利用对数运算性质化简归并将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变为同底对合数真数的积、商、幂的运算[ 题组训练 ]1． (log 29) ·(log 3 4) ＝ ()11A ．B ．42C ． 2D ． 4分析：选 Dlg 9lg 4 2lg 3 ·2lg 2 ＝ 4.法一：原式＝ lg 2·lg 3＝lg 2 ·lg 3log 24法二：原式＝ 2log 23· log 23＝2×2＝ 4.112．计算： ÷100 2＝ ________.lg－ lg 2541 1 1×100 2 － 2分析：原式＝ lg 4×25 ＝ lg 10×10＝－ 2×10＝－ 20.答案：－ 203．(2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ log 2( x 2＋a ) ．若 f (3) ＝ 1，则 a ＝ ________.分析：∵ f ( x ) ＝log 2( x 2＋ a ) 且 f (3) ＝1，∴ 1＝ log 2(9 ＋ a ) ，∴ 9＋ a ＝ 2，∴ a ＝－ 7.答案：－ 71log 2 10 2log 7 2 4．计算： log [42－(3 3) 3 － 7 ] ＝ ________.53 2分析：原式＝ log 5[2log 210－ (3 2 ) 3 － 2] ＝ log 5(10 － 3－2) ＝ log 55＝1.答案： 1[ 课时追踪检测 ]1x － x1．设 x ＝ log 23，则 3 － 3 的值为 ( ) 8 3A. 3B. 25D. 7C.321xx －x1 3分析：选 B由 x ＝ log 23，得 3 ＝ 2，∴ 3 －3 ＝2－ 2＝ 2.211 1152．化简( －6a 2 b 3) ÷的结果为 ()2a 3 b 2 －3a 6 b 6A ．－ 4aB ． 4aC ． 11aD ． 4ab21 1 1 1 5分析：选 B 原式＝ [2 ×( －6) ÷( － 3)] a 3 2 6b 2 3 6＝ 4＝ 4 .aba 3． (log 9)(log 2) ＋log 5 4)34＋ loga 5a ( a>0，且 a ≠1) 的值为 (2 aA ． 2B ． 3C ． 4D ． 5分析：选原式＝23＋ a 5 4a＝B (2log 3)(log 2)log × a ＝×＋3.4 521 log a4．设 a >0，将a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是()3a · a 215A ． a 2B ． a 673C ． a 6D ． a 222 2257分析：选 Caaa＝ a2-＝＝ 5＝ a6 ＝ a 6 .3252a · a3a3 a 6·aa5．假如 2log a ( P －2Q)＝ log P ＋ log Q(a >0，且 a ≠1) ，那么 Q 的值为 ()a aPA.1B ． 4 4C． 1D．4或1分析：选 B由 2log a(P－2Q)＝log a P＋log a Q，得log a(P－2Q)2＝ log a( P Q)．由对数运算222P性质得( P－2Q)＝ P Q，即P －5P Q＋4Q＝0，因此 P＝Q(舍去)或 P＝4Q，解得Q＝4.6．若 lg 2， lg(2 x＋ 1) ， lg(2 x＋ 5) 成等差数列，则x 的值等于()1A． 1 B ．0或81C. 8 D ． log 23分析：选 D由题意知 lg2 ＋ lg(2x＋ 5) ＝ 2lg(2x＋1) ，由对数的运算性质得2(2 x＋ 5) ＝(2x2x 2－9＝ 0,2x＝3，x＝ log2＋1) ，即 (2) 3.7．已知函数f ( x) ＝log 2x，x>0，则 f ( f (1))＋f13－x＋ 1，x≤0，log 32的值是 () A． 2 B ． 3C． 4 D ． 511-log31分析：选 D∵ log 32<0，由题意得f( f (1)) ＋f log 32＝ f (log21)＋32＋ 1＝f (0)＋3log32＋1＝ 30＋ 1＋2＋ 1＝ 5.a b 1 18．设 2＝ 5＝ m，且a＋b＝2，则 m等于()A.10 B ．10C． 20 D ．100分析：选 A 由 2a＝ 5b＝m得a＝ log 2m，b＝ log 5m，因此1＋1＝ log m2＋log m5＝ log m10.a b11由于a＋b＝ 2，因此 log10＝2.m2m＝10.因此 m＝10，因此9．已知 4a＝ 2， lg x＝ a，则 x＝________.分析：由 4a＝ 2，得a＝1，又由于 lg x＝ a＝1，221因此 x＝102＝10.答案：101- log 9 5＝________.10．计算： 9 21- log 9 51- log51 3 分析：92＝ 9 2×99 ＝3×＝.5 53答案：5211 111．化简：a 3 · b－12· a 2·b3＝ ________.6a · b51 1111 1 11 1 5a 3· b 2·a 2· b316 · b2分析：原式＝15 ＝a 32 3 6＝ .aa 6 ·b 61答案： a12．已知指数函数 y ＝ f ( x ) ，对数函数 y ＝ g ( x ) 和幂函数 y ＝ h ( x ) 的图象都过点 P 1 ， 2 ，2假如 f ( x 1) ＝ g ( x 2) ＝ h ( x 3) ＝ 4，那么 x 1＋ x 2＋ x 3＝ ________.xc11分析：令 f ( x ) ＝ a ( a >0, 且 a ≠ 1) ，g ( x ) ＝ log b x(b>0, 且 b ≠1) ，h ( x ) ＝x ，则 f2 ＝a 2＝ 2，1＝ log12＝ 2，1＝1 c＝ 2，∴ ＝4，2＝－ 1，∴(1) ＝4g 2＝－ logh 2 2＝， cf x x1bb＝4?113x ＝ 1，同理， x ＝4， x ＝ 4. ∴ x ＋ x ＋ x ＝2.1231233 答案：213．化简以下各式：70.5－ 210 -237(1)29 ＋0.1 ＋227 3 － 3π ＋48 ；373(2)a 2· a －3÷ a －3· a －1；lg 32327－ lg3＋ lg 9 ＋ lg(3)5 5.lg 81 －lg 2725 1164237 5937解： (1)原式＝9 2＋0.1＋273－ 3＋ 48＝3＋ 100＋16－ 3＋ 48＝100.23733313731 7 1 8 4(2) 原式＝a 2 · a 2 ÷a 2 · a 2 ＝ a 2 ÷a 2 ＝a 6 ÷ a 6 ＝a 6 ＝ a 3.49 149 1lg 3＋5lg 3 ＋10lg 3 －2lg 31＋ 5＋10－2 lg3 11 (3) 法一：原式＝4lg 3 － 3lg 3＝4－ 3 lg 3 ＝ 5 .21 31lg 3×95 ×27 2 5 ×3 2法二：原式＝ 81lg27lg 3 ＝lg 311511＝. 5。

高考数学一轮复习专题2.8 指数式与对数式(讲)

专题2.8 指数式与对数式【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ指数函数的图象与性质√1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 计算213×4－23＝________．【解析】213×4－23＝213×(22)－23＝213－43＝2－1＝12.2．[教材改编] 给出下列函数：(1)y＝5·3x；(2)y＝4x－1；(3)y＝x3；(4)y＝2x＋1；(5)y＝42x，其中是指数函数的有________个．据指数函数的定义，只有满足形如y＝a x(a>0，a≠1)的函数才是指数函数．因为y＝42x＝16x，所以y＝42x是指数函数．3．[教材改编] 若函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图像经过点(－1，3)，则f(2)＝________．4．[教材改编] 函数y＝1－3x的定义域为 ________.【解析】要使函数有意义，需1－3x≥0，得x≤0.5．[教材改编] 函数y＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．【解析】令x－1＝0，得x＝1，又y＝a0＋2＝3，所以图像恒过定点(1，3)．题组二常错题6．当x∈[－2，2]时，a x<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．【解析】当x ∈[－2，2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x是一个增函数，则有a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；当0<a <1时，y ＝a x 是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22或a <－22(舍)，故有22<a <1.综上可得，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)满足f (1－x )＝f (1＋x )，则f (2x )与f (3x)的大小关系是____________．题组三常考题8．设a ＝2－1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，c ＝4－2，则a ，b ，c 的大小关系为________________．【解析】a ＝2－1，b ＝2－23，c ＝2－4，因为y ＝2x是R 上的增函数，所以b >a >c .9．设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【解析】当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln 2，得x ≤1＋ln 2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上x ≤4.10．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【解析】由题意存在正数x 使得a >x －12x 成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .由于y ＝x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a >－1.【知识清单】1 根式与指数幂的运算1．()(*)((0)((0)nnn na a n Na na a aa na a⎧=∈⎪⎧⎨⎪=≥⎧⎨⎪=⎨⎪⎪-<⎩⎩⎩为奇数）为偶数）2. 有理数指数幂的运算性质:①r s r sa a a+=(0,,)a r s Q>∈;②()r s rsa a=(0,,)a r s Q>∈;③()r r rab a b=(0,0,)a b r Q>>∈.2对数式与对数式的运算1.①log a1＝0；②log a a＝1；③log a Na N=；④log Naa N=.2. ①log a(M·N)＝log a M＋log a N，②log aMN＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R)【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 根式与指数幂的运算【1-1】给出下列命题:①n n a与()nn a都等于a(n∈N*);②222a b ab⋅=；③函数32xy=⋅与12xy+=都不是指数函数；④若m na a<（01a a>≠且），则m n<．其中正确的是.【答案】③【1-2】化简：160.250 34216(23)4()28( 2.015)49-⋅--⋅--【答案】98【解析】原式＝1111663233244723422123721984⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．【1-3】331122221122m mm m4.m m----+=-，求【答案】15．【思想方法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.考点2 对数式与对数式的运算【2-1】若4log3x=，则2(22)x x--=.【答案】43.【解析】由4log3x=，得43x=，即23x=32x-=所以2(22)x x--=2234)3=．【2-2】设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝10【解析】由题意a＝log2m，b＝log5m，代入1a＋1b＝2得log m2＋log m5＝2，即log m10＝2，所以m＝10.【2-3】已知log 147＝a ，14b＝5，则log 3528等于________．(用a ，b 表示) 【答案】2aa b-+．【解析】因为14b＝5，所以b ＝log 145，所以a ＋b ＝log 147＋log 145＝log 1435，1－a ＝1－log 147＝log 142.由换底公式得，log 3528＝log 1428log 1435＝1＋log 142log 1435＝2－aa ＋b ．【思想方法】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化． 2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．【温馨提醒】要时刻谨记对数本身的式子有意义，否则容易导致多解．【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()()14g x m x =-在[)0,+∞上是增函数，则a = ．【分析】函数()()14g x m x =-在[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即14m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为1m a =，最大值为24a =，解得2a =，12m =，与14m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为14a-=，解得14a =，116m =．所以14a =．【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 【答案】(3，＋∞)。

2023年高考数学一轮复习讲义——指数与指数函数

§2.6 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，m n a-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )． 4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时， 0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时， 0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( √ ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．化简()34235⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5答案 B解析原式＝34325＝32435⎛⎫⎪⎝⎭＝23345⨯＝125＝ 5. 2．函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．答案 (1,3)3．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c 0，b >0)＝________.答案 85解析原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. (2)若12x ＋12x -＝3(x >0)，则33222232x x x x --+-+-＝________. 答案 13解析由12x ＋12x-＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47， ∴x 2＋x －2－2＝45.32x ＋32x -＝312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋312x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1122x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1＋x －1) ＝3×(7－1)＝18.∴33222232x x x x --+-+-＝13.教师备选 (2022·杭州模拟)332211423a b ab b a b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭a >0，b >0)的结果是( )A.b aB.a bC.a 2bD.b 2a 答案 B解析332211423a babb a b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭113632411113342a b a ba b a b -⋅⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝a b.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 (1)已知a >01132a a a ( )A ．712a B ．512a C ．56a D ．13a答案 B解析原式＝111322a a a ⋅＝1132a a ⋅＝1526a⨯＝512a .(2)计算：238－⎝⎛⎭⎫780＋4(3－π)4＋()1622＝________.答案 π＋8 解析原式＝()2332－1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2 021a ＝2 022b ，下列等式可以成立的是( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a <b <0 C ．0<a <b D ．0<b <a答案 ABD解析如图，观察易知，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，故选ABD.(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． ∴b 的取值范围是(0,2)．教师备选在同一直角坐标系中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x，二次函数y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )答案 B解析指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y ＝ax 2－bx ＝(ax －b )x ，有零点ba，0.A ，B 选项中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递增，故ba >1，故A 错误，B 正确． C ，D 选项中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递减，故0b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )答案 A解析由图象可知，b <－1,0<a <1，所以函数g (x )＝a x ＋b 是减函数， g (0)＝1＋b <0，所以选项A 符合．(2)(2022·哈尔滨模拟)若存在正数x 使e x (x ＋a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e －1 D ．(－∞，－1)答案 B解析由题设知，∃x >0使x ＋a <e －x 成立，令y ＝x ＋a ，y 1＝e －x ， ∴x >0时有y 1＝e －x ∈(0,1)，而y ＝x ＋a ∈(a ，＋∞)，∴当a <1时，∃x >0，使得e x (x ＋a )<1成立．题型三指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例3 (1)(2022·永州模拟)若a ＝0.30.7，b ＝0.70.3，c ＝1.20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．b >c >a D ．a >c >b答案 B解析 ∵函数y ＝0.3x 在R 上是减函数， ∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增， 0．3<0.7， ∴0<0.30.3<0.70.3， ∴0<a 1.20＝1，∴c >b >a .(2)(2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0答案 A解析设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．原式等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，所以A 正确，B 不正确．因为|x －y |与1的大小关系不能确定，所以C ，D 不正确．命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.(2)当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是______．答案 (4，＋∞)解析依题意，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，y ＝a x 与y ＝1x 有交点，作出y ＝1x的图象，如图，所以121,2,a a >⎧⎪⎨⎪>⎩解得a >4.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，4]解析令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 是增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．教师备选1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )A ．1.72.5>1.73B.3423122-⎛⎫⎪>⎝⎭C ．1.70.3>0.93.1 D.34232334⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ 答案 BCD解析 ∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确； 432-＝4312⎛⎫⎪⎝⎭，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数， ∴23431212⎛⎫>⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭＝432-，故B 正确； ∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)， ∴1.70.3>0.93.1，故C 正确；∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 为减函数，∴34232323⎛⎫<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭，又y ＝23x 在(0，＋∞)上单调递增，∴22332334⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴223334333422⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，故D 正确． 2．(2022·泸州模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ，若f (a －2)＋f (a 2)≤0，则实数a 的取值范围是______．答案 [－2,1]解析因为f (x )＝e x －1e x ，定义域为R ，f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )＝e x －1ex 为奇函数．又因为f (x )＝e x －1e x 在R 上为增函数，所以f (a －2)＋f (a 2)≤0⇒f (a －2) ≤－f (a 2)⇒f (a －2)≤f (－a 2)，即a －2≤－a 2，a 2＋a －2≤0，解得－2≤a ≤1.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)设m ，n ∈R ，则“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫12m －n>1，即⎝⎛⎭⎫12m －n >⎝⎛⎭⎫120，∴m －n <0，∴m <n .故“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n >1”的充要条件．(2)已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a＝1. 课时精练1．(2022·佛山模拟)已知a ＝432，b ＝254，c ＝135，则() A ．c 254＝b ，因为b ＝254＝()16154＝1154096，c ＝135＝()15155＝1153125，则b >c .综上所述，a >b >c .2．若函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1,01D ．0<a <1,00，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a 的值是( )A.12或 2B.12或2C.12D ．2 答案 B解析当a >1时，函数单调递增，f (x )max ＝2f (x )min ，∴f (2)＝2f (1)，∴a 2＝2a ，∴a ＝2；当0<a <1时，函数单调递减，f (x )max ＝2f (x )min ，∴f (1)＝2f (2)，∴a ＝2a 2，∴a ＝12，综上所述，a ＝2或a ＝12. 4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案 B解析由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即20.38e t ＝10.382e t ，所以()210.38e t t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 5．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )答案 ABD解析由图可得a 1＝2，即a ＝2，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫12x 单调递减，且过点(－1,2)，故A 正确；y ＝x －a ＝x －2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确；y ＝a |x |＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0，2－x ，x <0为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；y ＝|log a x |＝|log 2x |，根据“上不动、下翻上”可知D 正确．6．(多选)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为() A.13 B ．2C ．3 D.12答案 AC解析令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13 (负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.7．已知a >0，b >0，则12323651a a b b ab -⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ＝______. 答案 1 解析 12323651a a b b ab-⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ＝()121121332156a b a b ab --⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ＝111133221566a b a ba b -⋅⋅⋅⋅＝111115236326a b --+-⋅＝1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0)解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0. 所以实数a 的取值范围是[－3,0)．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时， ⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均单调递减，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也单调递减，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 10．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，所以k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．11．已知0<a (1－a )bB ．(1－a )b >()21ba - C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b答案 D解析因为0<a <1，所以0<1－a <1，所以y ＝(1－a )x 是减函数，又0b ，b >b 2，所以()11b a -<(1－a )b ，(1－a )b <()21b a -，所以A ，B 均错误；又1<1＋a <1＋b ，所以(1＋a )a <(1＋b )a <(1＋b )b ，所以C 错误；因为0<1－b <1－a <1，所以(1－a )a >(1－a )b >(1－b )b ，所以D 正确．12．(多选)(2022·南京模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值可以是( )A.14B.13C.12D ．2 答案 AB解析 ①当a >1时，由图象得0<2a <1，∴0<a <12， ∵a >1，∴此种情况不存在；②当0<a <1时，由图象得0<2a <1，∴0<a <12， ∵0<a <1，∴0<a <12.13．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f (x )＝e x －1e x ＋1－12，则函数y ＝[f (x )]的值域为( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－1,0,1}答案 C解析 f (x )＝e x －1e x ＋1－12＝e x ＋1－2e x ＋1－12 ＝－2e x ＋1＋12， ∵e x >0，∴e x ＋1>1，∴0<2e x ＋1<2，∴－2<－2e x ＋1<0， ∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫－32，12， ∴[f (x )]为－2或－1或0.14．(2022·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x ＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴t ＝1取得最大值0，t ＝13或t ＝3取得最小值－43，y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， ∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.15．(2022·重庆南开中学月考)定义在R 上的函数f (x )单调递增，且对∀x ∈R ，有f (f (x )－2x )＝3，则f (log 43)＝________.答案 3＋1解析根据题意，对∀x ∈R ，有f (f (x )－2x )＝3，又∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴在R 上存在常数a 使得f (a )＝3，∴f (x )＝2x ＋a ，∴f (a )＝2a ＋a ＝3，解得a ＝1，∴f (x )＝2x ＋1，∴f (log 43)＝34log 2＋1＝3＋1.16．(2022·上海模拟)已知函数f (x )＝2x ＋a ·2－x (a 为常数，a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性；(2)当f (x )为偶函数时，若方程f (2x )－k ·f (x )＝3在x ∈[0,1]上有实根，求实数k 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝2x ＋a ·2－x 的定义域为x ∈R ，又∵f (－x )＝2－x ＋a ·2x ，∴①当f (－x )＝f (x )，即2－x ＋a ·2x ＝2x ＋a ·2－x 时，可得a ＝1，即当a ＝1时，函数f (x )为偶函数；②当f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋a ·2x ＝－(2x ＋a ·2－x )＝－2x －a ·2－x 时，可得a ＝－1，即当a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．(2)由(1)可得，当函数f (x )为偶函数时，a ＝1，即f (x )＝2x ＋2－x ，f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2，由题可得，(2x ＋2－x )2－2－k (2x ＋2－x )＝3⇔(2x ＋2－x )2－k (2x ＋2－x )－5＝0，令t ＝2x ＋2－x ，则有t 2－kt －5＝0，∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，根据对勾函数的性质可知，2x ＋2－x ∈⎣⎡⎦⎤2，52，即t ∈⎣⎡⎦⎤2，52，方程t 2－kt －5＝0在t ∈⎣⎡⎦⎤2，52上有实数根，则k ＝t 2－5t ＝t －5t，令φ(t )＝t －5t， ∴φ(t )在⎣⎡⎦⎤2，52上单调递增，且φ(2)＝－12，φ⎝⎛⎭⎫52＝12， ∴－12≤k ≤12， ∴实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.。

2021年高考第一轮复习数学：2.8 对数与对数函数

2021年高考第一轮复习数学：2.8 对数与对数函数2021年高考第一轮复习数学：2.8对数与对数函数你我共享的高质量文件2.8对数与对数函数● 知识梳理1对数（1）对数的定义：如果AB=n（a>0，a≠ 1），则B称为n的对数，以a为底，记录为Logan=B。

（2）指数公式与对数公式之间的关系：ab=n?logan=b（a＞0，a≠1，n＞0）.两个公式表示的三个数字a、B和N之间的关系相同，可以相互化（3）对数运算性质：①loga（mn）=logam+logan.②loga③logamn=nlogam。

（M>0，n>0，a>0，a≠ 1) ④ 对数底部变化公式：logbn=m=logm－logn.aanlogan（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，n＞0）.logab2。

对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a>0，a≠ 1）称为对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，+∞) （2）对数函数的图像ylogy=xa>1()a1o1xoxlogy=x基互反的两个对数函数的图是关于X轴对称的（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：r.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④ 当a>1时，它是（0，+∞); 当0<a<1时，它是（0，+∞) ● 点击双基1.（2021年春季北京，2）函数f（x）=|log2x|的图象是Y1OY1O1O1X1XY1-1o1xaby1o1xcd知识改变命运你我共享的高质量文件log2x,x1,解析：f（x）=?logx，0？十、1.2? 答：a－－2.（北京，2022年春）如果F1（x）是函数f（x）=LG（x+1）的反函数，则F1（x）的取值范围为__________－分析：F1（x）的值字段是F（x）=LG（x+1）的定义字段。

由F（x）=LG（x+1）定义的域是（-1，+∞),－F1（x）的取值范围为（-1，+∞) 回答：（-1，+∞)3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log1（3－x）］的定义域是__________.2分析：从0开始≤ Log1（3-x）≤ 1.2?log11≤log1（3－x）≤log12221215≤3－x≤1?2≤x≤.225答案：［2，］2.4.如果logx7y=Z，则在X，y和zy=7xz之间满足a.y7=XZCb.y=x7zd.y=zx分析：通过logx7y=Z？xz=7y？X7z=y，即y=X7z答案：b5.如果已知1<m<n，则设a=（lognm）2，B=lognm2，C=logn（lognm），然后a.a<B<CB a<C<bc。

2023版高考数学一轮总复习：对数与对数函数课件理

D.ab<0<a+b
(3)[2018全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=
-7
.
考向1
解析
1
4
=
对数式的运算
(1)解法一
因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=
1
,故选B.
9
解法二
2
因为alog34=2,所以a=
log3 4
=
下规律:在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大 .
注意当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进
行讨论.
考点2
对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,
它们的图象关于直线 y=x 对称(如图所示).反函数的定义域、值域分别是
在(0,+∞)上是减函数 .
考点2
对数函数的图象与性质
2.对数函数图象的特点
(1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且
1
过点(a,1),( ,-1),函数图象只在第一、四象限.

(2)如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐
标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以
考向3
角度1
比较大小
5.典例 [2020全国卷Ⅲ][理]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=
log138,则 ( A )

数学2022年高三数学一轮复习：指数运算与对数运算

指数式与对数式次方根的定义及性质：为奇数时，a a n n =，为偶数时，a a n n=.分数指数幂与根式的互化：nm nma a=m na-=(,,*m n N ∈，且)零的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义. 指数的运算性质：rsr sa a a+=，()rrrab a b =（其中,0a b >，,r s R ∈）指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔=．N a Na =log ，log N a a N =.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log aa a MM N N=-；log log n a a M n M =； 1log log a a M n =换底公式及换底性质： log log log m a m NN a=(,，0m > , ,0N >)a b b a log 1log =，c c b a b a log log log =⋅， b nm b a ma n log log=重视指数式与对数式的互化；根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；问题1．计算： )0,0(3224>>⋅-b a ab b a ； ()()31212332140.1a b ---⎛⎫⋅⎪⎝⎭123163427162(8)--+- 已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值；巩固练习：已知234x-=，则 112333812849-⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.=（）3. 若3log 41x =，求332222x xx x--++的值。

问题2. 计算：27= ；（2）551log 272log 2325+= （3）64log 32= ；3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+； 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+巩固练习： 1.5361log log 6log 23x ⋅⋅=，则 2.若2a =，12log 3=532+的值为93 4.求值或化简：142log 2112log 487log 222--+= 11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+= 55(3)2log 10log 0.25+= 问题3．（1）已知35abc ==，且112a b+=，求的值．已知n y m x a a ==log ,log，求log a ⎝；（3）若3128xy==，则11x y-= 问题4．（上海春）方程()()()333log 31log 1log 3x x x -=-++ 的解是（2）方程()3lg lg 2lg 2+=+x x 的解是（3）方程()()51log 1log 422=+++x x 的解是。