3振动与波习题思考题.doc

（

1 ）角频率：co =

= 393矿ad/L ,

c 0.5Hz ,

2兀 c / =2s ； J9.8

0 = Acos(3.13r+ ^) ,「・ 〃 = —3.13*sin(3.13，

+ °)

e . e

cos (p = — , sm(p = -

可解得：A = 8.8xl0-2/n,。= 227°=-133°=-2.32,

g （2）振动方程可表示为:

根据初始条件，（二

0时:

>0(1,2 象限) 3.13A ( <0(3,4象

限) 3.1 .原长为0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg 的物体，当物体静止.时，弹簧长为0.6m.现 将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取 9.8）

解：振动方程：x = A cos （69f + （p ）,在木题中，kx = mg ,所以A =9.8；

取竖直向下为x 正向，弹簧佃长为0.1所时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那 么：A=0.1m,

当-0时，尸-A,那么就可以知道物体的初相位为私

所以：x = 0.1 cos （>/98r + 即：x = -0.1 cos （V98r ） 0 3-2.有一单摆，摆长/ = 1.0m,小球质量m = 10g , 1 = 0时，小球正好经过0 - -0.06rad 处，并以角 速度0 = O.2rad/s 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动,试求：（1）角频率、频率、周期；（2） 用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取9.8）

解：振动方程：x = Acos （口（ + 9）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

3-3. 一质点沿尤轴作简谐振动，振幅为12cm,周期为2s 。当t = 0时，位移为6cm,且向尤轴正方向运 动。求：（1）振动表达式;（2），= 0.5s 时,质点的位置、速度和加速度;（3）如果在某时刻质点位于JV = -6cm , 且向尤轴负方IE 运动，求从该位置I 可到平衡位置所需要的时间。

2/r

解：（1）由题己知 A=0.12m, T=2 s ,「• co ———=71

T

rr

又•.•/=0时，x 0 = 6cm , v 0 >0,由旋转矢量图，可知：（p =——

TT

故振动方程为：x = 0.12cos （混—一）m ；

3

（2）将r=0.5s 代入得：

x = 0.12 cos （混一马）= 0.12 cos g = 0.104m,

3 6

v = 一0.12/rsin （H -马）=0.12cosg = -0.188m/s , 3 6 a = 一0.12/2 cos （混-生）=-0.12/ cos — = -1.03m/s?,

3

6

方向指向坐标原点，即沿x 轴负向；

A

（3）由题知，某时刻质点位于x = -6cm =——，

2

g _

频率：八土

周期：T = 171

!。

（2）当 Ep = Ek =?E 时，有:

cos

（C + 9）= sin“（c + e ）

/• COS （Ct ）t +（p ） = ±

1

TT

且向X 轴负方向运动,如图示，质点从P 位置回到 平衡位置Q 处需要走八= - + 建立比例式： 业 4

3 2

2兀 T

有：\t = -s 。

6

3-4.两质点作同方|”、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在%, =>4/2处，且向左运动时，另一 个质点2在x 2 =-4/2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：

当质点1在%! =A/2处，且向左运动时, 相位为生,

而质点2在x 2 =-A/2处，且向右运动,

4勿

相位为丁。

所以它们的相位差为勿。

3-5.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和

势能各占总能量的一半？

解：由 E ft = —kx 1

, E k =-/nv 2

,有：E p = —kA 2 cos 2

（cot + （p ）,

E k =-mco 2A 2

sin 2

（cot +（p ） = — kA 2

sin 2

A

（1）当 x =—时，由 x = Acos （刃 f + e ）,

Q z x 1

、g

卷:cos （c + 饥=—,sin （^r +（p ） =——，

3-6.两个同方I 何的筒谐振动曲线（如图所示） （1） 求合振动的振幅。

（2） 求含振动的振动表达式。

解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 & 初相：9]= — , A 2 初相：（p 2 --- ,

表明两者处于反相状态，

（反相△ （p =（P 】-（p\ = ±（2k +1）勿，A =0,1,2，…）

A = ±0.707

A o

x =

・.・A|VA,,.•・合成振动的振幅：A = A, - A ；

JI 合成振动的相位：（p = （p2;

2勿TC 合成振动的方程：x = M2-A1）cos（—Z一一）o

1 T 2

TT

3-7.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为一°若第一

6

个振动的振幅为10j§cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：

由图知人：=A.2 + A2 -2A. A cos 30° =0.01 m £ 1 1

.\A 2=0.1 m ,

_Irrt^n. . .llf sin。sin30°..

再利用正弦TH理：-- = ------- ，右:

A A.

A rr

sin 0 = --- = 1, /. 0 = —o

2A2 2

说明们与A?间夹角为丸/2,即两振动的位相差为兀/2 。

3-8.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:

/ \ （

x = 4 cos8勿，+ x = 4 cos8洲+ 一

(1) << 6

J ；(2) <<

6

(( 5

v = 4 cos软t——y = 4 cos I1

61)

x = 4cos 8勿，+ —

（3） J ；6，、。试判别质点运动的轨迹。

）f o2”

y = 4cos 8混 + ——

解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂宜运动的叠加。

对于x = Acos（仞+代），），= 4cos（口，+代）的叠加，可推得: X2 + y2 -2xycos（（p x-（p y） = A2 sin'（代一（p y）

TT TT c r TT c 7T

（1）------------------ 将（p x = — , （p y = 代入有：x~ +- 2x y cos — = 16 sin"—,

6 6 3 3

则方程化为：J + y2f）, = ]2,轨迹为一般的椭圆；

TT S/T

（2） ----------------------- 将（p\= — , （p、.=代入有：x2 + y2 -2xycos7i = 16sin2TI

6 6

则方程化为：x2 + y2-2xy = 0f即工+），= 0,轨迹为一直线；

（3）将甲\=三,cp、,二号代入有：x2 + y2 -2x y cos- = 16sin2三

则方程化为：F +尸=4、轨迹为圆心在原点，半径为物的圆。

TT

3-9.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与8, B点振动相位比A点落后一，已知振动6