王清林

当且仅当a=b时，等号 a b 2ab 成立。
2
用
a和
b 代 替 a 、 b 会得到什么？
基本不等式：
数 学 是 思 维 的 注意： 体 两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条 操
件相同.
ab ab 2
当且仅当a=b时， ( a 0 , b 0 ) 等号成立。 几何平均数
算术平均数
ab
ab 2
(a 0, b 0)
主讲教师：王清林
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
这是在北京召 开的第２４届 国际数学家大 会会标．会标 根据中国古代 数学家赵爽的 弦图设计。 颜色的明暗使 它看上去象一 个风车，代表 中国人民热情 20 是 思 维 的 体 操
( 2 )正数 x , y 满足 x y 20 , lg x lg y 的最大值
____;
1、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少？ 2、若 x 1 ，则函数 y
3 .求 以 下 问 题 中 的 最 值 :
( 1 )若 a 0 , 则当 a ____ 时 , 4 a 9 a 有最小值 ____;
x 7 x 10
2
x 1
的最小值是____。
1.两个
正 数的和为 定 值时，它们的积有最大值， 即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则 2 M
ab ≤
4 等 号当且仅当a＝b时成立.
正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值， 即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
2.两个
a＋b≥
2 P，
等 号当且仅当a＝b时成立.
学 以 致 用
D
A C
B
如图,AB是圆的直 径，C是AB上任一 点，AC=a,CB=b, 过点C作垂直于AB 的弦DE，连AD,BD, 则CD=＿＿,半径 为＿＿
E
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗?
深 入
剖析公式应用
1. 基本不等式可以叙述为:
探 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 究 数. 2。正用、逆用，注意成立的条件 揭 ⑴ a、 b是两个正数 示 ⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，
其容积为4800立方米，深为3米，如果池
底每平方米的造价为150元，池壁每平方米
的造价为120元，怎样设计水池能使总造价
最低？最低总造价是多少？
巩固练习
x 1.x＞0, 当x取何值时， + 值最小？最小值是多少？ 1 x
的 2.已知直角三角形的面积等于50，两条 直角边各为多少时,两条直角边的和 最小，最小值是多少？ 3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的 矩形，应怎样折？
小结评价
你会了 吗？
1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初 步应用。 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。 3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”，它 在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。 4。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫 之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之 中，就能领略到公式平静的美。
.
本 3。变形用 ab 质 2
2
ab
(
ab 2
) ab
2
例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用
篱笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大。最大面积是多少？
反思探究例1
a b 如图,正方形ABCD的面积为S=________，
2 2
2 ab Rt△的面积和是S’=＿
易知，s≥s’,即 2 b 2 2 ab a
＿
等号何时 成立？
A H
D
a + b
2
2
E F
G
B
C
D
D
a b
2 2
数 学 是A 思 维 体 操
2
b
G F
a
a
E
C
A
H
E(FGH) b
C
B
B
的 一般地，对于任意实数a、b，有