2011-2012-2微积分试卷B

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2011级《微积分B(二)》考试题型

2011级《微积分B（二）》考试题型建议难易程度：60～70%易或较易，10%较难或难60～70%考题来自书中的例题、习题及简单变形一．单项选择题5小题，每小题2分，共10分可涉及：定积分、广义积分、多元函数微分学、二重积分、微分方程和无穷级数的理论、概念、性质与简单计算。

二．填空题5小题，每小题2分，共10分可涉及：定积分、广义积分、多元函数微分学、二重积分、微分方程和无穷级数的理论、概念、性质与简单计算。

三．解答题11小题，每小题6分，共66分可涉及：1.定积分、无限区间上的广义积分、二重积分（直角坐标、极坐标）共3小题2.二元函数的偏导数、高阶偏导数、全微分、隐函数的偏导数与全微分、二元函数的极值与条件极值共4小题3.一阶微分方程（可分离变量、齐次、线性）、二阶常系数线性微分方程共2小题4.级数的敛散性（绝对收敛与条件收敛）、函数的幂级数展开及收敛区间共2小题四．应用与证明题1.平面图形的面积与旋转体的体积8分2.证明题6分附：附课后习题《微积分B（下）》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：微积分B（下）英文名称：Differential & Integral Calculus课程编号：19001022课程类别：公共基础课预修课程：无开设部门：数学与信息学院适用专业：工商管理市场营销房地产经营管理信息管理与信息系统国际经济与贸易经济学金融学信用管理税务财政学等专业学分：4总课时：68学时, 其中理论课时：68学时，实践课时：0学时选用教材：吴传生主编，《微积分》，高等教育出版社，2009年4月第二版二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的公共基础课程。

本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的发展打好必要的数学基础。

三、与其他课程的衔接微积分是概率论与数理统计、运筹学等其他数学课程的先行课程。

2011-2012第二学期微积分期中考试试卷参考答案_7481_1628_20120411115551

北京交通大学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式：闭卷任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

2011_学年微积分(二)试题B

2011-2012 学年第一学期《微积分（二）》课程考试卷(B 卷)(闭卷)院(系)____ 专业班级______ ____学号_______ __ 姓名___ _______考试日期:2012.01.11 考试时间: PM 2:30-5:00一. 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号填在题干括号内。

每小题 3分，5小题，共15分.）1. )(sin lim=∞→xxx1.A ∞.B 不.C 0.D2.) (,sin 则微分为设x e y =xdx eA xcos .sin x eB xc o s .s i n dx eC xsin . xeD s i n .) ()( 3.⎰=''dxx f x 积分C x f A +)(. C x xf x f B +-')()(. C x f x f x C +-')()(. C x xfD +)(.)(),(.4110=⎰⎰-dy y x f dx x二次积分 ⎰⎰-1010),(.dx y x f dy A y⎰⎰-1010),(.dx y x f dy B x ⎰⎰-xdx y x f dy C 101),(. ⎰⎰101),(.dx y x f dy D5.) (的通解为微分方程y y '=''x C C y A 21.+= 221.x C x C y B +=xe C x C y C 21.+= x e C C y D 21.+=二. 填空题（每小题 4分，5小题，共20 分）)(ln)(1.的单调区间为函数xxxf-=)(2cossin2.22-⎰=ππxdxx3. )(1收敛域为级数∑+∞=nnnx4. k为( )时,积分收敛, 又何时( )发散.)(dz,y1,xx),yln(z5.2===+=全微分时当设三. 计算题（每小题 7分，共 42 分）.yxxy x'>=求已知),(.1sin⎰+∞2)(ln1dxxx k⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim .20x x e x 计算⎰-dx x x )1ln(.3计算的内部围成的区域。

南京大学2011-2012学年第二学期《微积分II(第一层次)》期中考试试题参考答案

x2 z2 y 2 1 的约束下求函数 f ( x, y, z) 9d 2 (2 x 2 y z 5)2 的 2 4
2
条件极值.构造 Laglange 函数： F ( x, y, z, ) (2 x 2 y z 5) (
x2 z2 y 2 1) . 2 4
dx ( x y)dx 2 dx
0 2 0 2 2
( x y) dx 8 8 8+8 = 8 .
x2 y 2 z 2 六、计算三重积分 I ( x xy )dxdydz ，其中Ω是椭球体 2 2 2 1 .（9 分） a b c

(2 | x y |)dxdy + ( | x y | 2)dxdy
D3
( 2 x y )d x d + y
D1 D D2
(2 x y) dxdy
D2
2 2 x x
+
( x y 2) dxdy
D3
( x y)dxdy 2 ( x y)dxdy +8
(1)
(a 4b ) (7a 2b ) = 0, 即7a 2 +8b 2 30a b 0.
联立(1),(2)两式解得： a 2 b 2 =0.
2. 求二重极限
(2)
( x , y ) (0,0)
lim (1 2ln(1 x 2 y 2 )) cot ( x
界，且取逆时针方向 .
2
1 1 20 .（积分曲线图略） dxdy 5( x 2 dx 2 1) D 0 2 3
解：由格林公式，原式 = 5 二 .

《微积分》课程期末考试试卷(B)及参考答案

二.
单项选择题（每题 2 分，共 12 分） 2. A 3. B 4. A 5. C 6C .
1. B 三. 1. 2.
求偏导数（每题 6 分，共 24 分）
z 1 z 1 ; （6 分）； x x y y z x 2z x 2y ln x y (6分) （3 分）； 2 x x y x ( x y) 2 y x2 y2
六、求方程 y
y 1 的通解.（6 分） x
七、判别级数 2 n sin
n 1

33
的收敛性.（6 分）
《微积分》课程期末考试试卷（B）参考答案一. 填空题. （每题 3 分，共 36 分） 1. x y 2 x y 2 2. 0 3. 2 4. 1 5. 1,1,2 6. x, y x y 2 0 7. 1 8. 2 9. e xy y 2 xy dx e xy x x 2 dy 10. 1 11. 发散 12. 10
1 1 ，则 f ( ,0) ______. cos xy 2
3. y '' ( y ' ) 3 2 xy 是______阶微分方程. 4. 方程 F ( x, y, y ' ) 0 的通解中含______个任意常数. 5. 点 (1,1,2) 关于 xoy 平面的对称点是______. 6. 函数 Z lnx y 2 的定义域是______. 7. 设 f ( x, y ) x 2 y 2 ，则 f x1 2,0 ______. 8. 设 f x, y x 2 y 2 ，则 f y1 1,1 ______. 9. 设 Z e xy yx 2 ，则 dz ______. 10. 11. 12. 设积分区域 D : 1 x 2,2 y 3 ，则 d ______.

2011年高等数学BⅡ考题

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第二学期考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3 分，共15分）1. 设向量(3,2,1)=a ,向量4(2,,)3k =b ，若⊥a b ,则k = ；若//a b ,则k = .22.(1,2)d _____________z x y z ==函数在点处的全微分是．3.已知D 是长方形区域{(,)|,01}x y a x b y ≤≤≤≤，又已知()d d 1Dyf x x y =⎰⎰，则()d baf x x =⎰____ ．4. 幂级数()()0+121nn x n ∞=+∑的收敛域为．5. 微分方程+=0xy y '满足初始条件(1)=2y 的特解为．二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.直线11211x yz -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是（）．（A ）垂直（B ）平行（C ）夹角为π4 （D ）夹角为π4- 2. 000000(,),(,)(,)x y f x y f x y x y 偏导数存在是函数在点处可微的( )．(A) 充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）无关条件3. 将极坐标系下的二次积分：π2sin 00d (cos ,sin )d I rf r r r θθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，则I =( )．（A ） 1111d (,)d I y f x y x -=⎰⎰（B ） 2d (,)d I x f x y y =⎰（C ）11d (,)d I y f x y x -=⎰ （D ）1111d (,)d I x f x y y -=⎰⎰4．交错级数1111(1)3n n n ∞--=-∑ （）． (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性无法确定5．差分方程t t t t y y 2221⋅=-+的特解形式为（）.(A)t t kt y 22⋅= (B) ()22tt y at bt c =++⋅(C) ()322tt y at bt ct =++⋅ (D) 以上都不对三、计算题（本题六个小题，每小题7分，满分42分）1. 2232(,)e 0,,zz zz f x y x y xyz x y ∂∂=++-=∂∂设是由所确定的隐函数求．2．设,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z zx y x y ∂∂+∂∂ ．3. 判别级数 n 12!n n n n∞=∑的敛散性．4. 计算二重积分2Dxdxdy y⎰⎰，其中D 为1,xy y x ==及2y =所围成的闭区域．5．求伯努利方程 42323y y x y x'+= 的通解．21(),32f x x x x =++6.用间接展开法把展开成的幂级数并写出其收敛区间．四、（本题两个小题，任意选做一题，多选不多得分，满分8分）1. 求微分方程()3y y y ''''=+满足初始条件()()00,01y y '==的特解． 2. 求微分方程323e -'''++=x y y y x 的通解．五、应用题（本题三个小题，任意选做二题，多选不多得分，满分16分）1．设有连结点O(0,0）和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程． 2 . 某公司生产产品A （x 件），产品B （y 件）的收益函数和成本函数分别为: ()22(,)109,(,)400230.0133R x y x y C x y x y x xy y =+=+++++，试求获得最大利润的产量水平及最大利润．3．求由球面zz六、证明题（本题满分4分）211:,n n n n u u ∞∞==∑∑证明如果正项级数收敛则也收敛．。

2011级《微积分B(二)》试卷A及解答

上海立信会计学院 2011～2012学年第二学期2011级本科《微积分B （二）》期终考试试题（A 卷）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器，考试时间120分钟）共4页班级________________学号________________姓名___________一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1.设函数)(x f 为连续偶函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （）（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数【另附】设函数)(x f 为连续奇函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （）B（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数2.函数),(y x f 在点),(00y x 连续是),(y x f 在点),(00y x 偏导数存在的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C) 充要条件 (D)无关条件3.函数22),(y x y x f -=在其定义域上（）（A ）有极大值无极小值（B ）无极大值有极小值（C ）有极大值有极小值（D ）无极大值无极小值【另附】函数xy y x f =),(在其定义域上（） D（A ）有极大值无极小值（B ）无极大值有极小值（C ）有极大值有极小值（D ）无极大值无极小值4．微分方程02='+''y e y x 满足条件1)0(=y ，1)0(='y 的解是（）（A ）)1(21+=x e y (B) )1(21+=-x e y (C) x e y --=2 (D) 12-=-x e y5．设级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中必定发散是（）（A ）∑∞=-1)1(n n nu （B ）∑∞=12n nu （C ）∑∞=1||n n u （D ）∑∞=11n nuCDDCD二、填空题（每题3分，共15分） 1．设函数)(x f 在),0[∞+上连续，且402)(x dt t f x =⎰，则=)(x f x 22．设函数y e z x sin =，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22y z x z _____ x e 2 3．二重积分dy xyf dx x )(arctan 21011⎰⎰--在极坐标系中表示为_________rdr f d ⎰⎰100)(θθπ 4. 微分方程y x y ''='的通解为 221c x c y +=（R c c ∈21,）5. 级数∑∞=+1)2(1n n n 的和=S _________________ 43三、计算题(需要有解答过程)（每题6分，共60分）1．⎰+1614xx dx （令4xt =，4t x =，dt t dx 34=）2．⎰∞+++1252x x dx3．设)arctan(xy z =，求yx z∂∂∂2解：【另附】设)arctan(x y z =，求yx z ∂∂∂2解：222211y x y x y x y xz+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂，22222222222)()(2)(y x x y y x y y y x y x z +-=+⋅-+-=∂∂∂ 4．设),(y x z z =由方程x zz y ln =所确定，求dz解：5．dxdy x yD⎰⎰+61，其中}10,0|),{(≤≤≤≤=x x y y x D6．dxdy y x D⎰⎰+22，其中}0,1|),{(22x y y x y x D ≤≤≤+=7．讨论级数n n nan∑∞=-)1(（0>a ）是绝对收敛，条件收敛，还是发散。

2011-2012-2《微积分(下)》

系别经贸与管理工程系专业年级 2011级任课教师姓名教研组负责人签名华南理工大学广州学院基础部数学组关于11级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知通知要点★考试的重点内容与要求 ★考试的形式与试卷结构 ★题型示例与答案统考考试时间定于2012年6月29日上午。

一、考试的重点内容与要求考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0baf x dx =⎰；当a b >时，()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰）。

理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。

掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。

掌握牛顿—莱布尼茨公式。

掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。

会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。

会求无限区间上的广义积分。

2、无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。

熟悉几何级数（即等比级数）0nn aq ∞=∑（0,a q ≠叫公比）、调和级数11n n ∞=∑与p -级数11(0)p n p n∞=>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。

了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

了解幂级数nn n a x∞=∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用函数11x-、xe 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。

注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。

还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。

2011-2012学年第二学期《微积分B》期末考试试卷(A)

北京交通大学2011-2012学年第二学期《微积分 B 》II 、《微积分A 》II 、《工科数学分析》II 期末考试试卷（A ）考试方式：闭卷任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共九道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ C ）。

(A) 41 (B) 40 (C) 42(D) 392、函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→00=（ C ）。

(A)不存在 (B)等于1 (C)等于零(D)等于23．若),(y x f 在关于y 轴对称的有界闭区域D 上连续，且),,(),(y x f y x f -=-则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的值等于（ B ）。

A ．D 的面积B ．0C ．⎰⎰Ddxdy y x f ),(2 D ．),(y x f4．设0≤n a <),2,1(1=n n，则下列级数中可断定收敛的是（ D ）. A ．∑∞=1n na； B ．∑∞=-1)1(n n na ； C ．∑∞=1n n a ； D ．∑∞=-12)1(n nn a 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，xe y =2，x e y 23=，则其通解为（ C ）。

A.xx e C e C x 221++； B.xx e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+-二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝__-5____。

同济大学2011-2012学年高等数学(B)下期末考试补考试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学《高等数学》《微积分》（下）2010—2011学年第二学期重考试卷专业学号姓名得分（注意：解答题要求写出解题过程）一．填空选择题（每小题3分，共24分）1.y y x xOy 绕平面上曲线1222=-轴旋转所得旋转曲面的方程为 122222=-+y z x ；该曲面称为单叶双曲面____2.与向量 ()()213112-=-=,,,b a以及都垂直的单位向量为 _()11131--±,, 3.函数 ()()dy dx dz y x z 943211121122-=+=,,点的微分在. 4.函数 ()()()x f x s x x x x x f 是若周期，且以πππ201022⎩⎨⎧≤<-+-≤<= 付里叶级数的和函数，则 ()()12212++=πππs ， ().212=πs5.Γ是空间分段光滑的有向闭曲线，Γ∑是以为边界的分片光滑有向闭曲面，且Γ∑的侧与的方向是正向联系的，则利用斯托可斯公式，曲线积分()()().dxdy z dzdx z xdydz dz xz dy y xz dx y x 223322++--=+-+-⎰⎰⎰∑Γ6.函数 ()y x f ,具有两阶连续偏导数，()00y x ,是函数的驻点，若记(),,00y x xx f A ''=()()()0020000y x f B AC f C f B y y yyy x xy,,,,,,则-=∆''=''=是极小值的充分条件 [A].,.;,.;,.;,.00000000<<∆><∆<>∆>>∆A D A C A B A A()][,,,,,,,.C k kI I z y x R z y x R z y x dv z I dv z y x I ==≥≥≥≤++Ω≤++Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ则若是闭区域是闭区域其中积分2122221222222222100071..;.;.;.3224168====k D k C k B k A 8.若幂级数()∑∞==+112n nn Ax x a ][项中正确的是点条件收敛，则下列选在.....是收敛点；是收敛点；是收敛点是收敛点；6D 3C 24-===-=x x x B x A二（每小题6分，共36分）1.求经过三点(1,0,-2),(2,1,1)以及（1，3，1）的平面方程，并计算点（1，1，1）到该平面的距离.解：平面的法向量//(1,1,3)×(1,-2,0)=3(2,1,-1)平面的方程 ()()0420212=--+=+-+-z y x z y x 或点（1，1，1）到平面的距离 .3362==d 2.求函数 yx zey z y x ∂∂∂=-2222的二阶偏导数. 解：().2232322y x e y xy yx z --=∂∂∂ 3.求曲面()11102323,,上点=-+x z y x 处的切平面与法线方程. ().,,,3121110632321-=-=-=-++=z y x z y x n 法线方程切平面方程法向量解：()()()()()...,.πθπππ7213721313442042422222=+==+=+=-++-=Ω∑Ω=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑dz z rdr d I zdz z dv z I dxdy xy z yzdzdx dydz y x I z y x z r或解：计算积分的外侧边界曲面，是所围成闭区域为平面与抛物面5.判别常数项级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121n nn n ln 的收敛性，并说明是条件收敛还是绝对收敛..ln ,~,ln 级数条件收敛发散，所以级数收敛，且单调减少，解：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒→⎪⎭⎫⎝⎛+=122021n n n n n n n u u n u 6.在点（2,1,1）处，求函数22z xe y u +=的梯度以及沿方向（-3,2,1）的方向导数.解：()()()().,,,,;,,,,144141234242112+=-⋅=∂∂=e e e lue e gradu 方向导数三．（8分）求函数y x y x x u 493223+-+-=的极值.解：()(),,;232104209632---=+==--=，以及驻点，y u x x u y x ()()()()()().,,,,,,;;,,不是极大值点极大值；，2302412101202411220662-321212->=∆=--<-=<-=∆-=-=∆====-==----u A x B AC u C u B x u A yy xy xx四.（10分）计算曲线积分(),⎰+++⎪⎭⎫⎝⎛++L dy y x y dx xy y x 3242121其中曲线L 是沿着上半椭圆曲线1422=+y x 从点A(1,0)到点B(-1,0)的有向曲线段.()().,,:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--''+-=--=---=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤-='DD L L L dx x dxdy dx x dxdy xy xy dy y x y dx xy y x I x y L 11211233324232212121110π添直线段解：五.（12分）求幂级数()∑∞=+-+01112n n n x n 的收敛域以及和函数. ()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤----=--=-=--=-=-+=--+==⎰⎰∑∑⎰∑∞=∞=+++∞=+1223211232323212121211211122321211100111101x x x x x s x dx x dx x dx x x n x s x x n x s R x x n n n x n n n n n n ln ln ,;),[,收敛域解：六.(10分)设()x f 具有一阶连续导数，且()0>x f ,函数2010-2011学年第二学期《高等数学》《微积分》重考试卷 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()().lim lim lim ,sin .lim 34232222224232232002222200022202022202200022222222222222='+'+=+====+++=++++→→→→≤+≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t f t t tf t f t t t f d f t f t t t f t F d f t drr r f d f t drr r f d f d t drr r f d d t F t F d y xf tdvz y xf t F t t t t tt t tt tt t y x t z y x ρρρρρρρρρππρρρθϕϕθσπππ解：求，。

浙江工商大学11-12微积分下B层期中试卷答案

浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷一、填空题(每小题2分,共20分)1.x; 2.{}22(,)02,D x y y y x y=<≤-≤≤; 3.4;4.[1sin ][1sin ]xy xy xy xyye e dx xe e dy +++; 5.3210(,)ydyf x y dx -⎰; 6.2x +;7.2()()()x xf xy xg y y''⋅+⋅-; 8.I K J <<; 9.6; 10.小. 二、单项选择题(每小题2分,共10分)1.D;2.A;3. C;4.B; 5 D.三、计算题(1)(每小题5分,共20分)1.设0()1,01x x f x x e≥=⎪<⎪+⎩，计算51(1)f x dx --⎰解:54041220(1)1()=()+()f x dxt x f t dt f t dt f t dt ----=-⎰⎰⎰⎰04201=+1x dx e -+⎰ 其中:0022201ln(1)ln(1)ln 2211x x x xe dx dx e e e e -----==-+=+--++⎰⎰42012026t dt -=所以,51(1)f x dx --=⎰220ln(1)ln 26e +-+2. 确定,,a b c 的值，使得30sin lim ,(0)ln(1)x x bax xc c t dt t →-=≠+⎰ 解: 300sin lim ,(0),lim(sin )0ln(1)x x x bax xc c ax x t dt t →→-=≠-=+⎰ 30ln(1)lim 0xx bt dt t →+∴=⎰因此0b =3230000sin cos cos limlim lim 0ln(1)ln(1)x x x x ax x a x a xc x x t dt x t →→→---===≠++⎰同理1a =，从而12c =3. 计算340sec d I x x π=⎰解: 340sec d I x x π=⎰40sec dtg x x π=⎰sec tg 40x x π=-240sec (sec 1)d x x x π-⎰=sec tg 40x x π=-340sec d x x π⎰+40sec d x x π⎰34011sec d 1)]22I x x π==⎰4. 已知(2,sin )z g x y y x =- ,g 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂解:122cos zg g y x x ∂''=⋅+⋅∂2zx y∂∂∂1112212222[(1)sin ]cos [(1)sin ]cos g g x y x g g x g x '''''''''=⋅-+⋅+⋅-+⋅+⋅ 1112212222(2sin cos )sin cos cos g g x y x g g y x x g x '''''''''=-+⋅-⋅+⋅+⋅ 四、计算题(2)(每小题6分,共24分)1.34解：3344122arcsin =⎰22374(arcsin 11442π==或2. 设2(,,)x u f x y z e yz ==其中(,)z z x y =由方程0x y z xyz +++=确定，求(0,1,1)ux∂-∂ 解：=10u f f f zx x y z x∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂22x x z e yz e yz x ∂=+⋅∂0x y z xyz +++=两边对x 求偏导数： 10z z yz xy x x ∂∂+++=∂∂11z yz x xy ∂+⇒=-∂+ 22x x u e yz e yz x ∂∴=+⋅∂1()1yz xy +-+ (0,1,1)ux∂-∂=1 3.讨论00ln(1)lim x y xy x x y →→++是否存在？解：00ln(1)lim x y xy xx y →→++200lim x y x y x y →→=+=3013lim 033x y x xxααααα-→=--=⎧⎪=<⎨⎪∞>⎩,故极限不存在 4. 计算0()aI f x dx =⎰，其中(2)0()a xy a y f x e dy --=⎰解：00()()()0aaaI f x dx f x x xf x dx '==-⎰⎰2200()aaax xf x dx xe dx -'=-=⎰⎰21122a e =-五、应用题(每小题8分，共16分)1. 生产某种产品需要A,B,C 三种原料，而且产量与A,B,C 原料的用量x, y, z有以下关系：20.005Q x yz =，已知三种原料售价分别为1,2,3（万元），今用2400（万元）购买原料，问如何进料才能使产量最大？解:目标函数20.005Q x yz = 条件函数232400x y z ++= 作拉格朗日函数：2(,,,)(232400)F x y z x yz x y z λλ=+++-令22202030232400xy x F xyz F x z F x y x y z λλλ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪++=⎪⎩解得1200,300,200x y z ===（唯一驻点）由问题的实际意义知1200,300,200x y z ===当时产量最大。

微积分B下期终试卷2010-2011

(
∫x
0
f
(t ) dt )2
t
f
(t)dt
=
f
(
x
)
⋅
[
x
∫x
0
f (t)dt
−
∫x
0
t
f
(t)dt]
(
∫x
0
f (t)dt)2
=
f
(x)⋅
∫x
0
(
x
−
t)
f
(t)dt
(
∫x
0
f
(t ) dt )2
>0
(x > 0)
∴ F ( x)在 (0,+∞)内为单调增加函数.
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1． f (x) 在[a,b]上有界是定积分 ∫ab f (x)dx 存在的（ B ）条件。
A．充分
B．必要
C．充要
D．既不充分也不必要
2．设
F(x)
=
∫ln x
1
f
(t)dt ，其中
f
连续，则
F ′( x)
=
（
C
）。
x
A．
1 x
f
(ln x) −
1 x2
f
(1x )
B． f (ln x) + f (1x)
解: 线性非齐次方程, P( x) = − tan x , Q( x) = sec x
∫ 通解为: y =[ Q( x) e ∫ P( x)dxdx + C ]e− ∫ P( x)dx
∫ = [ sec x e ∫ − tan xdxdx + C ]e − ∫ − tan xdx

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1.2ln()d x x x =⎰ . 2.cos d d xx =⎰ .3.312d x x --=⎰.4.函数22x y z e+=的全微分d z = .5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）1.设()1xf e x '=+，则()f x = ( ). /(A) 1ln x C ++ (B) ln x x C +(C) 22x x C++ (D) ln x x x C -+2.设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = ( ).(A) 2π(B) 22π(C) 2 (D) 24π3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）.(A)z z ab x y ∂∂=∂∂ (B) z z x y ∂∂=∂∂ (C)z z ba x y ∂∂=∂∂ (D) z z xy ∂∂=-∂∂ 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立，则（）；(A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）．(A) 211(1)nn n ∞=-∑(B)1(1)nn ∞=-∑(C) 13(1)2nnn n ∞=-∑ (D) 11(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）】 1.2d x x e x ⎰2.40⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设arctany z x =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂， 2.设函数vz u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程xyz =确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分sin d d Dxx y x ⎰⎰其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭区域.(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）1.判别正项级数12nn n∞=∑的收敛性．、2. 求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）八、设102()101x x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，求2(1)d f x x-⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1. 2cos d 2x x ⎰ .2.22d dt d x txe x =⎰ .3.212d x x -=⎰.4.函数z =的全微分d z = . ：5.微分方程11d d 0x y y x +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设(ln )1f x x '=+，则()f x = ( ).(A) xx e C ++ (B)212x e x C ++(C) 21ln (ln )2x x C ++ (D) 212x x e e C++2.下列广义积分发散的是 ( ).(A)1+∞⎰ (B) 1d xx +∞⎰(C)21d x x +∞⎰(D)1+∞⎰3. 设22()z f x y =+，且f 可微，则z z yx x y ∂∂-=∂∂ .(A) 2z (B) z (C) x y + (D) 0:4.函数32(,)6121f x y y x x y =-+-+的极大值点为（） (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (3,2)- (D) (3,2)-- 5.下列级数绝对收敛的是（）． (A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)nn n ∞=-∑ (C)1(1)nn n∞=-∑ (D)311(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x⎰^2.0x⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设z =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂，2. 设函数2ln z u v =，而,32u xy v x y ==-，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程22220x y z xyz ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰，其中D 是由三条直线0,0x y ==与221x y +=所围成的位于第一象限的图形.(本题10分)六、（共2小题，每题8分，共计16分）1. 判别正项级数11(21)!n n ∞=+∑的收敛性．2. 求幂级数21(2)n n x n ∞=-∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求由曲线y x =与2y x =所围成的平面图形的面积. （本题10分））八、设210()0xx x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，求31(2)d f x x -⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2010 — 2011 学年第二学期课程名称微积分试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人张娅 2011 年 5 月 20日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 函数()ln z y x =-+的定义域为。

-学年第二学期《微积分B》期末考试试卷(A)(3)

北京交通大学2012-2013学年第二学期《微积分B 》(II)期末考试题（A ）参考答案一. 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设0α>, 且正项级数1n n a ∞=∑收敛,则级数211sin n n ∞=⎫+⎪⎪⎭∑ . (填收敛或发散)答: 收敛2. 已知()1,[0,1],()f x x x S x =+∈是()f x 的周期为1的傅里叶级数的和函数, 则(0)S = .答: 3(0)2S = 3．极限00x y →→ .4. 设220cos y z x t dt =⎰，则dz = . 答: 2222sin 2cos dz x y dx x y y dy =+5. 函数222u x y z =+-在点(1,1,2)-处沿22l i j k =-+方向上的方向导数等于 .答: 143- 6. 曲面arctany z x =在点(1,1,)4π处的切平面方程是 .答: 202x y z π-+-=7. 设22{(,)|},D x y x y π=+≤ 则 22()22sin()xy D I e x y dxdy π-+-=+=⎰⎰.答: (1)2e ππ+.8. 设L 是以点(1,0)为圆心, (1)R >为半径的圆周, L 取逆时针方向,则224L xdy ydx I x y -==+⎰ . 答:π9. 设S 表示半球面z =的上侧, 则曲面积分(1)SI z dxdy =-=⎰⎰ .答: 3π 10. 已知222A xy i yz j zx k =++, 则()grad div A = . 答: 222xi y j zk ++二(10分)．利用变换u x v x =-=+,化简方程222210.2z z z y x y y ∂∂∂--=∂∂∂ 解: z z u z v z z x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, ,z z u z v z z y u y v y u v ∂∂∂∂∂∂∂⎫=⋅+⋅=-+⎪∂∂∂∂∂∂∂⎭22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂222222212z z z z z z y u v y u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎫=-++-+ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎭⎝⎭代入原方程得 222221402z z z z y x y y u v∂∂∂∂--==∂∂∂∂∂, 即 20z u v∂=∂∂. 三(8分)．已知延续可微函数()F x 满意(0)0F =且()1D F t x dxdy ⎡=⎢⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 其中222{(,)|,0,0},0,D x y x y t x y t =+≤>>> 求().F t解因为 2200()()cos 1t F r F t d r rdr r πθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 20[()]tr F r dr =-⎰ 于是 2()(),(0)0F t t F t F '=-=解微分方程得 2()222t F t t t e -=-+-四(8分)．计算积分4)I z dv Ω=⎰⎰⎰,其中Ω是曲线220z y x ⎧=⎨=⎩与y 轴及1y =围成的平面区域绕z 轴旋转一周所得旋转体.解曲线220z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得旋转曲面为222z x y =+, Ω为曲面222z x y =+与柱面221x y +=及xoy 平面围成的部分.采用柱面坐标计算.22120004)(4)r I z dv d rdr r z dzπθΩ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 45101122230r r dr ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰ 五(8分)．求常数a ，使22()()ax y dx x y dy x y +-++ 是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,).u x y解 2222()(,),(,)ax y x y P x y Q x y x y x y+-+==++ 222222222222,,()()P x y axy Q x y xy y x y y x y ∂--∂-+==∂+∂+ 为使22()()ax y dx x y dy x y +-++是某个函数(,)u x y 的全微分，必须满意1.P Q a y y ∂∂=⇒=-∂∂ 于是，有2222()()()()ax y dx x y dy x y dx x y dy x y x y +-+-+-+=++ 因为 22(,)u x y P x y x x y∂-+==∂+ 22221(,)arctan ln()()2x y x u x y dx x y y y x y ϕ-+==-+++⎰其中()y ϕ是一次可微的随意函数.又2222()(,)()0()u x y x y y Q x y y y c y x y x y ϕϕϕ∂----''=+==⇒=⇒=∂++从而所求 221(,)arctan ln()2x u x y x y c y =-++, 其中c 是随意常数. 六(10分)．计算积分 222[cos (1)cos (3)cos ]SI x y z dS αβγ=++++⎰⎰其中S 是曲面222(1)y x z +=+介于1y =-及0y =之间的部分，其法向量与y 轴正向夹角大于2π，,,αβγ为S 上外法线的方向角. 解 S 为曲面222(1)y x z +=+介于1y =-及0y =之间的部分.补上有向曲面 2211:0x z S y ⎧+≤⎨=⎩, 法向量方向向右. 令S 与1S 所围成的空间区域为Ω. 则11S S S I +=-⎰⎰⎰⎰ 11222222(1)(3)(1)(3)S S S x dydz ydzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy +=++++-++++⎰⎰⎰⎰又1222(1)(3)S S x dydz y dzdx z dxdy +++++⎰⎰ 210001212002()2(cos sin )12[(1)cos (1)sin (1)]2r x y z dvd rdr r r y dy d r r r r r r dr ππθθθθθθΩ-=++=++=-+---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6π=- 1222(1)(3)S x dydz y dzdx z dxdy ++++⎰⎰22121(1).S x z y dzdx dzdx π+≤+==⎰⎰⎰⎰所以 766I πππ=--=-. 七(8分).求幂级数1321(1)32n n n x n +∞-=--∑的收敛域及和函数的导数,并求数项级数30(1)2nn n ∞=-∑的和.解 2131323(1)(1)lim ||3132n n n n n x x x n n +++-→∞--=+- 令3||1x <,得||1x <,于是幂级数的收敛半径为1R =.易判别知,当1x =-时,级数发散,当1x =时,级数收敛,故收敛域为(1,1].-令 1321(1)(),(1,1)32n n n S x x x n +∞-=-=∈--∑ 则有 13333101()(1)(1)1n n n n n n S x xx x∞∞+-=='=-=-=+∑∑ 从而 330(1)181()221(12)9n n n S ∞=-'===+∑ 八(8分).设22{(,)|25}D x y x y =+≤,证实:225(1216)5Dx y x y dxdy π+-+≤⎰⎰证实令221216z x y x y =+-+,求z 在D 上的最值. 由21202160z x x z y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=∂⎪⎩得z 的驻点不在D 内, 故z 在D 上的最值必在D 的边界上达到.为求z 在D 的边界上的最值,令2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+-+++-由方程组 222122021620250x y F x x F y y F x y λλλ=--=⎧⎪=+-=⎨⎪=+-=⎩得驻点12(3,4),(3,4).P P -- 因为12()75,()125z P z P =-=.易知z 在D 上的最大值为125.故225(1216)1255.D Dx y x y dxdy dxdy π+-+≤=⎰⎰⎰⎰。

部分高数一(微积分)2011-2012年自考试题及答案

全国2011年1月自学考试高等数学（一）试题课程代码:00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．函数f （x ）=2+x +ln （3-x ）的定义域是（ )A ．［-3，2］B ．［—3,2）C ．［-2，3)D ．［—2,3］2．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1sin x x x x k 在x =0处连续,则常数k 的取值范围为(） A ．k ≤0 B ．k 〉0C ．k 〉1D ．k >23．曲线y =2ln 33-+x x 的水平渐近线为( )A ．y =-3B ．y =-1C ．y =0D ．y =24．定积分⎰---11d 2e e x xx =（）A ．0B ．e 1C ．1D ．e5．若0),(,0),(0000==''y x f y x f y x ，则点（x 0，y 0)是函数f (x ,y )的( ）A ．极小值点B ．极大值点C ．最值点D ．驻点二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．已知2ln )1(222-=-x x x f ，则f （x ）=_________。

7．函数f （x ）=6512--+x x x 的间断点是_________.8．设函数y =sin （2x +2x ），则d y =_________。

9．极限x x x x ln 1lim 1-→=_________.10．曲线y =ln （1+x 2)的凹区间为_________.11．函数f (x )=2e x x 的单调减少区间是_________. 12．定积分⎰--222d 4x x =_________。

13．极限x t t x x ⎰→020d sin lim =_________.14．无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.15．设二元函数z =cos （2y -x ）,则yx z ∂∂∂2=_________. 三、计算题（一）（本大题共5小题,每小题5分，共25分）16．求极限xx x x sin 11lim 0--+→。