2020-2021北京市初二数学上期末试题含答案
2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列计算正确的是()A. 2−1=−2B. a3⋅a3=2a3C. (−7)0=1D. (−c)4÷(−c)2=−c22.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是()A. 节能B. 绿色环保C. 永洁环保D. 绿色食品3.计算结果不为a8的是()A. a10÷a2B. a2×a6C. (a4)2D. a4+a44.画∠AOB的角平分线的方法步骤是：①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；②分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是()A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5.化简分式a2−abb2−a2的结果是()A. aa+b B. a+baC. a−a−bD. aa−b6.要使(−6x3)(x2+ax−3)的展开式中不含x4项，则a=()A. 1B. 0C. −1D. 167.已知P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是()A. m>nB. m<nC. m=nD. 无法确定8.下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，设完成此项工需x天，由题意得方程()A. x10+x6=1 B. x+310+x−36=1C. x10+x−36=1 D. x−310+x6=110.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点M从点B出发沿线段BC匀速运动至点C，过点M作MN⊥AB于N，则△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共24.0分）11.要使−3√3−a有意义，则a的取值范围是______ ．12.如图，已知正方形ABCD，定点A(1,3)，B(1,1)，C(3,1)，AC、BD交于M，M点坐标为(2,2)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2017此变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______ ．13.计算：(3ab+2b)÷b=______．14.如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是90cm，AB=30cm，AC=20cm，那么EF的长等于______cm．15.小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程y(米)和小庆出发的时间t(分)之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为______米．16.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，所得边框等宽．将其裁成四个矩形(如图甲)，然后拼成一个大矩形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式．17.如图.在Rt△ABC中，∠BAC=60°，以点A为圆心、任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧.两弧交于点P.作射线AP交BC于点E.若BE=1，则Rt△ABC的周长等于______ ．18.一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么k______0，b______0.19.1a+1−aa2−1=______．三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）20.(1)因式分解：9a2(x−y)−b2(x−y) (2)解方程：(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=221.化简或计算：(1)a2−aba2÷a2−b2ab；(2)a+1−a2a−1．22.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．23. 解方程：2xx−2=1+12−x．24. 如右图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM.求证：DM=EN．25. 甲、乙两台机器共加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率．从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时．甲、乙两台机器各自加工的零件个数y(个)与加工时间x(时)之间的函数图象分别为折线OA−AB与折线OC−CD.如图所示．(1)甲机器改变工作效率前每小时加工零件______ 个．(2)求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(3)求这批零件的总个数．(4)直接写出当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x的值为______ ．x+b+2t−5 26. 如图在平面直角坐标系中，已知直线y=tx+2t交x轴负半轴于点B；直线y=−tb 交x轴正半轴于点C，且这两条直线与y轴交于同一点A．(1)求BC的长．(2)作BC的垂直平分线交线段AC于点F，交x轴于E，连接BF交y轴于点K，若AK的长为d，求d与t的函数关系式．(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的平行线FG，连接BG交CF于H，连接CG，若当∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求点H的坐标．27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(−4,0).点B的坐标(2,0)，点C的坐标为(0,4)，连接BC，AC，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，交OC于点E．(1)求证：△AOE≌△COB；(2)求线段AE的长：(3)若点D是AC的中点，点M是y轴负半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，设S=S△CDM−S△ADN，在点M的运动过程中，S的值是否发生改变？若改变，直接写出S的范围；若不改变，直接写出S的值．28. 将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=9，OC=15．(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；(2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G点，交MF于T点．①求证：TG=AM；②设T(x,y)，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示(指出变量x的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当x=6时，求出四边形MOFD′的面积．29. 在平面直角坐标系中，点A(−3,0)，B(0,4)．(1)直接写出直线AB的解析式；(2)如图1，过点B的直线y=kx+b交x轴于点C，若∠ABC=45°，求k的值；(3)如图2，点M从A出发以每秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点N从O出发以每秒0.6个单位的速度沿OA方向运动，运动时间为t秒(0<t<5)，过点N作ND//AB交y轴于点D，连接MD，是否存在满足条件的t，使四边形AMDN为菱形，判断并说明理由．参考答案及解析1.答案：C，故选项A不合题意；解析：解：2−1=12a3⋅a3=a6，故选项B不合题意；(−7)0=1，正确，故选项C符合题意；(−c)4÷(−c)2=c2，故选项D不合题意．故选：C．分别根据负整数指数幂的运算法则，同底数幂的乘法法则，任何非0数的0次幂等于1以及同底数幂的除法法则计算逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及负整数指数幂，非0数的0次幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2.答案：D解析：解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；D.是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3.答案：D解析：解：A.a10÷a2=a10−2=a8，故本选项不合题意；B.a2×a6=a2+6=a8，故本选项不合题意；C.(a4)2=a4×2=a8，故本选项不合题意；D.a4+a4=2a4，故本选项符合题意；故选：D．分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．4.答案：A解析：先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．从画法①可知OA=OB，从画法②可知CM=CN，又OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，∴∠MOC=∠NOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．故选A．5.答案：C解析：此题考查了约分，找出分子分母的公因式是解本题的关键．原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．解：原式=−a(a−b)(a+b)(a−b)=−a a+b=a−a−b．故选C．6.答案：B解析：解：原式=−6x5−6ax4+18x3，由展开式不含x4项，得到a=0，故选：B．原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.答案：A解析：解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，∴y随着x的增大而减小．∵P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，−2<1，∴m>n．故选：A．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−2<1即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8.答案：C解析：本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，从而得出正确选项．解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有3条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．9.答案：C解析：解：设需x天完成，根据题意得：x10+x−36=1，故选C．设乙还需x天完成，根据甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成一项工程需要6天．这项工程，甲独做3天后乙再加入合做，可列方程求解．本题是个工程问题，根据工作量=工作时间×工作效率，且完成工作，工作量为1，可列方程．10.答案：A解析：试题分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义得出sinB与cosB的值，设点M的速度为a，则BM=at，再用at表示出MN及BN的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．∵Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∴sinB=ACAB =35，cosB=BCAB=45，设点M的速度为a，则BM=at，∵MN⊥AB，∴sinB=MNBM =MNat=35，cosB=BNBM=BNat=45，∴MN=3at5，BN=4at5，∴S△BMN=12BN⋅MN=12×4at5×3at5=6a2t225，∴△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象是二次函数在第一象限的一部分．故选A．11.答案：a<3解析：本题考查了二次根式的意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义，分母不等于0．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，3−a>0，解得a<3．故答案为a<3．12.答案：(−2015,−2)解析：解：∵正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)．∴对角线交点M的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2−1,−2)，即(1,−2)，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2−2,2)，即(0,2)，第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2−3,−2)，即(−1,−2)，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，∴连续经过2017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(−2015,−2)．故答案为：(−2015,−2)．由正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．此题考查了翻折变换(折叠问题)，点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)是解此题的关键．13.答案：3a+2解析：解：(3ab +2b)÷b =3a +2，故答案为3a +2．根据多项式除法的运算法则可计算求解．本题主要考查整式的除法，掌握整式除法的运算法则是解题的关键．14.答案：40解析：解：∵△ABC≌△DEF ，∴BC =EF ，∵△ABC 的周长是90cm ，AB =30cm ，AC =20cm ，∴EF =BC =90−30−20=40cm ．故答案为：40．根据全等三角形对应边相等可得BC =EF ，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 15.答案：2160解析：解：设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，∴{3a −4b =05a −6b =40，解得：{a =80b =60， 即小庆的速度为80米/分，小重开始的速度为60米/分，∴小重提速后的速度为60×2=120(米/分)，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，80t =120(t +1−6−3−1)，解得：t =27，∴学校到“开心之洲”的路程为80×27=2160(米)．故答案为：2160．设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，列方程组可得a ，b 的值，可得小重提速后的速度，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，根据路程相等列方程求出t ，小庆的速度×t 即可得学校到“开心之洲”的路程．本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数的性质和数形结合的思想解答．16.答案：解析：本题主要考查平方差公式根据题意可以得出左边图形的面积为：；右边图形的面积为：；所以17.答案：3√3+3解析：解：由作法得AE平分∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠BAE=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AB=√3BE=√3，在Rt△ABC中，AC=2AB=2√3，BC=√3AB=√3×√3=3，∴Rt△ABC的周长=√3+3+2√3=3√3+3．故答案为3√3+3．利用基本作图得到AE平分∠BAC，则∠BAE=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE 中计算出AB=√3，在Rt△ABC中计算出AC=2√3，BC=3，然后可得到Rt△ABC的周长．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．18.答案：<>解析：解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k<0，b>0．故答案为：<；>．由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系即可找出k，b的正负．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．19.答案：11−a2解析：解：原式=a−1(a+1)(a−1)−a(a+1)(a−1)=a−1−a(a+1)(a−1)=11−a2，故答案为：11−a2原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．20.答案：解：(1)9a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(9a2−b2)=(x−y)(3a+b)(3a−b)．(2)(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=2x2−2x−15−x2+1=2−2x−14=2−2x=16x=−8．解析：(1)先变形，再提取公因式，最后根据平方差公式分解即可．(2)先转化为一元一次方程的形式，然后解方程．考查了多项式乘多项式，单项式乘单项式，以及因式分解，属于基础计算题．21.答案：解：(1)原式=a(a−b)a2⋅ab(a+b)(a−b)=ba+b；(2)原式=(a+1)(a−1)a−1−a2a−1=a2−1a−1−a2a−1=−1a−1．解析：(1)先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可得；(2)先通分，再根据法则计算可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．22.答案：解：(1)∵AB=AC∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，∵MN垂直平分线AC∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=70°−40°=30°；(2)∵MN是AC的垂直平分线∴AD=DC，AC=2AE=10，∴AB=AC=10，∵△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC=17，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=17+10=27．解析：(1)先根据等腰角形的性质求出∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，再由MN垂直平分线AC可知AD= CD，所以∠ACD=∠A，再根据∠BCD=∠ACB−∠ACD即可得出结论；(2)由MN是AC的垂直平分线可知，AD=DC，AC=2AE，所以AB=AC，再由△BCD的周长=BC+ CD+BD=AB+BC=17，可求出△ABC的周长．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．23.答案：解：去分母得：2x=x−2−1，解得：x=−3，经检验x=−3是分式方程的解．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24.答案：证明：∵点F是DE的中点，∴DF=EF，∵∠DFN=∠EFM，∴180°−∠DFN=180°−∠EFM，∴∠DFM=∠EFN，在△DFM和△EFN中，{∠D=∠E DF=EF ∠DFM=∠EFN ，∴△DFM≌△EFN(ASA)∴DM=EN．解析：证出∠DFM=∠EFN，由ASA证明△DFM≌△EFN，即可得出结论DM=EN．本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角定义；证明三角形全等是解决问题的关键．25.答案：(1)20；(2)解：∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60，∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)解：∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40，∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)12,92,112解析：解：(1)80÷4=20(件)，故答案为：20；(2)∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60， ∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40， ∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)40x −10=20x ，解得：x =12，10x +60−10=30x −40，解得：x =92，30x −40−10=10x +60，解得：x =112，当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x 的值为12,92,112，故答案为：12,92,112．(1)甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数，除以加工的总时间即可；(2)利用待定系数法求一次函数解析式即可；(3)利用函数解析式求出甲、乙两机器6小时加工的总件数，求其和即可；(4)根据题意列方程即可得到结论．此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．26.答案：解：(1)由题意得：t>0，当x=0时，y=2t=b+2t−5．∴b=5．∴y=−t5x+2t．若y=tx+2t=0，则x=−2．∴B(−2,0)．若y=−t5x+2t=0，则x=10．∴C(10,5)．∴BC=10−(−2)=12．(2)∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE=12BC=12×12=6．又∵C(10,0)，B(−2,0)，∴OC=10，OB=2．∴OE=OC−EC=10−6=4．∴x F=4．∴y F=−t5x+2t=−45t+2t=65t．∴EF=65t．由题意得：y轴//EF．∴∠KOB=∠BEF，∠BKO=∠BFE．∴△BKO∽△BFE．∴OBBE =OKFE．∴26=OK65t．∴OK=25t．当x=0时，y A=tx+2t=t⋅0+2t=2t．∴OA=2t．∴AK=OA−OK=2t−25t=85t．∴d=85t(t>0)．(3)设点H的横坐标为m，∵点H在直线AC上，∴点H的坐标为(m,2t−mt5)；∵∠BGC+∠BHC=180°，且BH=3CG时，∴∠BGC=60°，∠BHC=120°，根据三角函数即AC的斜率为k=t5，∴t=2，∴直线AC的解析式为：y=−25+4，∴H(m,4−25m)∵BH=3CG，∴m=6，∴H(6,8 5 ).解析：(1)根据一次函数的解析式与x轴、y轴的交点坐标特征，令y=0，x=0，求出点B、C的坐标，即可求出BC的长度；(2)根据垂直平分线，求出点E的坐标；将点F代入AC的函数解析，求出点F的坐标；再利用相似，求出OK的长度，从而得出d与t的函数关系；(3)利用∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求出t的值，即可求出点H的坐标．本题是一次函数的综合应用题，涉及知识点有：待定系数法，相似，垂直平分线等，体现了数学的转化思想，考查了学生的推理能力、计算能力、直观想象等．27.答案：(1)证明：由题意得，OA=4，OC=4，OB=2，∵∠COB=90°，∠AFB=90°，∴∠BAF=∠BCO，在△AOE和△COB中，{∠AOE=∠COB=90°OA=OC∠OAE=∠OCB，∴AOE≌△COB(ASA)；(2)∵AOE≌△COB，∴AE=BC=2√5，(3)S△CDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD．∵∠AOC=90°，OA=OC，D为AB的中点，∴OD⊥AC，∠COD=∠AOD=45°，OD=DA=CD ∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD．∵MD⊥ND，即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°−∠MDA，在△ODM与△ADN中，{∠MOD=∠NAD ∠ODM=∠ADN OD=ND，∴△ODM≌△ADN(AAS)∴S△ODM=S△ADN，∴S△CDM−S△ADN=S△CDO=12S△CAO=12×12×4×4=4．解析：(1)根据同角的余角相等得到∠BAF=∠BCO，利用ASA定理证明△AOE≌△COB；(2)根据全等三角形的性质求出AE；(3)连接OD.证明△ODM≌△ADN，得到S△ODM=S△ADN，结合图形得到S△CDM−S△ADN=S△CDO，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.答案：解：(1)如图1中，∵OA=9，OC=15，∵△DEC是由△OEC翻折得到，∴CD=OC=15，在Rt△DBC中，DB=√DC2−BC2=12，∴AD=3，设OE=ED=x，在Rt△ADE中，x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴E(0,5)，，设直线EC的解析式为y=kx+5，把(15,0)代入得到k=−13x+5．∴直线EC的解析式为y=−13(2)①如图2中，∵MD′=MO，∠D′MF=∠OMF，∵OM//GD′，∴∠OMT=∠D′TM，∴∠D′MT=∠D′TM，∴D′M=D′T，∴OM=D′T，∵OA =D′G ，∴AM =TG ．②如图3中，连接OT ，由(2)可得OT =D′T ，由勾股定理可得x 2+y 2=(9−y)2，得y =−118x 2+92．结合(1)可得AD′=OG =3时，x 最小，从而x ≥3，当MN 恰好平分∠OAB 时，AD′最大即x 最大，此时G 点与N 点重合，四边形AOFD′为正方形，故x 最大为9.从而x ≤9，∴3≤x ≤9．(3)由(2)得，当x =6时，y =−118×62+92=52， ∴AD′=OG =x =6，∴AM =TG =y =52，OM =9−52=132， ∵OM//GD′，∴GF OF =TG OM ，即OF−6OF =52132， 解得：OF =394，∴四边形MOFD′的面积=S 梯形AOFD′−S △AMD′=12×(6+394)×9−12×52×6=5078． 答：四边形MOFD′的面积为5078．解析：(1)在Rt △DBC 中，根据DB =√DC 2−BC 2，设OE =DE =x ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出x 即可．(2)①只要证明OM =D′T ，DG =OA 即可．②如图3中，连接OT ，在Rt △OTG 中利用勾股定理即可解决问题．(3)．本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、面积的计算等知识，解题的关键是运用数形结合的思想方法，灵活应用这些知识解决问题，属于中考压轴题．29.答案：解：(1)设直线AB 解析式为：y =mx +n根据题意可得：{0=−3m +n n =4∴{m =43n =4∴直线AB 解析式为：y =43x +4(2)若点C 在直线AB 右侧，如图1，过点A 作AD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵∠ABC =45°，AD ⊥AB∴∠ADB =∠ABC =45°∴AD =AB ，∵∠BAO +∠DAC =90°，且∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠DAC ，AB =AD ，∠AOB =∠AED =90∴△ABO≌△DAE(AAS)∴AO =DE =3，BO =AE =4，∴OE =1∴点D(1,−3)∵直线y=kx+b过点D(1,−3)，B(0,4)．∴{−3=k+b4=b∴k=−7若点C在点A右侧时，如图2同理可得k=17综上所述：k=−7或17(3)设直线DN的解析式为：y=43x+n，且过点N(−0.6t,0)∴0=−0.8t+n∴n=0.8t∴点D坐标(0,0.8t)，且过点N(−0.6t,0)∴OD=0.8t，ON=0.6t∴DN=√ON2+OD2=1∴DN=AM=1，且DN//AM∴四边形AMDN为平行四边形，当AN=AM时，四边形AMDN为菱形，∵AN=AM∴t=3−0.6t∴t=15 8∴当t=158时，四边形AMDN为菱形．解析：(1)利用待定系数法可求直线AB解析式；(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求解；(3)先求点D坐标，由勾股定理可得DN=AM=t，可证四边形AMDN是平行四边形，即当AM=AN 时，四边形AMDN为菱形，列式可求t的值．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
北京市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
北京市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC，在线段CB延长线上取一点P,以AP为△, 过点D作DE⊥CB,垂足直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰Rt APD为点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：AC=PE；（3）连接DB，并延长交AC的延长线于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明．2．在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2 B．6 C．10 D．123．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形ABC 中，BAC ∠︒＞90，=ACB α∠，=ABC β∠，过点A 的直线l 交BC 边于点D ．点E 在直线l 上，且=BC BE ．（1）若=AB AC ，点E 在AD 延长线上．① 当=30α︒，点D 恰好为BC 中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;② 如图2，若=2BAE α∠，图中是否存在“半角三角形”（△ABD 除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；（2）如图3，若AB AC ＜，保持BEA ∠的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出BAE ∠，α，β 满足的数量关系：______．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F .（1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明.5．如图，∠MON =60°，点A 是OM 边上一点，点B ，C 是ON 边上两点，且AB =AC ，作点B 关于OM 的对称点点D ，连接AD ，CD ，OD .（1）依题意补全图形；（2）猜想∠DAC °，并证明；（3）猜想线段OA、OD、OC的数量关系，并证明.6．已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）,动点F在射线AC上，连结DE, DF.(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；(3)当点E,D,F在同一条直线上时，①依题意补全图3；②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？（填“存在”或“不存在” ）.7．在△ABC中，AB＞BC,直线l垂直平分AC.（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD .①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2）如图2，直线l 与△ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD .求证：∠BAD =∠BCD .8．对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在△ABC 的边上，且123n PM PM PM PM ====，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C .若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）9．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒,点D 在BC 边上，连接,,AD AE AD AE AD ⊥=，连接,CE DE（1）求证：B ACE ∠=∠（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接,CM EM①补全图形并证明EMC BAD ∠=∠②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当,,D E M 三点恰好共线时点D 的位置，请直接写出此时BAD ∠的度数，并画出相应的图形10．在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠MDN 的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM =DN .（1）如图甲，若∠C =90°，∠BAC =60°，AC =9，∠MDN =120°，ND ∥AB .①写出∠MDA = °，AB 的长是 .②求四边形AMDN 的周长；（2）如图乙，过D 作DF ⊥AC 于F ，先补全图乙再证明AM +AN =2AF .11．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .（1）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明.12．我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H 代表所有的水平移动，H 1代表向右水平移动1个单位长度，H -1代表向左平移1个单位长度；S 代表上下移动，S 1代表向上移动1个单位长度，S -1代表向下移动1个单位长度，(__)P H S →表示点P 在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；(__)P S H →表示点P 在网格内先一次性上下移动，在此基础上再一次性水平移动.（1）如图，在网格中标出(12)A H S →移动后所到达的目标点'A ；（2）如图，在网格中的点B 到达目标点A ，写出点B 的移动方法________________；（3）如图，在网格内有格点线段AC，现需要由点A出发，到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.13．如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.（1）补全图形；（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.14．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接EC 并延长，交射线AD 于点F .（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.参考答案1．（1）见解析；（2）见解析；（3）AC=CF，见解析【分析】（1）根据描述作出图形；（2）先证明△ACP≌△DEP，根据全等的性质即可得出结论；（3）根据（2）中全等得出PC=DE，再由线段间的转化可得出PC=BE，故可得出△DBE为等腰直角三角形，从而△BCF也为等腰直角三角形，结论得证.【详解】解：（1）依题意补全图形；（2）证明：∵DE⊥CB, ∠C=90°，∴∠DEP=∠C =90°，∴∠3+∠2=90°，又∵∠APD =90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，又∵AP=DP，∴△ACP≌△PED （AAS），∴AC=PE.（3）线段CF与AC的数量关系是CF=AC.∵△ACP≌△PED，∴PC=DE，又∵AC=BC，∴BC=PE，∴PC=BE,∴BE=DE，即△DBE为等腰直角三角形，易证△BCF为等腰直角三角形，∴BC=CF，∴AC=CF .【点睛】本题主要考查全等以及等腰三角形的判定，是中考常考题型.2．(1)见解析;(2)40°,160° ，140° ，80°;(3)C.【分析】（1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点；（2）根据题意分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的点即为点P，连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P，最后分类讨论即可求∠BPC的度数；（3）分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.【详解】解：（1）作BC 边的垂直平分线：分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；同理作AB 边的垂直平分线：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径，连接其圆弧的交点； AB 边的垂直平分线与BC 边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.∴点P 为所求.（2）作BC 边上的垂直平分线，再分别以A 、C 为圆心，AC 为半径画圆，交BC 边的垂直平分线的交点从上至下依次为134P P P 、、 ,连接两圆的交点，交CB 边的垂直平分线的交点为2P ，1234p p p p 、、、、即为所求.①接11BP CP 、,∵1AB AC AP ==,∴1111P BA BP A,PCA CP A ∠=∠∠=∠, ∵1111P BA BP A P CA CP A BAC 80∠+∠+∠+∠=∠=∴1111BPC BP A CP A BAC 402∠=∠+∠=∠=； ②连接22BP CP 、,∵2P 是AC 、BC 边的垂直平分线的交点，∴222BP CP AP ==∴2222BAP ABP ,ACP CAP ∠=∠∠=, 22222BP C BAP ABP ACP CAP ∠=∠+∠+∠+即：()222BP C 2BAP CAP 2BAC 160∠=∠+∠=∠=③接 33BP CP 、,∵AB AC =,3AP 为BC 边上的垂直平分线， ∴331BAP CAP BAC 402∠=∠=∠= ∵3AB AC AP ==,∴()33333ABP AP B ACP AP C 180BAP 270∠=∠=∠=∠=-∠÷=∴3333BP C BP A CP A 2BP A 140∠=∠+∠=∠=；④连接44BP CP 、，∵AB AC =,4AC CP =,4AP 为BC 边上的垂直平分线,∴44AB AC BP CP ===,∴4444BAP BP A,CAP AP C ∠=∠∠=∠,44444BP C AP C AP B CAP BAP BAC 80∠=∠+∠=∠+∠=∠=；综上所述BPC ∠的度数可能为4080140160、、、.（3）分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图：巧妙点P 有10个，故选C.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是在理解题意的前提下明白巧妙点就是三角形两条边的垂直平分线的交点，以及构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等.3．（1）① 如图，见解析；△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ; ②存在，“半角三角形”为△BAE ；证明见解析；（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【分析】（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ，构造全等三角形△BAF ≌△BAC ．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得BEA F C α∠=∠=∠=，从而可得出结果.（2）由（1）中②可知，BEA C α∠=∠=，延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF ，构造全等三角形△CBF ≌△EBA ，进而可得出=FAB BAE αβ∠=∠+.因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠，所以可得出另外一种情况.【详解】（1）① 如图，图中的一个 “半角三角形”：△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ;② 存在，“半角三角形”为△BAE .延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ．∵AB AC =，∴ αβ=.∴ 1802BAC α∠=︒-.∵2BAE α∠=，∴1802BAF α∠=︒-．∴BAF BAC ∠=∠．在△BAF 和△BAC 中，,,,AF AC BAF BAC BA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BAF ≌△BAC .∴ F C ∠=∠，BF BC =.∵ BE BC =，∴ BF BE =.∴BEA F C α∠=∠=∠=．∴∠BAE=2∠BEA,∴△BAE 为“半角三角形”.（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒.解：①延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF,∵BC BE =，=AEB ACB α∠=∠，∴△CBF ≌△EBA .过点B 分别作BG CF ⊥于点G ，BH AE ⊥于点H ,可得BG BH =.∴=FAB BAE αβ∠=∠+.②因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠．可知：180180()BAE BAE αβ'∠=︒-∠=︒-+.综上所述，这三个角之间的关系有两种，BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【点睛】对于新定义问题，理解概念是关键.同时需要结合等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题，另外在解题时，注意运截长补短法构造全等的运用.4．（1）见解析；（2）45ABF α∠=︒+；（3）BC =2EF ，证明见解析.【分析】（1）根据题意画图即可补全图形；（2）如图3，连接AE 、DE ，根据轴对称的性质可得：AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，进而可用α的代数式表示出∠BAF ，然后在等腰△ABE 中利用三角形的内角和即可求出ABF ∠； （3）如图4，设AF 、CE 交于点G ，由△ACE 是等边三角形可得∠EAC =60°，CE=AC ，然后根据轴对称的性质可得AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，进而可得∠BAF =60°，CE =2EG ，易证△EFG 为等腰直角三角形，从而可得EF =，而BC =，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）补全图形如图2：（2）如图3，连接AE 、DE ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AB =AE ，902BAE α∠=︒-， ∴()1809021804522BAE ABF αα︒-︒-︒-∠∠===︒+；（3）猜想：BC =2EF .证明：如图4，设AF 、CE 交于点G ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC =60°，CE=AC ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，∴∠BAF =60°，CE =2EG ，由（2）题知，∠ABF =45°+30°=75°，则在△ABF 中，∠AFB =180°－∠ABF －∠BAF =45°，∴∠GEF =45°，∴EF =，又∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴BC =，∴2BC EF ===.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、等边三角形的的性质和轴对称的性质等知识，根据题意正确画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键.5．（1）见解析；（2）60，证明见解析；（3）猜想：AO=OC+OD ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）连接BD，如图2，由点B与点D关于AO对称，可得AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，然后利用三角形的外角性质和三角形的内角和可得∠BAC与∠OAB的关系，而∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC，进一步即可得出∠DAC的度数；（3）在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，先根据SAS证明△ABO≌△ACF，可得∠AFO＝∠AOB＝60°，进而可证得△AOF是等边三角形，于是AO=OF，而点B与点D关于AO对称，于是有OB=OD，进一步即可得出线段OA、OD、OC的数量关系.【详解】解：（1）补全图形如图1：（2）∠DAC =60°；证明：连接BD，如图2，∵点B与点D关于AO对称，∴BD被AO垂直平分，∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°－2∠OAB，∴∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC＝2∠OAB+60°－2∠OAB=60°；故答案为：60；（3）猜想：AO=OC+OD.证明：在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠ACF，∴△ABO≌△ACF（SAS），∴∠AFO＝∠AOB＝60°，∴△AOF是等边三角形，∴AO=OF，∵点B与点D关于AO对称，∴OB=OD，∴OD=CF，∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题关键.6．（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在【分析】（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；（3）①根据题意补全图形即可；②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．【详解】（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∴∠EGD=∠FHD=90°．∵∠DEB+∠GED=180°，∠DEB+∠DFC=180°，∴∠GED=∠DFC．∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD．∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH．在△EGD和△FHD中，∵GED DFCEGD FHD DG DH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD≌△FHD，∴DE=DF．（3）①作图如下：②不存在．理由如下：假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴BE=EG．∵BE=CF，∴EG=CF．在△EGD和△FCD中，∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，∴△EGD≌△FCD，∴GD=CD．∵BD=CD，∴BD=GD，∴G与B重合．∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，∴BE=CF不成立，∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是正确作出辅助线．7．（1）①见解析；②∠BAD+∠BCD=180°，证明见解析；（2）见解析.【分析】（1）①根据题意画图即可补全图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DF，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADE≌Rt△CDF，进而可得∠BAD=∠DCF，进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系；（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DH，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADH≌Rt△CDG，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）①补全图形如图3；②∠BAD+∠BCD=180°.证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，∵∠DCF+∠BCD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；（3）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），∴∠BAD=∠BCD，【点睛】本题考查了依题意作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题关键.8．（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）11 32a PC a<<.【分析】（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；②根据题意，点P在∠BAC的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P作AB、AC 的垂线段即可；（2）显然点D 不可能在AB 边上，分点D 在等边△ABC 的边AC 、BC 上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；（3）先求出△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C 时的PC 的长，进而可得答案.【详解】解：（1）①∵点P 是BC 的中点，∴PB=PC ，∴点B 、C 是△ABC 关于点P 的等距点； ∵P A ≠PB ，∴线段P A ，PB 不是△ABC 关于点P 的等距线段；故答案为：是，不是；②线段1PM ，2PM 如图3所示：（2）显然，点D 不可能在AB 边上，若点D 在AC 边上，如图4所示，∵△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD ，∴△PCD 是等边三角形，∴CD=PC =1；若点D 在BC 边上，如图5所示，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD =1，∴CD =2；∴DC =1或2；（3）当PM ⊥AB 且PM=PC 时，如图6，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∵∠B ＝30°，∴BP =2PM ，∴BC =3PC =a ，∴13PC a =； 当点P 为BC 的中点时，如图7所示，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∴1122PC BC a ==； ∴△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 时，PC 长的取值范围是：1132a PC a <<.【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30°角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.9．（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，22.5BAD ∠=︒.【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD =∠CAE ，再根据SAS 证得△BAD ≌△CAE ，进而可得结论；（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE ，CM=CA ，然后根据SSS 可推出△CME ≌△CAE ，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD =∠CAE 即可证得结论；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM =135°，然后在△AEH 和△DCH 中利用三角形的内角和可得∠HAE =∠HDC ，进而可得EMC CDM ∠=∠，接着在△CDM 中利用三角形的内角和定理求出∠CMD 的度数，再利用①的结论即得答案.【详解】解：（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE=90°，∴∠CAE +∠DAC =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =90°，∴∠BAD =∠CAE ，又∵BA=CA ，DA=EA ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴B ACE ∠=∠；（2）①补全图形如图2所示，∵点A 关于直线CE 的对称点为M ，∴ME=AE ，CM=CA ， ∵CE=CE ，∴△CME ≌△CAE （SSS ），∴EMC CAE ∠=∠，∵∠BAD =∠CAE ，∴EMC BAD ∠=∠；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由（1）题知：45B ACE ∠=∠=︒，∵△CME ≌△CAE ，∴45MCE ACE ∠=∠=︒，∴∠DCM =135°，在△AEH 和△DCH 中，∵∠AEH =∠ACD =45°，∠AHE =∠DHC ，∴∠HAE =∠HDC ， ∵EMC CAE ∠=∠，∴EMC CDM ∠=∠， ∴180********.522DCM CMD ︒-∠︒-︒∠===︒， ∵EMC BAD ∠=∠，∴22.5BAD ∠=︒.【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键.10．（1）①90，18；②30；（2）详见解析.【分析】（1）①先根据角平分线的定义可求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质求出∠ADN的度数，进而可得∠MDA的度数；易求得∠B=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长；②易求得∠ADN=∠DAN=∠CDN=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得DN=2CN，AN=DN，进一步可得AC=3CN，即可求出CN的长，进而可求AN、DN的长，而由已知MD=ND，所以MD可得，然后在直角△AMD中利用30°角的直角三角形的性质即可求出AM的长，问题即得解决；（2）过点D作DG⊥AB于G，由HL分别证明Rt△ADG≌Rt△ADF和Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG＝NF，AG＝AF，再把AM+AN变形即可得出结论．【详解】解：（1）①∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∵∠MDN=120°，∴∠MDA=90°；∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AC=9，∴AB=18；故答案为：90，18；②在△ACD中，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，∵∠ADN=30°，∴∠CDN=30°，∠ADN=∠DAN，∴DN=2CN，AN=DN，∵AC=9，∴AN+CN=2CN+CN=9，解得：CN=3，∴AN=DN=6，∵DM=DN，∴DM=6，∵∠MDA=90°，∠BAD =30°，∴AM=2MD=12，∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+NA=12+6+6+6=30；（2）补全图乙如图1，证明：过点D作DG⊥AB于G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DF＝DG，在Rt△ADG和Rt△ADF中，DG DF AD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，在Rt△DFN和Rt△DGM中，DF DG DN DM=⎧⎨=⎩，∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），∴NF＝MG，又∵AG＝AF，∴AM+AN＝AG+MG+AN＝AF+NF+AN＝AF+AF＝2AF．【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、30°角的直角三角形的性质和直角三角形全等的判定等知识，涉及的知识点多，熟练掌握上述知识、并通过作辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．11．（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD ，CE 之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD ，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，∠DCP =∠ACP =α，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB =60°，∴∠BCD =602α︒+，BC=DC ，∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ， ∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ， ∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.12．（1）见解析；（2）(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）见解析.【分析】（1）根据题意，(12)A H S →表示点A 先向右水平移动1个单位，再向上移动2个单位，据此即可标出点A '；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，据此解答即可；（3）先找出全部符合题意的点D ，再根据点的位置写出移动方法即可.【详解】解：（1）目标点A '的位置如图1所示；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，所以点B 的移动方法是：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；故答案为：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）如图2所示，使得A 、C 、D 三点构成的格点三角形是等腰直角三角形的点D 共有5个，分别是：D 1、D 2、D 3、D 4、D 5；∴A 到D 1的移动方法是：()24A H S -→或()42A S H →-；A 到D 2的移动方法是：()42A H S →或()24A S H →；A 到D 3的移动方法是：()31A H S →-或()13A S H -→；A 到D 4的移动方法是：()12A H S -→或()21A S H →-；A 到D 5的移动方法是：()21A H S →或()12A S H →.【点睛】本题考查了网格中点的平移规律和等腰直角三角形的判定等知识，正确理解题意、弄清平移的方法和规律是解题的关键.13．（1）见解析；（2）∠AEB =45α︒+；（3）BC ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD ，再由BE =AB ，可得∠AEB =∠BAE ，然后利用三角形的内角和定理即可求得结果；（3）设l 与BC 交于点H ，过点E 作EG ⊥BF 于点G ，如图3，先利用轴对称的性推出∠BAH =∠CAH =α，再根据质余角的性质推出∠CBD =∠CAH =α，进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出∠F=45°，进而可得EF=，然后根据AAS可证明△ABH≌△BEG，从而得BH=EG，而BC=2BH，进一步即可得出EF与BC的数量关系. 【详解】解：（1）补全图形如图1所示：（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=()1809021804522ABEαα︒-︒-︒-∠==︒+；（3）线段EF与BC的数量关系是：BC.证明：设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图2，∵点B关于直线l的对称点为C，∠BAC=2α，∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，∴∠CBD=∠CAH=α，∵∠AEB45α=︒+，∠AEB=∠CBD+∠F，∴∠F=45°，则△EFG为等腰直角三角形，∴EF=，∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，∴△ABH≌△BEG（AAS），∴BH=EG，∵BC=2BH，∴BC=2EG.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、余角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确作出图形、熟练掌握上述知识是解题关键.14．（1）答案见解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接AE，根据对称性得到AE =AB ，∠F AB =∠F AE ，设∠F AC =α，则∠F AB =∠F AE = 60︒-α，故∠EAC = 60︒-α-α= 60︒- 2α，再根据AE =AC 得到∠AFE = 180︒-∠F AE -∠FEA = 60︒ ；（3）作∠FCG = 60︒交AD 于点G，连接BF，根据等边三角形的性质得到∠ACG = 60︒-∠GCD=∠BCF，再证明△ACG ≌△BCF，得到AG =BF，再根据对称性得到BF =EF 再得到AF =EF +CF【详解】（1）补全图形：（2）连接AE，∵△ABC 是等边三角形，∴ AB = AC = BC ， ∠BAC = ∠BCA = 60︒.∵点B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ AE = AB ，∠F AB = ∠F AE .设∠F AC = α，则∠F AB = ∠F AE = 60︒ -α∴ ∠EAC = 60︒ -α-α= 60︒ - 2α， 又 AE = AC .∴ ∠AFE = 180︒ - ∠F AE - ∠FEA = 60︒（3） AF = EF + CF证明：如图 3，作∠FCG = 60︒ 交 AD 于点 G ，连接 BF .∴△ FCG 是等边三角形.∴ GF = CF = GC . ∠CGF = ∠GFC = ∠FCG = 60︒ .∴∠ACG = 60︒ - ∠GCD = ∠BCF在△ ACG 和△ BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ ACG ≌△ BCF .∴ AG = BF .∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ BF = EF .∵ AF = AG + GF .∴ AF = EF +CF【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的根据是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理、对称轴的性质.。
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案八年级数学 2021.1试卷满分：100分，考试时刻：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．运算22-的结果是（ ）．A.14B.14- C.4 D.4- 2．下列剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）． A.()xz yz z x y -+=-+ B. ()223232a b ab ab ab a b -+=- C. 232682(34)xy y y x y -=- D. 234(2)(x 2)3x x x x +-=+-+4．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 5．已知一次函数(2)3y m x =-+的图象通过第一、二、四象限，则m 的取值范畴是（ ）．A ．0m <B ．0m >C ．2m <D ．2m >6．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x + B ．11x -+ C ．11x -- D ．11x - 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则那个等腰三角形的周长是为（ ）．A. 8B. 10C. 8或10D.6或128．如图，B ，D ，E ，C 四点共线，且△ABD ≌△ACE ，若∠AEC =105°，则∠DAE 的度数等于（ ）．A. 30°B.40°C. 50°D.65°9．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，与AC 交于点D ，DE ⊥AB于点E ，若BC =5，△BCD 的面积为5，则ED 的长为（ ）．A. 12B. 1C.2D.510．如图，直线y =﹣x +m 与直线y =nx +5n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +5n ＞0的整数解为（ ）．A.﹣5 ，﹣4，﹣3B. ﹣4，﹣3C.﹣4 ，﹣3，﹣2D. ﹣3，﹣2二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题2分）11．若分式11-x 在实数范畴内有意义，则x 的取值范畴是 ． 12．分解因式224x y -= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P （-2，3）关于y 轴的对称点的坐标是 ．14．如图，点B 在线段AD 上，∠ABC =∠D ， AB ED =．要使△ABC ≌△EDB ，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．15．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ， AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB=8，△MBC 的周长是14 ，则BC 的长为 ．16．关于一次函数21y x =-+，当-2≤x ≤3时，函数值y 的取值范畴是 ．17．如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，能够在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC =CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长确实是AB 的长，其中用到的数学原理是：_ ．S (米)412048010a 018．甲、乙两人都从光明学校动身，去距离光明学校1500m 远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚动身4min ．设甲行走的时刻为t (单位：min)，甲、乙两人相距 y (单位：m)，表示y 与t 的函数关系的图象如图所示，依照图中提供的信息，下列说法： ①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m 处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m ④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是__ _（填写正确结论的序号）．练习题改编，识图能力，如何提取信息，数形结合思想三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题5分； 第26题6分，第27题7分）19．分解因式：（1）2()3()a b a b -+- （2）221218ax ax a -+解： 解：20．运算：（1）42223248515a b a b c c ÷ （2）24()212x x x x x x -⋅+++ 解： 解：21．已知2a b-=，求222()2ab aaa ba ab b÷---+的值．解：22．解分式方程2242111x x xxx-+=+-解：23．已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A=∠C，∠1=∠2，OD＝OB．求证：AD=CB．证明：24．列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济进展受到了制约，自从“高铁网络”在全国连续延伸以后，许多地区的经济和旅行发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅行，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时刻少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的 2.5倍，求高铁列车的平均时速．解：25．在平面直角坐标系xOy 中，将正比例函数2y x =-的图象沿y 轴向上平移4个单位长度后与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）画正比例函数2y x =-的图象，并直截了当写出直线BC 的解析式； （2）假如一条直线通过点C 且与正比例函数2y x =-的图象交于点P (m ，2)，求m 的值及直线CP 的解析式．解：（1）直线BC 的解析式： ；（2）26．阅读下列材料：利用完全平方公式，能够将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把如此的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++- ＝(8)(3)x x ++ 依照以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始显现错误的地点，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．（1）解：（2）正确的解答过程是：（3）证明：解： 2340x x -- =22233340x x -+-- =2(3)49x -- =(37)(37)x x -+-- =(4)(10)x x +-27．已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判定BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．图1 备用图（1）BF与CF的数量关系为：．证明：（2）解：北京市西城区2020— 2021学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2021.1试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．（1）已知32a ba+=，则ba= ；（2）已知115a b-=，则3533a ab ba ab b----= ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．观看下列各等式：(8.1)(9)(8.1)(9)---=-÷-，11()(1)()(1)22---=-÷-，4242-=÷，993322-=÷，┅┅依照上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）填空：－4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特点：－＝÷；（4）假如用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0 且x≠1），①x与y之间的关系能够表示为：（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x时，y有最值(填“大”或“小”)，那个最值为．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．（1）依题意补全图1；（2）线段OA，AC，OD之间的数量关系为：_____________________________；证明：（3）解：附加题答案1、（1）13（2）522、（1）差商（2）16 3（3）25255544-=÷；36366655-=÷（4）①21xyx=-②2 小43、（1）（2）作BE⊥OD四边形AOEB是正方形△ABC≌△BED∴OA+AC=OD（3）∵△ABC≌△BED ∴BC=BD∵BH⊥CD∴A、C、H、B四点共圆∴∠BAH=∠BCH=45°。
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。
2020年北京市八年级上册期末数学试卷及答案
2020年北京市八年级上册期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣63．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜84．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．（3分）对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞36．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣7．（3分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（3分）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．（2分）若分式的值为零，则x的值为．12．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．13．（2分）计算：20+2﹣2＝．14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC ＝5，则△BDC的周长是．15．（2分）如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式．16．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（6分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy20．（6分）计算：+21．（6分）解方程：+＝122．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．25．（5分）阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD （2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．五、解答题（本题8分）26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2020年北京市八年级上册期末数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），依此即可求解．【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于540°．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n ≥3）且n为整数）．5．（3分）对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，当k﹣3＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝，故错误；B、＝+，故错误；C、＝，故正确；D、＝﹣，故错误；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．7．（3分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（3分）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．（3分）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到点P运动的快，点Q运动的慢，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题．【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），6＝2t+t解得，t＝2此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm，相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm，由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s；相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P 点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．（2分）若分式的值为零，则x的值为 1 ．【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【解答】解：，则x﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．【点评】本题考查分式的值为0的条件，注意分式为0，分母不能为0这一条件．12．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．13．（2分）计算：20+2﹣2＝．【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为．【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC ＝5，则△BDC的周长是12 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．（2分）如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．【解答】解：由题可得，大正方形的面积＝a2+2ab+b2；大正方形的面积＝（a+b）2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 6 cm2．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（6分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．20．（6分）计算：+【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（6分）解方程：+＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x﹣3）（x+3），得x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，所以，原分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；（3）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），所以3a＝3．解得a＝1．（2）由（1）得点A（1，3），直线l2：y＝kx+b过点A（1，3），点B（ 2，4 ），所以，解得所以直线l2的解析式为y＝x+2.4 分（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．【分析】（1）根据正方形的性质以及A、D、B的位置即可求得；（2）求得E、F点的坐标，进而求得OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）如图，∵正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上，∴B（2，0），C（2，4）；（2）∵直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣1，0），F（0，5），∵B（2，0），C（2，4），∴OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，∴S梯形OBCF＝（OF+BC）•OB＝×（5+4）×2＝9，S△OEF＝OE•OF＝×1×5＝2.5，S△EBC＝EB•BC＝×3×4＝6，∴S△EFC＝S梯形OBCF+S△OEF﹣S△EBC＝9+2.5﹣6＝5.5．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．25．（5分）阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．【分析】根据题意设计“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程，连接DC．得到△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，根据等腰三角形的性质证明．【解答】解：作法：（1）延长BA至D，使AD＝AB；（2）分别以点B，点D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．则△ABC就是所求的直角三角形，证明：连接DC．由作图可知，BC＝BD＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC⊥BD，∴△ABC就是所求作的直角三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键．五、解答题（本题8分）26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2 α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．。
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学复习试卷含答案
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学复习试卷含答案初二数学复习检测试卷一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 运算0)2(-的结果是 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 22. 医学研究发觉一种新病毒的直径约为0.000043毫米，那个数用科学记数法表示为 （ ）A. 41043.0-⨯B. 41043.0⨯C. 5103.4-⨯D. 5103.4⨯3. 点P （1，2）关于y 轴对称点的坐标是 （ ）A. （－1，2）B. （1，－2）C. （1，2）D. （－1，－2）4. 下列运算中正确的是A. 10552a a a =+B. 623623a a a =⋅C. 326a a a =÷ D. 2224)2(b a ab =-5. 如图1，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下的部分与、地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为 （ ）图1A. 10米B. 15米C. 25米D. 30米6. 化简aba b a +-222的结果是 （ ）A.a b a 2- B. a b a - C. a b a + D. ba ba +-7. 如图2：已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，则下列结论中错误的是 （ ）CD图2A. ∠B ＝∠CB. ∠BAD ＝∠CADC. AD ⊥BCD. ∠BAC ＝∠C8. 已知点A(-2，1y )、B(-1，2y )、C(3，3y )都在反比例函数xy 2=的图象上，则 （ ）A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 312y y y <<D. 213y y y << 9. 若21=+x x ，则221xx +的值是 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －410. 如图3：△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AC 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC ＝5，那么△ABC 的周长是（ ）图3A. 24B. 23C. 19D. 18二、填空题：（共8个小题，每小题2分，共16分）11. 在扇形统计图中，若其中一个扇形的面积占圆面积的41，则那个扇形的圆心角为_____________度。
2020~2021北京市海淀区八年级初二上学期数学期末试卷及答案
海淀区八年级第一学期期末学业水平调研数 学 2021．1学校 班级 姓名 成绩 一、 选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为ABCD2．KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m 的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为A ．6310-⨯B ．7310-⨯C ．60.310-⨯D ．70.310-⨯3．下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．236()a a =C ．33(2)2a a =D ．1025a a a ÷=4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．2(2)2x x x x -=-B ．22(1)21x x x +=++C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+5．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为A ．135︒B ．140︒C ．144︒D ．150︒6．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：AOB ∠．求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； （3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D '； （4）过点D '画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．小聪作法正确的理由是 A ．由SSS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠ B ．由SAS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠ C ．由ASA 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠D ．由“等边对等角”可得A O B AOB '''∠=∠7．如果2a b -=，那么代数式222a b ab a a b ⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭的值是 A ．2 B ．2-C ．12D ．12-8．在ABC 中，AB AC ≠，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高，中线，角平分线，则点D ，E ，F 的位置关系为 A ．点D 总在点E ，F 之间 B ．点E 总在点D ，F 之间 C ．点F 总在点D ，E 之间D ．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．若分式32x -有意义，则x 的取值范围是__________． 10．计算：()232a a a +÷=________________． 11．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．若=6AB ，则BD 的长为________________．A'B'O'C'D'DC O BA ACD B12．如图，AB BC ⊥，AD DC ⊥，垂足分别为B ，D ．只需添加一个条件即可证明ABC ADC ≌，这个条件可以是________________．（写出一个即可）13．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为1S ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为2S ； 具体数据如图所示，则1S _________2S ．（填“>”，“<”或“=”）14．如图，AB AC =，40A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ．则DBC ∠的大小为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(03)，，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 在x 轴上，若ABC 为等腰直角三角形，则点C 的坐标为________________．16．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A 点，将膝盖抽象为B 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C 点，将自行车中轴位置记为D 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A ，D 的位置不变，B ，C 为动点．图2是抽象出来的点和线．若40cm AB BC ==，16cm CD =，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD 最长为_________cm ．CDBACD BAMN三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（1）计算：2201()+2(2π)2----； （2）分解因式：22363x xy y -+．18．已知2310x x --=，求代数式(25)(25)2(1)x x x x +-+-的值．19．如图，C 是AB 的中点，CD ∥BE ，CD BE =，连接AD ，CE ．求证：AD CE =．图1 图2ABD CCD B AEAB CD20．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在ABC△中，ACAB>．求证：____________________________．证明：如图，由于AC AB>，故在AC边上截取AD AB=，连接BD．（在上图中补全图形）AD AB=，ABD∴=∠∠．（_________________________________）（填推理的依据）ADB∠是BCD的外角，ADB C DBC∴∠=∠+∠．（_____________________________）（填推理的依据）ADB C∴∠>∠．ABD C∴∠>∠．ABC ABD DBC=+∠∠∠，ABC ABD∴∠>∠．ABC C∴∠>∠．21．列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚. 某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份. 近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格.CBA22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥，且=AE BD ，AE 与BC 交于点F ． （1）求证：CE AD =；（2）当AD CF =时，求证：BD 平分ABC ∠．23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式246x x -+关于x =____________对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；（3）整式22(816)(44)x x x x ++-+关于x =____________对称．CDB AEF24．已知ABC △是等边三角形，点D 在射线BC 上（与点B ，C 不重合），点D 关于直线AC的对称点为点E ，连接AD ，AE ，CE ，DE ．（1）如图1，当点D 为线段BC 的中点时，求证：ADE △是等边三角形；（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE ，F 为线段BE 的中点，连接CF ．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD 与CF 的数量关系，并证明．图1 图2AB DC CD B A E25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴垂直的直线．对某图形上的点()P a b ，作如下变换：当b m ≥时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为I()m 变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P ，称为II()m 变换．若某个图形上既有点作了I()m 变换，又有点作了II()m 变换，我们就称该图形为-m 双变换图形．例如，已知(13)A ，，(21)B -，，如图1所示，当2m =时，点A 应作I(2)变换，变换后1A 的坐标是(33)，；点B 作II(2)变换，变换后1B 的坐标是(21)，．请解决下面的问题： （1）当0m =时，①已知点P 的坐标是(11)-，，则点P 作相应变换后的点的坐标是________； ②若点()P a b ，作相应变换后的点的坐标为(12)-，，求点P 的坐标；（2）已知点(15)C -，，(42)D -，，①若线段CD 是-m 双变换图形，则m 的取值范围是_________________； ②已知点()E m m ，在第一象限，若CDE 及其内部（点E 除外）组成的图形是-m 双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．图1 备用图海淀区八年级第一学期期末学业水平调研（数学）参考答案二、 选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．2x ≠ 10．32a + 11．312．答案不唯一，如：AB AD = 13．> 14．30︒15．(30)-，或(30)，（全写对得3分，只写对一个得1分，有错不得分） 16．64三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分） 17．（1）解：原式11144=+- ………………………3分 112=- 12=- ………………………4分（2）解：原式223(2)x xy y =-+ ………………………2分23()x y =- ………………………4分18． 解：原式22425+22x x x =-- ………………………2分26225x x =-- ………………………3分2310x x --=，231x x ∴-=． 22(3)25x x ∴=--原式 2125=⨯-23=-． ………………………5分19．证明：C 是AB 的中点，AC CB ∴=． ………………………1分 CD ∥BE ，ACD B ∴∠=∠． ………………………2分在ACD 和CBE 中，AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBE ． ………………………4分∴AD CE =． ………………………5分20．ABC C ∠>∠ ………………………1分………………………2分ADB ………………………3分等边对等角 ………………………4分 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ………………………5分21．解：设橘子每千克的价格为x 元，则香蕉每千克的价格为70%x 元． …………1分根据题意，得2800250015070%x x-= ………………………3分 解得10x = ………………………4分检验：当10x =时，70%0x ≠.所以原分式方程的解为10x =且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元． ………………………5分22．（1）证明：EC AC ⊥，90BAC ∠=︒90ACE BAC ∴∠=∠=︒在Rt CAE 和RtABD 中，AE BD CA AB =⎧⎨=⎩，， ∴Rt CAE ≌Rt ABD ． ………………………1分∴CE AD =． ………………………2分（2）证明：由（1）得Rt CAE ≌RtABD ，21∴∠=∠，3E ∠=∠． ………………………3分由（1）得CE AD =，AD CF =， CE CF ∴=．4E ∴∠=∠．………………………4分 45∠=∠， 5E ∴∠=∠． 3E ∠=∠， 53∴∠=∠．623∠=∠+∠，675∠=∠+∠，27∴∠=∠．………………………5分 21∠=∠，17∴∠=∠．7654321GCDBAEF∴BD 平分ABC ∠． ………………………6分23．（1）2 ………………………1分 （2）解：22223()3x bx x b b ++=++-， ………………………2分∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称．3b ∴-=．3b ∴=-．………………………3分 （3）1- ………………………5分24．（1）证明：点D ，E 关于直线AC 对称，AD AE ∴=，DAC EAC ∠=∠． ………………………1分ABC 是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒．点D 为线段BC 的中点，11=603022DAC BAC ∴∠=∠⨯︒=︒．30DAC EAC ∴∠=∠=︒． 60DAE ∴∠=︒． AD AE =，ADE ∴是等边三角形．………………………2分 （2） 补全图形. ………………………3分线段AD 与CF 的数量关系：2AD CF =． 证明：延长CF 到点G ，使GF CF =，连接BG ．F 为线段BE 的中点， BF EF ∴=．在BFG 和EFC 中，GF CF BFG EFC BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BFG ≌EFC ． ………………………4分∴GB CE =，G FCE ∠=∠．GFECDBA∴BG ∥CE ．ABC 是等边三角形， AC BC ∴=，60ACB ∠=︒． 120ACD ∴∠=︒．点D ，E 关于直线AC 对称，CD CE ∴=，120ACD ACE ∠=∠=︒． 60CD BG BCE ∴=∠=︒，． BG ∥CE ．180BCE CBG ∴∠+∠=︒．120CBG ∴∠=︒． ………………………5分 ACD CBG ∴∠=∠．在ACD 和CBG 中，AC CB ACD CBG CD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBG ．AD CG ∴=．2AD CF ∴= ………………………6分25．（1）① (11)， ………………………1分② 解：0m =，∴直线l 为y 轴．若0b ≥，则()P a b ，作I(0)变换，变换后的点为()a b -，，∴12.，-=-⎧⎨=⎩a b12.，=⎧∴⎨=⎩a b 且符合题意. (12)P ∴，． ………………………2分若0b <，则(),P a b 作II(0)变换，变换后的点为()a b -，，∴12.，=-⎧⎨-=⎩a b 12.，=-⎧∴⎨=-⎩a b 且符合题意. (12)P ∴--，． ………………………3分综上，(12)P ，或(12)P --，． （2）①52m -≤<-或25m <≤ ………………………5分②36 ………………………7分。
2020-2021北京市初二数学上期末模拟试卷(带答案)
2020-2021北京市初二数学上期末模拟试卷(带答案)一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( )A ．10cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm2．斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（ ）A ．5×107B ．5×10﹣7C ．0.5×10﹣6D ．5×10﹣63．如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C ，使△ABC 为等腰三角形，则这样的顶点C 有（ ）A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 4．计算：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）的结果是（ ） A ．2x 2﹣1B ．﹣2x 2﹣1C ．﹣2x 2+1D ．﹣2x 2 5．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．在平面直角坐标系内，点 O 为坐标原点， (4,0)A -， (0,3)B ，若在该坐标平面内有以 点 P （不与点 A B O 、、重合）为一个顶点的直角三角形与 Rt ABO ∆全等，且这个以点 P 为顶点的直角三角形 Rt ABO ∆有一条公共边，则所有符合的三角形个数为（ ）。
A ．9B ．7C ．5D ．3 7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E ，DE 平分∠ADB，则∠B=（ ）A ．40°B ．30°C ．25°D ．22.5〫8．如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④9．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a=bB ．2a+b=﹣1C ．2a ﹣b=1D ．2a+b=110．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，∠C =20°，DE 是边AC 的垂直平分线，连结AE ，则∠BAE 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°11．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A ．∠A=∠1+∠2B ．2∠A=∠1+∠2C ．3∠A=2∠1+∠2D ．3∠A=2（∠1+∠2） 12．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．4二、填空题13．如图，已知△ABC 中，BC=4，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，若AC=6，则△BCD 的周长=_________14．已知2m ＝a ，32n ＝b ，则23m ＋10n ＝________．15．－12019＋22020×（12）2021＝_____________ 16．若一个多边形的边数为 8，则这个多边形的外角和为__________．17．若x 2+kx+25是一个完全平方式，则k 的值是____________.18．已知x m =6，x n =3，则x 2m ﹣n 的值为_____．19．连接多边形的一个顶点与其它各顶点，可将多边形分成11个三角形，则这个多边形是______边形.20．分式293x x --当x __________时,分式的值为零. 三、解答题21．计算： 22142a a a ---． 22．共有1500kg 化工原料，由A ，B 两种机器人同时搬运，其中，A 型机器人比B 型机器每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，问需要多长时间才能运完？23．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg ，甲型机器人分类800kg 垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等。
2020-2021学年度北京市各区八年级上学期数学期末试卷及答案(9套)
初二数学答案 第 1 页 (共 5 页)
C
20．证明：∵AD=EB， ∴AD－BD=EB－BD. 即 AB=ED.……………………… 1 分 ∵AC∥EF， ∴∠A=∠E.
A
D B
E
F
……………………………2 分
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2020-2021学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．KN 95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN 95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m 的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）A ．3×10﹣6B ．3×10﹣7C ．0.3×10﹣6D ．0.3×10﹣7 3．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．236()a a =C ．33(2)2a a =D ．1025a a a ÷= 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．x （x ﹣2）＝x 2﹣2xB ．（x +1）2＝x 2+2x +1C ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）D ．x +2＝x （1+2x） 5．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）A ．135︒B ．140︒C ．144︒D ．150︒6．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：AOB ∠．求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； （3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ； （4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．小聪作法正确的理由是（ ）A ．由SSS 可得O C D OCD '''≅△△，进而可证A OB AOB '''∠=∠B ．由SAS 可得OCD OCD '''≅△△，进而可证A O B AOB '''∠=∠C ．由ASA 可得O CD OCD '''≅△△，进而可证A O B AOB '''∠=∠D ．由“等边对等角”可得A O B AOB '''∠=∠7．如果2a b -=，那么代数式22(2)a b a b a a b +-⋅-的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 8．在ABC 中，AB AC ≠，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高，中线，角平分线，则点D ，E ，F 的位置关系为（ ）A ．点D 总在点E ，F 之间B ．点E 总在点D ，F 之间C ．点F 总在点D ，E 之间D ．三者的位置关系不确定 二、填空题9．若分式32x -有意义，则x 的取值范围是___． 10．计算：()232a a a +÷=______．11．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．若6AB =，则BD 的长为__．12．如图，AB BC ⊥，AD DC ⊥，垂足分别为B ，D ．只需添加一个条件即可证明ABC ADC ≅△△，这个条件可以是______．（写出一个即可）13．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为1S ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为2S ；具体数据如图所示，则1S ______2S ．（填“>”，“<”或“=”）14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则△DBC ＝_____度．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,3，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 在x 轴上，若三角形ABC 为等腰直角三角形，则点C 的坐标为___________．16．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A 点，将膝盖抽象为B 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C 点，将自行车中轴位置记为D 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A ，D 的位置不变，B ，C 为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB =BC =40cm ，CD =16cm ，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD 最长为_____cm ．三、解答题17．（1）计算：2201()2(2)2π--+--； （2）分解因式：22363x xy y -+．18．已知3x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（2x +5）（2x ﹣5）+2x （x ﹣1）的值．19．如图，C 是AB 的中点，CD ∥BE ，CD ＝BE ，连接AD ，CE ．求证：AD ＝CE ．20．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）△AD＝AB，△△ABD＝△．（）（填推理的依据）△△ADB是△BCD的外角，△△ADB＝△C+△DBC．（）（填推理的依据）△△ADB＞△C．△△ABD＞△C．△△ABC＝△ABD+△DBC，△△ABC＞△ABD．△△ABC＞△C．21．列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．22．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥，且AE BD =，AE 与BC 交于点F ．（1）求证：CE AD =；（2）当AD CF =时，求证：BD 平分ABC ∠．23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式246x x -+关于x = 对称；(2)若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；(3)整式()()2281644x x x x ++-+关于x = 对称．24．已知ABC 是等边三角形，点D 在射线BC 上（与点B ，C 不重合），点D 关于直线AC 的对称点为点E ，连接AD ，AE ，CE ，DE ．(1)如图1，当点D 为线段BC 的中点时，求证：ADE 是等边三角形；(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE ，F 为线段BE 的中点，连接CF ．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD 与CF 的数量关系，并证明．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(,0)M m 且与x 轴垂直的直线．对某图形上的点(,)P a b 作如下变换：当b m 时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为△()m 变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P ，称为△()m 变换．若某个图形上既有点作了△()m 变换，又有点作了△()m 变换，我们就称该图形为m -双变换图形．例如，已知(1,3)A ，(2,1)B -，如图1所示，当2m =时，点A 应作△（2）变换，变换后1A 的坐标是(3,3)；点B 作△（2）变换，变换后1B 的坐标是(2,1)．请解决下面的问题：(1)当0m =时，△已知点P 的坐标是(1,1)-，则点P 作相应变换后的点的坐标是 ；△若点(,)P a b 作相应变换后的点的坐标为(1,2)-，求点P 的坐标；(2)已知点(1,5)C -，(4,2)D -，△若线段CD 是m -双变换图形，则m 的取值范围是 ；△已知点(,)E m m 在第一象限，若CDE △及其内部（点E 除外）组成的图形是m -双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．参考答案：1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；B、不是轴对称图形，此项不符题意；C、不是轴对称图形，此项不符题意；D、是轴对称图形，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．2．B【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．故选：B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示小于1的数，涉及到了负整数指数幂的问题，解题关键是掌握科学记数法的定义，会用负整数指数幂表示数等，考查了学生对基础知识的掌握与应用．3．B【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】A 、235a a a ⋅=，故本选项不合题意；B 、236()a a =，故本选项符合题意；C 、33(2)8a a =，故本选项不合题意；D 、1028a a a ÷=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题主要考查因式分解的意义，掌握因式分解的概念是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．【详解】正九边形的内角和为180(92)1260︒⨯-=︒，且每个内角都相等，∴该正九边形的一个内角的大小为12609140︒÷=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 6．A【解析】【分析】根据作图过程可得,,O C OC C D CD O D OD ''''''===，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得出答案．【详解】解：由作图过程可知：,,O C OC C D CD O D OD ''''''===，()O C D OCD SSS '''∴≅，O O ∴'∠=∠，即A O B AOB '''∠=∠，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判断定理是解题关键． 7．A【解析】【分析】先化简代数式，再利用整体代入法计算即可．【详解】 解：原式222a b ab a a a b+-=⋅- 2()a b a a a b-=⋅- a b =-，当2a b -=时，原式2=．故选：A ．【点睛】本题考查代数式运算，关键掌握运算法则，使用整体代入法计算．8．C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得△CAD >△CAF >△CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，△△CAH +△BAE =△BAC△△BAC >2△CAH△AF 平分△BAC △12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ △12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ △AB <AC△△B >△ACB△△B +△ACB +△BAC =180°△△B +△ACB +△BAC =180°>2△ACB +△BAC △1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠ △△CAF <90°−△ACB△AD △BC△△CAD =90°−△ACB >△CAF即△CAD >△CAF >△CAH△点F 总在点D ，E 之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．2x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件计算即可；【详解】△分式32x -有意义， △20x -≠，△2x ≠；故答案是：2x ≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．10．32a +##2+3a【解析】【分析】利用多项式的每一项除以单项式，即可得到答案．【详解】解：()22323232a a a a a a a a +÷=÷+÷=+；故答案为：32a +．本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 11．3【解析】【分析】利用互余计算30BAC ∠=︒，利用30°角的性质即可即可【详解】解：在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，90906030BAC ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BD AC ⊥，90ADB ∴∠=︒，6AB =，116322BD AB ∴==⨯=， 故答案为：3.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，30°角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．12．AB AD =或BC CD =或BAC DAC ∠=∠或ACB ACD ∠=∠【解析】【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．【详解】解：若添加AB AD =，且AC AC =，由“HL ”可证Rt ΔRt ΔABC ADC ≅；若添加BC CD =，且AC AC =，由“HL ”可证Rt ΔRt ΔABC ADC ≅；若添加BAC DAC ∠=∠，且AC AC =，由“AAS ”可证Rt ΔRt ΔABC ADC ≅；若添加BCA DCA ∠=∠，且AC AC =，由“AAS ”可证Rt ΔRt ΔABC ADC ≅；故答案为：AB AD =或BC CD =或BAC DAC ∠=∠或ACB ACD ∠=∠（答案不唯一）．本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 13．>【解析】【分析】由题意直接根据正方形和长方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：方案一：如图1，221S a b =-，方案二：如图2，22222222()()()()222a a S ab b b a b a b b a b b a b =-++-=---=--=-， 22222222212(2)20S S a b a b a b a b b -=---=--+=>， 12S S ∴>．故答案为：>．【点睛】本题考查了图形的面积，正确识别图形是解题的关键．14．30o【解析】【详解】试题分析：根据AB=AC ，△A=40°可得：△ABC=△C=70°，根据中垂线的性质可得：△ABD=△A=40°，则△DBC=△ABC －△ABD=70°－40°=30°.考点：(1)、等腰三角形；(2)、线段中垂线15．（3，0），（﹣3，0）．【解析】【分析】先求出B 点的坐标为0，-3）即可得到AB =6，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到OC =3，由此求解即可.【详解】解：△点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于x 轴对称，△B （0，-3）△AB =6，△三角形ABC 为等腰直角三角形，且C 在x 轴上，△AB 只能是斜边，△AB =2OC ，△OC =3，△C （3，0）或（-3，0），故答案为：（3，0）或（-3，0）.【点睛】本题主要考查了坐标与图形，关于x 对称的点的坐标关系，直角三角形的斜边中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16．64【解析】【分析】根据已知条件得到当AB BC AD CD +=+时，AD 最长，根据线段的和差即可得到结论．【详解】在骑行过程中脚总可以踩到踏板，∴当AB BC AD CD +=+时，AD 最长，则，AD 最长为()40401664AB BC CD cm +-=+-=，故答案为：64．【点睛】本题考查了旋转的性质，知道当AB BC AD CD +=+时，AD 最长是解题的关键．17．（1）12-；（2）23()x y - 【解析】【分析】（1）利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】（1）原式11144=+- 112=-1=-；2（2）原式22=-+3(2)x xy y2=-．3()x y【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．-23【解析】【分析】首先利用平方差公式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【详解】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，△3x2﹣x﹣1＝0，△3x2﹣x＝1．△原式＝2(3x2﹣x)﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．19．证明见解析【解析】【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【详解】证明：△C是AB的中点，△AC=CB，△CD△BE，△△ACD=△B．在△ACD和△CBE中，AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （SAS ），△AD =CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理．20．∠ABC ＞∠C ，ADB ，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【解析】【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【详解】已知：如图，在△ABC 中，AC ＞AB ．求证：∠ABC ＞∠C ．证明：如图，由于AC ＞AB ，故在AC 边上截取AD ＝AB ，连接BD ．（在图中补全图形）．∵AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB （等边对等角），∵∠ADB 是△BCD 的外角，∴∠ADB ＝∠C +∠DBC ．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB ＞∠C ，∴∠ABD ＞∠C ，∵∠ABC ＝∠ABD +∠DBC ，∴∠ABC ＞∠ABD ，∴∠ABC ＞∠C ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．橘子每千克的价格为10元【解析】【分析】设橘子每千克的价格为x 元，则香蕉每千克的价格为70%x 元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量-2500元所购买的橘子的重量=150，再列出方程，解出x 的值即可．【详解】解：设橘子每千克的价格为x 元，则香蕉每千克的价格为70%x 元． 根据题意，得2800250015070%x x-=， 解得10x =，检验：当10x =时，70%0x ≠．所以原分式方程的解为10x =且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形全等的判定定理证出Rt ACE Rt BAD ≅，再根据全等三角形的性质即可得证；（2）设AE 交BD 于点O ，先根据全等三角形的性质可得,E ADB CAE ABD ∠=∠∠=∠，再根据等腰三角形的性质、对顶角相等可得ADB AFB ∠=∠，从而可得CAE CBD ∠=∠，然后根据等量代换可得ABD CBD ∠=∠，由此即可得证．【详解】 证明：（1）在Rt ACE △和Rt BAD 中，AC BA AE BD =⎧⎨=⎩，()Rt ACE Rt BAD HL ∴≅，CE AD ∴=；（2）如图，设AE 交BD 于点O ，由（1）已证：Rt ACE Rt BAD ≅，CE AD =，,E ADB CAE ABD ∴∠=∠∠=∠，AD CF =∵，CE CF ∴=，E CFE ∴∠=∠，ADB CFE ∴∠=∠，又AFB CFE ∠=∠，ADB AFB ∴∠=∠，又AOD BOF ∠=∠，180180ADB AOD AFB BOF ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，即CAE CBD ∠=∠，ABD CBD ∴∠=∠，BD ∴平分ABC ∠．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．23．(1)2(2)3-(3)1-【解析】【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得；（2）求出223x bx ++的对称轴，令对称轴等于3即可得；（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得．(1)解：2246(2)2x x x -+=-+，则此多项式关于2x =对称，故答案为：2；(2)解：22223()3x bx x b b ++=++-，∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称， 又关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，3b ∴-=，即3b =-；(3)解：()()()()22228164442x x x x x x ++-+=+- ()()242x x =+-⎡⎤⎣⎦ ()2228x x =+- ()2219x ⎡⎤=+-⎣⎦， 则整式()()2281644x x x x ++-+关于1x =-对称， 故答案为：1-．【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，理解新定义是解题的关键． 24．(1)见解析(2)2AD CF =，见解析【解析】【分析】（1）由题意根据对称的性质得到AD AE =，DAC EAC ∠=∠，根据等边三角形的性质得到AB AC =，60BAC ∠=︒．求得11603022DAC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据题意延长CF 到点G ，使GF CF =，连接BG ．根据线段中点的定义得到BF EF =．根据全等三角形的性质得到GB CE =，G FCE ∠=∠．由对称的性质得到CD CE =，120ACD ACE ∠=∠=︒．根据全等三角形的性质即可得到结论．(1) 证明：点D ，E 关于直线AC 对称，AD AE ∴=，DAC EAC ∠=∠，ABC ∆是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒．点D 为线段BC 的中点， ∴11603022DAC BAC ∠=∠=⨯︒=︒． 30DAC EAC ∴∠=∠=︒．60DAE ∴∠=︒．AD AE =，ADE ∴∆是等边三角形；(2)解：补全图形如图所示，线段AD 与CF 的数量关系：2AD CF =．证明：延长CF 到点G ，使GF CF =，连接BG ． F 为线段BE 的中点，BF EF ∴=．在BFG ∆和EFC ∆中，,,,GF CF BFG EFC BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ΔΔBFG EFC SAS ∴≅，GB CE ∴=，G FCE ∠=∠．//BG CE ∴．ABC ∆是等边三角形，AC BC ∴=，60ACB ∠=︒．120ACD ∴∠=︒．点D ，E 关于直线AC 对称，CD CE ∴=，120ACD ACE ∠=∠=︒．CD BG ∴=，60BCE ∠=︒，//BG CE ．180BCE CBG ∴∠+∠=︒，120CBG ∴∠=︒，ACD CBG ∴∠=∠，在ACD ∆和ΔCBG 中，,,,AC CB ACD CBG CD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ΔΔACD CBG SAS ∴≅．AD CG ∴=，2AD CF ∴=．【点睛】本题是几何变换综合题，考查对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．25．(1)△(1,1)；△(1,2)P 或(1,2)P --(2)△52m -<-或25m <；△36【解析】【分析】（1）△由题意根据变换的定义求解即可；△根据题意分两种情形：0b ，0b <，分别构建不等式解决问题即可．（2）△由题意根据C ，D 两点的纵坐标，判断出m 的范围即可；△由题意可知满足条件的图形是平行四边形CDMN ，变换后所有图形G 所覆盖的区域的面积2CDMN S =⨯平行四边形．(1)解：△0m =，1m >，(1,1)∴-相应变换后的点的坐标是(1,1)，故答案为：(1,1)．△0m =，∴直线l 为y 轴．若0b ，则(,)P a b 作(0)I 变换，变换后的点为(,)a b -，∴1,2.a b -=-⎧⎨=⎩ ∴1,2.a b =⎧⎨=⎩且符合题意． (1,2)P ∴．若0b <，则(,)P a b 作()0II 变换，变换后的点为(,)a b -，∴1,2.a b =-⎧⎨-=⎩∴1,2.a b =-⎧⎨=-⎩且符合题意． (1,2)P ∴--．综上，(1,2)P 或(1,2)P --．(2)解：△线段CD 是m -双变换图形，(1,5)C -，(4,2)D -，52m ∴-<-或25m <．故答案为：52m -<-或25m <．△如图2中，由题意，满足条件的图形是平行四边形CDMN ，变换后所有图形G 所覆盖的区域的面积226336CDMN S =⨯=⨯⨯=平行四边形．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查△()m 变换，△()m 变换，m -双变换图形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题，属于中考创新题型．。
2020-2021学年北京市大兴区八年级(上)期末数学试卷 (含解析)
2020-2021学年北京市大兴区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a﹣2＝﹣2aC．a5÷a7＝a2D．（2a）0＝1（a≠0）3．如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍4．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45°B．62°C．73°D．135°7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣mB．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b）C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2D．2x+1＝x（2+）8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（共8小题）.9．若分式的值为0，则x＝．10．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于．11．计算：＝．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是．15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC＝6；④△ACD是等边三角形．所有正确结论的序号是．三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）17．（1）分解因式：am2+4am+4a；（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）．18．计算：﹣．19．已知：如图1，∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB作法：①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C'D'．由作法可知OC＝O'C'，，，∴△COD≌△C'O'D'．（）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式的值．21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）；（2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ．（1）求∠ADQ的度数；（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x ≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝；∠xON ＝°；（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a﹣2＝﹣2aC．a5÷a7＝a2D．（2a）0＝1（a≠0）【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义，同底数幂的除法法则以及任何非零数的零次幂等于1逐一判断即可．解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、a﹣2＝，故本选项不合题意；C、a5÷a7＝，故本选项不合题意；D、（2a）0＝1（a≠0），故本选项符合题意．故选：D．3．如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：＝＝，故选：A．4．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：A.＝，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；D.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C．5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；故选：D．6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45°B．62°C．73°D．135°【分析】根据全等三角形的性质得出即可．解：∵两个三角形全等，∴边长为a的对角是对应角，∴∠1＝73°，故选：C．7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣mB．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b）C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2D．2x+1＝x（2+）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．解：A．从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3B．2C．1D．【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1，故选：C．二、填空题（共24分，每小题3分）9．若分式的值为0，则x＝﹣2．【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可．解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，解得x＝±2，且x≠2，∴x＝﹣2，故答案为：﹣210．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于6或0．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，∴m﹣3＝±3，解得：m＝6或0．故答案为：6或0．11．计算：＝8b．【分析】根据分式的除法法则即可求出答案．解：原式＝•＝8b，故答案为：8b．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是3cm＜x＜11cm．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边即可求第三边长的范围．解：根据三角形的三边关系得：7﹣4＜x＜7+4．即3＜x＜11，故答案为：3cm＜x＜11cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是35°．【分析】根据“∠ACB＝90°和∠ACD＝55°”先求出∠BCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠B．解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝55°，∴∠BCE＝180°﹣90°﹣55°＝35°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠BCE＝35°．故答案为：35°．15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为﹣3．【分析】先去分母得到整式方程，解整式方程得x＝m+5，利用分式方程无解得到x＝2，所以m+5＝2，然后解关于m的方程即可．解：去分母得m+3＝x﹣2，解得x＝m+5，∵原方程无解，∴x＝2，即m+5＝2，解得m＝﹣3，即当m＝﹣3时，关于x的分式方程﹣＝1无解．故答案为﹣3．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC＝6；④△ACD是等边三角形．所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据已知条件得到AD＝CD，BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质可求BC，根据等边三角形的判定得到△ACD是等边三角形，于是得到结论．解：①由作图可得AD＝CD，故①正确；②∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，故②正确；③∵BD⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝BC＝3，∴BC＝3××2＝3，故③错误；④∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）17．（1）分解因式：am2+4am+4a；（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）．【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用整式的乘法运算法则及平方差公式计算得出答案．解：（1）am2+4am+4a＝a（m2+4m+4）＝a（m+2）2；（2）x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2x+x2﹣4y2＝2x2﹣2x﹣4y2．18．计算：﹣．【分析】直接通分，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．解：原式＝﹣＝＝．19．已知：如图1，∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB作法：①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C'D'．由作法可知OC＝O'C'，OD＝OD′，CD﹣CD′，∴△COD≌△C'O'D'．（SSS）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得OC＝O'C'，OD＝OD′，CD＝CD′，进而可以完成证明．【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）证明：连接C'D'．由作法可知：OC＝O'C'，OD＝OD′，CD＝CD′，∴△COD≌△C'O'D'．（SSS）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．故答案为：OD＝O'D'，CD＝C'D'，SSS．20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式的值．【分析】由已知等式得出x2+3x＝9，将其代入到＝＝＝＝可得答案．解：∵x2+3x﹣9＝0，∴x2+3x＝9，则＝•﹣＝＝＝＝1．21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？【分析】设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G 手机，由题意列出分式方程，解方程即可．解：设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G手机，由题意列方程，得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，答：更新技术前每月生产10万部5G手机．22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠CBE，在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（ASA），∴DC＝CE，∴△DCE是等腰三角形．∵CF平分∠DCE，∴DF＝FE．23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）；（2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？【分析】（1）根据每天获得利润＝（每千克售价﹣每千克进价）×每天的销售量列式即可；（2）设每天可获得的利润为w，将（1）中的利润表达式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）令每天获得的利润等于200元，解方程，结合30＜x＜50，可得答案．解：（1）（x﹣20）（﹣x+50）＝﹣x2+70x﹣1000，∴每天获得的利润为（﹣x2+70x﹣1000）元；（2）设每天可获得的利润为w，由题意得：w＝﹣x2+70x﹣1000＝﹣（x2﹣70x）﹣1000＝﹣（x2﹣70x+352﹣352）﹣1000＝﹣（x﹣35）2+225，∴当x＝35时，w有最大值225．∴当每千克售价为35元时，每天可获得最大利润；（3）由题意得：﹣（x﹣35）2+225＝200，∴（x﹣35）2＝25，∵平方等于25的数是5或﹣5，∴x﹣35＝5，或x﹣35＝﹣5，∴x＝40或x＝30，∵30＜x＜50，∴x＝40．∴若每天获得利润200元，那么每千克售价应定为40元．24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ．（1）求∠ADQ的度数；（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AD，进而利用SAS证明△PAC≌△QAD，进而解答即可；（2）根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．解：（1）∵∠PAQ＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD．∠CAD＝60°＝∠PAQ，∴∠PAC＝∠QAD，在△PAC和△QAD中，，∴△PAC≌△QAD（SAS），∴∠ADQ＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠ADQ＝90°；（2）线段CQ与AD的数量关系是：，位置关系是：CQ∥AD，∵∠ADQ＝90°，∠CQD＝90°，∴∠CQD+∠ADQ＝180°，∴AD∥CQ，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD，∴∠ADC＝60°，∴∠QDC＝30°，∴，∴．25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x ≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝6；∠xON ＝35°；（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；（2）过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据题意OB＝2OA，则OA＝AB，通过证得△AOF≌△ABC，得到OF＝BC，即可证得OE＝OF，进而即可证得∠OEA＝∠ACB．解：（1）根据点N在平面内的位置记为N（6，35°）可知，ON＝6，∠xON＝35°．故答案为：6；35；（2）用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系是：∠OEA＝∠ACB．证明：过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F．∴∠ACB＝∠F．∵点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），∴OB＝2OA，∴OA＝AB，在△AOF和△ABC中，∴△AOF≌△ABC（AAS），∴OF＝BC，∵OE＝BC．∴OE＝OF．∴∠F＝∠OEA．又∵∠ACB＝∠F，∴∠OEA＝∠ACB．。
2020-2021学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．下面的四个图案分别是“T型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示，△ABC的边AC上的高是（）A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）4＝a8C．a﹣2＝﹣a2D．a3÷a3＝a5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列结论错误的是（）A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE6．设等腰△的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（）A．15B．20C．25D．20或257．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：5月12月月份类别厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）x x如果厨余垃圾分出率＝×100%（生活垃圾总量＝厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（）A ．×14＝B ．×14＝C ．＝×14D ．×14＝8．设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2．下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c．其中所有正确推断的序号是（）A．①②③④B．①③④C．①②D．①③二、填空题（本题共24分，）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．10．分解因式：2n2﹣8＝．11．写出一个比2大且比小的整数．12．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△DEF．如果GC＝2，DF＝4.5，那么AG ＝．13．如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D点，若BD＝1，则AD＝．15．如果关于x的多项式x2+bx+4是一个完全平方式，那么b＝．16．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C 一共有个．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）．18．计算：（1﹣）÷．19．计算：×++|﹣1|．20．解分式方程：＝+1．21．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．22．先化简，再求值：（﹣y）•，其中3x﹣4y＝0．23．下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点A．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图2，①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；③作直线BE，交直线l于点C；④连接AB．△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（）（填推理的依据）．∴∠ABC＝30°．24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE＝DB，∠DEC＝∠B．求证：AD平分∠BAC．25．小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：﹣＝﹣＝．反过来，有＝﹣．运用这个运算规律可以计算：++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．（1）请你运用这个运算规律计算：++＝；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的…第m次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．26．已知：如图，∠MON＝60°，点A在射线OM上，点B，C在射线ON上（点C在点B 的右侧），且∠OAB+∠OAC＝60°．点B关于直线OM的对称点为D，连接CD．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段CD，AB的数量关系，并证明．27．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和图形w，给出如下定义：如果图形W上存在一点Q（c，d），使得，那么点P是图形W的“k阶关联点”（1）若点P是原点O的“﹣1阶关联点”，则点P的坐标为；（2）如图，在△ABC中，A（1，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（0，﹣6）．①若点P是△ABC的“0阶关联点”，把所有符合题意的点P都画在图中；②若点P是△ABC的“k阶关联点”，且点P在△ABC上，求k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2020-2021学年北京市通州区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市通州区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列说法正确的是()A. 圆是轴对称图形B. 三点确定一个圆C. 大于半圆的弧叫做劣弧D. 长度相等的弧叫做等弧2.如图，小红作出了边长为1的第1个等边△A1B1C1，算出了等边△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个等边△A2B2C2，算出了等边△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个等边△A3B3C3，算出了等边△A3B3C3的面积…，由此可得，第n个等边△A n B n C n的面积是()A. √34×(12)n−1 B. √34×(12)n C. √34×(14)n−1 D. √34×(14)n3.下列式子没有意义的是()A. √−2B. √0C. √3D. √(−1)24.如图所示，镖盘为两个半径为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个90∘的扇形，向大圆上投掷飞镖，则镖针落在阴影部分的概率为()A. 132B. 116C. 18D. 145.下列说法属于必然事件的是()A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 相等的弦所对的圆周角相等C. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 平分弦的直径垂直于弦6.具备下列条件的两个三角形，全等的是()A. 两个角分别相等，且有一边相等B. 一边相等，且这边上的高也相等C. 两边分别相等，且第三边上的中线也相等D. 两边且其中一条对应边的对角对应相等7.若关于x 的方程x+2x−2=mx−2+2无解，则m 的值是( )A. m =0B. m =2C. m =4D. m =68. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为底边在△ABC 外作等腰△ACD ，过点D 作∠ADC 的平分线分别交AB ，AC 于点E ，F.若AC =12，BC =5，△ABC 的周长为30，点P 是直线DE 上的一个动点，则△PBC 周长的最小值为( )A. 15B. 17C. 18D. 20二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.比较大小：√15−12______32(填“>，<或=”)．10. 若代数式x 2−4x+2的值为0，则实数x 的值是_________．11. 若2x+3(x+1)(x+2)=Ax−1−Bx+2恒成立，则A −B =______． 12. 计算：√8÷√18=______．13. 已知|2x −4|+√x +2y −10=0，则xy 的立方根是______．14. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下： 实验次数n 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到红球次数m 65 124 1783024816201240 1845摸到红球频率mn0.650.620.593 0.604 0.601 0.620 0.620 0.615估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为______.(精确到0.1) 15. 如图，正方形网格的边长为1，点A ，B ，C 在网格的格点上，点P 为BC 的中点，则AP = ______ ．16. 如图，C与AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件______ ，使得△ACD≌△CBE．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：xx−2−1=x−12−x．四、解答题（本大题共9小题，共47.0分）18. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在BC和CD边上，分别连接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△CEF的周长．19. (1)计算：√8−√92−√3√6√3(√3−2)0√(1−√2)2；(2)先化简，再求值：2x4x2−4x4×x−2x22x−1x−2，其中x=2√3．20. 图1、图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C(点C必须在小正方形的顶点上)，使以A、B、C为顶点的三角形的面积为10，且分别满足以下要求：(1)在图1中画一个直角三角形ABC；(2)在图2中画一个钝角等腰三角形ABC；(3)图2中△ABC的周长为______.(请直接写出答案)21. 若实数x、y满足x2+6x+√x−y+1+9=0，求代数式(1x−y+1x+y)÷yx2−y2的值．(要求对代数式先化简，再求值．)22. 如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向△ABC外作等边△BCD，把△ABD绕点D，逆时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=4，AC=3．(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；(2)求∠BAD的度数；(3)求AD的长．23. 为厉行节能减排，倡导绿色出行，某区推行“共亨单车”公益活动．么同小区分别投放数量相等的A、B两种不同款型的共享单车，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A型、B型单车投放成本分别为33000元和34500元(1)求A型共享单车的单价是多少元？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两车型的数量比为3：2进行投放，且投资总价值不低于11万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3√2，求△ABC的周长和面积．25. (1)计算：|−√3|+(1−√3)0−(−4)．(2)化简：a+3a2+2a −12a+a2．26. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴表示地平面，y轴表示海拔高度(单位长度为1千米).某炮位于坐标原点．图示炮弹发射后的轨迹(曲线)方程：y=kx−120(1+k2)x2(k>0)，k与炮弹的射程有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮弹的最大射程；(2)设第一象限有个飞行物(忽略其大小)的飞行高度为3.2千米，则该飞行物的横坐标不超过多少千米时，炮弹能够击中它？。
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案本试卷共100分，考试时长100分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列运算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 假如2 x 有意义，那么x 的取值范畴是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，假如AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则那个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2020年诺贝尔医学奖，她的突出奉献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则如此的点P 共有_______个.16. 观看下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③依照上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
2020-2021北京第二十中学初二数学上期末试题(附答案)
2020-2021北京第二十中学初二数学上期末试题(附答案)一、选择题1．如果a c b d =成立，那么下列各式一定成立的是（ ） A ．a d c b = B ．ac c bd b= C ．11a c b d ++= D ．22a b c d b d ++= 2．下列因式分解正确的是( ) A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 3．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+ 4．若b a b -=14，则a b 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．3 D ．135．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是()n n A ．2-B ．1-C ．2D ．3 6．如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．6B ．11C ．12D ．18 7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E ，DE 平分∠ADB，则∠B=（ ）A ．40°B ．30°C ．25°D ．22.5〫8．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．8D ．69．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b)(a ＋2b)＝a 2＋ab －b 210．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD ．若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是（ ）A ．70°B ．44°C ．34°D ．24° 11．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．412．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( )A ．10cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm二、填空题13．如果24x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值是__________．14．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．15．∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为_______.16．如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．17．若a m=5，a n=6，则a m+n=________．18．分式293xx--当x__________时,分式的值为零.19．若n边形内角和为900°，则边数n= ．20．如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ABC≌△DEC．三、解答题21．为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠DAE=15°，求∠C的度数．23．我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．（1）文学书和科普书的单价各多少钱？（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？24．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x 3+2x 2﹣x ﹣2因式分解的结果为（x ﹣1）（x +1）（x +2），当x ＝18时，x ﹣1＝17，x +1＝19，x +2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x ＝21，y ＝7时，对于多项式x 3﹣xy 2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m 、n 的值．25．解方程：121x -=12-342x -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】 已知a c b d=成立，根据比例的性质可得选项A 、B 、C 都不成立；选项D ，由2a b b +＝2c d d +可得22a c b d +=+，即可得a c b d=，选项D 正确，故选D. 点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．3．A解析：A【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-故选：A.【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积． 4．A解析：A【解析】 因为b a b -=14， 所以4b=a-b ．，解得a=5b ， 所以a b ＝55b b=. 故选A. 5．C解析：C【解析】分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式22m m =+，然后利用2220m m +-=进行整体代入计算． 详解：原式2222244(2)(2)222m m m m m m m m m m m m m +++=⋅=⋅=+=+++， ∵2220m m +-=，∴222m m ，+= ∴原式=2.故选C.点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用.6．C解析：C【解析】试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C ．考点：多边形内角与外角．7．B解析：B【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则对应角∠ADC=∠ADE ；然后根据已知条件“DE 平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，∴CD=ED,在Rt △ACD 和Rt △AED 中，{AD AD CD ED=＝ ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠ADC=∠ADE （全等三角形的对应角相等）．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE 平分∠ADB ，∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．∴∠B+∠EDB=90°，∴∠B=30°．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．8．A解析：A【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可得DF=DE ；最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴DF=DE=2， ∴1•124242BCD S BC DF =⨯=⨯⨯=V ； 故答案为：A ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9．B解析：B【解析】图（4）中，∵S 正方形=a 2-2b （a-b ）-b 2=a 2-2ab+b 2=（a-b ）2，∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2．故选B10．C解析：C【解析】【分析】易得△ABD 为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC【详解】∵AB=BD ，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB ﹣∠C=34°．故选C.【点睛】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4，∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．C解析：C【解析】试题解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴CD=DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，{CD DE AD AD＝＝， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE=AC=6cm ，∵AB=10cm ，∴EB=4cm ．故选C ．二、填空题13．±4【解析】【分析】这里首末两项是x 和2的平方那么中间项为加上或减去x 和2的乘积的2倍也就是kx 由此对应求得k 的数值即可【详解】∵是一个多项式的完全平方∴kx=±2×2⋅x ∴k=±4故答案为：±4【解析：±4.【解析】【分析】这里首末两项是x 和2的平方，那么中间项为加上或减去x 和2的乘积的2倍也就是kx ，由此对应求得k 的数值即可．【详解】∵24x kx ++是一个多项式的完全平方，∴kx=±2×2⋅x ， ∴k=±4. 故答案为：±4. 【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式.14．30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°∠PCM=50°根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线CP 是∠ACM 的平分线∠ABP=20°∠ACP=50°∴解析：30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数.【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.15．100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+解析：100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】如图，∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°，∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=80°，∴∠1=180°-80°=100°．故答案是：100°．【点睛】考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．16．40°【解析】试题分析：延长DE交BC于F点根据两直线平行内错角相等可知ABC==80°由此可得然后根据三角形的外角的性质可得=-=40°故答案为：40°解析：40°【解析】试题分析：延长DE 交BC 于F 点，根据两直线平行，内错角相等，可知∠ABC=BFD ∠=80°，由此可得100DFC ∠=︒，然后根据三角形的外角的性质，可得BCD ∠=EDC ∠-FD C ∠=40°. 故答案为：40°.17．【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质am·an=am+n 即可解题【详解】解：am+n=am·an=5×6=30【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算属于简单题熟悉法则是解题关键解析：【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质a m ·a n =a m+n ,即可解题.【详解】解：a m+n = a m ·a n =5×6=30. 【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.18．=-3【解析】【分析】根据分子为0分母不为0时分式的值为0来解答【详解】根据题意得：且x-30解得：x=-3故答案为：=-3【点睛】本题考查的是分式值为0的条件易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时解析：= -3【解析】【分析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答.【详解】根据题意得：290x -= 且x-3≠ 0解得：x= -3故答案为：= -3.【点睛】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0.19．【解析】【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解【详解】根据题意得：180（n ﹣2）=900解得：n=7故答案为7【点睛】本题考查多边形内角和公式熟记公式是解题的关键解析：【解析】【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解.【详解】根据题意得：180（n ﹣2）=900，解得：n=7．故答案为7．【点睛】本题考查多边形内角和公式，熟记公式是解题的关键.20．CE=BC 本题答案不唯一【解析】再加利用SSS 证明≌故答案为解析：C E =BC ．本题答案不唯一．【解析】AC DC =，BC EC =，再加AB DE =，利用SSS,证明ABC V ≌DEC V ．故答案为AB DE =.三、解答题21．原计划植树20天．【解析】【分析】设原计划每天种x 棵树，则实际每天种（1+20%）x 棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数=3，列方程即可．【详解】解：设原计划每天种x 棵树，则实际每天种（1+20%）x 棵， 依题意得：4004000803(120%)x x+-=+ 解得x=200，经检验得出：x=200是原方程的解． 所以4000200=20． 答：原计划植树20天．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题关键．22．70°【解析】试题分析：由AD 是BC 边上的高可得出∠ADE =90°．在△ADE 中利用三角形内角和可求出∠AED 的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE 的度数；根据角平分线的定义可得出∠BAC 的度数．在△ABC 中利用三角形内角和可求出∠C 的度数．试题解析：解：∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE =90°．∵∠ADE +∠AED +∠DAE =180°，∴∠AED =180°-∠ADE -∠DAE =180°-90°-15°=75°．∵∠B +∠BAE =∠AED ，∴∠BAE =∠AED -∠B =75°-40°=35°．∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC =2∠BAE =2×35°=70°．∵∠B +∠BAC +∠C =180°，∴∠C =180°-∠B -∠BAC =180°-40°-70°=70°．点睛：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：在△ADE 中利用三角形内角和求出∠AED 的度数；利用角平分线的定义求出∠BAC 的度数． 23．（1）文学书和科普书的单价分别是8元和12元．（2）至多还能购进466本科普书．【解析】【详解】（1）设文学书的单价为每本x 元，则科普书的单价为每本（x+4）元，依题意得： 8000120004x x =+ ， 解得：x=8，经检验x=8是方程的解，并且符合题意．∴x+4=12．∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．②设购进文学书550本后至多还能购进y 本科普书．依题意得550×8+12y≤10000， 解得24663y ≤， ∵y 为整数， ∴y 的最大值为466∴至多还能购进466本科普书．24．（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m 的值是56，n 的值是17．【解析】【分析】（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x +p ）（x +q ）（x +r ），当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p 、q 、r ，然后回代入原多项式即可求得m 、n【详解】（1）x 3﹣xy 2＝x （x 2﹣y 2）＝x （x +y ）（x ﹣y ），当x ＝21，y ＝7时，x +y ＝28，x ﹣y ＝14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x +p ）（x +q ）（x +r ），∵当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p ＝24，27+q ＝28，27+r ＝34，解得，p ＝﹣3，q ＝1，r ＝7，∴x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x ﹣3）（x +1）（x +7），∴x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝x 3+5x 2﹣17x ﹣21，∴ 3517m n n -=⎧⎨-=-⎩得，5617m n =⎧⎨=⎩即m 的值是56，n 的值是17．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x +p ）（x +q ）（x +r ），解出p 、q 、r25．3x =【解析】【分析】先确定最简公分母是42x -,将方程两边同时乘以最简公分母约去分母可得: 2213x =--,然后解一元一次方程,最后再代入最简公分母进行检验.【详解】去分母得:2213x =--,解得:3x =,经检验3x =是分式方程的解．【点睛】本题主要考查解分式方程的方法,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的方法和步骤.。
2020-2021学年北京市顺义区初二数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市顺义区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（共10个小题，每小题2分，共20分） 1．（2分）若式子23x x --有意义，则x 的取值范围为( ) A ．2xB ．3x ≠C ．2x 或3x ≠D ．2x 且3x ≠2．（2分）在下列四个图案中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）实数2-，0.3，227，2，π-中，无理数的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．（2分）如果101m =-，那么m 的取值范围是( ) A ．01m <<B ．12m <<C ．23m <<D ．34m <<5．（2分）下列事件中，是必然事件的是( ) A ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B ．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C ．13个人中至少有两个人生肖相同D ．明天一定会下雨6．（2分）如图，过ABC ∆的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是( )A ．B ．C ．D ．7．（2分）化简22a b ab b a--结果正确的是( )A ．abB ．ab -C ．22a b -D ．22b a -8．（2分）下列计算中，正确的是( ) A 325B 326=C 824D 12339．（2分）长为3cm ，4cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是( ) A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上都不是10．（2分）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为( )A ．22B ．2C ．3D ．1二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分） 11．（2分）27的立方根为 ． 12．（2分）若代数式23x x -+的值等于零，则实数x 的值是 ． 13．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 ．14．（2分）若2(1)1a a -=-，则实数a 的取值范围是 ．15．（2分）命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 ． 16．（2分）如图，已知ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，50A ∠=︒，则DBC ∠的度数是 ．17．（2分）如图，已知30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠平分线上一点，//CP OB ，交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为点D ，且4PC =，则PD 等于 ．18．（2分）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且||||a b >，则化简2||a a b -+的结果为 ．19．（2分）如图，ABC ∆是等边三角形，AE BD =，AD 与CE 交于点F ，则CFD ∠的度数是 ．20．（2分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AB cm =，6AC BC cm +，则ABC ∆的面积为 2cm ． 三、解答题（共12个小题，共60分） 21．（412432． 22．（4分）某学生化简分式21211x x ++-出现了错误，解答过程如下： 原式12(1)(1)(1)(1)x x x x =++-+-（第一步） 12(1)(1)x x +=+-（第二步）231x =-．（第三步） （1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 23．（4322(32)-． 24．（6分）先化简，再求值：2112()3369aa a a a +÷-+-+，其中2a =-． 25．（5分）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，求袋子中需再加入几个红球？ 26．（5分）解方程：21122x x x=---． 27．（5分）已知：如图，点B 、E 、C 、F 顺次在同一直线上，BE CF =，//AB DE ，A D ∠=∠． 求证：AC DF =．28．（5分）如图，ABC∠=︒，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，∆中，90ACB求证：BC平分ABF∠．29．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在网格中，ABC∆全等．∆与ABC∆的下方，直接画出EBC∆，使EBC30．（5分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？31．（6分）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD=，求AC的长．32．（6分）已知：如图，//∠，点E在CD上．用等式表示AC BD，AE、BE分别平分CAB∠和ABD线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：20x -且30x -≠， 解得：2x 且3x ≠． 故选：D ．2．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．3．【解答】解：在实数2-，0.3，227，π-，π-，共有2个． 故选：A ．4．【解答】解：3104<<，∴31141-<-<-，即213<<，m ∴的取值范围是23m <<．故选：C ．5．【解答】解：A 、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件；B 、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；C 、13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；D 、明天一定会下雨，是随机事件；故选：C ．6．【解答】解：为ABC ∆中BC 边上的高的是A 选项． 故选：A ．7．【解答】解：22()()a b ab ab a b ab b a a b --==----．故选：B ．8．【解答】解：AA 选项错误；B==B 选项错误；C2=，所以C 选项错误；D=D 选项正确．故选：D ．9．【解答】解：347+=，∴长为3cm ，4cm ，7cm 的三条线段不能围成三角形，∴长为3cm ，4cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是不可能事件，故选：B ． 10．【解答】解：AD BC ⊥，45ABC ∠=︒，45ABC BAD ∴∠=∠=︒，2BD AD ∴==，1CD ∴==， BE AC ⊥，90C CBE C CAD ∴∠+∠=︒=∠+∠， CBE CAD ∴∠=∠，在BFD ∆和ACD ∆中， CBF CAD BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BFD ACD AAS ∴∆≅∆， 1CD DF ∴==，故选：D ．二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分） 11．【解答】解：3327=， 27∴的立方根是3，故答案为：3． 12．【解答】解：代数式23x x -+的值等于零时，20x -=，30x +≠， 解得，2x =，故答案为：2．13．【解答】解：根据作图过程可知： OC O C =''，OD O D =''，CD C D =''， OCD ∴∆≅△()O C D SSS '''，A OB AOB '''∴∠=∠（全等三角形对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等．14．【解答】解：1a =-有意义，10a ∴-，解可得1a ．15．【解答】解：逆命题是：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等， 故答案为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 16．【解答】解：AB AC =，C ABC ∴∠=∠， 50A ∠=︒．180180506522A C ABC ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒， BD AC ⊥，90BDC ∴∠=︒，90906525DBC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：25︒．17．【解答】解：作PE OA ⊥于E ， //CP OB ， OPC POD ∴∠=∠，P 是AOB ∠平分线上一点，15POA POD ∴∠=∠=︒， 30ACP OPC POA ∴∠=∠+∠=︒，122PE PC ∴==， P 是AOB ∠平分线上一点，PD OB ⊥，PE OA ⊥， 2PD PE ∴==，故答案为：2．18．【解答】解：||||a b >，∴2||()a a b a a b b -+=-++=． 故答案为：b ．19．【解答】解：ABC ∆为等边三角形， 60CAE ABD ∴∠=∠=︒，AC BA =．在ACE ∆和BAD ∆中， AC BA CAE ABD AE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACE BAD SAS ∴∆≅∆， ACE BAD ∴∠=∠．CFD CAF ACF ∠=∠+，60BAD CAF ACF CAF ∠+∠=∠+∠=︒， 60CFD ∴∠=︒，故答案为：60︒．20．【解答】解：ABC ∆中，90C ∠=︒，222AB AC BC ∴=+，即224AC BC =+， 6()AC BC cm +=，222()2426AC BC AC AC BC BC AC BC ∴+=+⋅+=+⋅=， 1AC BC ∴⋅=，∴1111222ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=， 故答案为：12． 三、解答题（共12个小题，共60分）21．【解答】==22．【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错； （2）原式12(1)(1)(1)(1)x x x x x -=++-+- 1(1)(1)x x x +=+-11x =- 故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；23．【解答】解：原式=24．【解答】解：原式2233(3)2(3)3(3)(3)2(3)(3)23a a a a a a a a a a a a a ++----=⋅=⋅=+-+-+， 当2a =-时，原式23523--==--+． 25．【解答】解：（1）从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5， 随意摸出一个球是红球的结果个数是2，∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是25； （2）设需再加入x 个红球． 依题意可列：22233x x +=++，解得4x =，经检验4x =是原方程的解，∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，袋子中需再加入4个红球． 26．【解答】解：去分母得：221x x =-+， 移项合并得：1x =-， 经检验1x =-是分式方程的解． 27．【解答】证明：BE CF =， BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =，//AB DE ，B DEF ∴∠=∠．在ABC ∆与DEF ∆中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴∆≅∆，AC DF ∴=．28．【解答】证明：90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==， ABC DCB ∴∠=∠，//DC EF ，CBF DCB ∴∠=∠，CBF ABC ∴∠=∠．BC ∴平分ABF ∠．29．【解答】解：（1）如图，作ABC ∠的平分线，（2）如图，30．【解答】解：设原计划每天种树x 棵，实际每天植树(125%)x +棵，由题意，得100010005(125%)x x-=+， 解得：40x =，经检验，40x =是原方程的解． 答：原计划每天种树40棵．31．【解答】解：2BD CD ==，∴BC =， ∴设AB x =，则2AC x =，∴222(2)x x +=， 2284x x ∴+=，238x ∴=，283x ∴=，x ∴=2AC AB = 32．【解答】解：AC BD AB +=，证明如下： 在BA 上截取BF BD =，连接EF ，如图所示： AE 、BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠， EAF EAC ∴∠=∠，EBF EBD ∠=∠， 在BEF ∆和BED ∆中， BF BF EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF BED SAS ∴∆≅∆， BFE D ∴∠=∠，//AC BD ，180C D ∴∠+∠=︒， 180AFE BFE ∠+∠=︒， 180AFE D ∴∠+∠=︒， AFE C ∴∠=∠，在AEF ∆和AEC ∆中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEF AEC AAS ∴∆≅∆， AF AC ∴=， AF BF AB +=， AC BD AB ∴+=．。
2020-2021学年北师大版初二数学上册期末测试卷及答案
2020-2021学年北师大版初二数学上册期末测试卷考生须知：1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷100分钟。
2． 答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号。
3． 不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或π一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点P （3，4-）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（3，4-）B ．（3-，4-）C ．（3，4）D ．（3-，4）2 3.1415、3π、17、3.123×12 1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）中，无理数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D4．若点(),m n -在第一象限，则点(),m n 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，90C D ∠=∠=︒，CAB DBA ∠=∠，若3AC =，4=AD ，则AB 是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）A ．2，1B ．1，1.5C ．1，2D ．1，17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．全等三角形周长相等B ．全等三角形面积相等C ．全等三角形对应角都相等D ．全等三角形对应边都相等8．如图A 、B 、C 三点共线，C 、D 、E 三点共线，且12∠=∠，1C ∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．//CE BFB ．2F ∠=∠C ．1180CBF ∠+∠=︒D ．C CBF ∠=∠9．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n 的值可能是（ ）A ．200B ．201C ．202D ．20310．如图，已知A （3，1）与B （1，0），PQ 是直线y x =上的一条动线段且PQ =Q 在P 的下方），当AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（ ）A ．（23，23）B ．（3，3）C ．（0，0）D ．（1，1）二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．已知甲数是719的平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 12．点A （4，m ）在直线23y x =-+上，则m=__________________．13．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形； ②△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；③BF=CF ； ④F 为DE 中点．其中正确的有_____．（填正确结论的序号）14．已知012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩是方程组522x b y x a y -=⎧⎨+=⎩的解，则a b +的值为_______ ． 15．棱长分别为8,6cm cm 的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱上，点P 是11E F 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是__________．16．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，2小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧，为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树_____棵．三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分6分）计算：（1）（2）|+（3112-18．（本题满分8分）解方程及方程组（1）31225223x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）2207441x y x y ++=⎧⎨-=-⎩（3）29 4.83515x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （4）302223x z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪--=-⎩19．（本题满分8分）如图，有三个论断：①12∠=∠；②B C ∠=∠；③A D ∠=∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．20．（本题满分10分）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计田表：（1）请你将图②条形图补充完整，并求出a 的值；（2）求甲、乙两校成绩的平均分；（3）经计算知2 135S =甲，2175S =乙，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．21．（本题满分10分）八年级1班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE ，测得如下数据：①测得BD 的长度为8米：(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE ．（2）若松松同学想风筝沿CD 方向下降9米，则他应该往回收线多少米?22．（本题满分12分）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案． （2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．23．（本题满分12分）如图，直线1l 与y 轴交于点(0,3)A ，直线2l ：2y x =--交y 轴于点B ，交直线1l 点(3,)P t -．（1）求直线1l 的函数解析式；（2）过动点(a,0)D 作x 轴的垂线与直线1l 、2l 分别交于M 、N 两点，且3MN ≤． ①求a 的取值范围；②若2ANB APN S S ∆∆=，直接写出a 的值．参考答案一． 选择题1-5：ACACA ，6-10：ACCCA二． 填空题11．＜，12．4.032×1011， 13．6， 14．0或6或8，15．16或24，16．3- 三． 解答题17. （1）1-；（2）16；（3）10-；（4）77． 18. （1）8x -；（2）222a ab ++，12．19. （1）8x =；（2）1x =20. (1) 过点C 直接画出AB 平行线，如下图中红色线所示；(2) 过点C 向 AB 作垂线，标上垂直符号，如下图中蓝色线所示：(3)由点到直线的距离的定义知：点C 到直线AB 的距离是垂线段CE 的长度.故答案为：AB.(4) 由点到直线的距离垂线段最短可知垂线段CE 最短.故答案为：CE ，点到直线的距离垂线段最短.21. （1）32；（2）16吨；（3）小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 22. （1）13；（2）6；（3）19723. （1）94；（2）94-；（3）-2．1、三人行，必有我师。
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故S= (6+4)×16−3×4−6×3=50.
故选A.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.
10．B
解析：B
【解析】
图（4）中，
∵S正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，分别以OA、OB、AB为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可．
20．如图，在△ABC中，BF⊥AC于点F，AD⊥BC于点D，BF与AD相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则AE=_______________cm．
三、解答题
21．(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝，16x2+24x+9＝，9x2﹣12x+4＝
(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．
【详解】
解：D选项中，多项式x2-x+2在实数范围内不能因式分解；
选项B，A中的等式不成立；
选项C中，2x2-2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1），正确．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．
17．已知9y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是_______．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.
19．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．
15．±10【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值【详解】解：∵x2+kx+25=x2+kx+52∴kx=±2•x•5解得k=±10故答案为：±10【点睛
A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等D．两个面积相等的直角三角形
8．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S是（）
A．50B．62C．65D．68
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据公式（a+b）（a-b）=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．
【详解】
解：A、由于两个括号中含x、y项的系数不相等，故不能使用平方差公式，故此选项正确；
B、两个括号中，含y项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错误；
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
5．D
解析：D
【解析】
【详解】
，去分母，方程两边同时乘以(x﹣2)，得：
m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2．
当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，过点C作CD⊥AC，交∠BAC的平分线于点D．求证：AD=BD．
23．如图，已知点C为AB的中点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点O，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
故选D．
6．B
解析：B
【解析】
分析：根据全等三角形的判定解答即可．
详解：由图形可知：AB= ，AC=3，BC= ，GD= ，DE= ，GE=3，DI=3，EI= ，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等．
故选B．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、正确，利用SAS来判定全等；
B、正确，利用AAS来判定全等；
C、正确，利用HL来判定全等；
D、不正确，面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应．
故选D．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定方法，关键是熟练掌握常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等．
10．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是()
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1
则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故选D.
【点睛】
本题考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角的度数是解题关键.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】
∵如图，AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90º，∠EAF+∠BAG=90º，∠ABG+∠BAG=90º⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△AGB，
∴AF=BG，AG=EF.
同理证得△BGC≌△CHD得GC=DH，CH=BG.
2020-2021北京市初二数学上期末试题含答案
一、选择题
1．下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形D．2个正六边形和2个正三角形
2．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱的高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为（）
11．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
15．若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是____________.
16．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设 管道，那么根据题意，可得方程．
解析：2（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，一般是一提二套，先考虑能否提公式式，再考虑能不能用平方差公式和完全平方公式继续分解，注意要分解彻底.
【分析】
只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于360°即可。
【详解】
A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
（1）在图①中，过点O作出AB的平行线；
（2）在图②中，过点C作出AE的平行线．
24．因式分解：（1） ；（2）
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．