2.8 分块矩阵的初等变换

B
=3,
求
O B
A *
O

O 3B*
(1)

2
A*
O

O 2B*
(2)

3
A*
O

O 3A*
(3)

2B*
O

O 2A*
(4)

3B*
O

例6 A =1 2 3 , B= 1+2 +3 ，1+22 +43 ，1+32 +93
A)

R(B);
A C
(2)
R

O
B


R(
A)

R(B);
(3) R A B R(A) R(B);
(4) R(A B) R(A) R(B);
(5) R(AB) min{R(A), R(B)} (6) 设Amn , Bn p 则
R(AB) R(A)+R(B) n
xn x1 xn x2 xn
M 1 xn2
1 2 3 1 2 -2
(3)
已知 A=

0 0
4 0
5 6

,
B=

2 1
a 3
0 3

,
且AXA* B R( X ) 2,则a=( )
已知A 是3 阶非零矩阵,且aij Aij (i, j 1, 2, 3),证明 A 可逆,并求A 的行列式
行列式的降阶公式,作为结论记住
特别地 设A ,B 均为m 1 矩阵,是任意数 则有： En ABT n1 BT A
1
例如
设A
=
2 3

,
B

(3,
1,1)
1
1
则有：
E3


2

(3,
1,1)
3
31 (3,1,1) 2
例3 设A 为n 阶方阵,
当R( A) n 当R( A) n 1 当R( A) n 1
结果作为定理记住
P78 34
设A 为n 阶方阵,A*是A 的伴随矩阵,试证：
n R( A) n 1 n 1
例4 设A 为n 阶方阵,试证：R(A) 1 存在两个n1 矩阵U和V ,使得A UV T 结果作为定理记住
例5
P78 36
设A 为n 阶方阵, R( A) 1,tr( A) 2,求 En A 练习题
(1) 设A 为3 阶方阵, R( A) 2,( A*)3 0,证( A*)2 =0.
2.8 分块矩阵的初等变换
一 分块矩阵的初等变换的概念 二 利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的秩
例1 证明行列式乘法公式
AB = A B A 和B 均为n 阶方阵
第八次课结束
例2 A 为n 阶可逆阵,B 为m 阶方阵,试证
A C = A B DA1C DB
例3 设A 为m n 阶矩阵,B 为m n 阶矩阵, m n ,是任意数 证明： Em AB mn En BA
作业
P77 20 A 为n 阶可逆阵,且A2 =E ,试证 R( A E)+R( A E) n
设 , 为3*1 列矩阵,矩阵A T + T ,
证明：秩r( A) 2
已知A 是3阶非零矩阵,且aij +Aij =0(i, j 1, 2, 3), 证明 A 可逆,并求A 的行列式
例2
设A 为m n 矩阵,B 为n p 矩阵,且R(A) n,试证：
小练习
R(AB) R(B) P77 20
设A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,且AB E,则
(A) R(A) R(B)=m (B) R(A)=m, R(B)=n
(C) R(A)=n, R(B)=m (D) R(A)=R(B)=n
(2)
1 x12 x1 x2 L
Dn

x2 x1 M
1 x22 M
L
xn x1 xn x2 L
x1 xn x2 xn
M 1 xn2
1 x1 0 1 x12 0 x2 x1 MM
0 xn x1
x2 L x1 x2 L 1 x22 L
MO
xn x2 L
已知 A =1,求 B
作业
P78 习题31
P78 33
A 是n 阶非奇异矩阵,B 是n1 矩阵，b 是常数
记
Q


A BT
B
b

证明：Q可逆 BT A1B b
P78 30题
二 利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的秩
介绍几个矩阵的秩的性质
A O
(1)R

O
B


R(
B


O
B1
O

A1CB1
B1

O 1 A1
O
B




B
1
DA1
B
1

（4） CB
A1 O
O



A1
B1

A1CB
1

例5 A, B 均是 2 阶矩阵, A*, B*分别为其伴随矩阵
若
A
=2,
当R( A* ) n 当R( A*) 1 当R( A*)=0
a b b
练习
设3
阶矩阵A=

b b
a b
b a

,R(
A*
)

1,
则必有
(A) a b或a+2b=0 (B) a b或a+2b 0
(C) a b且a+2b=0 (D) a b且a+2b 0
R(A B) R(A) R(B) R(AB)+n R(A)+R(B) n R(AB) min{R(A), R(B)}
例1
(1) A 为n 阶可逆阵,且A2 =A ,试证 R( A)+R( A E) n
(2) 3E 4A 4A2=O ,试证 R(E 2A)+R(3E 2A) n.
3
2( 4)
可以证明当m n 时,是任意数, 则有 Em AB En BA
例4 A, B 均是 n 阶可逆矩阵, Cmn , Dmn 矩阵,试证：
（1） OB （2） OA （3） OA
A1 O
O



A-1
C 1 A1