热学 第3章 输运现象与分子动理论的非平衡态理论

第三章输运现象与分子动理论的非平衡态理论（气体内的输运过程）§3.0 近平衡态的驰豫和输运过程一、驰豫过程1．在均匀且恒定的外部条件约制下，热力学系统稍偏离平衡态时，发生的向平衡态趋近的过程——驰豫过程。

（1）趋近平衡的原因：分子间相互碰撞。

（2）偏离方式（以经典气体为例）分子速度偏离麦克斯韦分布，温度、密度、速度偏离。

（3）驰豫时间：偏离麦氏分布——τ小；其余较小（可以引入局域流速，局域温度、局域密度的概念）2．三个守恒量：动量、能量、粒子数（无化学反应情形）二、输运过程由于气体分子热运动和碰撞，使内部某种不均匀性消失，从而将某种量转移，使气体内部趋于平衡的现象。

1．分子类型：无引力刚球模型§3.1 粘滞现象的宏观规律（P106）一、层流（laminar flow）1．平行分层流动的流体。

（1）流速较小（质点定向流动）v u <<（2）相邻质点轨迹稍有差别，不同质点轨迹不混杂。

（3）分层平行流动3．层流与湍流（turbulent folow ）湍流：流速随时间和空间变，流体不规则运动，是一种宏观的随机现象。

雷诺数e R vrρη=。

1880年前后，英国的实验流体力学家雷诺（O.Reynolds ）用长管力的均匀流动来研究产生湍流的过程。

（参见：赵凯华.罗蔚茵编著.力学）发现湍流的临介速度v 总与无量纲的组合ηρvl的一定数值相对应。

后人（索末菲）把这个无量纲的组合参数命名为“雷诺数”。

(a)、(b) 图分别表示了在水流中的层流与湍流流动的情况；(c) 图表示了一枝香烟的烟雾，烟雾中的下段（竖直流动部分）是层流流动 在流体力学方程中，R e 数值的增减能引起多样的转折，令人叹为观止！理查德.费因曼因此发出感慨：很难设想方程式中丢了什么，只是除了小雷诺数外，我们今天的数学能力还不会解它。

所以仅把流体力学方程式写出来，还不能消除流体流动带给我们的魅力、惊讶和神秘感。

人们常怀着一种对物理学无名的敬畏心情说，你们能写出描写生命的方程式吗？呃，或许我们能。

很可能在相当近似的程度上我们已经有了这样的方程式，那就是量子力学里的薛定谔方程。

但要知道，尽管简单的方程式可以有非常复杂的解，为了解释世界的全部复杂性，只写出方程式而不会解它也是枉然。

二、粘滞现象1．流体内部各部分分子定向运动速度不均匀时，沿接触面互施切向力的现象。

2．切向力（粘滞力、内摩擦力）：层流间相对“滑动”时沿表面的相互作用力。

BA ABf f '=（作用力与反作用力）三、牛顿粘滞定律1．宏观条件若：流体在xo y 沿y 正向流动（1）稳定流动（稳恒层流）。

（2）T ρ、均匀。

（3）()=u u z ，且0uz ∆>∆（dz duzuz =∆∆→∆0lim……速率梯度）2．补注：梯度——数性函数的空间变化率，所有方向导数的最大值。

若：(,,)u u x y z =k z u j y u i x u u k z j y i x Rt gradu u∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂==∇ 当：()u u z = 0u ux y ∂∂==∂∂u d u u k kz d z ∂∇==∂ 3．牛顿粘滞定律（1）粘滞力表达式 0z du f dSdz η⎛⎫= ⎪⎝⎭ （3-1）量纲[]11M L T η--= CGS P （泊） 211110.1P N s m K g m s---=⋅⋅=⋅⋅ MKS P a s ⋅（帕⋅秒） 10.1P P a s =⋅ （2）动量表达式微观观点 运动通过d S 交换实质：分子热A B、动量。

效果：f 使A内部dP ↑，B 内部dP ↓。

动量交换（分子对交换），通过d S ，dP 由A B −−−→输出z du dP fdt dSdtdz η⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （3-1-1）四、动量流与动量流密度1．动量流：相邻两层流之间通过d S 转移的定向动量。

dPfdt=2．动量流密度：P dP dP J dS Adtdt==P P dP f J dS J A dt===⋅ （3-2）P duJ dz η=- （3-3）例：旋转粘度计（P110）：长度为L 。

r 处 02r du G fr rL rdr ηπ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 022r du G r L Cdr πη⎛⎫== ⎪⎝⎭()22R R dr Ldu Grωδδπη++=⎰⎰232()2G L R R LR πηδωδπηωδ=+=32G L R δηπω=五、气体粘性的微观机制1、常压下气体的粘性就是由这种流速不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。

2、由于气体分子无规则（平动）热运动，在相邻流体层间交换分子对的同时，交换了相邻流体层的定向运动动量，结果使流动较快的一层流体净失去了定向动量，流动较慢的一层流体净得到了定向动量，粘性力由此而产生。

3、微观机制的宏观模拟假定有两列平板列车沿着两条平行的铁轨匀速同向行驶，其中一列列车的速度较另一列列车快，每一列列车上均站有一排相等数量的人，他们在两列列车间相互掷质量相同的砂袋，因为任何一个砂袋被掷上另一列列车后，它的速度随即变为列列车所行驶的速度，因而在两列列车之间产生动量的迁移，致使较慢的列车手到加速力，较快的列车受到减速力，粘性力就相当于这样的一对作用力与反作用力。

Not ：§3.1.2泊肃叶定律 §3.1.3斯托克斯定律（自学）§3.2 扩散现象的宏观规律（P114）一、扩散现象物质中粒子数密度不均匀时，由于分子热运动使粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象。

1．互扩散：T ρ、不均匀，分子质量差异较大，形成宏观气流。

2．自扩散：两种分子质量基本相同的气体（222N C O C O N O 、；、）组成的系统的互扩散。

（各处T 、P 均匀，ρ均匀，12ρρρ=+） 二、斐克扩散定律（Fick ）1．引入（1）密度梯度dz d zx ρρ=∆∆→∆0lim（2）质量通量（或质量流）J单位时间通过0z z =面上S ∆的质量⎪⎭⎫⎝⎛∆∆t M 。

（3）质量流密度（粒子流密度）N J ：单位时间内，通过单位面积上扩散的质量（粒子数）1N dMJ J ds dt dS ==2．定律（自）01N z dMd J D dt dS dz ρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （3-10）z d dM D dSdtdz ρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （3-11-1）z dMd J D dS dt dz ρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （3-11）3*．定律（互）0112z d dM D dSdtdz ρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （3-12）三、气体扩散的微观机理扩散曼存在同种类（两种分子质量基本相同）粒子的粒子数密度不均匀时，由于分子热运动而产生的宏观粒子迁移（第二种粒子流）。

四、树叶的水分散失菲克定律不仅在物理学中，而且在化学、生物学中都有重要的应用，每一个生命系统都可分成许多组织，组织由细胞组成，细胞之间及细胞与外界之间都由细胞壁和细胞膜分隔开，较高组织有循环、呼吸和消化等系统，这些系统常常是通过扩散来交换物质的，如在肺细胞中氧移到毛细血管中，毛细血管中CO2进入肺胞，也是通过扩散来进行的，请见[例 3.4]，下面介绍水如何从植物的叶向大气中散发的，图3-9为树叶的局部横断面，由图可知，在叶的中层有很多细胞，细胞间有相互联通的空气隙，空气隙通过位于叶背面的气孔与大气相通。

附：§3.2.2看作布朗粒子运动的扩散公式（自学）§3.3 热传导现象的宏观规律（P118）一．傅立叶定律（Fourier ）1．热传导：温度（T ）不均匀时，热量从高温区域传递到低温区域的现象。

条件：（1）P ρ、均匀（2）温度只沿z 方向发生变化，()T T z =，0Tz∆>∆引入：（1）温度梯度：0limz TdT zdz ∆→∆=∆（2）热通量（热流）：单位时间内通过的热量。

Q H t ∆=∆（3）热流密度：单位时间内，在单位面积上通过的热量。

0T z HdT J k dS dz ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 2．傅立叶热传导定律在d t 内，通过d S 传递的热量 0z dT dQ dSdtdz ⎛⎫∝ ⎪⎝⎭ （1）0z dT dQ k dSdtdz ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （314'-）（2）z dQdT H k dS dt dz ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （3-14）（3）0T z H dT J K ds dz ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3-15）二、热欧姆定律1．引入类比概念。

T T u ∆→∆“温压差” T R ---“热阻”TH I →“热流密度” T ρ---“热阻率”2．热欧姆定律（或称：热阻定律）——长为L ，截面积为A 的均匀棒稳态传热的傅立叶定律。

（3-14）z dQdT H k dS dt dz ⎛⎫==- ⎪⎝⎭T T u I kAL∆= 或T T TL u R I kA∆== （3-16）其中 T TL LR kAA ρ== （3-17）Not ：（1）比较（类比）：一部分电路欧姆定律与热阻定律U R I = T T T u R I ∆= L R A ρ=T TL R A ρ=（2）与管道流阻类似（P 121），可得棒状、板状材料的稳态传热串联、并联公式。

3．应用：见P122：§3.3.3多孔绝热技术（自学）例1（P121）： [例3.5]有三块热导率分别为1κ、2κ、3κ，厚度分别为d 1、d 2、d 3，截面积为A 的相同形状的平板A 、B 、C 整齐地叠合在一起后使A 与C 分别与温度为T 1及T 2的两个热源相接触，试求稳态时在单位时间内流过的热量。

解：利用热阻串联公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++=++=321332211321111κκκκκκA d Ad A d A d R R R R T T T T由（3.16）可知()()13322132112321111κκκκκκκκκκκκ++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅∆=∆==d A T T d A T RTU I Q T T对于非均匀物质或截面不规则的棒、非棒状材料的热阻、热流的计算、可借助于微分热欧姆定律，若把温度梯度dz dT称为温度场强度E T ，则（3.15）式可该写为T T E J κ-=，这就是温度场的微分热欧姆定律。

[例3.6]一半径为b 的长圆柱形容器在它的轴线上有一根半径为a 、单位长度电阻为R 的圆柱形长导线，圆柱形筒维持恒温，里面充有被测气体。

当金属线内有一小电流I 通过时，测出容器壁与导线间的温度差为T ∆。

假定此稳态传热已达到，因而任何一处的温度均与时间无关，试问待测气体的热导率κ是多少？解：利用（3.15）式drdT J T κ-=设圆筒长为L ，在半径r 的圆柱面上通过的总热流为Q ，在的圆筒形薄层气体中的温度梯度为dr dT，故rLdrdT Q 2πκ-=达稳态时在不同r 处的Q 均相同，故rdr L Q dT ⋅=κπ2从a 积分到b ，则ab L Q T ln2⋅-=∆κπ因为RL I Q 2=，故热导率Tab R I ∆=πκ2ln2作业：P 161 *3.1.1、3.3.3、3.3.5 P 162 例3.1小结：输运过程的宏观特征1．某种量的非平均性2．引入梯度去描述其非均匀性（dudT dM dz dz dz 、、）3．其结果都有消除非均匀性的趋势。