精品解析：江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题(原卷版)

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2020年江苏省苏州市常熟市高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.直线x−√3y−1=0的倾斜角为______．2.若扇形的弧长为π2m，圆心角为π4rad，则此扇形的半径是________m．3.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是______．4.两平行直线2x+y=0与4x+2y−1=0之间的距离为______．5.过点(1,14)且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为______．6.若将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为______cm2．7.已知三个不同的点O(0,0)，A(sinθ,sinθ2)，B(8,5)在同一条直线上，则cosθ的值是______．8.将函数f(x)=cos2x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(0)的值为______．9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，B=π3，当△ABC的面积等于√3时，b=______．10.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α//β；②若l⊥α，α⊥β，则l//β；③若l//α，l⊥β，则α⊥β；④若l//α，α⊥β，则l⊥β．其中真命题为______(填所有真命题的序号)．11.点(5,2)到直线(m−1)x+(2m−1)y=m−5的距离的最大值为______．12.如图，在边长为2的正方体中，M为楼AB的中点，则二面角B1−CM−B的正切值是______．13.在正三楼柱ABC−A1B1C1中，AB=2，CC1=3，点D为侧棱BB1上的一个动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D−ABC1的体积为______．14.已知关于x的方程sinx−cos2x+1−a=0(a∈R)在区间[0,3π]上共有n(n∈N∗)个互不相同的实数根x1，x2，……x n，当x1+x2+⋯…+x n取得最小值时，实数a 的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，D，E分别是AB，B1C的中点．(1)求证：DE//平面ACC1A1；(2)若DE⊥AB，求证：AB⊥B1C.16.已知在△ABC中，内角A，B，C.所对的边分别为a，b，c，且满足(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c．(1)求A的值；(2)若c=√2+√3，cosB=√33，求a的值．17.已知函数f(x)=−2√3sin2x+2sinxcosx+a(其中a∈R)，且f(0)=√3．(1)求a的值，并求f(x)在[−π4,π4]上的值域；(2)若f(ωx)在[0,π]上有且只有一个零点，ω>0，求ω的取值范围．18.如图，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB=90°，M是CD的中点．(1)在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l；(2)求证：AP⊥BC；(3)当AP=2时，求PC与平面ABCD所成角的正切值．19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警告．如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s=√3d，一艘外轮在P点满足∠BAP=α，∠ABP=β．(1)α，β满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？(2)当α+β=2π时，间α处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？320.已知直线l1：mx−y+m=0，l2：x+my−m(m+1)=0，l3：(m+1)x−y+(m+1)=0，记l1∩l2=A，l2∩l3=B，l3∩l1=C．(1)当m=2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；(2)在△ABC中，求BC边上中线长的最小值；(3)求△ABC面积的取值范围．答案和解析1.【答案】π6【解析】解：由题意可得：将x−√3y−1=0可化为y=√33x−√33，∴可得直线的斜率k=√33，所以θ=π6．故答案为：π6．由题意可得直线的方程可化简为：y=√33x−√33，进而得到直线的斜率k=√33，再根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案．本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，解决此类问题的方法一般是首先将直线的方程化为斜截式方程，得到直线的斜率，进而根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案．2.【答案】2【解析】【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是明确弧长的计算公式．根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径，从而可以解答本题．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l=rα，即：π2=r⋅π4，解得，r=2．故答案为：2．3.【答案】【解析】解：如图，连接B1D1，∵AA1//BB1，∴∠B1BD1为异面直线AA1和BD1所成角，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则B 1D 1=√2a ，BD 1=√(√2a)2+a 2=√3a ． ∴cos ∠B 1BD 1=√3a=√33．即异面直线AA 1和BD 1所成角的余弦值是√33．故答案为：√33．由题意画出图形，求解三角形可得异面直线AA 1和BD 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．4.【答案】√510【解析】解：由4x +2y −1=0得2x +y −12=0，由两平行直线的距离公式可得|−12−0|√4+1=√510．故答案为：√510将两平行直线的x 与y 的系数化为相同，再用平行直线的距离公式可得．本题考查了两条平行直线的距离，属基础题． 5.【答案】x +4y −2=0【解析】解：根据题意，设直线在x 轴上的截距为a ，则其在y 轴上的截距为1a ，(a ≠0)，则直线的方程为xa +y1a=1，即x a +ay =1，又由直线经过点(1,14)，则有1a +a4=1，解可得a =2，则直线的方程为x2+2y =1，即x +4y −2=0；故答案为：x +4y −2=0．根据题意，设直线在x 轴上的截距为a ，则其在y 轴上的截距为1a ，即可得直线的方程为xa+y1a=1，即x a+ay =1，将点的坐标代入直线方程，计算可得a 的值，即可得答案．本题考查直线的截距式方程，关键是设出直线的方程，属于基础题． 6.【答案】8π【解析】解：将边长为2cm 的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的底面圆半径为r =2cm ，母线长为l =2cm ．则圆柱的侧面积为S 侧=2πrl =2π×2×2=8π(cm 2).故答案为：8π．根据题意知圆柱的底面圆半径r 和母线长l ，再计算圆柱的侧面积．本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．7.【答案】725【解析】解：根据题意，三个不同的点O(0,0)，A(sinθ,sinθ2)，B(8,5)在同一条直线上，则K OA=K OB，即5−08−0=sinθ2−0sinθ−0，变形可得cosθ2=45，则cosθ=2cos2θ2−1=725，故答案为：725．根据题意，由三点共线可得K OA=K OB，即5−08−0=sinθ2−0sinθ−0，变形可得cosθ2=45，由二倍角公式分析可得答案．本题考查三点共线的问题，涉及直线的斜率计算，属于基础题．8.【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数的平移变换和三角函数求值问题，属基础题．将f(x)平移后得到，然后求出g(0)即可．【解答】解：将函数f(x)=cos2x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度得，g(x)=cos[2(x+π6)]=cos(2x+π3)，∴g(0)=cosπ3=12，故答案为：12．9.【答案】√13【解析】解：∵由题意，可得：12acsinB=√3，即12×1×c×√32=√3，∴c=4，∵由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosπ3=1+16−4=13，∴b=√13．故答案为：√13．由12acsinB=√3，可求c=4，由余弦定理可求b的值．该题考查余弦定理及其应用，考查三角形面积公式，考查学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】①③【解析】解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α//β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l//β或l⊂β，∴②错误；对于③，l//α，l ⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l//α，α⊥β时，有l ⊥β或l//β或l ⊂β或l 与β相交，∴④错误．综上，以上真命题为①③．故答案为：①③．①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确； ②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误； ③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确； ④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．本题考查了利用符号语言表示的线面、面面垂直与平行的应用问题，是基础题． 11.【答案】2√13【解析】解：化直线(m −1)x +(2m −1)y =m −5为m(x +2y −1)−x −y +5=0，联立{x +2y −1=0−x −y +5=0，解得{x =9y =−4．∴直线(m −1)x +(2m −1)y =m −5过定点(9,−4)，∴点(5,2)到直线(m −1)x +(2m −1)y =m −5的距离的最大值为√(5−9)2+(2+4)2=2√13．故答案为：2√13．利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．12.【答案】【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B(2,2，0)，B 1(2,2，2)，C(0,2，0)，M(2,1，0)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，设平面CMB 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y =0m ⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,2，−1)，平面CBM 的法向量m ⃗⃗ =(0,0，1)，设二面角B 1−CM −B 的平面角为θ，则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=1√6⋅1=1√6， ∴tanθ=√5．∴二面角B 1−CM −B 的正切值为√5．故答案为：√5．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B 1−CM −B 的正切值．本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.【答案】【解析】解：将正三棱柱ABC −A 1B 1C 1展开成矩形ACC 1A 1，如图，连结AC 1，交BB 1于D ，此时AD +DC 1最小，∵AB =BC =2，BB 1=CC 1=3，∠ABC =60°，点D 为侧棱BB 1上的动点，时，BD =12BB 1=32，∴当AD +DC 1最小点C 1到平面ABD 的距离d =√22−12=√3，此时三棱锥D −ABC 1的体积：V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×d =13×12×2×32×√3=√32．故答案为：√32．将正三棱柱ABC −A 1B 1C 1展开成矩形ACC 1A 1，连结AC 1，交BB 1于D ，此时AD +DC 1最小，当AD +DC 1最小时，BD =32，此时三棱锥D −ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD ，由此能求出结果．题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．14.【答案】{−14,2}【解析】解：由题意，a =sin 2x +sinx ．令t =sinx ，则a =f(t)=t 2+t =(t +12)2−14． ∵x ∈[0,3π]，sinx ∈[−1,1]，即t ∈[−1,1] ∴a =f(t)函数图象如下：t =sinx 函数图象如下：联系两个函数图象，对a分类谈论如下，①当a=2时，则t=1，即sinx=1，则此时有两个根：x1=π2，x2=5π2．∴x1+x2=3π．②当0<a<2时，0<t<1，即0<sinx<1且sin x只有一个值．则此时有四个根x1，x2，x3，x4．且x1+x22=π2，x3+x42=5π2∴x1+x2+x3+x4=6π．③当a=0时，则t=−1，或t=0．即sinx=−1，或sinx=0．则此时有五个根：x1=3π2，x2=0，x3=π，x4=2π，x5=3π．∴x1+x2+x3+x4+x5=15π2．④当−14<a<0时，一个a对应两个t值：t1，t2．且−1<t1<−12<t2<0则有sinx1=t1，sinx2=t1及sinx3=t2，sinx4=t2．很明显x1+x22=x3+x42=3π2．∴x1+x2+x3+x4=6π．⑤当a=−14时，t=−12，sinx=−12，则此时有两个根：x1，x2．很明显x1+x22=3π2．∴x1+x2=3π．∴x1+x2+⋯…+x n取得最小值为3π，此时a=−14或2．故答案为：{−14,2}．本题可根据两个函数之间的对应关系由a反向去思考根的所有和的情况，再根据根的和的最小值可推出a的取值集合．本题主要考查对应思想的应用，数形结合、分类讨论方法的掌握．本题属较难题．15.【答案】证明：(1)连结BC 1，AC 1，∵ABC −A 1B 1C 1是斜三棱柱，∴四边形BCC 1B 1为平行四边形，由平行四边形性质得点E 也是BC 1 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DE//AC 1，又DE ⊂平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴DE//平面ACC 1A 1；(2)连结CD ，∵CA =CB ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又DE ⊥AB ，DE ∩CD =D ，DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AB ⊥平面CDE ，∵B 1C ⊂平面CDE ，∴AB ⊥B 1C .【解析】(1)连结BC 1，AC 1，由三角形中位线定理可得DE//AC 1，根据线面平行的判定定理可得结论；(2)由等腰三角形的性质可得CD ⊥AB ，结合DE ⊥AB ，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面CDE ，再由线面垂直的性质可得结论．本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题． 16.【答案】解：(1)∵(sinA +sinB)(a −b)=(sinC −sinB)c ∴(a +b)(a −b)=(c −b)c ，∴b 2+c 2−a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc，将b 2+c 2−a 2=bc 代入上式，得cosA =12， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3．(2)由B ∈(0,π)，cosB =√33，得sinB =√63，∴sinC =sin (A +B)=sinAcosB +cosAsinB =3+√66，∴由正弦定理得a =csinA sinC=3．【解析】(1)由(sinA +sinB)(a −b)=(sinC −sinB)c ，利用正弦定理可得b 2+c 2−a 2=bc ，再利用余弦定理可得cosA =12，从而可得结果；(2)由cosB =√33，利用同角三角函数的关系求得sin B 的值，结合(1)利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得sin C 的值，再由正弦定理可得结果．本题主要考查了正弦定理，余弦定理和三角函数的化简求值等，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=−2√3sin 2x +2sinxcosx +a=sin2x +√3cos2x +a −√3=2sin(2x +π3)+a −√3∵f(0)=√3，∴f(0)=2sin π3+a −√3=a =√3，即a=√3；(2)令f(x)=0，则sin(2ωx+π3)=0，∵x∈[0,π]，∴2ω+π3∈[π3,2πω+π3]，∵f(x)在[0,π]上有且只有一个零点，∴π≤2πω+π3<2π，∴13≤ω<56，∴ω的取值范围为：[13,56 ]．【解析】(1)化简f(x)，根据f(0)=√3，得出a的值；(2)根据x的范围得到2ωx+π3的范围，由条件可得π≤2πω+π3<2π，解不等式即可．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属基础题．18.【答案】解：(1)如图，延长AM与BC交于点Q，连接PQ，直线PQ即为所求交线l．证明：(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，又AP⊂平面PAB，所以AP⊥BC．解：(3)如图，过点P作PH⊥AB于点H，连接CH，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊥AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD．所以∠PCH即为PC与平面ABCD所成的角，在△APB中，∠APB=90°，AP=2，AB=4，所以PB=2√3，∠PAB=60°，从而PH=√3，BH=3，在Rt△BCH中，CH=5，所以tan∠PCH=PHCH =√35．【解析】(1)延长AM与BC交于点Q，连接PQ，直线PQ即为所求交线l；(2)由正方形的性质可得AB⊥BC，由面面垂直的性质可得，BC⊥平面PAB，再由线面垂直的性质可得结果；(3)过点P作PH⊥AB于点H，连接CH，由面面垂直的性质可得PH⊥平面ABCD.则∠PCH 即为PC与平面ABCD所成的角，利用直角三角形的性质可得结果．本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．19.【答案】解：(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，在△ABP 中，sin ∠APB =sin (π−α−β)=sin (α+β)，由正弦定理得BP sin ∠PAB=AB sin ∠APB，所以BP =s⋅sinαsin (α+β)，在Rt △BPQ 中，x =PQ =BPsin(π−β)=BPsinβ=s⋅sinαsinβsin (α+β)，当x ≤d ，即sinαsinβsin (α+β)≤d s=√33时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域． (2)当α+β=2π3时，s⋅sinαsinβsin (α+β)=2√33sinαsin(2π3−α)=2√33sinα(√32cosα+12sinα)=2√3(√3sinαcosα+1sin 2α)=2√3sinα(√3sin2α+1−cos2α)=√33sin (2α−π6)+√36，要使不被警告，则sinαsinβsin (α+β)>d s=√33，即√33sin(2α−π6)+√36>√33，解得sin (2α−π6)>12，所以2kπ+π6<2α−π6<2kπ+5π6，k ∈Z ，即kπ+π6<α<kπ+π2，k ∈Z ，又因为α∈(0,2π3)，所以π6<α<π2．当α∈(π6,π2)时可以避免使外轮进入被警告区域．【解析】(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ 为x 海里，先由正弦定理求得BP =s⋅sinαsin (α+β)，再利用直角三角形的性质可得x =PQ =s⋅sinαsinβsin (α+β)，根据x ≤d 即可得结果；(2)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数s⋅sinαsinβsin (α+β)化为√33sin (2α−π6)+√36，然后解不等式√33sin (2α−π6)+√36>√33，进而可得结果．本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：(1)知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角)；(2)知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；(3)证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径．20.【答案】解：(1)当m =2时，直线l 1 的方程为：l 1 2x −y +2=0，且斜率k 1=2，设原点关于直线l 1 的对称点为 (x 0,y 0)，则由斜率与中点坐标公式列方程得：{y 0x 0=−122x 02−y 02+2=0，解得：{x 0=−85y 0=45，故所求点的坐标为(−85,45)． (2)法一：由m ×1+(−1)×m =0，得l 1⊥l 2，故△ABC 为直角三角形，且BC 为斜边，中线长为12BC ，由{mx −y +m =0(m +1)x −y +(m +1)=0，得l 1与l 3的交点C(−1,0)，由{(m +1)x −y +(m +1)=0x +my −m(m +1)=0，得l 3与l 2的交点B(0,m +1)，故中线长12BC =12√1+(m +1)2，即当m =−1时，中线长有最小值为12．法二：因为点B 是y 轴上动点，所以当BC 垂直y 轴时BC 最短，此时中线长最小值为12．(3)由{mx −y +m =0x +my −m(m +1)=0，得l 1与l 2的交点为：A(m 1+m 2,m 3+m 2+m1+m 2)，由两点间距离公式得AB =√1+m 2，点C(−1,0)到l 2的距离为：d =2√1+m 2=2√1+m 2，三角形面积s =12AB ．d =12√1+m 22√1+m 2=12(1+m1+m 2)，当m =0时，有 m 1+m 2=0，；当m >0时，有 m 1+m 2=1m+1m∈(0,12】；当m <0时，m 1+m 2=1m+1m∈[−12,0)所以，−12≤m 1+m 2≤12，14≤s ≤34．答：故答案为(1)所求点的坐标为(−85,45).(2)最小值12.(3)14≤s ≤34【解析】(1)当m =2时，直线l 1的方程为：l 12x −y +2=0，设原点关于直线l 1的对称点为(x 0,y 0)，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；(2)l 1：mx −y +m =0l 2：x +my −m(m +1)=0l 3：(m +1)x −y +(m +1)=0记：l 1∩l 2=Al 2∩l 3=Bl 3∩l 1=C ，先证明l 1⊥l 2，可得△ABC 为直角三角形故△ABC 为直角三角形，且BC 为斜边，中线长为12BC ，再求得得l 1与l 3的交点C(−1,0)，得l 3与l 2的交点B(0,m +1)，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果； (3)求得得l 1与l 2的交点的坐标，可得AB 长，再求得点C(−1,0)到l 2的距离d ，求△ABC 的面积的取值范围．则三角形面积s =12AB ．d =12√1+m22√1+m 2=12(1+m1+m 2)，分类讨论，利用基本不等式可得结果．本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题．解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型P(x,y)关于直线l的对称点p′(m,n)，利用y−nx−m ×k l=−1，且点(x+m2,y+n2)在对称轴l上，列方程组求解即可，求出对称点p′(m,n)；(2)直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点(利用(1)求解)，两点式求对称直线方程；(3)曲线关于直线对称，结合方法(1)利用逆代法求解．(3)求面主要采用分类讨论，利用基本不等式求解，属于中档题，综合题．。

常熟市2019—2020学年高一下学期期中数学试题

江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．直线20x +-=的倾斜角为A ．﹣30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知x ∈(2π，π)且cos2x ＝725，则cos x 的值是 A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为A ．﹣1或2B ．﹣1C ．2D ．0或24．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为A ．7B ．8C ．9D ．105．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P(m ，n ) 的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝10内部的概率是 A ．13 B ．16 C ．19 D ．296．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，B ＝45°，若△ABC 的面积S ＝2，则△ABC 的外接圆直径为A ．B ．5C ．D ．7．样本a ，3，4，5，6的平均数为b ，且不等式x 2﹣6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是A B ．1 C D ．28．已知直线l ：(a ﹣1)x ＋(2a ＋1)y ﹣7a ﹣2＝0(a ∈R)和圆C ：x 2＋y 2﹣4x ﹣2y ﹣11＝0，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当a ＝﹣1时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则a ＝14；④对于任意的实数d (d ＜8)，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d ．其中正确的说法个数是 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在下列四个命题中，错误的有A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是 A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是 A ．若tanA ＋tanB ＋tanC ＞0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cosA ＝b cosB ，则△ABC 是等腰直角三角形 C ．若b cosC ＋c cosB ＝b ，则△ABC 是直角三角形 D ．若cos A cos B cosCa b c==，则△ABC 是等边三角形 12．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y αα-++=，直线l ：y ＝kx ，以下结论成立的是 A ．存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B ．对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C ．对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D ．对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为． 14．若三点A(﹣2，12)，B(1，3)，C(m ，﹣6)共线，则实数m 的值为．15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设B ＝2A ，则角A 的取值范围是；ba的取值范围是． 16．已知点P(0，2)为圆C ：222()()2x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则正数a 的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．（1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率；（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求事件“2a b -≥”发生的概率．18．（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 136f x x x x ππ=-+-+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α∈[4π，2π]且()5f α=，求cos2α的值．19．（本小题满分12分）已知两直线l 1：ax ﹣by ＋4＝0，l 2：(a ﹣l)x ＋y ＋b ＝0．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线l 1过点(﹣3，﹣1)，并且直线l 1与l 2垂直；（2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 20．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3sinB＋sinA ＝（1）求角A 的大小；（2）求边长c ．21．（本小题满分12分）某校高一实验班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100到110分的学生数有21人．（1）求总人数N 和分数在110到115分的人数n ；（2）现准备从分数在110到115分的n 名学生（其中女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少?附：线性回归方程$y bxa =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．22．（本小题满分12分）已知圆O ：221x y +=与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ．（1）若过点C(12，2)的直线l 被圆O ，求直线l 的方程；（2）若在以点B 为圆心，r 为半径的圆上存在点P ，使得PA PO （ O 为坐标原点），求r 的取值范围；（3）设M(1x ，1y )，Q(2x ，2y )是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线QM 1、QM 2与y 轴分别交于点(0，m )和(0，n )，问：m ·n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)

江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（）A. 30-︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 【答案】D【解析】【分析】把直线方程化为斜截式：23y x =-+ 【详解】Q化简后，直线方程为2y x =+， ∴直线的斜率为 ∴直线的倾斜角为150︒故选：D【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于简单题2.已知,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 值是（） A. 45- B. 35- C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式，令27cos 22cos 125x x =-=，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，可得答案【详解】由27cos 22cos 125x x =-=得，216cos 25x =，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，所以，的4cos 5x =- 故选：A【点睛】本题考查倍角公式的应用，属于简单题3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -－a+2－=0，即a 2-a -2=0，解得a=2或-1－经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．－a=-1－故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B AC A C B C B C ⇔-=-≠-≠P 且（或）； 4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人. 考点：本小题主要考查分层抽样应用. 点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.5.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29【答案】C【解析】【分析】连续掷两次骰子，以先后得到点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足2210x y +<，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数,根据古典概型个数得到结果.【详解】这是一个古典概型，由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个，而满足2210x y +<，的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4个,94136P == 故选：C【点睛】本题将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能直观的感受到对象的总数，难点在于列举的时候做到不重不漏，属于简单题6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o ，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯==,c =,2222cos 132338252b a c ac B =+-=+-=-= ,5b = ,2sin b R B === ，选C. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A. 1B.C. D. 2【答案】B【解析】的由题意得a －3－4－5－6－5b －a －b －6－解得a －2－b －4，所以样本方差s 2－15[(2－4)2－(3－4)2－(4－4)2－(5－4)2－(6－4)2]－2 . 故答案为B.8.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】①直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点A （1，3），然后利用圆C 的圆心为点（1，3），然后算出CA 即可判断是否相切，即可判断①②当1a =-时，直线250x y +-=经过圆心（2，1），明显地，直线l 平分圆C 的面积，这样就可以判断②③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，然后解出a 即可判断③；④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++，利用反证法，即可判断④ 【详解】①圆C 的标准方程为22(2)(1)16x y -+-=,圆心坐标（2，1）,半径4r =，直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点（1，3），又Q 4<，所以点（1，3）在圆C 内，所以直线l 和圆C 相交，不可能相切故：①正确②当1a =-时，直线l 的方程为250x y --+=，即250x y +-=，又由直线250x y +-=经过圆心（2，1），所以当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积，故：②正确③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，此时，对于圆心C 与A 连成的直线CA ，必有CA l ⊥，又Q CA 的斜率为2-，∴l 的斜率为12，则有11212a a -=+，解出14a = 故：③正确④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++，过点（1，3）且斜率为12-的直线方程为13(1)2y x -=--，即270x y +-=，圆心（2，1)到直线270x y +-=的距离d '==所以直线270x y +-=截圆C 所得的弦长d ==，满足8d ≤<，但直线l 的斜率不可能为12-，从而直线l 的方程不可能为270x y +-=，若d =，则只存在一个a 的取值，使得直线l 截圆C 所得的弦长为d故：④不正确故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于简单题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD【解析】【分析】A 中，直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在B 中，直线倾斜角的取值范围是[)0,pC 中，直线的斜率为tan α时，它的倾斜角不一定为αD 中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在【详解】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误对于B ，直线倾斜角的取值范围是[)0,p ，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y x =的斜率为5tan 4π，它的倾斜角为4π，C 错误对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误故选：ACD【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的概念，属于基础题10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形D. 若cos cos cos a b c A B C==，则ABC V 是等边三角形【答案】AD【解析】【分析】对于A ，化简得0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>，然后即可判断选项A 正确对于B ，通过倍角公式，化简为22sin A sin B =，然后即可判断选项B 错误对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，sin sinB A =，然后即可判断选项C 错误对于D ，利用正弦定理，把cos cos cos a b c A B C==化简为tanA tanB tanC ==，即可判断选项D 正确【详解】对于A ，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+-Q ，()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>，又由A ，B ，C 是ABC ∆的内角，故内角都是锐角，故A 正确对于B ，若cos cos a A b B =，则sinAcosA sinBcosB =，则22sinAcosA sinBcosB =，则22sin A sin B =，则A B =或90A B ︒+=，ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,故B 错误对于C,cos cos b C c B b +=，sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=，即A B =，则ABC V 是等腰三角形，故C－正确对于D ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，则tanA tanB tanC ==， A B C ==，即ABC V 是等边三角形，故D 正确故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理使用，属于简单题 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B. 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切【答案】BC【解析】【分析】求出圆心坐标，求出圆心到直线的距离d ，判断d 与R 关系进行判断即可【详解】对于A 选项，圆心坐标为(,)M cos sina α-，半径1R =，则圆心到直线0kx y -=的距离d ==|sin()|1αθ+=…,（θ是参数），即≤d R ，即直线l 和圆M 相交或相切，故A 错误；对于B 选项，Q 直线l 和圆M 相交或相切，∴对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点，故B 正确；对于C 选项，对任意实数k ，当|()|1sin αθ+=时，直线l 和圆M 相切，故C 正确，对于D 选项，取0α=，则圆M 的方程为：()2211x y -+=,此时y 轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k ，不正确，故D 错误故选：BC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的内容，属于简单题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 【答案】50【解析】【分析】由已知中频率分布直方图中，共9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数【详解】由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，这9个长方形的面积和为1，故中间一个小长方形的面积等于16，即中间一组的频率为16，又由样本容量为300，故中间一组的频数为1300506⨯=故答案为:50【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．【答案】4【解析】【分析】由三点共线的性质可得AB 和AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解.【详解】由题意可得k AB =k AC ,∴312612122m ---=++－∴m =4－故答案为4.【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；b a的取值范围是_______. 【答案】 (1). 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). ()1,2 【解析】【分析】先由正弦定理把b a 换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得2cos b A a =，进而2B A =和三角形的内角和求得A 的范围，进而根据余弦函数的单调性，求得b a 的取值范围【详解】由正弦定理可知sin 2sin cos 2sin sin b B A A cosA a A A===，180A B C ︒++=Q ，2B A =， 3180A C ∴+=︒，60603C A ︒︒=-<，060A ∴<<︒，0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 12A ∴<<，则12b a <<，故的b a值域为为()1,2 答案：(1).0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2).()1,2 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利用三角函数的基本性质来解决问题16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a的取值范围是____________．【答案】11 3a≤<【解析】【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1－CTCP≥sin30°，解不等式即可．【详解】由圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2－得圆心C（a，a），半径a－－a－0－－设过P的一条切线与圆的切点是T，则a－－当Q为切点时，－CPQ最大，－圆C上存在点Q使得－CPQ=30°－－满足CTCP≥sin30°－12，整理可得3a2+2a－2≥0，解得a或a－又CTCP≤1≤1，解得a≤1－又点 P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2外一点，－a2+－2－a－2－2a2，解得a－1－－a－0－－≤a－1－1a≤<－【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率. 【答案】（1）13；（2）38．【解析】试题分析：－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－.－－－－－－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2－－－－－－－－－－－16－－－－－－－－－2a b -≥－－6－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－. 试题解析：－－－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－. －－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－－－－－－－－5－－－－2163=. －2－－－－－－－－－－(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)－16－－－－－－－2a b -≥－－()()()()()()1,3,1,4,2,4,3,1,4,1,4,2 －－6－－－－－－－－2a b -≥－－－－63168=. 18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α【答案】（1）π；（2）10-. 【解析】【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，进而可得周期；（2）由条件可得3sin(2)45πα+=，4cos(2)045πα+=->，进而由cos 2cos[(2)]44ππαα=+-即可得解.【详解】函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭11sin 222sin 2cos 222x x x x x =-++ sin 2cos2x x =+)4x π=+，（1）最小正周期为22ππ=；（2）α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，352[,]444πππα+∈，由f (α，得3sin(2)045πα+=>，所以32[,]44ππαπ+∈，所以4cos(2)45πα+=-.所以43cos 2cos[(2)]()4455ππαα=+-=-+=. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．【答案】（1）2a =，2b =；（2）2a =，2b =-或23a =，2b =. 【解析】【分析】()1利用直线1l 过点()3,1--，直线1l 与2l 垂直，斜率之积为1-，得到两个关系式，求出a ，b 的值． ()2类似()1直线1l 与直线2l 平行，斜率相等，坐标原点到1l ，2l 的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a ，b 的值．【详解】()121l l ⊥Q ，()()110a a b ∴-+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =．()122//l l Q ，1a a b ∴=-，1a b a∴=-，故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a--++=，()101aa x y a-++=-，又原点到1l 与2l 的距离相等．141a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =．【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小；（2）求边长c . 【答案】（1）3A π=（2）2c =【解析】【分析】（1）由正弦定理得3sin sin A B=3sin B A =sin B A +=解即可（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯，求出c 的值后，判断其是否符合题意即可【详解】解：（1）在ABC V 中，由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin A B=3sin B A =，sin B A +=，所以sin A =，因为ABC V 是锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，舍去；当2c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==>，且b c >，b a >，所以ABC V 为锐角三角形，符合题意，所以2c =.【点睛】本题考查解三角形中正弦与余弦定理的运用，属于简单题21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i i nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑．【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ）815P = ;（Ⅲ）115分【解析】【分析】(I)由题意结合频率分布直方图的结论可得6n = －(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为815P =;(III)结合所给数据，求得回归方程为0.550ˆˆyx =+ ，据此估计他的物理成绩大约是115分.【详解】（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为 ()10.040.0350.35P =+⨯= 所以该班总人数为21600.35N == 分数在110～115内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=分数在110～115内的学生的人数600.16n =⨯=（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,,A A A A 女生为12,,B B 从6名学生中选出2人的基本事件为()()()()()1213141112,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B ()()()()()()()()()()23242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15个其中恰好含有一名女生的基本事件为()()()()()1112212231,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B()()()324142,,,,,,A B A B A B 共8个所以所求的概率为815P = （Ⅲ）121717880121001007x --+-+++=+=69844161001007y --+-+++=+= 由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5ˆ,1000.51005099ˆ4ba===-⨯= 所以线性回归方程为0.550ˆˆyx =+ 当130x =时，ˆ115y= 所以估计他的物理成绩大约是115分22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程；－2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】－1）直线l 的方程为12x =或10x +=－－2－0r <≤m n ⋅为定值1.. 【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得k 即可求得直线方程；(2) 设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1由PA ==，化简可得()2212x y -+=又点P 在圆B 上，所以转化为点p 轨迹与圆B 有交点即可得解（3）()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---，直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++，令x =，则122112x y x y m x x -=+ ，同理可得()()2212211221221212 x y x y x y x yn mn x x x x ，则-+==--利用()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点即可得定值. 试题解析：（1）1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意. 2︒ 若直线l 的斜率存在，设l的方程为：122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --+= ∴点O 到直线l 的距离d =∵直线l 被圆O，∴221d +=⎝⎭∴3k =，此时l 的方程为：10x += ∴所求直线l的方程为12x =或10x -+= （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r -≤≤，∴0r <≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y --- ∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+ 同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+-- ()()222212212212111x x x x x x ---==-∴m n ⋅为定值1.。

2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高一下学期六月质量检测数学试题(解析版)

由，可得，再由线面垂直的性质可得，B正确；
C中两平面，没有任何关系，不能得出平行，C错；
由，，可以得出，不能得出平行，D错．
故选：B．
【点睛】
本题考查面面平行的判定，掌握面面平行的判定定理是解题关键．
3．若直线与平行，则与间的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据两直线平行求出的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离.
设内接圆柱的高为，则，故，
设圆锥的高为，则，故，
所以圆锥的体积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体的内接圆柱以及圆锥的体积的计算，注意旋转体的侧面积、表面积、体积等计算问题，一般需要考虑几何体的轴截面，因为轴截面包含了几何体的几何量.
6．已知直线和圆关于、两点，则使得弦长为整数的直线的条数为（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】先计算出弦长的最大值和最小值，从而可得弦长可取哪些整数值，从而可得所求的条数.
【详解】
直线过定点，该点在圆内，
则弦长的最大值为，满足弦长为6的直线有1条.
当时，弦长最小，且最小值为，满足弦长为2的直线有1条.
若弦长为整数，则整数为，其中满足弦长为各有两条直线.
5．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，且内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在旋转体的轴截面中讨论两个几何体的高之间的关系，求出圆锥的高后可求圆锥的体积.
【详解】
圆锥与内接圆柱的轴截面如图所示：其中为圆锥的顶点，为底面的圆心，为内接圆柱的上底面的圆心.

2019-2020学年江苏省苏州市第一中学高一下学期期中数学试题(解析版)

【详解】
解：直线的斜率为：2
与直线相交的直线的方程的斜率不等于2
，，的斜率均为2，的斜率为
故选：C．
【点睛】
两直线相交时，斜率不相等，这是判断两直线相交的一种方法，属于基础题．
4．2020年5月20日，数学周练成绩出来之后，甲、乙两位同学的6次周练成绩如下表所示.计甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
【答案】ACD
【解析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．
【详解】
解：对于，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；
对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
【详解】
如图，在正方体中，令平面为平面，则直线与平面的位置关系可能是平行、相交、在面内，
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中线与面的位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助模型的直观性求解.
3．下列各直线中，与直线相交的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别确定直线的斜率，利用两直线相交时，斜率不相等，就可以得出结论．
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意一作、二证、对的边分别为，，，下列说法中正确的有（）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
若圆与圆相外切，
则有，
解可得：；
故选：C.

江苏省2019-2020年高一下学期期中联考数学试题

高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

第I卷(选择题共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在答题卷上指定的位置）1. 已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C...............2. 已知、是两个不共线向量，设，，，若、、三点共线，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,故选C.3. 满足的△的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B4. 若数列满足：，，则等于（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】，故选A.5. 函数,是（）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 周期函数且图象有无数条对称轴【答案】D【解析】由上图可得最小正周期为小正周期是，区间上的有增有减，图象不关于点对称，周期函数且图象有无数条对称轴，故A、B、C错误，D正确，故选D.6. 已知等比数列的公比是，首项，前项和为，设成等差数列，若，则正整数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得，故选A.7. 已知函数满足，则函数的图象不可能发生的情形．．．．．．．．是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将选项C第三象限的图像向右平移一个单位再作关于轴对称所得的图像不与第一象限的原图像重合，反之其它选项的图像可以，故C错误，应选C.8. 是等差数列，是等比数列，且，，，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】由已知可得当，当,故A错误；去，而，故B错误；同理，当，当,取故C错误，故选D.9. 将函数的图象向右平移2个单位得到函数的图象，则（）A. 存在实数，使得B. 当时，必有C. 的取值与实数有关D. 函数的图象必过定点【答案】D【解析】易得：选项A错误；单调性不确定，故选项B错误；与无关；，故D正确，应选D.10. 平面内三个非零向量满足，规定，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设是边长为的等边三角形，在以AB为直径的圆上，以AB为 x轴,以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系,则设，则∴的最大值为,最小值为.由图形的对称性可知的最大值为,最小值为.，∴.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分；请将答案答在答题卷上指定的位置）11. ________，________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】(1)；(2) .12. 角终边过点，则________，________.【答案】 (1). (2).【解析】 .13. 已知，则_______，________.【答案】 (1). (2).【解析】(1)；（2）.14. 正项等比数列中，公比，，则_______．【答案】21【解析】 .15. 如图，以正方形中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为________.【答案】【解析】设正方形的边长为，由已知可得 .16. 数列、满足，且、是函数的两个零点，则_______，当时，的最大值为______．【答案】 (1). (2). 5 【解析】由已知可得又的最大值为.17. 等差数列满足，则的取值范围是________.【答案】【解析】设所求的范围为：.三、解答题（共5个小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 18. 已知为等差数列的前项和，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）设，求．【答案】(1),;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，当时，.试题解析：解：（Ⅰ），则.∴，.（Ⅱ）当时，，当时，，∴.19. 如图，已知函数，点分别是的图像与轴、轴的交点，分别是的图像上横坐标为、的两点,轴，共线．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围．【答案】(1) ，;(2) 或．【解析】试题分析：解：（Ⅰ）建立，.（Ⅱ），结合图象可知或．试题解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因为时，，由方程恰有唯一实根，结合图象可知或．20. 已知分别为的三个内角的对边，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，在边上的中线长为，求的周长【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得，又；（Ⅱ）由，又由余弦定理知的周长．试题解析：解：（Ⅰ）由正弦定理得，∴，又，∴,∴.（Ⅱ）设中点为,由,得，所以①又由余弦定理知，将①代入得②从而，，故的周长．21. 如图，梯形，，，，为中点，．（Ⅰ）当时，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若（为大于零的常数），求的最小值并指出相应的实数的值．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）过作，交于，则为中点，用表示出，利用三角形法则即可得出结论；（2）根据（1）得出表达式，两边平方得出关于的二次函数，根据二次函数的性质求出最值。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题

江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（） A. 30-︒ B. 60︒C. 120︒D. 150︒2.已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 的值是（） A. 45-B. 35-C.35D.453.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为 A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －14.－－－－－－－－210－－－－－－270－－－－－－300－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－n－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－7－－－－－－－－－－－－－－－－－ A. 7B. 8C. 9D. 105.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（）A. 13B. 16C. 19D.296.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（）A. B. 5C.D. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( )A. 1D. 28.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（） A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形 B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形 C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形 D. 若cos cos cos a b cA B C==，则ABC V 是等边三角形 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离 B 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其的.他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；ba的取值范围是_______. 16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a 的取值范围是____________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4四个形状大小完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率.18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α 19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小；（2）求边长c .21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．的（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i inii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑． 22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点1,22C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程；－2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.。

江苏省常熟市2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学【含答案】

江苏省常熟市2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卷相应的位置。

1.直线x 3－2＝0的倾斜角为A.－30°B.60°C.120°D.150°2.已知x ∈(2 ，π)且cos2x ＝725，则cosx 的值是 A.－45 B.－35 C.35 D.45 3.已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为A.－1或2B.－1C.2D.0或24.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为A.7B.8C.9D.105.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P(m ，n)的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝10内部的概率是 A.13 B.16 C.19 D.296.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，B ＝45°，若△ABC 的面积S ＝2，则MABC 的外接圆直径为 5227.样本a ，3，4，5，6的平均数为b ，且不等式x 2－6x ＋c<0的解集为(a ，b)，则这个样本的标准差是 238.已知直线l ：(a －1)x ＋(2a ＋1)y －7a －2＝0(a ∈R)和圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －11＝0，给出下列说法： ①直线l 和圆C 不可能相切；②当a ＝－1时，直线l 平分圆C 的面积：③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则a ＝14；④对于任意的实数11d<8)，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d 。

江苏省常熟市高一数学下学期期中试题(含解析)

江苏省常熟市2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为，所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以故答案为.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.【答案】【解析】【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.两平行直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】化为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】化为，由平行线的距离公式可得，两平行直线与之间的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为，因为过点，所以，解得，所以，所求直线方程为，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________.【答案】【解析】【分析】由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的高与底面半径都是2，所以其侧面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________. 【答案】【解析】【分析】由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，所以，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数,所以,故答案为,【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.在中，角，，所对的边分别为，，，，当的面积等于时，________.【答案】【解析】【分析】由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为的面积等于，所以，由余弦定理可得，故答案为. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题为________（填所有真命题的序号）.【答案】①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．综上，以上真命题①③．故答案为：①③点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.11.点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.12.如图，在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是________.【答案】【解析】【分析】作于连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】作于，可得，连接，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，就是二面角的平面角，，故答案为.【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.【详解】将平面与平面展开到一个平面（），如图连接交于，则此时最小，由，可得是的中点，因为是正三棱柱，所以平面平面，所以到的距离就是到平面的距离，即到平面的距离为，所以，故答案为,【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.14.已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】【分析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.【详解】原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结，，因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，由平行四边形性质得点也是中点，因为点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，点是的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，因平面，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.已知在中，内角，，.所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得的值，再由正弦定理可得结果. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理，可得，即有，在中，由余弦定理得，将代入上式，得，因为，所以.（2）由，，得，所以，所以由正弦定理得.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.【答案】（1）；值域为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，由可得，利用正弦函数的图象与性质可得结果；（2）求得，利用，解不等式可得结果.【详解】（1），所以，当时，，，所以的值域为.（2），当时，，要使函数有且只有一个零点，则，解得.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．18.如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.（1）在图中作出并指明平面和平面的交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，直线即为所求交线；（2）由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面.则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】（1）如图，延长与交于点，连接，直线即为所求交线.（2）因为四边形是正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如图，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角，在中，，，，所以，，从而，，在中，，所以.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，然后解不等式，进而可得结果.【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知直线，，，记，，.（1）当时，求原点关于直线对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为.（3）【解析】【分析】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得点到距离，则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，则解得故所求点的坐标为.（2）法一：由，得，故为直角三角形，且为斜边，中线长为，由，得与的交点，由，得与的交点，故中线长，即当时，中线长有最小值为.法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.（3）由，得与交点，由两点间距离公式得，点到距离，三角形面积，当时，；当时；当时.所以，，.【点睛】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.。

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线√3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，B＝120°，a＝6，则b＝（）A．2√6B．3√2C．3√3D．3√63．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），则矩形OABC的外接圆方程是（）A．x2+y2﹣4x+2y＝0B．x2+y2+4x﹣2y＝0C．x2+y2﹣8x+4y＝0D．x2+y2+8x﹣4y＝04．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石B．224石C．230石D．232石5．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．06．已知M（﹣2，3），N（6，2），点P在x轴上，且使得PM+PN取最小值，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（125，0）C．（145，0）D．（6，0）7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且cosθ=4√1919，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．1.25分钟B．1.5分钟C．1.75分钟D．2分钟8．已知圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），若直线x+2y﹣1＝0上存在一点P，使得在圆C上总存在不同的两点M，N，使得MN→=2NP→，则圆C的半径r的取值范围是（）A．（0，√55]B．（0，2√55]C．[√55，+∞）D．[2√55，+∞）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是（）A．P1＝P2＝P3＝P4B．P3＝2P1C．P1+P2+P3+P4＝1D．P4＝3P210．在同一直角坐标系中，直线ax﹣y+a＝0与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能是（）A．B．C．D．11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形12．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a＞b＞0），则下列结论正确的是（）A．曲线C关于（a，b）对称B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2 C．曲线C的周长为2（a+b）D．曲线C围成的图形面积为2ab三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为．14．在△ABC中，已知a=√7，c＝3，∠A＝60°，则b＝．15．在平面直角坐标xOy中，已知A（4，3），B（5，2），C（1，0），平面内的点P满足PA＝PB＝PC，则点P的坐标为．16．在平面直角坐标系xOy内，已知A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足PA=√2PO，则△PAB面积的最大值为；若点P还同时满足PB=√3PO，则点P的横坐标等于．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如表：（1）求频率分布表中a，b，c，d的值；（2）从成绩在[50，70）的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60，70）中的概率．分组频数频率[50，60）a c[60，70）b0.06[70，80）350.70[80，90）60.12[90，100]4d19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3a＝2c sin A．（1）求角C的值；（2）若c=√13，且S△ABC＝3√3，求a+b的值．20．某调查机构为了了解某产品年产量x（吨）对价格y（千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如表，若y=5.5．x12345y8764c （1）求表格中c的值；（2）求y关于x的线性回归方程y^=bx+a；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取得最大值？21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD＝2，BC＝1，且sin∠CAD＝3sin∠BAC．（1）求CD的长度；（2）求圆O的半径．22．已知圆O：x2+y2＝4，点P坐标为（1，0）．（1）如图1，斜率存在且过点P的直线l与圆交于A，B两点．①若OA→⋅OB→=−3，求直线l的斜率；②若AP→=2PB→，求直线l的斜率．（2）如图2，M，N为圆O上两个动点，且满足PM→⋅PN→=0，Q为MN中点，求OQ 的最小值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．直线√3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解：因为直线√3x+y﹣1＝0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：α．所以tanα=−√3，α＝120°故选：C．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，B＝120°，a＝6，则b＝（）A．2√6B．3√2C．3√3D．3√6【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．解：∵A＝45°，B＝120°，a＝6，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：b=a⋅sinBsinA=6×sin120°sin45°=3√6．故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），则矩形OABC的外接圆方程是（）A．x2+y2﹣4x+2y＝0B．x2+y2+4x﹣2y＝0C．x2+y2﹣8x+4y＝0D．x2+y2+8x﹣4y＝0【分析】根据矩形OABC的顶点坐标求出对角线中点M，再求出半径r，即可写出圆的方程．解：矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），所以OB的中点为M（﹣2，1），r=12|OB|=12√(−4)2+22=√5；所以矩形OABC的外接圆方程是（x+2）2+（y﹣1）2＝5，化为一般式方程为x2+y2+4x﹣2y＝0．故选：B ．4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（） A ．222石B ．224石C ．230石D ．232石【分析】设这批米内夹谷约为x 石，利用等可能事件概率计算公式能求出结果．解：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，设这批米内夹谷约为x 石，则x 2016=30270，解得x ＝224（石）．故选：B ．5．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为（） A ．﹣4B ．4C ．±4D ．0【分析】利用直线平行的性质求解．解：∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴−a2=−8a，且12≠a−2a解得a ＝﹣4．故选：A ．6．已知M （﹣2，3），N （6，2），点P 在x 轴上，且使得PM +PN 取最小值，则点P 的坐标为（） A ．（﹣2，0）B ．（125，0） C ．（145，0） D ．（6，0）【分析】根据点M 、N 在x 轴的同侧，求出点M 关于x 轴的对称点M ′，得出PM +PN 的最小值是|M ′N |，再利用直线M ′N 求得点P 的坐标．解：点M （﹣2，3），N （6，2）在x 轴的同侧，如图所示；则点M 关于x 轴的对称点M ′的坐标为（﹣2，﹣3），此时PM +PN ＝|M ′N |的值最小，此时直线M ′N 的方程为y−2−3−2=x−6−2−6，令y ＝0，解得x145，所以PM+PN取最小值时，点P（145，0）．故选：C．7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且cosθ=4√1919，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．1.25分钟B．1.5分钟C．1.75分钟D．2分钟【分析】直接利用解三角形知识的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：设飞机的飞行速度为V，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP＝30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．所以△ABP为直角三角形，过点P作PD⊥AC于点D，则：AB＝2V，AP=√3V，BP＝V，解得：DP=√3V2．设CB＝xV，由于cosθ=4√1919，利用三角函数的关系式的变换，解得sin θ=√3×√1919，所以tan θ=√34，利用tan θ=√32V12V+xV=√34，解得x ＝1.5．故选：B ．8．已知圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝r 2（r ＞0），若直线x +2y ﹣1＝0上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得MN →=2NP →，则圆C 的半径r 的取值范围是（） A ．（0，√55] B ．（0，2√55] C ．[√55，+∞） D ．[2√55，+∞）【分析】设P 、N 的坐标，由向量等式可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以（1，2）为圆心，r 为半径的圆与以（2m+13，2n+23）为圆心，r3为半径的圆有公共点，由此求得圆C 的半径r 的取值范围．解：直线的方程为x +2y ﹣1＝0，设P （m ，n ），N （x ，y ），M （x ′，y ′）． ∵MN →=2NP →，∴（x ﹣x ′，y ﹣y ′）＝2（m ﹣x ，n ﹣y ）＝（2m ﹣2x ，2n ﹣2y ），得{x −x′=2m −2x y −y′=2n −2y ，得M （3x ﹣2m ，3y ﹣2n ），又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，∴{(x −1)2+(y −2)2=r 2(3x −2m −1)2+(3y −2n −2)2=r 2，即{(x −1)2+(y −2)2=r 2(x −2m+13)2+(y −2n+23)2=r 29， ∵该关于x ，y 的方程组有解，即以（1，2）为圆心，r 为半径的圆与以（2m+13，2n+23）为圆心，r3为半径的圆相交或相切，∴（r −r3）2≤（1−2m+13）2+（2−2n+23）2≤（r +r 3）2，又m +2n ﹣1＝0，4r 2≤5m 2﹣2m +13≤16r 2对任意m ∈R 成立．而f （m ）＝5m 2﹣2m +13的值域为[645，+∞），直线x +2y ﹣1＝0上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点M ，N ，使得MN →=2NP →，故16r 2≥645，解得r ≥2√55（r ＞0）．故圆C 的半径r 的取值范围为[2√55，+∞）．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是（） A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4 B ．P 3＝2P 1C ．P 1+P 2+P 3+P 4＝1D ．P 4＝3P 2【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，能求出结果．解：抛掷一枚硬币三次，记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则P 1＝（12）3=18，P 2＝（12）3=18，P 3=C 32(12)2(12)=38， P 4=C 31(12)(12)2=38，∴P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误； P 3＝3P 1，故B 错误； P 1+P 2+P 3+P 4＝1，故C 正确； P 4＝3P 2，故D 正确．故选：CD ．10．在同一直角坐标系中，直线ax ﹣y +a ＝0与圆（x +a ）2+y 2＝a 2的位置可能是（）A．B．C．D．【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较即可推出结果．解：圆（x+a）2+y2＝a2的圆心（﹣a，0），半径为|a|，由题意可得：d=2√a+1，不妨2√a2+1＜|a|，可得√a2+11，即1﹣2a+a2＜1+a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确；当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确；故选：AD．11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC必为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若a＝5，b＝3，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC必为钝角三角形【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断．解：对于A，若sin2A＝sin2B，则2A＝kπ+（﹣1）k•2B，（k∈Z），当k＝0时，A＝B，△ABC为等腰三角形；当k＝1时，A=π2−B，△ABC为直角三角形，故不正确，对于B，使用正弦定理证明．若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B成立．故正确；对于C，由余弦定理可得：b=√52+c2−2×5×c×12=3，可得c2﹣5c+16＝0，△＜0，方程无解，故错误；对于D ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＞1，则：1﹣sin 2A +1﹣sin 2B ﹣1+sin 2C ＞1，可得sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则根据正弦定理得a 2+b 2＜c 2，可得C 为钝角，可得△ABC 是钝角三角形，故正确；综上，正确的判断为，B 和D ．故选：BD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a ＞b ＞0），则下列结论正确的是（） A ．曲线C 关于（a ，b ）对称B ．x 2+y 2的最小值为a 2b 2a 2+b 2C ．曲线C 的周长为2（a +b ）D ．曲线C 围成的图形面积为2ab【分析】由曲线方程可得画成图形，可得A ，B ，C ，D 的坐标，进而可得四边形ABCD 为菱形，进而判断所给命题的真假．解：因为曲线C 的方程是|x−a|a+|y−b|b=1（a ＞b ＞0），可得P （x ，y ）的图形为折线AB ，BC ，CD ，DA ，且A ，B ，C ，D 的坐标分别为：（0，b ），（a ，2b ），（2a ，b ），（a ，0），可得四边形ABCD 为菱形， A 中：显然关于（a ，b ）对称，所以A 正确；B 中：O 到直线AD 的距离最小，而直线AD 的方程为：x a+y b=1，即bx +ay ﹣ab ＝0，所以O 到AD 的距离为：d =√x 2+y 2=ab√a 2+b ，所以（x 2+y 2）min =a 2b2a 2+b2，所以B 正确；C 中：四边形周长为：4√a 2+b 2，所以C 不正确；D 中：四边形的面积S =12⋅2a ⋅2b =2ab ，所以D 正确；故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为 0.032 ．【分析】先求出数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的平均数，由此能求出数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差．解：数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的平均数为： x =15（5.1+4.9+5.2+4.7+5.1）＝5， ∴数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为：S 2=15[（5.1﹣5）2+（4.9﹣5）2+（5.2﹣5）2+（4.7﹣5）2+（5.1﹣5）2]＝0.032．故答案为：0.032．14．在△ABC 中，已知a =√7，c ＝3，∠A ＝60°，则b ＝ 1或2 ．【分析】利用余弦定理即可得出．解：由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴7＝b 2+9﹣6b ×cos60°，化为：b 2﹣3b +2＝0，解得b ＝1，2．故答案为：1或2．15．在平面直角坐标xOy 中，已知A （4，3），B （5，2），C （1，0），平面内的点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 的坐标为（3，1）．【分析】设出点P （x ，y ），利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值．解：设点P （x ，y ），由PA ＝PB ＝PC ，得{(x −4)2+(y −3)2=(x −5)2+(y −2)2(x −4)2+(y −3)2=(x −1)2+y 2，化简得{x −y =2x +y =4，解得{x =3y =1，所以点P 的坐标为（3，1）．故答案为：（3，1）．16．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （﹣1，0），B （1，0），若点P 满足PA =√2PO ，则△PAB 面积的最大值为 1 ；若点P 还同时满足PB =√3PO ，则点P 的横坐标等于 −16 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出PO ⊥AB 时△PAB 的面积最大，求出最大值；设点P （x ，y ），由{PA =√2POPB =√3PO 列方程求出x 的值即可．解：如图1所示，当PA =√2PO 时，PO ⊥AB ，此时△PAB 的面积最大，最大值为12×2×1＝1；又PB =√3PO ，设P （x ，y ），由{PA =√2POPB =√3PO ，得{√(x +1)2+y 2=√2⋅√x 2+y 2√(x −1)2+y 2=√3⋅√x 2+y 2，化简得{x 2+y 2−2x =12x 2+2y 2+2x =1，消去y 得x =−16，所以点P 的横坐标为−16．故答案为：1，−16．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，已知A （1，﹣1），B （3，2），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C 的坐标；（2）由题设可得|AC |=√5，可得直线AC 的方程为x ﹣2y ﹣3＝0，可求点B 到直线AC的距离为d =4√55，结合三角形的面积公式即可求△ABC 的面积．解：（1）设点C （x 0，y 0），由题意AC 边的中点M 在y 轴上，可得x 0+12=0，解得x 0＝﹣1，BC 边的中点N 在x 轴上，可得y 0+22=0，解得y 0＝﹣2，所以点C 的坐标是（﹣1，﹣2）．（2）由题设，A （1，﹣1），C （﹣1，﹣2），可得：|AC |=√5，可得直线AC 的方程为x ﹣2y ﹣3＝0，又B （3，2），所以：点B 到直线AC 的距离为d =5=4√55，所以：△ABC 的面积S =12|AC |•d =12×√5×4√55=2．18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如表：（1）求频率分布表中a ，b ，c ，d 的值；（2）从成绩在[50，70）的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60，70）中的概率．分组频数频率 [50，60） a c [60，70） b 0.06 [70，80） 35 0.70 [80，90） 6 0.12 [90，100]4d【分析】（1）根据题意可得表格中的频数总和为50，根据频率与频数之间关系得：d ，b ，再用频数之和50减去其它五组的频数，得到a 的值，再算出频率c ．（2）记成绩落在[50，60）中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70）中的3人为B1，B2，B3．列举出从成绩在[50，70）的学生中选2人的基本事件，确定其中成绩都在[60，70）中为事件A的个数，进而求出概率．解：（1）因为该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为50，则根据频率与频数之间关系得：d=450=0.08，b＝50×0.06＝3，因为频数总和为50，所以a＝50﹣3﹣35﹣6﹣4＝2，c=a50=0.04．（2）记成绩落在[50，60）中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70）中的3人为B1，B2，B3．则从成绩在[50，70）的学生中选2人的基本事件（不同选法）共由10个，列举如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件由3个，（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），记选出2人的成绩都在[60，70）中为事件A，则P（A）=3 10．答：从成绩在[50，70）的学生中选出2人，2人的成绩都在[60，70）中的概率为3 10．19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3a＝2c sin A．（1）求角C的值；（2）若c=√13，且S△ABC＝3√3，求a+b的值．【分析】（1）由√3a＝2c sin A及正弦定理得√3sin A＝2sin C sin A，又sin A≠0，可sin C=√32．又△ABC是锐角三角形，即可求C．（2）由面积公式，可解得ab＝12，由余弦定理，可解得a2+b2﹣ab＝13，联立方程即可解得a+b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由√3a＝2c sin A及正弦定理，得√3sin A＝2sin C sin A，∵sin A≠0，∴sin C=√32．又∵△ABC是锐角三角形，∴C =π3⋯（2）∵c =√13，C =π3， ∴由面积公式，得12ab sinπ3=3√3，即ab ＝12．①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2ab cos π3=13，即a 2+b 2﹣ab ＝13．②由②变形得（a +b ）2＝3ab +13．③ 将①代入③得（a +b ）2＝49，故a +b ＝7…20．某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如表，若y =5.5．x 1 2 3 4 5 y8764c（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y ^=bx +a ；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？【分析】（1）利用样本中心的纵坐标，求解c ．（2）利用已知条件，通过求解回归直线方程的相关的斜率，与截距，得到回归直线方程．（3）求出哪里有的表达式，利用二次函数的性质求解产量为多少时，哪里有取得最大值．解：（1）y =15（8+7+6+4+c ）＝5.5，解得c ＝2.5，．（2）∵∑ 5i=1x i y i =8+14+18+16+12.5＝68.5，∑ 5i=1x i 2=12+22+32+42+52＝55，∵x =1+2+3+4+55=3，y =5.5，∴b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x 2=68.5−5×3×5.555−5×9=−1.4．a =y −bx =5，5﹣（﹣1.4）×3＝9.7，y 关于x 的线性回归方程：y =−1.4x +9.7．（3）年利润z ＝（﹣1.4x +9.7﹣2）x ＝﹣1.4x 2+7.7x ，所以x =−7.7−2.8=2.75吨时，年利润取得最大值．答：当年产量为2.75时，年利润z 取得最大值．21．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，且sin ∠CAD ＝3sin ∠BAC ．（1）求CD 的长度；（2）求圆O 的半径．【分析】（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD 与BC 的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC ，再由正弦定理即可求解．解：（1）由题意可知，△ABC ，△ACD 有相同的外接圆O ，设半径为R ， △ABC 中，由正弦定理可得，2R =CB sin∠BAC ，△ACD 中，2R =CDsin∠CAD，所以BCsin∠BAC=CD sin∠CAD，因为sin ∠CAD ＝3sin ∠BAC ．所以CD ＝3BC ＝3，故BC ＝1，（2）设AC ＝x ，1＜x ＜3，由AB ＝AD ＝2，BC ＝1．△ABC 中，由余弦定理可得，cos ∠BAC =BC 2+BA 2−AC 22BC⋅BA =5−x 24，△ADC 中，由余弦定理可得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =13−x 212，由圆内接四边形的性质可知，∠ABC +∠ADC ＝π，故cos ∠ABC +cos ∠ADC ＝0，所以5−x 24+13−x 212=0，解可得x =√7，所以cos ∠ABC =−12，因为∠ABC 为三角形的内角，故∠ABC =2π3， △ABC 中，由正弦定理可得，2R =√7sin 2π3=2√213即圆的半径√213，22．已知圆O ：x 2+y 2＝4，点P 坐标为（1，0）．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于A ，B 两点． ①若OA →⋅OB →=−3，求直线l 的斜率； ②若AP →=2PB →，求直线l 的斜率．（2）如图2，M ，N 为圆O 上两个动点，且满足PM →⋅PN →=0，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．【分析】（1）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线l 的方程与圆O 的方程联立，由韦达定理可得，x 1+x 2=2k21+k2，x 1x 2=k 2−41+k2，①根据OA →⋅OB →=−3，可得x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3，进一步得到k 2−4−2k41+k2+k 2+3=0，解出即可得出答案；②根据AP →=(1−x 1，−y 1)，PB →=(x 2−1，y 2)，AP →=2PB →，可得{x 1=−2x 2+3y 1=−2y 2，由点A ，B 在圆上，进一步得到{(−2x 2+3)2+(−2y 2)2=4x 22+y 22=4，解出即可得出答案；（2）连接OM ，ON ，PQ ，分析可知OQ 2+PQ 2＝4，由此得出点Q 的轨迹为以(12，0)为圆心，√72为半径的圆，进而得解．解：（1）依题意，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{x 2+y 2=4y =k(x −1)，消去y 并整理可得，（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0，显然△＞0，则由韦达定理可得，x 1+x 2=2k21+k2，x 1x 2=k 2−41+k2，①若OA →⋅OB →=−3，则x 1x 2+y 1y 2＝﹣3，即x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3，整理可得，(1+k 2)x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2+3=0， ∴k 2−4−2k41+k2+k 2+3=0，∴（2k 2﹣1）（1+k 2）﹣2k 4＝0，化简得k 2＝1， ∴直线l 的斜率为1或﹣1；②∵AP →=(1−x 1，−y 1)，PB →=(x 2−1，y 2)，AP →=2PB →， ∴{1−x 1=2(x 2−1)−y 1=2y 2，整理可得{x 1=−2x 2+3y 1=−2y 2，∵A ，B 在圆上，∴{x 12+y 12=4x 22+y 22=4，即{(−2x 2+3)2+(−2y 2)2=4x 22+y 22=4，解得x 2=74，y 2=±√154， ∴直线l 的斜率为±√153；（2）如图，连接OM ，ON ，PQ ， ∵PM →⋅PN →=0， ∴PM ⊥PN ，又Q 为MN 的中点， ∴PQ ＝QM ，∵M ，N 为圆上的两点， ∴OM ＝ON ＝2，又Q 为MN 的中点， ∴OQ ⊥MN ，∴OQ 2+QM 2＝OM 2＝4，又PQ ＝QM ，故OQ 2+PQ 2＝4，设点Q 的坐标为（x ，y ），则x 2+y 2+（x ﹣1）2+y 2＝4，整理可得(x −12)2+y 2=74，∴点Q 的轨迹为以(12，0)为圆心，√72为半径的圆，∴OQ min =√7−12．。

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试题及答案

绝密★启用前2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题110y +-=的倾斜角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°答案：C由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.解：10y +-=的斜率=ktan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=. 故选：C 点评：本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45A =︒，120B =︒，6a =，则b =（）A ．B ．C ．D ．答案：D由已知利用正弦定理即可计算得解．解：45A =，120B =，6a =，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得：sin 6sin120sin sin45a Bb A ⋅⨯=== 故选D ．点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（） A ．22420x y x y +-+= B ．22420x y x y ++-=C ．22840x y x y +-+= D ．22840x y x y ++-=答案：B根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案. 解：矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=.故选：B 点评：本题考查了根据圆心坐标和半径求圆的标准方程，属于基础题.4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（） A ．222石 B ．224石C ．230石D ．232石答案：B根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为302016270⨯石，即可得到答案．解：由题意可知，2016石的夹谷约为302016224270⨯=石．故选：B ．点评：本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．5．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则实数a 的值为（） A ．4﹣ B ．4C ．4±D ．0答案：A解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 解：因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去；当4a =-时，满足题意. 故选：A 点评：本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．已知()()2,3,6,2M N -，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为（） A ．(2,0)- B ．12,05⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,05⎛⎫⎪⎝⎭D ．()6,0答案：C作图，找到M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，连结M ’N ，求出M ’N 的方程，则M ’N 与x 轴交于P 点，此时，PM PN +取最小值，且'PM PN M N +=，此时根据直线方程求出P 点即可解：如图，M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，M ’和N 在x 轴两侧，则当M ’N 成一直线，此时，M ’N与x 轴交于P 点，有PM PN +取最小值，此时，'PM PN M N +=，而直线M ’N 的方程为263226y x --=----，化简得，58140x y --=，则直线M ’N 交x 轴于P 点，所以，P 点坐标为14,05⎛⎫⎪⎝⎭答案选：C本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标A ，测得俯角30BAP ∠=︒．经2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角60ABP ∠=︒．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P ，测得俯角BCP θ∠=且41919cos θ=，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为（）A ．1.25分钟B ．1.5分钟C ．1.75分钟D ．2分钟答案：B结合图形，直接利用解三角形知识的应用和三角函数的关系式的恒等变换，列出方程，即可求解. 解：设飞机的飞行速度为V ，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角30BAP ∠=，经过2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角为60ABP ∠=︒，所以ABP ∆为直角三角形，过点P 作PD AC ⊥于点D ，则2,3,AB V AP V BP V ===，解得3V DP =，设CB xV =，因为419cos θ=，可得257sin 1cos θθ=-=，所以3tan θ=，在直角PCD ∆中，3321a 4n 2t V V xV θ==+，解得 1.5x =，即该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为1.5分钟. 故选：B.本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中结合图形，合理利用解三角形的知识和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查数形结合数学，以及运算、求解能力.8．已知圆C 的方程为：222(1)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =，则圆C 的半径r 的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．⎛ ⎝⎦C．⎫+∞⎪⎣⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：D设P 的坐标，可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆有公共点，由此求得C 的半径r 的取值范围．解：直线的方程为210x y +-=，设(),P m n ，(,)N x y ．(,)M x y ''∴(),MN x x y y '--'=，(),NP m x n y =--又2MN NP =∴()(),2,x x y y m x n y --=-'-'可得2222x x m x y y n y -=-⎧⎨-=-''⎩，即3232x x my y n =-⎧⎨=-''⎩∴()32,32M x m y n --又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，222222(1)(2)(321)(322)x y r x m y n r ⎧-+-=∴⎨--+--=⎩即：222222(1)(2)2122339x y r m n r x y ⎧-+-=⎪⎨++⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩该关于x ，y 的方程组有解，即以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆相交或相切，可得：22222122123333r m n r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：22224212216129339m n r r ++⎛⎫⎛⎫≤-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭——①由点(),P m n 在210x y +-=∴21n m =-——②将②代入①整理可得：222244846916r m m m m r ≤-++++≤∴2224521316r m m r ≤-+≤∴2221145131655r m r ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭故：222164451655r m r ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭ 要保证直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =需264165r ≤，解得：r ≥故圆C 的半径r 的取值范围为5⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭．故选：D. 点评：本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、多选题9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（） A ．1234P P P P === B ．312P P = C ．12341P P P P +++=D ．423P P =答案：CD利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解. 解：由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式，可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=，由1234P P P P =<=，故A 是错误的；由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的；由423P P =，故D 是正确的. 故选：CD 点评：本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.10．在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆222()x a y a ++=的位置可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：AD利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果解：解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确，故选：AD 点评：此是考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题. 11．对于ABC ，有如下判断，其中正确的是（） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 必为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若5,3,60a b B ︒===，则符合条件的ABC 有两个D ．若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 必为钝角三角形答案：BD根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断．解：∵,A B 是三角形内角，∴由sin 2sin 2A B =得22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A 错； A B a b >⇔>，又由sin sin a bA B=得sin sin A B >，B 正确；若5,3,60a b B ︒===，则sin 5sin 60sin 13a B A b ︒===>，无解，C 错；若222cos cos cos 1A B C +->，则2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0A B C +-<，由正弦定理得2220a b c +-<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，C 为钝角，D 正确．故选：BD ．点评：本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键．应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也可能2解，还可能无解． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是||||1(0)x a y b a b a b--+=>>，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于(,)a b 对称B ．22x y +的最小值为2222a b a b+ C ．曲线C 的周长为2()a b + D ．曲线C 围成的图形面积为2ab答案：ABD确定方程表示的曲线，根据对称性判断A ，利用22x y +的几何意义判断B ，计算曲线的周长与所围图形面积判断C ，D ．解：设00(,)x y 是曲线上的任一点，则00||||1x a y b a b --+=，所以00(2)(2)1a x a b y b a b----+=，所以点00(2,2)a x b y --也在曲线上，而点00(,)x y 与00(2,2)a x b y --是关于(,)a b 对称的，由00(,)x y 的任意性知A 正确，如,x a y b ≤≤时方程||||1x a y b a b --+=化为1a x b y a b --+=，即1x y a b+=，其中0,0x a y b ≤≤≤≤，表示一条线段，同理当2,0a x a y b ≤≤≤≤时，方程为1x y a b-=，当0,2x a b y b ≤≤≤≤时，方程为1x ya b -+=，当2,2a x a b y b ≤≤≤≤时，方程为3x ya b+=．所以方程||||1(0)x a y b a b a b--+=>>表示的曲线是以(,0),(0,),(,2),(2,)A a B b C a b D a b 为顶点的菱形M ，如图，22x y +表示菱形M 上点到原点距离的平方，原点到AB 的距离为为OAB 斜边AB 上的高h =，所以22x y +的最小值为2222a b a b+，B 正确；菱形M 的周长为C 错误；菱形M 的面积为12222a b ab ⨯⨯=，D 正确．故选：ABD ．点评：本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可．三、填空题13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为______．答案：0.032先计算出平均值，然后根据方差公式计算．解：由已知均值为 5.1 4.9 5.2 4.7 5.155x ++++==，所以方差为2222220.1(0.1)0.2(0.3)0.10.0325s +-++-+==．故答案为：0.032 点评：本题考查方差的计算，属于基础题．14．在ABC 中，已知a =3c =，60A ︒∠=，则b =_____．答案：1或2直接根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可解得结果. 解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即217962b b =+-⨯，所以2320b b -+=，解得1b =或2b =. 故答案为：1或2 点评：本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题.15．在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______．答案：()3,1设点P 的坐标为(),x y ，根据条件PA PB PC ==建立有关x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P 的坐标. 解：设点P 的坐标为(),x y ，由PA PB PA PC =⎧⎨=⎩可得()()()()()()()222222224352431x y x y x y x y⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，因此，点P 的坐标为()3,1. 故答案为：()3,1. 点评：本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 四、双空题16．在平面直角坐标系xOy 内，已知(1,0),(1,0)A B -，若点P满足PA =，则PAB △面积的最大值为______；若点P还同时满足PB =，则点P 的横坐标等于______．16-设(,)P x y ，根据PA =求出P 点的轨迹方程，可得PAB △面积的最大值，根据PB =求出P 点的轨迹方程，联立两个方程可解得16x =-，即可得答案. 解：设(,)P x y=22(1)2x y -+=,所以P 点的轨迹是以(1,0)B为半径的圆，所以PAB △面积的最大值为122⨯=由PB ==22102x y x ++-=，联立2222210102x y x x y x ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩，解得16x =-，即点P 的横坐标等于16-.；16-. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了三角形的面积，考查了求曲线的交点坐标，属于基础题. 五、解答题17．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标；（2）求ABC 的面积．答案：（1）(1,2)--；（2）2．（1）设点()00,C x y ,根据AC 边的中点M 在y 轴上求出01x =-，根据BC 边的中点N 在x 轴上求出02y =-，即得解；（2）先求出直线AC 的方程为230x y --=，再求出点B 到直线AC 的距离，即得ABC 的面积．解：解：（1）设点()00,C x y ,AC 边的中点M 在y 轴上，0102x +∴=，解得01x =-．又BC 边的中点N 在x 轴上，0202y +∴=，解得02y =-． ∴点C 的坐标是(1,2)--.(2)(1,1),(1,2),||A C AC ---∴=由题得121112AC k -+==+, 所以直线AC 的方程为11(1)2y x +=-，所以直线AC 的方程为230x y --=．又(3,2)B ，∴点B 到直线AC的距离为5d ==．1||22ABCSAC d ∴=⋅==．点评：本题主要考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：（1）求频率分布表中a b c d ,,,的值；（2）从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60,70)中的概率．答案：（1）2,3,0.04,0.08a b c d ====；（2）所有选法：()()()()()()()()1211121321222312,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B ，()()1323,,,B B B B ；概率为310．（1）根据频率分布表中的数据，结合频数、频率的计算方法，即可求解；（2）设成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，利用列举法得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 解：（1）由题意，该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为356450a b ++++=，则根据频率与频数的关系，可得40.0850d ==，500.063b =⨯=，所以50335642a =----=，0.0450ac ==．（2）由（1）可得成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件有：()()()()12111213,,,,,,,A A A B A B A B ，()()()()()()212223121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共有10个，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有()()()121323,,,,,B B B R B B ，共有3个，所以选出2人的成绩都在[60,70)中的概率为3()10P A =．答：从成绩在[50,70)的学生中选出2人，2人的成锁都在[60,70)中的概率为310．点评：本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，熟记频率分布表中的频数与频率的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c 2sin c A =．（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为+a b 的值．答案：（1）3π；（2）7．（1）由正弦定理和题设条件，2sin sin A C A =．进而得到sin 2C =，即可求解角C 的大小；（2）由ABC 的面积为12ab =，再余弦定理和c =，得到2213a b ab +-=，联立方程组，即可求解．解：（1）在锐角ABC 2sin c A =，由正弦定理可知：2sin ,2sin a R A c R C ==（其中R 为ABC 外接圆半径），2sin sin A C A =，又因为锐角三角形，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0A >，所以sin C =，又因为锐角三角形，则0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3C π=．（2）因为ABC 的面积为11sin sin 223ABCSab C ab π=== 可得12ab =①．在ABC 中，由余弦定理可知：222cos 122a b c C ab +-==，因为c =，所以2213a b ab +-=②，联立①②解得：7a b +=．点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20．某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若 5.5y =．（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？答案：（1） 2.5c =；（2） 1.49.7y x =-+；（3）2.75吨．（1）由 5.5y =，计算可得；（2）依题意求出b 和a ，即可求出回归直线方程；（3）依题意可得年利润21.47.7z x x =-+，根据二次函数的性质求解即可；解：解：（1）1(8764) 5.55y c=++++=，解得： 2.5c=．（2）51814181612.568.5i iix y==++++=∑，522222211234555iix==++++=∑．又1234535x++++==，又已知 5.5y=．152251568.553 5.51.455595i iiiix y x ybx x==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，5.5( 1.4)39.7a y bx=-=--⨯=y∴关于x的线性回归方程是 1.49.7y x=-+（3）年利润2( 1.49.72) 1.47.7z x x x x=-+-=-+所以当7.72.752.8x=-=-吨时，年利润z可取得最大．答：当年产量为2.75吨时，年利润z取得最大值．点评：本题考查最小二乘法求回归直线方程以及二次函数的性质的应用，属于基础题.21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，2,1AB AD BC===，且sin3sinCAD BAC∠=∠．（1）求CD的长度；（2）求圆O的半径．答案：（1）3；（2）213．（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD与BC的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC，再由正弦定理即可求解．解：解：（1）四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ∴与ACD 有相同的外接圆圆O ，设圆O 的半径为R ．在ABC 中，由正弦定理可得：2sin BCR BAC =∠．在ACD 中，由正弦定理可得：2sin CDR CAD=∠． sin sin BC CD BAC CAD∴=∠∠．又设sin 3sin CAD BAC ∠=∠，33CD BC ∴==．（2）设(13)AC x x =<<，又已知2,1AB AD BC ===．在ABC 中，由余弦定理可得：22225cos 24BC BA AC x ABC BC BA +--∠==⋅．在ACD 中，由余弦定理可得：222213cos 212AD CD AC x ADC AD CD +--∠==⋅．四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ADC π∴∠+∠=，cos cos()cos ABC ADC ADC π∴∠=-∠=-∠，即cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．由①②可得：225130412x x --+=，解得：7x =1cos 2ABC ∴∠=-，又(0,)ABC π∠∈，23ABC π∴∠=．∴在ABC 中，由正弦定理可得：722122sin 3sin 3AC R ABC π===∠．∴圆O 21．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是圆内接四边形性质的灵活应用．22．已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-，求直线l 的斜率；②若2AP PB =，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．答案：（1）①1-或11515；（271-；（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由3OA OB ⋅=-，则12123x x y y +=-，即()()21212113x x k x x +--=-，即可求出k 的值；由2AP PB =，则()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，解方程组即可；（2）连结,,OM ON PQ ，依题意可得PM PN ⊥，可得224OQ PQ +=，设点Q 的坐标为(,)x y ，即可得动点Q 点的轨迹；解：解：（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程得：224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 整理可得：()22221240k x k x k +-+-=．()()2242441401216k k k k ∆=-+=+->恒成立， ∴由韦达定理可得：212221k x x k +=+①，212241k x x k-=+②．又3OA OB ⋅=-，12123x x y y ∴+=-，即()()21212113x x k x x +--=-．整理可得：()()2221212130kx xk x x k +-+++=．将①②代入可得：422224301k k k k--++=+． ()()22421120k k k ∴-+-=，化简得：21k =．∴直线l 的斜率k 的值为1-或1．（2）点(1,0)P ，()111,AP x y ∴=--，()221,PB x y =-．2AP PB =，()12121212x x y y ⎧-=-∴⎨-=⎩，整理可得1212232x x y y =-+⎧⎨=-⎩． ,A B 都在圆O 上，2211222244x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，即()()2222222223244x y x y ⎧-++-=⎪⎨+=⎪⎩③④． ③-④可得：274x =．将274x =代入22224x y +=解得：2y = ∴此时，直线l 的斜率k．（3）如图，连结,,OM ON PQ ．0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，又Q 为MN 中点，PQ QM ∴=．,M N 为圆上两点，2OM ON ∴==，又Q 为MN 中点，OQ MN ∴⊥．2224OQ QM OM ∴+==，又PQ QM =，224OQ PQ ∴+=．设点Q 的坐标为(,)x y2222(1)4x y x y ∴++-+=，整理可得：221724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．Q ∴点的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆．min 71OQ -∴=．点评：本题考查直线与圆的综合应用，求动点的轨迹问题，属于中档题.。

江苏省昆山2019-2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题含解析(扫描版,含解析)

频率
某校高一某班50名学生参加方疫知识竞赛，将
[50,60)
a
C
所有成绩制作成频率分布表如下：
(I)求频率分布表中(I,b, C, d的值；
[60, 70)
b
0.06
一
(2)从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出
"t70,80)
35
0.70
所有不问的选法．并求选出2人y-1 =0的倾斜角为(...)
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
．在凶BC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, C, A = 45° , B=l20° , a=6,
沁
则 b= (A)
A. 2拆
B. 3五
C. 3.{3
I、 D. 3耘
3. 在平面丑角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为 0(0, 0) , A(-4, 0) ,
C A)
． .' . ，
)"', - 1, •
仄户
，
i
X
,
A.
B.
C.
111· 对千6.ABC, 有如一下判断，其中正确的是(A)
，
A诺sin2A =年Bt则凶BC必为等腰三角形＇
D.
，
一．．
�:· 若.i1 > iJ., 则 sin A·> sin B .
..
c. 若a = S •. b=3, B=60° , 则符合沁史的心AiiC有两个
--.· 一
、
一..... ... ...•
＠若 OA·OB·=-3, 求直线l的斜率：＠若 AP=2PB, 求玑线l的斜率．

江苏省苏州市常熟中学2019_2020学年高一数学下学期六月质量检测试题15.16班含解析

【分析】
由a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根，得到 1，求得a3＝±1;反之，满足a3＝±1的一元二次方程有无数个，即可判定．
【详解】由题意，数列{an｝为等比数列，
因为“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”，所以 1，可得“a3＝±1”；
反之，满足“a3＝±1"的一元二次方程有无数个,
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，
“商”经过一次“损"，可得“羽"的频率是；
最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是 ,
由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．
故选：A．
【点睛】本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力。
4. 已知点，，过的直线与抛物线相交于两点。若为中点,则 ( ）
A。 B。 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点 ,易知为的外心，取的中点 ,连接，取的中点，连接，由正方体的性质可得三棱锥的外接球球心在直线上,连接，取的中点，连接、，易知当即点与重合时, 即外接球半径最小，设，根据求得，进而可求得外接球半径，即可得解.
故选：AC
【点睛】本题主要考查对比图的分析，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
11. 已知为两条不同直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）
A。若 , ，则 B. 若 , ，则
C. 若，，，则 D。若， , ,则
【答案】CD
【解析】
【分析】
由题意结合线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可换元令 ,代入展开利用基本不等式求最小值即可。

2019-2020学年苏州市昆山市高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年苏州市昆山市高一(下)期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共42.0分）1. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =4，c =√13，sinA =4sinB ，则C =______．2. 若不等式的解集为，则等于．3. 实数满足，目标函数，则当时，的取值范围是．4. 在△ABC 中，A =π3，AC =4，BC =2√3，则ABC 的面积等于______ ． 5. 函数的最大值为6. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，f(2)=0.若x ⋅f(x −1)>0，则x 的取值范围是______．7. 已知函数f(x)=x +(x >2)的图象过点A(3,7)，则此函数的最小值是________．8. 如图，三棱锥A −BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是______．9. 函数y =f(x)是偶函数，则在点(−a,f(a))、(−a,−f(−a))、(−a,−f(a))、(a,−f(−a))中，一定在函数y =f(x)图象上的点是________．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，，.若，则角A 的大小是__________．11. 不等式组{x ≥0y ≥0x +y −2√2−2≤0x −ky +2k ≥0表示的是一个对称的四边形区域，则k = ______ ．12. 在钝角△ABC 中a <b <c ，且a =2，b =3，则c 的取值范围是______ ． 13. 已知实数x >0，y >0，且x +2y =xy ，则x +y 的最小值是______． 14. 4cos(45°−30°)= ______ ．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|p+1≤x≤2p−1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为边BC上的高，已知AD=√3a，b=1．6π，求c；(Ⅰ)若A=23(Ⅱ)求c+1的最大值．c17.已知函数f(x)=2x2−1．(1)直接写出此函数的定义域与值域(用区间表示)；(2)证明：对于任意的x∈R，都有f(−x)=f(x)；(3)用单调性定义证明f(x)在(−∞,0]上是减函数．18.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?19.(本小题8分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额(元)3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。