第十三章_结构弹性稳定

实际上该结构是弹性支座等直压杆的一般情况，上式就是等 直压杆稳定方程的一般形式。
如取 k2=k3=0，上式则为
1 cos nl 0 sin nl 1 0 0 0 1 1 0 0 n 1 0 0 F k1 cos nl sin nl 0 F 0 n k1 n sin nl n cos nl 0
tan nl nl 上式即为该结构的稳定方程，展开整理得 该方程为超越方程，可用试算法结合图解法求解，其解为
nl 4.493
于是，临界荷载为
20.19 4.493 2 Fcr n EI EI 2 EI l l
2
§13-3 具有弹性支座压杆的稳定
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定
Fs (l x) F
此方程为非齐次线性常系数微分方程，其解为相应齐次微分 方程的解加该微分方程的任意一个特解，即
Fs y A cos nx B sin nx (l x) F 式中A、B为积分常数，Fs / F也是未知数，用挠曲线的边界 条件来确定这些未知数。边界条件为 当 x=0 时，y=0， y′=0 当 x=l 时，y=0 代入挠曲线方程，得到关于A、B、Fs / F的齐次线性方程组 Fs A l 0 F F Bn s 0 F A cos nl B sin nl 0 关于方程的解 （1）A=B=Fs /F=0，显然是方程的一组解，此时挠曲线y=0， 故这组解对应的是原有的直线平衡形式。
2
k k y"n 2 y n 2 1 3 l x n 2 2 2 F F
k k y A cosnx B sin nx 1 3 l x 2 2 F F
方程的通解（挠曲 线方程）为
式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为 当 x=0 时，y=0 ， y' 1 当 x=l 时，y= ， y′= -2 由此可列出四个关 于常数A、B、、2 的齐次 线性方程， 因A、B、、2 不 全为零，故其系数 行列式应为零，于 是得稳定方程为
（2）A、B、Fs /F 不全为零（非零解），才可得到弯曲的挠 曲线方程 y=y(x)，因此非零解对应的是失稳后的弯曲平衡形 式。由线性代数知，齐次线性方程组为非零解的条件是：系 数行列式为零。 故A、 B、Fs /F 是非零解，则必有
1 0 l 0 n 1 0 cos nl sin nl 0
C
对AB段 ∑MB=0，有
F ( y 2 y1 ) ky1l 0
Fy1 ky1 2l ky2 l 0
对整体 ∑பைடு நூலகம்C=0，有 即
(kl F ) y1 Fy 2 0 (2kl F ) y1 kly 2 0
y1 、y2 不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数 行列式为零，即
上式为关于 A，B，1 的齐次线性方程 组，当 A= B= 1 =0 时，对应原有的平 衡形式；当A，B， 1 不全为零时，对 应新的弯曲平衡形式，由线性代数知， 此时上述方程的系数行列式为零，即得 稳定方程为
k1 1 0 F 0 n 1 0 cos nl sin nl 0
k1 展开行列式，得 n cos nl sin nl 0 F k1l 2 nl t an nl 因 F n EI ，故稳定方程可写为 EI
F 令 n EI
2
M
x
A
A
0 ，有
A
M Fy k11
或
，上式可写为
k11 F y" y EI EI 2 2 k11 y" n y n F
k11 微分方程的通解（挠曲线方程） y A cos nx B sin nx F 式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为 当 x=0 时，y=0， y′= 1 k11 k 当 x=l 时， y A 1 1 0 F F 将挠曲线方程代入边界条件，得 Bn 1 0 A cos nl B sin nl 0
一端弹性固定另一端自由的 压杆，弹簧抗转刚度k1，试 写出其稳定方程。
δ
F
B
F
M
y
EI
y
x l y
1
k1 1
由整体
k11 y 1 F k11 0 k1 F 取下段隔离体分析，由 M A 0 有 因 EIy" M 于是可得挠曲线微分方程
EIy" Fy k11
展开得
k3 k l sin nl n cosnl1 3 0 F F
故稳定方程为
F
EI nl tannl nl k 3l 3
F k3
3
n sin nl n cosnl
F
对于刚性压杆，有 EI=∞， 若取 k2=0，则由上式可求 出临界荷载为
k3
φ
EI=∞ k1
展开得 k sin nl n cosnl 0 1
F
故稳定方程为 nl t an nl
k1l EI
如取 k1=∞，k2=0，上式则为
1 cosnl 0 0 sin nl n 1 k 3l F 0 k3 F k3 F 0 0 0 1 1 0 0 n cosnl sin nl 1 k 3l F 0 0 k3 F
k 1 ( F k 3l ) 2 2 k1 k1
A
y=0
y' 1
1 cos nl 0
B
0 sin nl n

1 k 3l F
2
k2 F k2 F 0 k 2 k1 1
0 k 3 k 3l F F k1 k1 k3 F
y=
y' 2 n sin nl n cos nl
例13-1 图式结构中两抗移弹簧的刚度均为k ，求结构的 临界荷载。
F F
y1 k
EI=∞
F=2.618kl
y1=1
F=0.382kl
y1=1
解：结构有 2 个稳定自由度， 设失稳时 A、 B 点的侧向位 移分别是 y1、 y2 。
A l
ky1 y2
B k
EI=∞
l
ky2
y2=0.618
y2=-1.618
第十三章 结构弹性稳定
§13-1 概述
§13-2 用静力法确定临界荷载
§13-3 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4 用能量法确定临界荷载 §13-5 变截面压杆的稳定 §13-6 剪力对临界荷载的影响 §13-7 组合压杆的稳定
§13-1 概述
1.平衡状态的稳定性
稳定的平衡状态 平衡状态： 不稳定的平衡状态 随遇平衡状态
φ
(1) 按小变形分析 由于位移和变形都很小，近似地取 sin ，则平衡方程 可写为 ( Fl k ) 0 关于方程的解： a . φ = 0 时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。 b . φ ≠0 时，有 Fl k 0 ，上式也成立，此时对应的是新的 平衡形式。 因此，欲使φ ≠0 时，则必须有 Fl - k = 0 上式称为稳定方程或特征方程，反应了失稳时平衡形式的 二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方 程可求出临界荷载
M Fy Fs (l x) 0
y
F
A C
F
Fs
C l x A y M
Fs
l-x
y
B
由材料力学知，挠曲线与截面弯矩的关系是 于是 令
EIy" M
EIy" Fy Fs (l x)
F n EI
2
或 则有
y"
F F y s (l x) EI EI
y" n 2 y n 2
失稳后的位移值 φ 无法确定，荷载—位移曲线如AB。
k Fcr l
(2) 按大变形分析 由平衡方程可得
k F l sin
即每一个 φ 值对应一个F 值，荷载—位移曲线如AC。而 临界荷载为
k 当φ →0 时，Fcr l
与按小变形分析所得结果相同。 因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小 变形理论分析。
k3
φ2
k2 2
F
k3
2
取上段隔离体分析，得 M k 2 2 F ( y) k3 (l x) 而 EIy" M ，所以
EIy" Fy F k3 l x k 2 2
y
l x
l-x
FS
M
φ1
k1 φ1
A k1
FN =F
F n 令 ，则有 EI
y2
EI =∞ 2个自由度 无限多个 自由度
1个自由度
2个自由度
与支承弹簧的 数量无关
§13-2 用静力法确定临界荷载
静力法：根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平 衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。
1. 刚性压杆（有限自由度）的临界荷载
F F 图示单自由度结构， F A 竖杆为无限刚性， A C A 下端为抗转弹簧支 Fcr B EI=∞ l 承，其刚度为 k (发 φ 生单位转角所需的 O B B 力矩)，设压杆处于 F ~ φ曲线 k 随遇平衡状态时偏 kφ 离竖直位，有倾角φ ， 由平衡条件 M A 0 有 Fl sin k 0 分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。
例：等直压杆，上下端各有一抗转弹簧，刚度分别为 k2 、 k1 ，上端还有一抗移弹簧，刚度为k3 ，试写出其稳定方程。 解：由整体平衡 M A 0，得
k11 k3 l k22 F
k2 φ2

F
k2 B k3 y EI
δ-y
k2 1 1 ( F k 3l ) 2 k1 k1