温州2005至2015中考压轴题16题24题
中考数学四边形压轴题+解析
九年级上册四边形压轴题2一．解答题（共30小题）1．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．2．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC 上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E 是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G 恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．3．（2009?黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠B CA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形4．（2009?无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．5．（2008?北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．6．（2008?厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC?AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．7．（2008?嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．8．（2008?宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP 交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．9．（2008?昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形这样的位置有几个请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）10．（2007?常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG 交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC 所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗11．（2007?宜昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE 于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．12．（2007?潍坊）已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M 点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半13．（2007?永州）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．（1）求DC的长；（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．14．（2007?常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求△FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．15．（2007?海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC 的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．16．（2007?哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．17．（2006?河南）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC 于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于218．（2006?温州）如图，在?ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗请说明理由；（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等19．（2006?沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD 的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．20．（2006?成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长．21．（2006?汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△A BF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题22．（2005?资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．23．（2005?重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM?PE，b=PN?PF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．24．（2005?大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．25．（2005?湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则= ．（结果不取近似值）26．（2005?郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系证明你的结论．（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立为什么ABCD是平行四边形呢（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗请说明理由．27．（2005?深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．28．（2004?贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长．29．（2004?无为县）（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，=；（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC于点F、G．求证：；（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且（n为正整数），过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．30．（2004?佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h a，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：；（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大并说明理由．九年级上册四边形压轴题2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．解答：解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点评：此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．2．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC 上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E 是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G 恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变若∠FCN 的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN=45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE，又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH，∵∠FHC=90°，∴∠FCN=45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠F CN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH=AD=BC=b，∴==；在Rt△FEH中，tan∠FCN===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．点评：本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．3．（2009?黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；（2）假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；（3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形．解答：解：（1）OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．（3分）（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3分）（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF 是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴?AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）点评：本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．4．（2009?无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．考点：矩形的性质；圆周角定理；切线的性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）过点P作PH⊥x轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan∠PMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标．（2）因为点A；点C同时从点O出发，点M（4，0），△PMN同时以每秒个单位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+，①当0＜OA≤OM，即0＜2t≤时，两图形无交点；②当OM＜OA≤OH，即4+＜2t≤8+时，即＜t≤时，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积．③当OH＜OA≤ON，即8+＜2t≤9+，即＜t≤6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积减去不重叠的三角形的面积．④当OA＞ON，即2t＞9+，t＞6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积．（3）根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围．解答：解：（1）如图，过点P作PH⊥x轴于H．∵MN=9﹣4=5，tan∠PMN=，∴PM=，PN=，∴PH=2，MH=4，NH=1．∴P（8，2）．（2）运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4﹣．当0＜t≤时，S=0；当＜t≤时，S=t2﹣3t+4；当＜t≤6时，S=﹣t2+27t﹣76；当t＞6时，S=5．（3）当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q．当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，∴t的取值范围是：0＜t≤．点评：此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识的掌握情况，有一定的难度．5．（2008?北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP （得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）．解答：解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴∠PCG=60°，∴PG：PC=tan60°=，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF=60°，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH=CG，∠HCD=∠GCB∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）∵∠ABC=60°∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°∵∠HCG=∠HCB+∠GCB∴∠HCG=120°∴∠GCP=60°∴=tan∠GCP=tan60°=；（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α），∴=tan（90°﹣α）．点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．6．（2008?厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC?AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型；存在型．分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；（3）因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．解答：（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF（2分）∴四边形AFCE是菱形．（3分）（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．设AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴（x+y）2﹣2xy=100①又∵S△ABF=24，∴xy=24，则xy=48．②（5分）由①、②得：（x+y）2=196（6分）∴x+y=14，x+y=﹣14（不合题意舍去）∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）证明：由作法，∠AEP=90°，由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴=，则AE2=AO?AP（10分）∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC?AP（11分）∴2AE2=AC?AP（12分）即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．7．（2008?嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角，且AB=AD，又因为∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH 交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了；（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似．解题思路和步骤是一样的．解答：（1）证明：∵DF⊥AE∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；（2）解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH由（1）知，AM=DN∴EF=GH，即（3）解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH∵EF⊥GH∴AM⊥DN∴∠AMB=90°﹣∠BAM=∠AND又∵∠ABM=∠DAN=90°∴△ABM∽△DAN∴∴．点评：本题中（1）（2）和（3）虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系．。
中考数学几何压轴题
2015中考真题汇编—几何综合问题例1：28.（2015.北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH。
(1)若点P在线段CD上，如图1。
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；若点P在线段CD的延长线上，∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP 长的思路。
（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）例2：25(2015.上海)已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，COS∠AOC＝4/5．设OP＝X，△CPF的面积为Y．(1)求证：AP＝OQ；(2)求Y关于X的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．例3：24（2015.天津）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）. 过边OA上的动点M（点M不与点O，A 重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′. 设OM=m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．例4：25（2015.重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长。
2015中考真题人教版九年级下册数学 2015中考真题J0053--2015温州市中考数学试卷
浙江省2015年初中毕业升学考试（温州卷）数 学 试 题 卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1. 给出四个数0，3，21，-1，其中最小的是 A. 0 B. 3 C. 21 D. -1 2. 将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是3. 某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示。
若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有A. 25人B. 35人C. 40人D. 100人4. 下列选项中的图形，不属于．．．中心对称图形的是 A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆5. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是 A. 43 B. 34 C. 53 D. 54 6. 若关于x 的一元二次方程0442=+-c x x 有两个相等实数根，则c 的值是A. -1B. 1C. -4D. 47. 不等式组⎩⎨⎧≤->+2121x x 的解是 A. 1<x B. x ≥3 C. 1≤x <3 D. 1<x ≤38. 如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限。
若反比例函数xk y =的图象经过点B ，则k 的值是 A. 1 B. 2 C.3 D. 329. 如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH ，已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE 。
设OC=x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 A. 223x y = B. 23x y = C. 232x y = D. 233x y =10. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，，的中点分别是M ，N ，P ，Q 。
中考数学四边形压轴题+解析
九年级上册四边形压轴题2一．解答题（共30小题）1．（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．2．（2009•宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．3．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？4．（2009•无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．5．（2008•北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．6．（2008•厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．7．（2008•嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．8．（2008•宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．9．（2008•昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B 关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？11．（2007•宜昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．12．（2007•潍坊）已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？13．（2007•永州）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．（1）求DC的长；（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．14．（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求△FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．15．（2007•海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．16．（2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA 的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．17．（2006•河南）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？18．（2006•温州）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？19．（2006•沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．20．（2006•成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长．21．（2006•汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题22．（2005•资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．23．（2005•重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．24．（2005•大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG ＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．25．（2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=．（结果不取近似值）26．（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．27．（2005•深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．28．（2004•贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长．29．（2004•无为县）（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，=；（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC 于点F、G．求证：；（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且（n为正整数），过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．30．（2004•佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h a，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH 的边长是x，求证：；（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．九年级上册四边形压轴题2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．解答：解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点评：此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．2．（2009•宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN=45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE，又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH，∵∠FHC=90°，∴∠FCN=45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH=AD=BC=b，∴CH=BE，∴==；在Rt△FEH中，tan∠FCN===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．点评：本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．3．（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；（2）假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；（3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形．解答：解：（1）OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．（3分）（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3分）（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）点评：本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．4．（2009•无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．考点：矩形的性质；圆周角定理；切线的性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）过点P作PH⊥x轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan∠PMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标．（2）因为点A；点C同时从点O出发，点M（4，0），△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x 轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，①当0＜OA≤OM，即0＜2t≤时，两图形无交点；②当OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t时，即＜t≤时，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积．③当OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即＜t≤6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积减去不重叠的三角形的面积．④当OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积．（3）根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围．解答：解：（1）如图，过点P作PH⊥x轴于H．∵MN=9﹣4=5，tan∠PMN=，∴PM=，PN=，∴PH=2，MH=4，NH=1．∴P（8，2）．（2）运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4﹣0.5t．当0＜t≤时，S=0；当＜t≤时，S=t2﹣3t+4；当＜t≤6时，S=﹣t2+27t﹣76；当t＞6时，S=5．（3）当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q．当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，∴t的取值范围是：0＜t≤．点评：此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识的掌握情况，有一定的难度．5．（2008•北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP （得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）．解答：解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴∠PCG=60°，∴PG：PC=tan60°=，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF=60°，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH=CG，∠HCD=∠GCB∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）∵∠ABC=60°∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°∵∠HCG=∠HCB+∠GCB∴∠HCG=120°∴∠GCP=60°∴=tan∠GCP=tan60°=；（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α），∴=tan（90°﹣α）．点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．6．（2008•厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型；存在型．分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；（3）因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．解答：（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF（2分）∴四边形AFCE是菱形．（3分）（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．设AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴（x+y）2﹣2xy=100①又∵S△ABF=24，∴xy=24，则xy=48．②（5分）由①、②得：（x+y）2=196（6分）∴x+y=14，x+y=﹣14（不合题意舍去）∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）证明：由作法，∠AEP=90°，由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴=，则AE2=AO•AP（10分）∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC•AP（11分）∴2AE2=AC•AP（12分）即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．7．（2008•嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角，且AB=AD，又因为∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB 于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了；（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似．解题思路和步骤是一样的．解答：（1）证明：∵DF⊥AE∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；（2）解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH由（1）知，AM=DN∴EF=GH，即（3）解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH∵EF⊥GH∴AM⊥DN∴∠AMB=90°﹣∠BAM=∠AND又∵∠ABM=∠DAN=90°∴△ABM∽△DAN∴∴．点评：本题中（1）（2）和（3）虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系．8．（2008•宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC 于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；。
2005年温州市数学中考试题
荆州市2011年中考数学模拟试题（1）一、选择题（ 每小题3分, 共30分) 1．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．223355+=D ．632÷=2.函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤3.若等腰三角形中有一个角等于50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50B ．80C ．65 或50D ．50 或804.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差5.如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ） A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）6.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米(第6题) （第7题）7.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，A B 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ）A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶2D ．3∶38.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 ( ) （A ）18%)201(160400160=+-+xx （B ）18%)201(400160=++xxxy1 2 4 3 0 -1-2 -3 12 3AB(第5题)（C ）18%20160400160=-+xx（D ）18%)201(160400400=+-+xx9.如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100A D B ∠=︒，则A C B ∠的度数为 ( ) A ．35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒（第10题）10. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为 （ ） A ．201035()2 B ．201195()4 C ． 200995()4D ．402035()2二、填空题（每小题4分，共24分）11.方程组260x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 .12.直线y =kx +b 经过A （2， 1）和B （0，－3）两点，则不等式组-3＜kx +b ＜12x 的解集为______．13．有一个正十二面体，12个面上分别写有1至12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 ． 14.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB = .（第14题） （第15题）15. 如图，将边长为33+的等边△ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC 于点M 、N ，DF ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝1，则重叠部分的面积为 .C A BD （第9题）O CADBDNEF MCBAy o xA A 1 A 2B 1BB 2C 2C 1CD16、已知直线1y x =，2113y x =+，5343+-=x y ，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y中的最小值，则y 的最大值为 。
2015年浙江省温州市中考真题数学
解析：设垂直于墙的材料长为 x 米， 2 2 则平行于墙的材料长为 27+3-3x=30-3x，则总面积 S=x(30-3x)=-3x +30x=-3(x-5) +75， 故饲养室的最大面积为 75 平方米. 答案：75 16.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重 叠、无缝隙).图乙中
3 x， 3
∴EF=2CF=
2 3 3 2 1 x，∴S△DEF= DE·CF= x， 2 3 3
∵四边形 FGMH 是菱形，∴FG=MG=FE=
2 3 x， 3 3 2 x， 3
∵∠G=180°-∠GFH=60°，∴△FMG 是等边三角形，∴S△FGH=
∴S 菱形 FGMH= 答案：B
2 3 2 2 x ，∴S 阴影=S△DEF+S 菱形 FGMH= 3 x . 3
3 4 4 B. 3 3 C. 5 4 D. 5
A. 解析：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA= 答案：D
AC 4 . AB 5
6.若关于 x 的一元二次方程 4x -4x+c=0 有两个相等实数根，则 c 的值是( A.-1 B.1 C.-4
)
D.4 2 2 解析：∵一元二次方程 4x -4x+c=0 有两个相等实数根，∴△=4 -4×4c=0，∴c=1. 答案：B
k x
A.1 B.2 C. 3 D.2 3 解析：过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C， ∵点 A 的坐标是(2，0)，∴AO=2， ∵△ABO 是等边三角形， ∴OC=1，BC= 3 ，∴点 B 的坐标是(1， 3 )，
把(1，3)代入 y= 答案：C
k ，得 k= 3 . x
【精校】2015年浙江省温州市中考真题数学
2015年浙江省温州市中考真题数学一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分)1.给出四个数012，-1，其中最小的是( ) A.0C.12D.-1解析：根据实数比较大小的方法，可得-1＜0＜12∴四个数012，-1，其中最小的是-1. 答案：D2.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( )A.B.C.D.解析：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线.答案：A3.某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有( )A.25人B.35人C.40人D.100人解析：参加兴趣小组的总人数25÷25%=100(人)，参加乒乓球小组的人数100×(1-25%-35%)=40(人).答案：C4.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( )A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆解析：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误.答案：A5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是( )A.34B.43C.35D.45 解析：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA=45AC AB =. 答案：D6.若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是( )A.-1B.1C.-4D.4解析：∵一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42-4×4c=0，∴c=1. 答案：B7.不等式组1212x x +⎧⎨-≤⎩＞，的解是( ) A.x ＜1B.x ≥3C.1≤x ＜3D.1＜x ≤3 解析：1212x x +⎧⎨-≤⎩＞，，①② ∵解不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x ≤3，∴不等式组的解集为1＜x ≤3. 答案：D8.如图，点A 的坐标是(2，0)，△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限.若反比例函数y= k x的图象经过点B ，则k 的值是( )A.1B.2解析：过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是(2，0)，∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，B 的坐标是(1，把(1，3)代入y=k x，得. 答案：C9.如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE ，设OC=x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )A.y=2x 22x 2x 2解析：∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，∴∠DOC=∠EOC=45°，∵DE ⊥OC ，∴∠ODC=∠OEC=45°，∴CD=CE=OC=x ，∴DF=EF ，DE=CD+CE=2x ，∵∠DFE=∠GFH=120°，∴∠CEF=30°，∴CF=CE ·tan30°，∴EF=2CF=3x ，∴S △DEF =12DE ·CF=3x 2，∵四边形FGMH 是菱形，∴FG=MG=FE=3x ，∵∠G=180°-∠GFH=60°，∴△FMG 是等边三角形，∴S △FGH =3x 2，∴S 菱形FGMH x 2，∴S 阴影=S △DEF +S 菱形FGMH 2. 答案：B10.如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG.DE ，FC ，弧AC ，弧BC 的中点分别是M ，N ，P ，Q.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长为( )B.90 7C.13D.16解析：连接OP，OQ，∵DE，FC，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=12(AC+BC)=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18-14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13.答案：C二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：a2-2a+1= .解析：a2-2a+1=a2-2×1×a+12=(a-1)2.答案：(a-1)212.一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同.现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是 .解析：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是：4263=. 答案：2313.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为 .解析：∵L=180n R π，∴R=1802120ππ⨯=3. 答案：314.方程231x x =+的根为 . 解析：去分母得：2(x+1)=3x ，即2x+2=3x ，解得：x=2，经检验：x=2是原方程的解. 答案：x=215.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为 m 2.解析：设垂直于墙的材料长为x 米，则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x ，则总面积S=x(30-3x)=-3x 2+30x=-3(x-5)2+75， 故饲养室的最大面积为75平方米.答案：7516.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中67AB BC =，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm.解析：如图乙，取CD 的中点G ，连接HG ，设AB=6acm ，则BC=7acm ，中间菱形的对角线HI 的长度为xcm ，∵BC=7acm ，MN=EF=4cm ，∴CN=742a +， ∵GH ∥BC ，∴GH DG CN DC=，∴7127422a xa -=+，∴x=3.5a-2…(1)； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，∴6a ·(7a-x)÷2=54，∴a(7a-x)=18…(2)；由(1)(2)，可得a=2，x=5，∴CD=6×2=12(cm)，CN=742a +=7242⨯+=9(cm)，∴=15(cm)， 又∵==7.5(cm)，∴HN=15-7.5=7.5(cm)， ∵AM ∥FC ，∴44945KN MN HK CN ===-， ∴HK=5257.5456⨯=+ (cm)，∴该菱形的周长为：2550463⨯=(cm). 答案：503.三、解答题（本题有8小题，共80分）17.(1)计算：20150-12) (2)化简：(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)解析：(1)先算乘方、化简二次根式与乘法，最后算加法；(2)利用平方差公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可.答案：(1)原式；(2)原式=4a2-1-4a2+4a=4a-1.18.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.(1)求证：AB=CD.(2)若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数.解析：(1)易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；(2)易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可.答案：(1)∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，A DC BAE DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AB=CD.(2)∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=12×(180°-30°)=75°.19.某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表：(1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序.(2)该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分.根据规定，请你说明谁将被录用.解析：(1)代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；(2)由于甲的面试成绩低于80分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.答案：(1)x甲=(83+79+90)÷3=84，x乙=(85+80+75)÷3=80，x丙=(80+90+73)÷3=81.从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙；(2)∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，∴甲淘汰；乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5，丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3，乙将被录取.20.各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G·Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式S=a+12b-1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积.如图，a=4，b=6，S=4+12×6-1=6.(1)请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积.(2)请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为72，且每条边上除顶点外无其它格点.(注：图甲、图乙在答题纸上)解析：(1)根据皮克公式画图计算即可；(2)根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可.答案：(1)如图所示，a=4，b=4，S=4+ 12×4-1=5；(2)因为S=72，b=3，所以a=3，如图所示.21.如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF=135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC=CE，，求DE的长.解析：(1)连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；(2)过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4-x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得. 答案：(1)连接OF，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠AEF+∠B=180°，∵∠AEF=135°，∴∠B=45°，∴∠AOF=2∠B=90°，∵DF切⊙O于F，∴∠DFO=90°，∵DC⊥AB，∴∠DCO=90°，即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，∴四边形DCOF是矩形，∴DF ∥AB.(2)过E作EM⊥BF于M，∵四边形DCOF是矩形，∴OF=DC=OA，∵OC=CE，∴AC=DE，设DE=x，则AC=x，∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4-x，∵AC=DE，OCDF=CE，∴由勾股定理得：AE=EF，∴∠ABE=∠FBE，∵EC⊥AB，EM⊥BF，∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，在Rt△ECA和Rt△EMF中AE EFEC EM=⎧⎨=⎩，，∴Rt△ECA≌Rt△EMF，∴AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，∴，解得：，即.22.某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株.已知B区域面积是A区域面积的2倍.设A区域面积为x(m2).(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式.(2)若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？(3)若三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元.请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价.解析：(1)设A区域面积为x，则B区域面积是2x，C区域面积是900-3x，根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答；(2)当y=6600时，即-21x+10800=6600，解得：x=200，则2x=400，900-3x=300，即可解答；(3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c，根据根据题意得：456002400360084000a b ca b z++=⎧⎨++=⎩，，整理得：3b+5c=95，根据三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，所以b=15，c=10，a=20，即可解答.答案：(1)y=3x+12x+12(900-3x)=-21x+10800.(2)当y=6600时，即-21x+10800=6600，解得：x=200，∴2x=400，900-3x=300，答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2.(3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在(2)的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，根据题意得：456002400360084000a b ca b z++=⎧⎨++=⎩，，整理得：3b+5c=95，∵三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，∴b=15，c=10，∴a=20，∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15=36000(元)，答：种植面积最大的花卉总价为36000元.23.如图，抛物线y=-x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B.过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD 于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标.(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD=1时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上.②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3= .解析：(1)在抛物线解析式中令y=0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求得M点坐标；(2)由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，可得出BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；(3)①由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解析式可判断出A点在直线MF上；②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长，再结合面积公式可分别表示出S1，S2，S3，可求得答案.答案：(1)令y=0，则-x2+6x=0，解得x=0或x=6，∴A点坐标为(6，0)，又∵y=-x2+6x=-(x-3)2+9，∴M点坐标为(3，9)；(2)∵OE ∥CF ，OC ∥EF ，∴四边形OCFE 为平行四边形，且C(2，0)，∴EF=OC=2， 又B(3，0)，∴OB=3，BC=1，∴F 点的横坐标为5，∵点F 落在抛物线y=-x 2+6x 上，∴F 点的坐标为(5，5)，∴BE=5，∵OE ∥CF ，∴BD BC BE OB =，即153BD =，∴BD=53； (3)①当BD=1时，由(2)可知BE=3BD=3，∴F(5，3)，设直线MF 解析式为y=kx+b ，把M 、F 两点坐标代入可得9335k b k b =+⎧⎨=+⎩，，解得318k b =-⎧⎨=⎩，，∴直线MF 解析式为y=-3x+18，∵当x=6时，y=-3×6+18=0，∴点A 落在直线MF 上.②如图所示，∵E(3，3)，∴直线OE 解析式为y=x ，联立直线OE 和直线MF 解析式可得318y x y x =⎧⎨=-+⎩，，解得9292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴G(92，92)， ∴2=，，∴EG=OG-OE=22-， ∵13CD OE =，∴CD=13OE=2， ∵P 为CF 中点，∴PF=12CF=2，∴-2=2， ∵OG ∥CF ，∴可设OG 和CF 之间的距离为h ，∴S △FPG =12PF ·h=12×2h=4h ，S 四边形DEGP =12(EG+DP)h=12×(2+2h ，S 四边形OCDE =12(OE+CD)h=12h ，∴S 1，S 2，S 3=4h h ：h=3：4：8. 故答案为：3：4：8.24.如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt △ABQ ，使∠BAQ=90°，AQ ：AB=3：4，作△ABQ 的外接圆O.点C 在点P 右侧，PC=4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD ⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E.在射线CD 上取点F ，使DF=32CD ，以DE ，DF 为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.(1)用关于x 的代数式表示BQ ，DF.(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长.(3)在点P 的整个运动过程中，①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？②作直线BG 交⊙O 于点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长(直接写出答案).解析：(1)由AQ ：AB=3：4，AQ=3x ，易得AB=4x ，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得AH=BH=12AB ，求得CD ，FD ； (2)利用(1)的结论，易得CQ 的长，作OM ⊥AQ 于点M(如图1)，则OM ∥AB ，由垂径定理得QM=AM=32x ，由矩形性质得OD=MC ，利用矩形面积，求得x ，得出结论； (3)①点P 在A 点的右侧时(如图1)，利用(1)(2)的结论和正方形的性质得2x+4=3x ，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，0＜x ＜47时(如图2)，4-7x=3x ，解得x ，易得AP；当47≤x＜23时(如图3)，7-4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥23(如图4)，同理得AP；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时(如图5)，过点B作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时(如图6)，过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ=14，利用(1)(2)中结论得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP.答案：(1)在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，∴AB=4x，∴BQ=5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB=OQ，∴AH=BH=12AB=2x，∴CD=2x，∴FD=32CD=3x.(2)∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，作OM⊥AQ于点M(如图1)，∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=32x∴OD=MC=92x+4，∴OE=12BQ=52x，∴ED=2x+4，S矩形DEGF=DF·DE=3x(2x+4)=90，解得：x1=-5(舍去)，x2=3，∴AP=3x=9.(3)①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，I.点P在A点的右侧时(如图1)，∴2x+4=3x，解得：x=4，∴AP=3x=12；II.点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜47时(如图2)，∵ED=4-7x，DF=3x，∴4-7x=3x，解得：x=25，∴AP=65；当47≤x＜23时(如图3)，∵ED=7-4x，DF=3x，∴7-4x=3x，解得：x=1(舍去)，当点C在Q的左侧时，即x≥23(如图4)，DE=7x-4，DF=3x，∴7x-4=3x，解得：x=1，∴AP=3，综上所述：当AP为12或65或3时，矩形DEGF是正方形；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时(如图5)，过点B作BM⊥EG于点M，∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°，∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x，∴IQ=x，∴=2，∴，∴；当点N在AB的右侧时(如图6)，过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=14，∴AI=16x，∴QI=19x，∴=2，∴，∴，综上所述：AP的长为或19.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2005年浙江省温州市中考数学试卷
2005年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）计算：﹣1+（+3）的结果是（）A．﹣1B．1C．2D．32．（4分）若，则的值为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面A1C1平行的平面是（）A．平面AB1B．平面AC C．平面A1D D．平面C1D 4．（4分）不等式组＞的解是（）A．x≤2B．x≥2C．﹣1＜x≤2D．x＞﹣15．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（4分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）7．（4分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）圆锥的母线长为5cm，高线长是4cm，则圆锥的底面积是（）cm2．A．3πB．9πC．16πD．25π9．（4分）若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则的值是（）A．3B．C．D．﹣310．（4分）如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线P AB交⊙O于点A、B，已知PT＝4，P A＝2，则⊙O的直径AB等于（）A．3B．4C．6D．811．（4分）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）＝6时，如果设x2+x＝y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6＝0B．y2﹣y﹣6＝0C．y2﹣y+6＝0D．y2+y+6＝0 12．（4分）⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，那么两圆的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．外离二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）计算：2xy+3xy＝．14．（5分）已知反比例函数y的图象经过点（1，2），则k的值是．15．（5分）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝．16．（5分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝．（只要求写出一个）．17．（5分）杉杉打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了元．（精确到0.01元．毛利率货价成本成本100%）18．（5分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三、解答题（共7小题，满分72分）19．（8分）计算：20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC 分别相交于点E、F，求证：OE＝OF．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC 在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△F AE：S四边形AOCE＝1：3．（1）求出点E的坐标；（2）求直线EC的函数解析式．22．（10分）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）．23．（12分）某校初三（2）班课题研究小组对本校初三段全体同学的体育达标（体育成绩60分以上，含60分）情况进行调查，他们对本班50名同学的体育达标情况和其余班级同学的体育达标情况分别进行调查，数据统计如下：根据以上统计图，请解答下面问题：（1）初三（2）班同学体育达标率和初三段其余班级同学达标率各是多少？（2）如果全段同学的体育达标率不低于90%，则全段同学人数不超过多少人？24．（12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O 及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）求证：AC2BC•CE；（3）如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值．25．（14分）如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB 向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）当x＝时，PQ⊥AC，x＝时，PQ⊥AB；（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为；（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．2005年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）计算：﹣1+（+3）的结果是（）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：因为﹣1，3异号，且|﹣1|＜|3|，所以﹣1+3＝2．故选：C．2．（4分）若，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴a b，即．故选：A．3．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面A1C1平行的平面是（）A．平面AB1B．平面AC C．平面A1D D．平面C1D 【解答】解：和平面A1C1相对的面是平面AC，那么这两个面平行．故选：B．4．（4分）不等式组＞的解是（）A．x≤2B．x≥2C．﹣1＜x≤2D．x＞﹣1【解答】解：由原不等式组得＞，所以﹣1＜x≤2．故选：C．5．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．6．（4分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：因为y＝（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．故选：B．7．（4分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为全部14个球，有3个黄球，所以搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是．故选：D．8．（4分）圆锥的母线长为5cm，高线长是4cm，则圆锥的底面积是（）cm2．A．3πB．9πC．16πD．25π【解答】解：由题意知：圆锥的底面半径R3，∴圆锥的底面积＝πR2＝9πcm2．故选：B．9．（4分）若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则的值是（）A．3B．C．D．﹣3【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x23，x1x21则3．故选：A．10．（4分）如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线P AB交⊙O于点A、B，已知PT＝4，P A＝2，则⊙O的直径AB等于（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：∵PT2＝P A•PB，PT＝4，P A＝2，∴PB＝8，∴AB＝6，故选：C．11．（4分）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）＝6时，如果设x2+x＝y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6＝0B．y2﹣y﹣6＝0C．y2﹣y+6＝0D．y2+y+6＝0【解答】解：把x2+x整体代换为y，y2+y＝6，即y2+y﹣6＝0．故选：A．12．（4分）⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，那么两圆的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．外离【解答】解：∵2+3＝5，由于两圆外切时圆心距等于两圆半径的和，∴两圆外切．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）计算：2xy+3xy＝5xy．【解答】解：2xy+3xy＝（2+3）xy＝5xy．14．（5分）已知反比例函数y的图象经过点（1，2），则k的值是2．【解答】解：∵点（1，2）在函数y上，则有2，即k＝2．故答案为：2．15．（5分）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝a（b）（b）．【解答】解：ab2﹣2a，＝a（b2﹣2）﹣﹣（提取公因式）＝a（b）（b）．﹣﹣（平方差公式）16．（5分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝5．（只要求写出一个）．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，∴b2﹣4ac＝16﹣4c＜0．解得：c＞4．∵c为整数，∴c可以为5，6等．17．（5分）杉杉打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了0.21元．（精确到0.01元．毛利率货价成本成本100%）【解答】解：设降低了x元，2（25%+1）＝（2﹣x）（1+25%+15%），即 2.5＝2.8﹣1.4x解得：x≈0.21故答案是：0.21．18．（5分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝4．【解答】解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．三、解答题（共7小题，满分72分）19．（8分）计算：【解答】解：原式＝2（2）﹣（7+4）5．20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC 分别相交于点E、F，求证：OE＝OF．【解答】证明：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC 在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△F AE：S四边形AOCE＝1：3．（1）求出点E的坐标；（2）求直线EC的函数解析式．【解答】解：（1）∵S△F AE：S四边形AOCE＝1：3，∴S△F AE：S△FOC＝1：4，∵四边形AOCB是正方形，∴AB∥OC，∴△F AE∽△FOC，∴AE：OC＝1：2，∵OA＝OC＝6，∴AE＝3，∴点E的坐标是（3，6）．（2）设直线EC的解析式是y＝kx+b，∵直线y＝kx+b过E（3，6）和C（6，0），∴，解得：．∴直线EC的解析式是y＝﹣2x+12．22．（10分）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）．【解答】解：列举以下四种铺设的示意图供参考（每种方案设计正确可得3分）23．（12分）某校初三（2）班课题研究小组对本校初三段全体同学的体育达标（体育成绩60分以上，含60分）情况进行调查，他们对本班50名同学的体育达标情况和其余班级同学的体育达标情况分别进行调查，数据统计如下：根据以上统计图，请解答下面问题：（1）初三（2）班同学体育达标率和初三段其余班级同学达标率各是多少？（2）如果全段同学的体育达标率不低于90%，则全段同学人数不超过多少人？【解答】解：（1）初三（2）班体育成绩达标率为（1﹣0.02）×100%＝98%，其余班级体育成绩达标率为1﹣12.5%＝87.5%，答：初三（2）班体育成绩达标率和其余班级体育成绩达标率分别为98%和87.5%．（2）设全校有x名同学，由题意得：50×98%+（x﹣50）×87.5%≥90%x，解得：x≤210答：全段同学人数不超过210人．24．（12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O 及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）求证：AC2BC•CE；（3）如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE．∵，∴∠DCA＝∠BAE．∴△ADC∽△EBA；（2）证明：过A作AH⊥BC于H（如图），∵A是中点，∴AB＝AC，又∵AH⊥BC于H，∴HC＝HB BC，∵∠CAE＝90°，∵AH⊥BC，∴∠AHC＝∠AHB＝90°，∴△ACH∽△AEC，∴，即AC2＝HC•CE，又∵BC＝2CH，∴AC2＝CH•CE BC•CE；（3）解：∵A是中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2．∵EM是⊙O的切线，∴EB•EC＝EM2①∵AC2BC•CE，BC•CE＝8 ②联立①②得：EC（EB+BC）＝17．∴EC2＝17．∵EC2＝AC2+AE2，∴AE，∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC．∴cot∠CAD＝cot∠AEC．25．（14分）如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB 向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）当x＝时，PQ⊥AC，x＝时，PQ⊥AB；（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为y x2x；（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．【解答】解：（1），，当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，当Q在AC上时，由题意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4﹣x；∵AB＝BC＝CA＝4，∴∠C＝60°；若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，∴PC＝2CQ，∴4﹣x＝2×2x，∴x；当x（Q在AC上）时，PQ⊥AC；如图：①当PQ⊥AB时，BP＝x，BQ，AC+AQ＝2x；∵AC＝4，∴AQ＝2x﹣4，∴2x﹣4x＝4，∴x，故x时PQ⊥AB；综上所述，当PQ⊥AB时，x或．（2）y x2x，如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；∵∠C＝60°，QC＝2x，∴QN＝QC×sin60°x；∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD BC＝2，∴DP＝2﹣x，∴y PD•QN（2﹣x）•x x2x；（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC＝2x，∠C＝60°；∴NC＝x，∴BP＝NC，∵BD＝CD，∴DP＝DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN，∴OP＝OQ，∴S△PDO＝S△DQO，∴AD平分△PQD的面积；（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，当x或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．。
温州市中考数学05-12年压轴题汇编
l321S 4S 3S 2S 111231511211321④③②①11235...温州市中考数学05-12年压轴题汇编一、T16汇编1、（2005年16题）在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。
2、（2006年16题）如图，在直线m 上摆放着三个正三角形:△ABC 、△HFG 、△DCE,已知BC=12CE,F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM ∥AC ，GN ∥DC ．设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S 2,S 3,若S 1+S 3=10，则S 2= .3、（2007年16题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔 子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1， 2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和。
现以 这组数中的各个数作为正方形的长度构造 如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相 应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。
s 3S 2S1 N HGFM D A BCEm4、（2008年16题）如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212ABB △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．5、（2009年16题）如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA ′恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是 . 6、（2010年16题）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么△PQR 的周长等于 ． 7、（2011年16题）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 ．（第16题图）O B 1 BE8、（2012年16题）如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。
温州中考数学05-12年压轴题汇编(答案)
温州市中考数学05-12年压轴题汇编参考答案一、T16汇编1、（2005年16题）分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．2、（2006年16题）分析：根据题意，可以证明S与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S的长相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S来表示，从而计算出S的值．3、（2007年16题）分析：根据题意：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．解：依次可推得这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，故序号为⑩的矩形周长是466．4、（2008年16题）分析：已知△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3=1：2，由于△A2B2A3与△B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A3B2B3的面积为4，可求出△A2B2A3的面积，同理可求出△A3B3A4和△A1B1A2的面积．即可求出阴影部分的面积．5、（2009年16题）分析：作FS⊥CD于点S点，由于点O是正方形的中心，正方形是中心对称图形，则AF=CG，先证明△AFE ≌△FA′E，有FA=FA′；再根据四边形ADSF是矩形，设AF=A′F=DS=CG=x，利用勾股定理得[2（2+x）]2=（8-2x）2+82，解方程得x=7/3 ，所以6、（2010年16题）分析：在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．解：延长BA交QR与点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=AB•cos30°=4×=2．则QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中HM=AH•sin60°=2×=3．AM=HA•cos60°=．在直角△AMR中MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR•=7+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．故答案为：27+13．7、（2011年16题）分析：根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG，=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG•NF，∵S1+S2+S3=10=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF，=3GF2，∴S 2的值是：．故答案为：．8、（2012年16题）二、T24汇编1、（2005年24题）分析：（1）要求证（1）△ADC ∽△EBA ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明BF=AD ，就可以； （2）过A 作AH ⊥BC 于H ，根据摄影定理就可以得到结论；（3）A 是 BDC 中点，则AC=AB=2，根据切割线定理，以及△CAD ∽△ABE 就可以求的结论． 解答：2、（2006年24题）3、（2007年24题）解：（1）在,4,3,5Rt ADC AC CD AD ∆==∴=中， ,,EP DC AEP ADC ∴∆≅∆ 55,,,55444EA AP EA x EA x DE x AD AC ∴==∴==-即PBDP （2）5,3,2BC CD BD ==∴= ，当点Q 在BD 上运动x 秒后，DQ ＝2－1.25x,则21157(4)(2 1.25)42282y DQ CP x x x x =⨯⨯=--=-+即y 与x 的函数解析式为：257482y x x =-+(3)分两种情况讨论： ①当EQD Rt ∠=∠时，4,,EQ PC x EQ AC EDQ ADC ==-∴∆∆ 显然有又,EQ DQ AC DC∴=4 1.252, 2.543x x x --==即解得 2.5x =解得 ②当QED Rt ∠=∠时，,,CDA EDQ QED C Rt EDQ CDA ∠=∠∠=∠=∠∴∆∆5(4) 1.252,,125EQ DQ x x CD DA --∴==即 3.1x =解得 综上所述，当x 为2.5秒或3.1秒时，EDQ ∆为直角三角形。
2015年浙江省温州市中考数学试卷(word解析版)
2015年浙江省温州市中考数学试卷解析（本试卷满分150分，考试时间120分钟）江苏泰州鸣午数学工作室 编辑一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. （2015年浙江温州4分）给出四个数0，3，21，1-，其中最小的是【 】 A. 0 B. 3 C.21D. 1- 【答案】D ．【考点】实数的大小比较.【分析】根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小, 因此，11<0<<32-，故选D ． 2. （2015年浙江温州4分）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是【 】A.B. C. D.【答案】A ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得，主视图是长方形的中间有个看不到小长方形，故选A ．3. （2015年浙江温州4分）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示. 若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有[【 】【来源：21·世纪·教育·网】A. 25人B. 35人C. 40人D. 100人【出处：21教育名师】 【答案】C ．【考点】扇形统计图；频数、频率和总量的关系.【分析】∵参加人数最少的小组有25人，占25%，∴参加体育兴趣小组的总人数为2525%100÷=人.∴参加人数最多的小组有()100125%35%10040%40⨯--=⨯=人. 故选C ．4. （2015年浙江温州4分）下列选项中的图形，不属于．．．中心对称图形的是【 】 A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆 【答案】A ．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，A 、∵等边三角形旋转180°后不能与原图形重合，∴等边三角形不是中心对称图形；B 、∵正方形旋转180°后能与原图形重合，∴正方形是中心对称图形；C 、∵正六边形旋转180°后不能与原图形重合，正六边形是中心对称图形；D 、∵圆旋转180°后能与原图形重合，∴圆是中心对称图形． 故选A ．5. （2015年浙江温州4分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是【 】A.43 B. 34 C. 53 D. 54【答案】D ．【考点】锐角三角函数定义；勾股定理.【分析】∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴根据勾股定理，得AC=4. ∴4cos 5AC A AB ==. 故选D ．6.（2015年浙江温州4分）若关于x 的一元二次方程0442=+-c x x 有两个相等实数根，则c 的值是【 】A. 1-B. 1C. 4-D. 4【答案】B ．【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次方程.【分析】∵关于x 的一元二次方程2440x x c -+=有两个相等实数根，∴()244401c c ∆=--⋅⋅=⇒=. 故选B ．7. （2015年浙江温州4分）不等式组⎩⎨⎧≤->+2121x x 的解是【 】A. 1<xB. x ≥3C. 1≤x <3D. 1<x ≤3 【答案】D ．【考点】解一元一次不等式组.【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.因此，21*cnjy*com1211<3123x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-≤⎨⎨-≤≤⎩⎩. 故选D ．8. （2015年浙江温州4分）如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限. 若反比例函数xky =的图象经过点B ，则k 的值是【 】2·1·c·n·j·yA. 1B. 2C. 3D. 32【答案】C.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等边三角形的性质；勾股定理. 【分析】如答图，过点B 作BD ⊥x 于点D ，∵点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形， ∴OB=OA=2，OD=1.∴由勾股定理得，BD=3. ∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标是1,3 .∵反比例函数k y x =的图象经过点B ，∴331kk =⇒=. 故选C.9. （2015年浙江温州4分）如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH ，已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE. 设OC=x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是【 】2-1-c-n-j-yA. 223x y = B. 23x y = C. 232x y = D. 233x y = 【答案】B.【考点】由实际问题列函数关系式；角平分线的性质；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；菱的性质.【分析】∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，DE ⊥OC ，∴△ODE 是等腰直角三角形.∵OC=x ，∴DE=2x .∵∠DFE=120°，∵∠EDF=30°. ∴33x =.∴S △DEF =213322x ⋅=. 又∵菱形FGMH 中，∠GFH=120°，FG=FE ，∴S 菱形FGMH =2 S △DEF . ∴y =3 S △DEF 23x . 故选B.10. （2015年浙江温州4分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，AC BC ，的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长是【 】A. 29B. 790C. 13D. 16 【答案】C.【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用. 【分析】如答图，连接OP 、OQ ，∵DE ，FG ，AC BC ，的中点分别是M ，N ，P ，Q ， ∴点O 、P 、M 三点共线，点O 、Q 、N 三点共线. ∵ACDE ，BCFG 是正方形， ∴AE=CD=AC ，BG=CF=BC.设AB=2r ，则,OM MP r ON NQ r =+=+ . ∵点O 、M 分别是AB 、ED 的中点， ∴OM 是梯形ABDE 的中位线.∴()()()1112222OM AE BD AE CD BC AC BC =+=++=+，即()122MP r AC BC +=+. 同理，得()122NQ r BC AC +=+.两式相加，得()322MP NQ r AC BC ++=+.∵MP+NQ=14，AC+BC=18，∴3142182132r r +=⨯⇒=.故选C.二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]11. （2015年浙江温州5分）分解因式：122+-a a = ▲【答案】()21a -.【考点】应用公式法因式分解.【分析】因为22221211a a a a -+=-⋅⋅+，所以直接应用完全平方公式即可：()22211a a a -+=-. 12. （2015年浙江温州5分）一个不透明的袋子中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同。
初中数学中考第24题压轴题精选
压轴题精选一、与等腰三角形有关1、如图，已知两直线l l、l2分别经过点A（1，0），B（－3，0），并且当两直线同时相交于y 轴正半轴的点C时，恰好有l l⊥l2，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线l l交于点K．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l l、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，9 2）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；（3）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），分别连结AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．二、与直角三角形有关3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90，AC ＝BC ，OA ＝1，OC ＝4，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，顶点为D ．（1）求b 、c 的值；（2）点E 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．备用图4、如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝－49x2＋bx＋c经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y＝－49x2＋bx＋c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．备用图5、如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，－2）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．三、与平行四边形有关6、如图，二次函数y＝23x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（－1，m），B（n，n）．（1）求点A、B的坐标（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．①这样的点C有几个？②能否将抛物线y＝23x2－13x平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的抛物线的解析式；若不能，说明理由．7、如图，抛物线y＝－54x2＋174x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x 轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．四、与面积有关8、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋9－b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；②当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．9、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图1，已知：抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是122y x =-，连结AC ． （1）B C 、两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝]图1图2(备用)五、与相似有关11、如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5），点C是y轴负半轴上一点，且tan∠OCB＝59．点P是直线OB上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线BC平分△PQB的面积时，求点P的坐标；（3）是否存在这样的点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、如图，抛物线经过(40)(10)(02)，，，，，三点．A B C-（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截14、如图，二次函数的图象经过点D(0，39得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．六、与圆有关15、如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，且CD＝4，抛物线经过A、B、C三点，顶点为N．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一点，试问在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式；（2）若过点A（－1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．如图，在面直角坐标系内，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，且A ，B 两点的横坐标分别是方程x 2-2x-3=0的两个实数根.(1)求抛物线的解析式.(2)若抛物线的顶点为M ，作点M 关于x 轴的对称点N ，顺次连接A ，M ，B ，N ，在抛物线上存在点D ，使直线CD 将四边形AMBN 分成面积相等的两个四边形，求点D 的坐标.(3)在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 中BC 边上的高为 2 ?若存在，请直接写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.xx备用图24．（本题满分12分）如图，抛物线223212--=xxy与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求A、B、C三点的坐标.（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由.（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积.第24题图24．（本题满分13分）如图，抛物线y ＝41x 2－23x －4 与x 轴交于点A 和点B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，⊙O ′是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O ′的直径，过点C 作⊙O ′的切线与x 轴交于点F ，过点A 作AD ⊥CF 于点D . （1）求A 、B 、C 三点的坐标.（2）试判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由.（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得S △ACP ＝S △ACO ，若存在，直接写出所有满足条件的点P 坐标，若不存在，请说明理由.. .26．(本题满分12分)如图，抛物线的顶点为C（-1，-1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为-3.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标;（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作xPM 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.x23．如图，已知二次函数L 1：y ＝ax 2－2ax ＋a ＋3(a >0)和二次函数L 2：y ＝－a (x ＋1)2＋1(a >0)图像的顶点分别为M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．(1)函数y ＝ax 2－2ax ＋a ＋3(a >0)的最小值为 ；当二次函数L 1，L 2的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 ；(2)当EF ＝MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状(直接写出，不必证明)；(3)若二次函数L 2的图象与x 轴的右交点为A (m ，0)，当△AMN 为等腰三角形时，求方程 －a (x ＋1)2＋1＝0的解．。
2015年浙江省温州市中考数学试题及解析
2015年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）（2015•温州）给出四个数0，，﹣1，其中最小的是（）2．（4分）（2015•温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）B3．（4分）（2015•温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（）5．（4分）（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）B6．（4分）（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的7．（4分）（2015•温州）不等式组的解是（）8．（4分）（2015•温州）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）9．（4分）（2015•温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）y=y=10．（4分）（2015•温州）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）B二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1=．12．（5分）（2015•温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是．13．（5分）（2015•温州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为．14．（5分）（2015•温州）方程的根为．15．（5分）（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．16．（5分）（2015•温州）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为cm．三、解答题（本题有8小题，共80分）17．（10分）（2015•温州）（1）计算：20150+（2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）18．（8分）（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．19．（8分）（2015•温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序．（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．20．（8分）（2015•温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）21．（10分）（2015•温州）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．（1）求证：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF=，求DE的长．22．（10分）（2015•温州）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．23．（12分）（2015•温州）如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD 交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．（1）求点A，M的坐标．（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE 的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=．24．（14分）（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．2015年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）（2015•温州）给出四个数0，，﹣1，其中最小的是（）＜2．（4分）（2015•温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）B3．（4分）（2015•温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（）5．（4分）（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）BcosA==6．（4分）（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的7．（4分）（2015•温州）不等式组的解是（）8．（4分）（2015•温州）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）），，．9．（4分）（2015•温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）y=y==EF=2CF=xxx10．（4分）（2015•温州）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）BOH+OI=（二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1=（a﹣1）2．12．（5分）（2015•温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是．∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是：．故答案为：．13．（5分）（2015•温州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为3．L=，R=L=14．（5分）（2015•温州）方程的根为x=2．15．（5分）（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．16．（5分）（2015•温州）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为cm．，CN=DH=（故答案为：．三、解答题（本题有8小题，共80分）17．（10分）（2015•温州）（1）计算：20150+（2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）=1+218．（8分）（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．D=19．（8分）（2015•温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．）20．（8分）（2015•温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）S=4+，21．（10分）（2015•温州）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．（1）求证：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF=，求DE的长．x=2，﹣22．（10分）（2015•温州）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．，整理得：3b+5c=95，根据三种花卉的单价（都是整，23．（12分）（2015•温州）如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD 交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．（1）求点A，M的坐标．（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE 的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=3：4：8．=，即=；，解得解析式可得，解得，=，OE===OE=，PF=PF=3﹣﹣PF×=×）h（h=）h=2：24．（14分）（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．AH=BH=QM=AM=＜；当GBJ=QM=AM=OD=MC=BQ=，时（如图，AP=；≤时（如图≥或=2，；GBJ=，=2AP=或。
2005年浙江省温州市中考物理试卷范文
2005年浙江省温州市中考物理试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3分）（2005•温州）据报道：某国际科研小组以一种超低温原子云为“介质”，成功地使光在其中的传播速度降2．（3分）（2005•温州）如图，两只相同的温度计，其中包有湿棉球的示数较低，原因是（）3．（3分）（2005•温州）诗人曾写下这样的诗句：“人在桥上走，桥流水不流”．其中“桥流水不流”，诗人选择的参4．（3分）（2005•温州）朱启南在雅典奥运会上打破男子10米气步枪世界记录并获得冠军．比赛中，他射出的子弹5．（3分）（2005•温州）如图所示是一种天文望远镜的光路图，分析图光路图可知它的物镜是（）7．（3分）（2005•温州）下图是小亮设计的一个并联电路的电路图，当开关S闭合时（）8．（3分）（2005•温州）在如图所示的两种方式下推动同一大箱子，这种现象说明（）9．（3分）（2005•温州）洗衣机、电冰箱等家用电器都使用三孔插座．三孔插座的中间插孔接地，以防止家用电器二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）10．（3分）（2007•常州）如图甲所示，在安装直流电动机模型的实验中，要改变线圈的转动方向，除了改变磁场方向外，可以采用的方法是_________；完成以上实验后，取下电源换接上小灯泡，在模型的转轴上绕上细线，如右图乙所示，然后快速拉动细线，使线圈转动起来，结果小灯泡发光，此时模型就相当于_________．12．（3分）（2005•温州）为了比较标有“2.5V”和“3.8V”小灯泡的额定功率大小．小明利用实验室器材进行了如下实验：（1）先连接电路（如图所示），测定“2.5V”小灯泡的电功率，并记录结果如表一．然后小明从电路中取下“2.5V”小灯泡，换上“3.8V”小灯泡，并改用电压表“0～15V”量程进行实验．闭合开关后，调节滑动变阻器，他发现电压表示数始终无法达到3.8V．其原因是：_________．（2）补充实验条件后，小明继续实验并记录结果如表二．比较表一和表二数据，可知正常发光时，哪只灯泡的电功率大？_________．（3）小明已学过导体的电阻跟导体的_________、材料和横截面积有关．但通过计算，小明发现同一灯泡在不同电压下的阻值不相同．为什么会这样？小明通过查阅资料知道电阻的大小还与温度有关．请你根据实验结果，推测电阻大小与温度之间的关系是：_________．13．（3分）（2005•温州）如图甲所示是某科技小组设计并制作的一只喷气船．将船浮在室内游泳池的水面上，打开漏斗的活塞，流下的液体与碳酸钠反应产生大量二氧化碳气体，塑料罐内气压迅速增大，气体从罐底小孔喷出，使船前进．请回答下列问题；（1）漏斗中的液体可以是（写出一种）_________．（2）静止在水面的喷气船，在气流喷出后能前进，这一现象说明力能_________．（3）喷气船在前进中受到水的浮力如何变化？_________．（4）科技小组又设计了一个船速测定仪（如国乙所示），固定在金属盒上．AB是弧形电阻P点是弧形电阻与金属杆OC的接触点．闭合开关，当船速越大时，OC杆越靠近A点．请问船速加大时，电流表的示数如何变化？_________．三、解答题（共2小题，满分15分）14．（5分）（2005•温州）今天，小明是学校的升旗手，他将一面国旗在国歌声中匀速升到旗杆顶端．请问：（1）旗杆顶端装有定滑轮，利用它来升国旗，目的是改变_________；（2）国旗匀速上升过程中_________能会逐渐增大；（3）小明体重600牛，每只鞋与水平地面的接铀面积约为200厘米2．小明在国旗下敬礼时，对地的压强是多少？15．（10分）（2005•温州）小明家厨房中的加热设备有煤气灶和电饭锅．（1）使用煤气灶时，打开贮气罐的阀门，此时罐内的液化石油气由于_________导致沸点下降而汽化．（2）小明用电阻为55欧的电饭锅来煮饭，接通电源后，通过电饭锅的电流为4安．煮熟一锅饭用了20分钟，在此过程中，电流通过电饭锅产生了多少热能？（3）小明在老师的指导下，制作了一个简易电磁炉．①简易电磁炉的底部是用漆包线绕制成的线圈，其中插人一些铁芯（如图甲）．插入铁芯的目的是_________．③小明用简易电磁炉将2千克20℃的冷水加热至60℃（如图乙）．如果简易电磁炉将电能转化为热能的效率为80%，那么电流通过简易电磁炉所做的功是多少焦？[水的比热为4.2×103焦/（千克•℃）]．纠错题：1. （2005•绍兴）小明乘汽车去60千米外的杭州．一路上，车上速度计指针从未超过图（a）所示的位置．问：（1）到达杭州至少需多少时间？（2）如果汽车按速度计上的示数匀速直线行驶时，汽车功率是72千瓦，则汽车受到阻力多大？（3）为监控车辆是否超过规定的最高车速，交通部常用测速仪来检测．测速原理如图（b）所示，测速仪前后两次发出并接收超声波信号，再根据两次信号的时间差，测出被测车辆的速度．如果某次检测车速时，第一次从发出至接收到超声波信号用了0.4秒，第二次从发出至接收到超声波信号用了0.3秒，两次信号发出时间间隔是1秒，则被测汽车速度是_________米/秒．（假设超声波的速度为340米/秒，且保持不变）2. （2012•山西）为了探究影响电热的因素，小伟设计了如图甲的电路，烧瓶中盛有质量、初温均相等的煤油，R甲＞R乙．（1）为了在较短的时间内达到明显的实验效果，选用煤油而不选用水，主要是由于．（2）通电一段时间后，比较两烧瓶中温度计的示数，是为了探究电热与的关系．（3）要利用此装置来探究电热与电流的关系，你还需要的操作是．（4）将此装置改装后可测量煤油的比热容，如图乙所示，测量时，分别向两个相同的烧瓶中加入初温均为t0、质量相等的水和煤油，通电一段时间后，分别读出温度计的示数为t水、t煤油，请写出煤油比热容的表达式C煤油=已知水的比热容为C水）2005年浙江省温州市中考物理试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3分）（2005•温州）据报道：某国际科研小组以一种超低温原子云为“介质”，成功地使光在其中的传播速度降求出各种物体运动的速度，进行比较，得出结论．v===≈2．（3分）（2005•温州）如图，两只相同的温度计，其中包有湿棉球的示数较低，原因是（）3．（3分）（2005•温州）诗人曾写下这样的诗句：“人在桥上走，桥流水不流”．其中“桥流水不流”，诗人选择的参4．（3分）（2005•温州）朱启南在雅典奥运会上打破男子10米气步枪世界记录并获得冠军．比赛中，他射出的子弹5．（3分）（2005•温州）如图所示是一种天文望远镜的光路图，分析图光路图可知它的物镜是（）7．（3分）（2005•温州）下图是小亮设计的一个并联电路的电路图，当开关S闭合时（）8．（3分）（2005•温州）在如图所示的两种方式下推动同一大箱子，这种现象说明（）9．（3分）（2005•温州）洗衣机、电冰箱等家用电器都使用三孔插座．三孔插座的中间插孔接地，以防止家用电器二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）10．（3分）（2007•常州）如图甲所示，在安装直流电动机模型的实验中，要改变线圈的转动方向，除了改变磁场方向外，可以采用的方法是改变电流方向；完成以上实验后，取下电源换接上小灯泡，在模型的转轴上绕上细线，如右图乙所示，然后快速拉动细线，使线圈转动起来，结果小灯泡发光，此时模型就相当于发电机．12．（3分）（2005•温州）为了比较标有“2.5V”和“3.8V”小灯泡的额定功率大小．小明利用实验室器材进行了如下实验：（1）先连接电路（如图所示），测定“2.5V”小灯泡的电功率，并记录结果如表一．然后小明从电路中取下“2.5V”小灯泡，换上“3.8V”小灯泡，并改用电压表“0～15V”量程进行实验．闭合开关后，调节滑动变阻器，他发现电压表示数始终无法达到3.8V．其原因是：电源电压为3V，小于3.8V．功率大？额定电压是3.8V的灯泡功率大．（3）小明已学过导体的电阻跟导体的长度、材料和横截面积有关．但通过计算，小明发现同一灯泡在不同电压下的阻值不相同．为什么会这样？小明通过查阅资料知道电阻的大小还与温度有关．请你根据实验结果，推测电阻大小与温度之间的关系是：随温度的升高，导体电阻变大．R=知，随电压的增大，灯丝电阻越大，即：随13．（3分）（2005•温州）如图甲所示是某科技小组设计并制作的一只喷气船．将船浮在室内游泳池的水面上，打开漏斗的活塞，流下的液体与碳酸钠反应产生大量二氧化碳气体，塑料罐内气压迅速增大，气体从罐底小孔喷出，使船前进．请回答下列问题；（1）漏斗中的液体可以是（写出一种）稀硫酸．（2）静止在水面的喷气船，在气流喷出后能前进，这一现象说明力能改变物体的运动状态．（3）喷气船在前进中受到水的浮力如何变化？变小．（4）科技小组又设计了一个船速测定仪（如国乙所示），固定在金属盒上．AB是弧形电阻P点是弧形电阻与金属杆OC的接触点．闭合开关，当船速越大时，OC杆越靠近A点．请问船速加大时，电流表的示数如何变化？变大．三、解答题（共2小题，满分15分）14．（5分）（2005•温州）今天，小明是学校的升旗手，他将一面国旗在国歌声中匀速升到旗杆顶端．请问：（1）旗杆顶端装有定滑轮，利用它来升国旗，目的是改变改变力的方向；（2）国旗匀速上升过程中重力势能能会逐渐增大；（3）小明体重600牛，每只鞋与水平地面的接铀面积约为200厘米2．小明在国旗下敬礼时，对地的压强是多少？==1.515．（10分）（2005•温州）小明家厨房中的加热设备有煤气灶和电饭锅．（1）使用煤气灶时，打开贮气罐的阀门，此时罐内的液化石油气由于气压降低导致沸点下降而汽化．（2）小明用电阻为55欧的电饭锅来煮饭，接通电源后，通过电饭锅的电流为4安．煮熟一锅饭用了20分钟，在此过程中，电流通过电饭锅产生了多少热能？（3）小明在老师的指导下，制作了一个简易电磁炉．①简易电磁炉的底部是用漆包线绕制成的线圈，其中插人一些铁芯（如图甲）．插入铁芯的目的是通电时，铁芯同时被磁化，磁性更强．③小明用简易电磁炉将2千克20℃的冷水加热至60℃（如图乙）．如果简易电磁炉将电能转化为热能的效率为80%，那么电流通过简易电磁炉所做的功是多少焦？[水的比热为4.2×103焦/（千克•℃）]．纠错题：1. （2005•绍兴）小明乘汽车去60千米外的杭州．一路上，车上速度计指针从未超过图（a）所示的位置．问：（1）到达杭州至少需多少时间？（2）如果汽车按速度计上的示数匀速直线行驶时，汽车功率是72千瓦，则汽车受到阻力多大？（3）为监控车辆是否超过规定的最高车速，交通部常用测速仪来检测．测速原理如图（b）所示，测速仪前后两次发出并接收超声波信号，再根据两次信号的时间差，测出被测车辆的速度．如果某次检测车速时，第一次从发出至接收到超声波信号用了0.4秒，第二次从发出至接收到超声波信号用了0.3秒，两次信号发出时间间隔是1秒，则被测汽车速度是17.89米/秒．（假设超声波的速度为340米/秒，且保持不变），==0.75hP==m/s=+﹣+=≈2. （2012•山西）为了探究影响电热的因素，小伟设计了如图甲的电路，烧瓶中盛有质量、初温均相等的煤油，R甲＞R乙．（1）为了在较短的时间内达到明显的实验效果，选用煤油而不选用水，主要是由于煤油的比热容小．（2）通电一段时间后，比较两烧瓶中温度计的示数，是为了探究电热与电阻的关系．（3）要利用此装置来探究电热与电流的关系，你还需要的操作是移动滑动变阻器滑片，比较通电时间相同时，甲（乙）烧瓶中温度计的示数变化．（4）将此装置改装后可测量煤油的比热容，如图乙所示，测量时，分别向两个相同的烧瓶中加入初温均为t0、质量相等的水和煤油，通电一段时间后，分别读出温度计的示数为t水、t煤油，请写出煤油比热容的表达式C煤油=C水（已知水的比热容为C水）cc。
2015年浙江省温州市中考数学试卷解析(DOC)
2015年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1. （4分）（2015?温州）给出四个数0, 「〔，- 1 , 其中最小的是（）*A . 0B . . ■:C . 1D. - 122. （4分）（2015?温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）3. （4分）（2015?温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（）某校字生参加体育兴趣，」细情况统计图4. （4分）（2015?温州）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A.等边三角形 B .正方形C.正六边形 D .圆A . 25 人B . 35 人C . 40 人D . 100 人5. （4 分）（2015?温州）如图，在厶ABC 中，/ C=90 ° AB=5 , BC=3,贝U cosA 的值是（）A .::B . 4C . ■:D . 4 | 435526. （ 4分）（2015?温州）若关于x 的一元二次方程 4x - 4x+c=0有两个相等实数根，则 c 的 值是（ ） A.-1B . 1C . - 4D . 4fs+l>27. （4分） （2015?温州）不等式组 /的解是（）（X- 1<2Ax V 1 B . X 為C . 1 纟 V 3D . 1 V x&（ 4分）（2015?温州）如图，点 A 的坐标是（2，0），△ ABO 是等边三角形，点 B 在第9. （ 4分）（2015?温州）如图，在 Rt / AOB 的平分线 ON 上依次取点 C , F , M ，过点C 作 DE 丄OC ,分别交OA , OB 于点D , E ,以FM 为对角线作菱形 FGMH .已知/ DFE= / GFH=120 ° FG=FE ，设OC=x ，图中阴影部分面积为 y ,则y 与x 之间的函数关10. （4分）（2015?温州）如图，C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC , BC ,分别 以AC , BC 为边向外作正方形 ACDE , BCFG . DE , FC , W] 二F 的中点分别是 M , N , P , Q .若 MP+NQ=14 , AC+BC=18，贝U AB 的长为（）B ，则k 的值是（D .. 一； A . y 写， B. y=V5^2C .y=2 .■/y=3 工-象限•若反比例函数 y=的图象经过点2A.:B.C. 13D. 16T二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）211. （5分）（2015?温州）分解因式：a - 2a+仁______________12. （5分）（2015?温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同•现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是___________________ .13. （5分）（2015?温州）已知扇形的圆心角为120°弧长为2 n则它的半径为_____________14. （5分）（2015?温州）方程一-一一的根为____________X x+115. （5分）（2015?温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为______________________ m2.16. （5分）（2015?温州）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品•该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）•图乙中二丄，EF=4cm,上下两个阴影三角形的面BC 7积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为_____ 三、解答题（本题有8小题，共80分）cm. 甲X X17. （10 分）（2015?温州）（1）计算:2015°+「：| -U（2）化简：（2a+1）（2a- 1）- 4a （a- 1）18. （8分）（2015?温州）如图，点C, E, F, B在同一直线上，点A, D在BC异侧，AB // CD , AE=DF，/ A= / D .（1）求证：AB=CD .19. （8分）（2015?温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核•甲、乙、丙各项得分如下表：笔试面试体能甲837990乙858075丙809073（1 ）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序.（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60% , 30%, 10%的比例计入总分•根据规定，请你说明谁将被录用.20. （8分）（2015?温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G?Pick, 1859〜1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+ b - 1,其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的2格点数，S表示多边形的面积.如图，a=4, b=6 , S=4+： >6 -仁62（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积.（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点.（注:2图甲、图乙在答题纸上）*21. (10分)(2015?温州)如图，AB是半圆0的直径，CD丄AB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已知/ AEF=135 °(1)求证：DF // AB ;(2)若OC=CE , BF=:甘:「，求DE 的长.222. (10分)(2015?温州)某农业观光园计划将一块面积为900m的圆圃分成A , B , C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株•已知2B区域面积是A区域面积的2倍•设A区域面积为x ( m ).(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式.(2)若三种花卉共栽种6600株，则A , B, C三个区域的面积分别是多少？(3)若三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元.请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价.223. (12分)(2015?温州)如图，抛物线y= - x +6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B .过点C (2, 0)作射线CD交MB于点D ( D在x轴上方)，OE // CD 交MB于点E, EF // x轴交CD于点F,作直线MF .(1)求点A , M的坐标.(2 )当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3 )当BD=1 时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上.②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG, △ FPG，四边形DEGP，四边形OCDE第5页(共28页)的面积分别记为S1 , S2, S3,则S1：S2：S3= ___________ .24. （14分）（2015?温州）如图，点A和动点P在直线I上，点P关于点A的对称点为Q , 以AQ 为边作Rt△ ABQ，使/ BAQ=90 ° AQ : AB=3 : 4，作△ ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m丄I，过点O作OD丄m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF= 'CD，以DE, DF为邻边作矩形DEGF •设AQ=3x .2（1）用关于x的代数式表示BQ, DF.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交O O于点N，若BN的弦心距为1,求AP的长（直接写出答案）.2015年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10小题，每小题 4分，共40分） 1.（ 4分）（2015?温州）给出四个数 0, —1 , 其中最小的是（ ）A . 0B..；C . 1D . - 12考点：实数大小比较.分析：正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的 反而小，据此判断即可.解答：解：根据实数比较大小的方法，可得-1v故选：D .点评：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实 数〉0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小.2. （4分）（2015?温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱 （如图所示），它的主视图是（ ）考点：简单组合体的三视图.分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 解答：解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线.故选A .点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.3. （4分）（2015?温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最 少的小•••四个数0,-1,其中最小的是-1./^砺向组有25人，则参加人数最多的小组有（）某校学生参加体育兴趣打舸情况统计图A . 25 人B . 35 人C. 40 人 D . 100 人考点：扇形统计图.分析：根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比，可得答案.解答：解：参加兴趣小组的总人数25吃5%=100 （人），参加乒乓球小组的人数100X（1 - 25%- 35%）=40 （人），故选：C.点评：本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.4. （4分）（2015?温州）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A .等边三角形B .正方形C.正六边形 D .圆考点：中心对称图形.分析：:根据中心对称图形的概念求解.解答：：11解: A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误.故选A.点评：>本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.5. （4 分）（2015?温州）如图，在厶ABC 中，/ C=90 ° AB=5 , BC=3,贝U cosA 的值是（）A .:: B. C .：； D .35考点：锐角三角函数的定义.分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可.解答：解：••• AB=5 , BC=3 ,--AC=4 ,••• cosA=^=上.AB 5故选D.点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边, 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边26. （4分）（2015?温州）若关于x的一元二次方程4x - 4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A . - 1 B. 1 C. -4 D. 4考点：根的判别式.分析：根据判别式的意义得到△ =42- 4Mc=0,然后解一次方程即可. 解答：解：•一元二次方程4x2- 4x+c=0有两个相等实数根，2=4 —4^4c=0,• c=1 , 故选B.O O点评：本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0 （a旳）的根的判别式△=b - 4ac：当厶>0,方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△< 0，方程没有实数根.fy+l>27. （4分）（2015?温州）不等式组的解是（）匕- 1<2A . x v 1B . x 為C . 1 纟v 3D . 1 v x <3考点：解一匸一次不等式组.分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.解答：解:*sfl>2®i- 1<2@•••解不等式①得：x> 1,解不等式②得：x<3,•不等式组的解集为1v x<3, 故选D .点评：本题考查了解一兀一次不等式组的应用，等式组的解集，难度适中.解此题的关键是能根据不等式的解集求出不& （ 4分）（2015?温州）如图，点A的坐标是（2, 0） , △ ABO是等边三角形，点B在第象限.若反比例函数y=‘的图象经过点B，则k的值是（）考点：丿反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质. 分析：「、首先过点A 作BC 丄OA 于点C ,根据AO=2 , △ ABO 是等边三角形， 得出B 点坐标， 进而求出反比例函数解析式. 解答：解：过点A 作BC 丄OA 于点C ,•••点A 的坐标是（2, 0）, ••• A0=2 ,•••△ ABO 是等边三角形， • 0C=1 , BC=；,•••点B 的坐标是（1,亦）， 把（1，近）代入y 」，x 得 k=d^. 故选C .点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出 B 点坐标是解题关键.9. （ 4分）（2015?温州）如图，在 Rt / AOB 的平分线 ON 上依次取点 C , F , M ，过点C 作 DE 丄OC ,分别交OA , OB 于点D , E ,以FM 为对角线作菱形 FGMH .已知/ DFE= / GFH=120 ° FG=FE ，设OC=x ，图中阴影部分面积为 y ,则y 与x 之间的函数关A .V3 21 B. y=B 工C .y=2.■/D .y=3 工菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形.由在Rt / AOB 的平分线 ON 上依次取点 C , F , M ，过点C 作DE 丄OC ,可得△ OCD 与厶OCE 是等腰直角三角形，即可得OC 垂直平分DE ，求得DE=2x ，再由2/ DFE= / GFH=120 °可求得C与DF, EF的长，继而求得△ DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△ FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案.解答：解：ON 是Rt / AOB 的平分线,•••/ DOC= / EOC=45 ° •/ DE 丄 OC , •••/ ODC= / OEC=45 ° •• CD=CE=OC=x ,• DF=EF , DE=CD+CE=2x , •••/ DFE= / GFH=120 ° •••/ CEF=30 °• CF=CE?ta n30° 辺 x ,3• EF=2CF=^lx ,3•- S^DEF =^DE?CF=^X 2,•••四边形FGMH 是菱形， • FG=MG=FE= ^l x ,3•••/ G=180°-Z GFH=60 ° • △ FMG 是等边三角形,S A FGH 亠 x 2.点评：此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角 函数等知识.注意证得△ OCD 与厶OCE 是等腰直角三角形， △ FGM 是等边三角形是 关键.10. （4分）（2015?温州）如图，C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC , BC ,分别 以AC , BC 为边向外作正方形 ACDE , BCFG . DE , FC ,的中点分别是 M , N , P , Q .若 MP+NQ=14 , AC+BC=18，贝U AB 的长为（）DA BA ..-：B .・」C. 13D. 167考点：梯形中位线定理. 分析.析:连接OP ,0Q ,根据DE , FC ,；二：壮的中点分别是 M , N ,P , Q 得到0P 丄AC ,S 菱形FGMH —^x 2,3S 阴影=S A DEF +S 菱形 FGMH = V3OQ丄BC,从而得到H、丨是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=丄（AC+BC ）2=9 和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI 求解.解答：解：连接OP, OQ,•••DE, FC,应，衣的中点分别是M, N, P, Q,••• OP丄AC , OQ 丄BC,••• H、I是AC、BD的中点，•OH+OI=丄（AC+BC ）=9,2•/ MH+NI=AC+BC=18 , MP+NQ=14 ,•PH+QI=18 - 14=4,•AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13 故选C.点评：本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大.二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）2 211. （5 分）（2015?温州）分解因式：a -2a+ 仁（a -〔）_____考点：因式分解-运用公式法.专题：计算题.分析：:观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2- 2ab+b2=（a-b）2,即可把原式化为积的形式.解答：: 2 2 2 2 解：a2- 2a+ 仁a2-2xi>a+12= （a- 1）2.2 故答案为：（a- 1）.点评：本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.12. （5分）（2015?温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同.现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是—■_ .考点：列表法与树状图法.分析：首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两 个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案.解答：解：画树状图得：/\ /\ /\ 蓝 蓝红蓝红 蓝•••共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有 4种情况,•••随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是： 里=2.6 3故答案为：2.[3点评：此题考查了列表法或树状图法求概率•用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.13. （ 5分）（2015?温州）已知扇形的圆心角为 120 °弧长为2n,则它的半径为 3:弧长的计算.:根据弧长公式代入求解即可. :解：T L 二丄 |：,180• R=W'「=3 • 12。
中考数学四边形压轴题+解析
九年级上册四边形压轴题2一．解答题〔共30小题〕1．〔2009•临沂〕数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；〔2〕小华提出：如图3，点E是BC的延长线上〔除C点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．2．〔2009•宁德〕如图〔1〕，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E 是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．〔1〕连接GD，求证：△ADG≌△ABE；〔2〕连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；〔3〕如图〔2〕，将图〔1〕中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b〔a、b为常数〕，E是线段BC上一动点〔不含端点B、C〕，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？假设∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；假设∠FCN的大小发生改变，请举例说明．3．〔2009•黄石〕如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．〔1〕探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；〔2〕当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？假设是，请证明；假设不是，则说明理由；〔3〕当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？4．〔2009•无锡校级二模〕如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M〔4，0〕，N〔9，0〕为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．〔1〕求运动前点P的坐标；〔2〕求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；〔3〕假设在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．5．〔2008•北京〕请阅读以下材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连接PG，PC．假设∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题：〔1〕写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；〔2〕将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变〔如图2〕．你在〔1〕中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；〔3〕假设图1中∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值〔用含α的式子表示〕．6．〔2008•厦门〕已知：如下图的一张矩形纸片ABCD〔AD＞AB〕，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．〔1〕求证：四边形AFCE是菱形；〔2〕假设AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；〔3〕在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？假设存在，请说明点P的位置，并予以证明；假设不存在，请说明理由．7．〔2008•嘉兴〕小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：〔1〕如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；〔2〕如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；〔3〕如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．8．〔2008•宁夏〕如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．〔1〕试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；〔2〕当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；〔3〕假设点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．9．〔2008•昌平区二模〕如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点〔不在直线BC 上〕，B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．〔1〕猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；〔2〕当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述〔不用证明〕；〔3〕当点A在线段BC的垂直平分线〔BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．〔不用证明〕10．〔2007•常德〕如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．〔考生不必证明〕〔1〕探究：如图2，上述条件中，假设G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由；〔2〕计算：假设菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG 交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．〔3〕发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？11．〔2007•宜昌〕如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．〔1〕判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；〔2〕如图2，P是线段BC上一动点〔图2〕，〔不与点B、C重合〕，连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．12．〔2007•潍坊〕已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P〔A点除外〕，过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．〔1〕求证：四边形AEPM为菱形；〔2〕当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？13．〔2007•永州〕在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．〔1〕求DC的长；〔2〕E为梯形内一点，F为梯形外一点，假设BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．〔3〕在〔2〕的条件下，假设BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．14．〔2007•常州〕已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．〔1〕当DG=2时，求△FCG的面积；〔2〕设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；〔3〕判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．15．〔2007•海南〕如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．〔1〕求证：△ADE≌△CDE；〔2〕过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；〔3〕设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？假设存在，请求出x的值；假设不存在，请说明理由．16．〔2007•哈尔滨〕如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．〔1〕求证：EF+AC=AB；〔2〕点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动〔不与点B重合〕，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；〔3〕在〔2〕的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．17．〔2006•河南〕如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．〔1〕当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；〔2〕当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？18．〔2006•温州〕如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x〔1〕四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；〔2〕当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？19．〔2006•沈阳〕如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE〔不须证明〕．〔1〕如图②，假设点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；〔请直接答复“成立”或“不成立”〕〔2〕如图③，假设点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由．〔3〕如图④，在〔2〕的基础上，连接AE和EF，假设点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．20．〔2006•成都〕已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点〔点E 不与端点C，D重合〕，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB 的延长线于点P．〔1〕设DE=m〔0＜m＜12〕，试用含m的代数式表示的值；〔2〕在〔1〕的条件下，当时，求BP的长．21．〔2006•汾阳市〕如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．〔1〕如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；〔2〕如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；〔3〕当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1〔n是正整数〕时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比〔只写结果，不要求写出计算过程〕；〔4〕请你利用上述图形，提出一个类似的问题22．〔2005•资阳〕阅读以下短文，然后解决以下问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．〔1〕仿照以上表达，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；〔2〕如图②，假设△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；〔3〕假设△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．23．〔2005•重庆〕已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF，解答以下问题：〔1〕当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；〔2〕当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，〔1〕中的结论是否成立？并说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得？假设存在，请求出满足条件的所有k的值；假设不存在，请说明理由．24．〔2005•大连〕如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞BC〕，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：〔1〕如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程后，可以从以下①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°〔如图〕，其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后〔如图〕，其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．25．〔2005•湖州〕如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=．〔结果不取近似值〕26．〔2005•郴州〕附加题：E是四边形ABCD中AB上一点〔E不与A、B重合〕．〔1〕如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．〔2〕假设四边形ABCD是矩形时，〔1〕中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？〔3〕当四边形ABCD是梯形时，〔1〕中的结论还成立吗？请说明理由．27．〔2005•深圳校级自主招生〕如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．〔1〕当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；〔2〕当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；〔3〕当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．28．〔2004•贵阳〕如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．〔1〕证明：四边形A1B1C1D1是矩形；〔2〕写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；〔3〕写出四边形A n B n C n D n的面积；〔4〕求四边形A5B5C5D5的周长．29．〔2004•无为县〕〔1〕如图〔1〕，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知AC⊥BD，=；〔2〕如图〔2〕，假设点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DG⊥AE，分别交AC、BC于点F、G．求证：；〔3〕如图〔3〕，假设点P是正方形ABCD的边CD上的点，且〔n为正整数〕，过点D作DN⊥AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论．30．〔2004•佛山〕如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．〔1〕如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h a，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：；〔2〕在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算答复哪个内接正方形的面积最大；〔3〕在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．九年级上册四边形压轴题2参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．〔2009•临沂〕数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；〔2〕小华提出：如图3，点E是BC的延长线上〔除C点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：〔1〕在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．〔2〕在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．解答：解：〔1〕正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF〔ASA〕，∴AE=EF．〔2〕正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF〔ASA〕，∴AE=EF．点评：此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．2．〔2009•宁德〕如图〔1〕，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E 是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．〔1〕连接GD，求证：△ADG≌△ABE；〔2〕连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；〔3〕如图〔2〕，将图〔1〕中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b〔a、b为常数〕，E是线段BC上一动点〔不含端点B、C〕，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？假设∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；假设∠FCN的大小发生改变，请举例说明．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：压轴题；动点型．分析：〔1〕根据三角形判定方法进行证明即可．〔2〕作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．〔3〕此题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．解答：〔1〕证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．〔2〕解：∠FCN=45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE，又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH，∵∠FHC=90°，∴∠FCN=45°．〔3〕解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合〔1〕〔2〕得∠FEH=∠BAE=∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH=AD=BC=b，∴==；在Rt△FEH中，tan∠FCN===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．点评：此题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．3．〔2009•黄石〕如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．〔1〕探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；〔2〕当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？假设是，请证明；假设不是，则说明理由；〔3〕当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：〔1〕利用平行线的性质由角相等得出边相等；〔2〕假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；〔3〕利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形．解答：解：〔1〕OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．〔3分〕〔2〕四边形BCFE不可能是菱形，假设四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由〔1〕可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．〔3分〕〔3〕当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形〔∠ACB=90°〕时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由〔1〕知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．〔3分〕点评：此题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．4．〔2009•无锡校级二模〕如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC．以M〔4，0〕，N〔9，0〕为斜边端点作直角△PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移．设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S．〔1〕求运动前点P的坐标；〔2〕求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；〔3〕假设在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围．考点：矩形的性质；圆周角定理；切线的性质．专题：压轴题；动点型．分析：〔1〕过点P作PH⊥x轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan∠PMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标．〔2〕因为点A；点C同时从点O出发，点M〔4，0〕，△PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，①当0＜OA≤OM，即0＜2t≤时，两图形无交点；②当OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t时，即＜t≤时，矩形OABC与△PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积．③当OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即＜t≤6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积减去不重叠的三角形的面积．④当OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6时，矩形OABC与△PMN重叠矩部分的面积为S等于△MNP的面积．〔3〕根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围．解答：解：〔1〕如图，过点P作PH⊥x轴于H．∵MN=9﹣4=5，tan∠PMN=，∴PM=，PN=，∴PH=2，MH=4，NH=1．∴P〔8，2〕．〔2〕运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4﹣0.5t．当0＜t≤时，S=0；当＜t≤时，S=t2﹣3t+4；当＜t≤6时，S=﹣t2+27t﹣76；当t＞6时，S=5．〔3〕当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q．当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，∴t的取值范围是：0＜t≤．点评：此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识的掌握情况，有一定的难度．5．〔2008•北京〕请阅读以下材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连接PG，PC．假设∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题：〔1〕写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；〔2〕将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变〔如图2〕．你在〔1〕中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；〔3〕假设图1中∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值〔用含α的式子表示〕．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：〔1〕根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；〔2〕思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，此题中除了如〔1〕中证明△GFP≌△HDP〔得到P是HG中点〕外还需证明△HDC≌△GBC〔得出三角形CHG是等腰三角形〕．〔3〕∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，那么∠PCG=90°﹣α，由〔1〕可知：PG：PC=tan 〔90°﹣α〕．解答：解：〔1〕∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴∠PCG=60°，∴PG：PC=tan60°=，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，=；〔2〕猜想：〔1〕中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP〔ASA〕，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF=60°，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH=CG，∠HCD=∠GCB∴PG⊥PC〔到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上〕∵∠ABC=60°∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°∵∠HCG=∠HCB+∠GCB∴∠HCG=120°∴∠GCP=60°∴=tan∠GCP=tan60°=；〔3〕∵∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，∴∠PCG=90°﹣α，由〔1〕可知：PG：PC=tan〔90°﹣α〕，∴=tan〔90°﹣α〕．点评：此题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．6．〔2008•厦门〕已知：如下图的一张矩形纸片ABCD〔AD＞AB〕，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．〔1〕求证：四边形AFCE是菱形；〔2〕假设AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；〔3〕在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？假设存在，请说明点P的位置，并予以证明；假设不存在，请说明理由．考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型；存在型．分析：〔1〕因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；〔2〕因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF 的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；〔3〕因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．解答：〔1〕证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°〔1分〕∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF〔ASA〕．∴OE=OF〔2分〕∴四边形AFCE是菱形．〔3分〕〔2〕解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．设AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴〔x+y〕2﹣2xy=100①又∵S△ABF=24，∴xy=24，则xy=48．②〔5分〕由①、②得：〔x+y〕2=196〔6分〕∴x+y=14，x+y=﹣14〔不合题意舍去〕∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．〔7分〕〔3〕解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．〔9分〕证明：由作法，∠AEP=90°，由〔1〕得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴=，则AE2=AO•AP〔10分〕∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC•AP〔11分〕∴2AE2=AC•AP〔12分〕即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．点评：此题主要考查〔1〕菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，〔2〕相似三角形的判定和性质．7．〔2008•嘉兴〕小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：〔1〕如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；〔2〕如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；〔3〕如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：〔1〕证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角，且AB=AD，又因为∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；〔2〕可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH 交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，〔1〕中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了；〔3〕做法同〔2〕也是通过构建三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH 交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似．解题思路和步骤是一样的．解答：〔1〕证明：∵DF⊥AE∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；〔2〕解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH由〔1〕知，AM=DN∴EF=GH，即〔3〕解：作AM∥EF交BC于M作DN∥GH交AB于N则AM=EF，DN=GH∵EF⊥GH∴AM⊥DN∴∠AMB=90°﹣∠BAM=∠AND又∵∠ABM=∠DAN=90°∴△ABM∽△DAN∴∴．点评：此题中〔1〕〔2〕和〔3〕虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系．。
浙江温州数学压轴
浙江省2015年初中毕业生学业考试（温州卷）（考试时间：120分钟；满分：150分）10．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB x P 轴，AD y P 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数()0ky k x=≠中k 的值的变化情况是 （ ）第10题图 第16题图A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大16．如图，在矩形ABCD 中，8AD =，E 是边AB 上一点，且14AE AB =．O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （GEB ∠为锐角），与边AB 所在直线交于另一点F，且:2EG EF =．当边AD 或BC 所在的直线与O 相切时，AB 的长是 ．21．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME y ⊥轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ，已知点A 的坐标为()10-，． （1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标． （2）求EMF △与BNF △的面积之比．22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以“用面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：第22题图1 第22题图2将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB ∠=︒，求证：222a b c += 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab =+=+ △△四边形．又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a =+=+- △△四边形()2211112222b abc a b a ∴+=+- 222a b c ∴+=请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB ∠=︒．求证：222a b c +=证明：连结 ．AC B E DS = 五边形 ，又ACBED S = 五边形 ，∴ ．222a b c ∴+=24．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()-3,0，()06，．动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动，以CP ，CO 为邻边构造PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE AO =，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标． （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形．（3）在线段PE 上取点F ，使1PF =，过点F 作MN PE ⊥，截取2FM =，1FN =，且点M ，N 分别在一，四象限，在运动过程中PCOD 的面积为S ．①当点M ，N 中有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值；②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．第24题图。
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9、（2013年16题）
10、（2014年16题）如图，在矩形中，，是边上一点，且
．经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边
所在直线交于另一点，且．当边或所在的直线与相切时，．
的长是
，Array又，
，
又，
设，则，根据勾股定理得：
第16题图1
，解得：，，
设的半径为，由
得：，
．，
，
又，
．
（2）如图2，边所在直线与相切时，过点作，垂足为，
，
又，
，
又，
设，则，根据勾股定理得：
，解得：，，
设的半径为，由
得：，
．
又
故答案为4或12．
11、（2015年16题）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为cm
【分析】如答图，连接MN、PQ，设MN=，PQ=，
∵，∴可设AB=，BC=.
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54，
∴，即①.
∵四边形DEMN、AFMN是平行四边形，∴DE=AF=MN=
.∵EF=4，∴，即②.
将②代入①得，，化简，得
.
解得（舍去）.∴AB=12，BC=14，MN=5，.
易证△MCD∽△MPQ，∴，解得.∴PM=
∴菱形MPNQ的周长为
9、（2013年24题）
10、（2014年24题）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分
别在一，四象限，在运动过程中平行四边形PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S
的取值范围．
分析：（1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，
（2）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．
（3）当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解，
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解，
②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围，
解答：解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，
∴BC=OB=3，
∴2t=3即t=，
∴OE=+3=，E（，0）
（2）如图，连接CD交OP于点G，
在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PO，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形．
（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，
第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴=，即=，
∴t=1，
第二种情况：当点N在DE边
∵NF∥PD，
=，
∴t=，
（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，
第一种情况：当点M在DE边上时，
∵MF∥PD，
，
∴=即=，
∴t=，
第二种情况：当点N在CE边上时，
∵NF∥OC，
∴=即=，
∴t=5．
②＜S≤或＜S≤20．
当1≤t＜时，
S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，
∵t=在1≤t＜范围内，
∴＜S≤，
当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，∴＜S≤20．。