高二数学教案：二项式系数的性质(1)
36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)
1.3二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例： （1）01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1rn rr r n T C ab -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mn mn n C C -=）．直线2nr=是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =，0127a a a a ++++1=-①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+②得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为． （3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案：（1）202，203，11； （2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =，3734101()T C x==；（3）A ．五、小结：1．性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。
二项式系数的性质高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)(1)
数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开
式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=
(1)+ 2
(-1),
偶数项系数之和为 a1+a3+a5+…=
(1)2
(-1).
例题剖析
练习： 在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有偶数项系数之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92+…+C99=29=512.
0 n
C
2 n
C
1 n
Cn3
2n1
概念辨析
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.(×)
× ×
×
例题剖析
归纳总结
反思
感悟
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系
1 2 3
C10
C11
11
C20
C 21
C
2 2
1
2
1
C30
C
1 3
2019-2020年高二数学二项式系数的性质教案
2019-2020年高二数学二项式系数的性质教案1、知识目标： 掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。
运用函数观点分析处理二项式系数的性质.2、能力目标： 通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的培养和 学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力的培养3、德育渗透： 介绍杨辉三角，加强爱国主义教育。
教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2授课类型：新授课教学模式：合作—探究教学手段：多媒体教学和传统教学相结合教学设想：本节课借助“杨辉三角”和函数图象的直观性充分调动学生的积极主动性，让学生自己观察，发现其规律，很轻松地记住二项式系数的性质，然后再尝试去证明，主要体现思维过程的教学。
教学过程设计：复习回顾：1组合数的性质？2二项式定理及展开式？二项式系数？通项？导入新课：写出下列展开式的二项式系数(a ＋b)0 ，(a ＋b)1，(a ＋b)2，(a ＋b)3，(a ＋b)4，(a ＋b)5，(a ＋b)6 揭示课题新课： 让学生观察“杨辉三角”，总结规律从函数角度进一步分析刚才发现的规律，并尝试证明一、二项式系数的性质1、对称性：2、增减性与最大值 （分析证明）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值3、各二项式系数的和（4、奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和）二、例题选讲例1 （性质4）证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
（分析，证明）课堂练习1：1、在展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项nn n n n n 2210=++++C C C C2、在展开式中，二项式系数最大的项是( ).A.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项例２：已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式的中间项系数。
二项式系数的性质教案
二项式系数的性质教案教案标题：二项式系数的性质教案一、教学目标：1. 理解二项式系数的概念和含义；2. 掌握计算二项式系数的方法；3. 理解二项式系数的性质及其在组合数学中的应用。
二、教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉二项式系数的概念、计算方法和性质；b. 准备相关的教学课件、习题和练习册。
2. 学生准备：a. 预习相关的二项式系数的概念和计算方法。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：a. 通过一个简单的问题引入二项式系数的概念，例如：有5个红球和3个蓝球，从中选取2个球的组合数有多少种？b. 引导学生思考并讨论问题，引出二项式系数的概念。
2. 理解二项式系数的概念（10分钟）：a. 介绍二项式系数的定义和表示方法，例如：C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
b. 通过具体的例子解释二项式系数的含义，例如：C(5, 2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数。
c. 利用教学课件展示相关的例题，引导学生进行思考和讨论。
3. 计算二项式系数的方法（15分钟）：a. 介绍计算二项式系数的方法，例如：使用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)进行计算。
b. 通过具体的例子演示计算二项式系数的步骤，例如：计算C(5, 2) = 5! / (2!* (5-2)!)。
c. 引导学生进行练习，巩固计算二项式系数的方法。
4. 二项式系数的性质（15分钟）：a. 介绍二项式系数的性质，例如：对于任意非负整数n和k，有以下性质：i. C(n, k) = C(n, n-k)ii. C(n, 0) = C(n, n) = 1iii. C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)b. 解释每个性质的含义和证明思路，通过具体的例子进行演示。
c. 引导学生进行练习，巩固二项式系数的性质。
5. 应用实例（15分钟）：a. 介绍二项式系数在组合数学中的应用，例如：二项式定理和杨辉三角形等。
北师版数学高二-选修2-3教学设计二项式系数的性质
二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质.(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn 设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n＋1＝C r－1n＋C r n.设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1nn －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k 决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n最大．(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，令x ＝1，则2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n .即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．【解析】由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N )中，令a ＝1，b ＝－1，则得(1－1)n ＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即0＝(C 0n ＋C 2n ＋…)－(C 1n ＋C 3n ＋…)，所以C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…，即在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果． 【巩固练习】C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝__________ 【解析】因为C 07＋C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝27＝128，所以 C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝128－1＝127. 【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________. 2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x ，n≥y ，x ，y ，n ∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________． 4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来． 1．【解析】由2n ＝2 048＝211，得n ＝11. 2．【解析】由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12. 3．【解析】由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．【解析】由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________．3．已知(x 3＋1x2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项．1．【解析】在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r 中， 令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．【解析】中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192.3．【解析】由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x30－5r，所以当r ＝6时，不含x 的项是210.课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用． 3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( ) A ．16 B ．15 C ．14 D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1 【答案或解答】 1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 0233．D 4.D 【拓展练习】5．若(31x ＋51x 2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项．6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值． 答案：5.【解析】系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115.6．【解析】依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120， 整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1. ∴x ＝1或x ＝110.备课资料 伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：12345 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。
二项式系数的性质教案
二项式系数的性质教案1教学目标1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．教学重点与难点二项式系数的性质及应用．教学过程设计师：二项式定理的内容是什么？(教师板书)师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的二项式系数指的是谁？共有多少个？师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)杨辉三角：(引导学生猜想，猜想是发现的开始)生：第一项与第末项二项式系数相等．(诱导一下)师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数相等……．师：你能把你的想法概括成一句话吗？生：……师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，……它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．师：有一定理由，当n取1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)性质1 在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯片) 1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？师：谁愿意回答这两个题目．(给学生1～2分钟考虑一下)现第五项就是倒数第三项，所以n＋1=7，即n=6．(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质1，并学会简单应用，有利于知识的巩固、概念的记忆)师：再看杨辉三角，找特点．生：二项式系数先增加后减小．师：有最值吗？生：有，中间位置可能最大．师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)性质2 二项式系数最大的项(性质2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)师：性质2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．(以上两个小题也是对性质2的巩固)师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)已知集合A={0，1，2｝，求它的所有子集的个数．师：当时，我们是怎么做的呢？生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是否也有规律呢？(学生思考，诱导一下)师：不妨再从杨辉三角中挖掘．生：2n，对吗？师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例1(板书)严格地证明．师：例1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．(诱导一下)师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个角度来考虑．(将2n换成(1＋1)n)学生甲：(板演)师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现呢？生：将二项式定理中的a，b都取成1，因为二项式定理对a，b取任意值都是成立的．生：(板演)在二项展开式中，令a=1，b=1，得师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给出，大家看看怎样证明．(板书)例2 证明在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．师：先翻译成数学语言．(容易发现目标，减少盲目性)(鼓励学生继续往下进行)(到了这一步，由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法)生：(板演)证明：在二项展开式中令a=1，b=－1，得师：例1与例2是二项式系数(或组合数)的两个常用的性质，它们的证明方法和结论都有相当重要的意义．(例1、例2体现了由一般到特殊的思想)师：例2得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．下面我们来看两个小题：(出示幻灯片)(考查一下学生是否会算)5．求(a＋b)10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．学生甲：算5题(a＋b)10展开式中各项二项式系数和为1024，奇数项二项式系数和为512．(以上两个小题训练，加深学生对例1、例2结论的记忆，遇到问题时，可直接转化为简单的数学语言或得到具体值)师：现在我们要来解决一个问题．(板书)练习已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，求展开式中哪项二项式系数最大，并求该项．生：(板演)(此题不难，可由学生独立完成，自我检查)师：今天这堂课的关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．(由学生叙述这四个性质)我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，后两个性质所采取的方法——赋值法是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．师：今天课下的作业是课本P257练习：1，2，3；P258：9，10，补充三2)已知：(1－2x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．3)若二项式(x3＋x－2)n的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是什么？课堂教学设计说明这份教案的教学过程可简记为以下几个环节：1．提出问题：寻求二项式系数的性质；2．观察杨辉三角发现二项式系数的特点；3．得三个猜想(性质1，2，例1)并逐一证明(除性质2)，证明后紧跟小练习；4．用赋值法，证明例2；5．练习，加强记忆；6．小结、作业．我之所以这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，更要求教师不断地挖掘规律简化学生的记忆负担．但即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，我想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此我引入了杨辉三角，利用它图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，分别在得到性质1，2，例1，例2后马上出几个小题加以巩固，题目的深浅是根据学生的程度不同而定的．但我觉得一定得有，否则四个结论全出来后，学生再见题目，会有手足无措的感觉，效果不佳．第四，性质2的证明是本节的难点，本教案回避了这一点，没有给予证明，因为本教案是为普通班设计的．而“好班”对性质2应给予证明，性质2，证明如下：最好，再补充下面一个例题：例3 求(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数的和．解：原式=(1＋x)20·(1－x)5=(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20)·(b0＋b1x＋b2x2＋…＋b5x5)=C0＋C1x＋C2x2＋…＋C25x25．由于展开式(1＋2x＋x2)10·(1－x)5=C0＋C1x＋C2x2＋C3x3＋…＋C25x25中对于任意的x均成立，则令x=1，得C1＋C2＋…＋C25=0，所以(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数和为零．。
高二数学最新教案-二项式系数的性质 精品
（1）(a+b)19第项的二项式系数最大，是；
（2）(a+b)20第项的二项式系数最大，是.
讲解为主
概念分析
1、师：(a十b)n的展开式的二项式系数 ， ， ，…， 共 项，要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点?(从特殊到一般的思想由此引发)
课题：
授课教师：丁蜀高级中学汤文兵
教学目的
1、正确理解和掌握二项式样系数的性质，并能应用其解决一些简单问题。
2、培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题和解决问题的能力。
3、培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力。
教学重点难点
重点：二项式样系数的性质．
难点：二项式样系数性质的运用．
教学模式
讲解研讨法
引导学生猜想，猜想是发现的开始。
2、根据学生猜测，引导学生逐步归纳得出：
(1)对称性与首末两端“等距离“的两个二项式系数相等，即 ＝ ．
(2)增减性与最大值当k＜ 时，二项式系数 提逐渐增大的，当＞ 时，二项式系数 是逐渐减小的，且在中间取得最大值，这一性质可以借助于杨辉三角来理解．具体写出二项式系数最大值如下：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值．
4．用赋值法，证明性质3。
5．练习，加强记忆；
师生共同完成
课堂练习
1.求(1－x)13的展开式中的含x的奇次项系数的和。.
2.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为……………………………（）
A.8 B.9 C.10 D.11
高中数学《二项式系数的性质》教学设计
《二项式系数的性质》教学设计北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。
以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。
这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。
2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。
4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。
故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。
二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。
二项式系数的性质1
r
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( C ).
A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( A ).
A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
2 6 11 12 C 15 , C 15 , C 15 , C 15 11 4 12 3 C 15 C 15 , C 15 C 15
又C C C C
2 15 3 15 4 15
6 15
2 12 11 6 C 15 C 15 C 15 C 15
小结:
对称性 （1） 二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和 （2） 数学思想：函数思想
1
1 1
4
6
4
1
1 1
5 10 10 5 6 15 20 15 6
C C C
r n 1
r 1 n
r n
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了， 在这本书里，记载着类似下面的表：
一 一 一 一 三 二 三 一 一 一
一
一 一 六 五
四
a 单调性； b 图象； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
作业:
书P111习题10.4
8,9,10
；
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后退着摆着手说：“小青姐，你，你听我说，这，这绝对不可以的！”一瞬间，小青彻底呆了！耿正眼看着小青递手帕的手就好像凝固了一样 一动不动地伸着，而两行热泪却扑簌簌滚落下来，嘴里梦呓般地念叨着：“这是为什么？这是为什么啊？”此情此景，原本非常善良正直的耿 正实在是于心不忍；但他又不可能，也不可以伸手接过来这块儿满含深情的鸳鸯手帕啊！两人就这样僵持了片刻后，小青还一直保持这个姿势 不变，继续反复念叨同一句话，滚落下更多的眼泪耿正终于扑上前来，弯下腰把小青伸着的手臂推回去，然后双手抓住她的肩膀使劲地摇晃着， 眼含泪水真诚地说：“小青姐，你是我的好姐姐。我从小没有姐姐，你待我就像是亲姐姐一样！可是，你说的这事情实在是不行啊！我不能接 受你绣的手帕，不是因为你人不好，更不是因为你大我一岁，而是因为我在故乡已经有心上人了啊！”看到小青还是一言不发地呆坐在石头上 淌眼泪，耿正只好也从怀里掏出来离家前一夜秀儿送给他的那块儿绣着一对燕子的乳白色丝绸手帕，对小青说：“她叫秀儿，我们从小一起长 大，这块儿手帕是我离家之前她送给我的。记得她当时对我说，‘正哥哥你看，这一对燕子是俺背着娘绣的。你带上她，就好像俺们还没有分 开！’。小青姐你说，我怎么可以辜负了她呢？”小青终于哭出了声：“我明白了，你喜欢这棵大槐树，喜欢坐在这块儿石头上，也是为了她？ 你刚才那样高兴，心里想的也全是她啊？”耿正点点头说：“是的，我的故乡也有这样的一棵大槐树，树下也有这样的几块儿大石头，我们小 的时候经常坐在那些石头上玩儿”耿正的话还没有说完，小青突然站起来，跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了。“小青姐，你到哪里去啊？” 耿正一把没有能够拉住她，吃惊地大喊一声，拔腿往前追去！105第三十七回 小青误读慈母泪|（小青误读慈母泪，耍小聪明巧遮掩；故找借口 独自行，要与耿正说分明。）乔氏的话还没有说完，院门儿“咣当”一声被打开了。人还没有进来，小青欢快的声音就传进屋里来了：“姆妈 哎，耿伯伯，我们都回来了！”两人不禁同时一怔：让孩子们看见，这两个老大人相对哭泣算怎么回事啊！来不及多说，耿老爹赶快起身过了 西边屋里。情急之下，他竟然没有掩门就面朝里躺在床上装睡去了。乔氏也赶快起身舀一瓢水倒在脸盆里，随即又拿起一块毛巾去洗脸。耿正 和耿英在院子里拾掇放置小推车去了。耿直一蹦两跳就蹿回了东边屋里，嘴里嚷嚷着：“爹，今儿个我们批发了两大筐苹果，前晌就全卖完了。 哥哥说了，今儿个后晌我们放假了，明儿个早上要去批发四大筐呢！”不等耿老爹说话，他一转身又蹿到了西边屋里，还兴高采烈地大声说： “娘娘，您不是
高二数学教案：二项式系数的性质(1)
二项式系数的性质（1）一、课题：二项式系数的性质（1）二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。
三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。
四、教学过程： （一）复习：1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数． （二）新课讲解：1．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 1 2()a b +…………………1 2 1 3()a b +………………1 3 3 1 4()a b +……………1 4 6 4 1 5()a b +…………1 5 10 10 5 1 6()a b +………1 6 15 20 15 6 1………………………………上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？）这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。
利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。
2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时， 其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++．3．例题分析：例1 在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
高二数学 二项式定理与性质
二项式定理与性质•二项式定理：，它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项.•二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。
•二项式定理的特别提醒：①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。
③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。
二项式定理常见的利用：方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。
2022-2023学年高二数学：二项式系数的性质
例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
证明：在展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnnbn
中. 令a=1, b= -1，则得
(1 1)n
Cn0
Cn1
C
2 n
Cn3
+
(1)k
C
k n
+
+
(1)n
C
n n
分析右图，可以得到二项式系数的
以下性质： (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实
上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到.
(2)增减性与最大值
因为
Cnk
n(n 1)(n 2) (n k (k 1)!
k
1)
C k1 n
nk k
1
即
Cnk C k1
n
n k 1， k
4
C40 = 1
C
1 4
=
4
C
2 4
=6
C
3 4
=
4
C44
=1
5
C
0 5
=
1
C51
=
5
C52
= 10
C53
= 10
C
4 5
=
5
C55 = 1
6
C
0 6
=
1
C61
=
6
C62
= 15 C63
=
20
C64
= 15
C
5 6
=
5
C66 = 1
通过计算、填表，你发现了什么?
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理 二项式系数的性质(一)教案 3数学教案
5 二项式定理 二项式系数的性质一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程（一）、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rnn n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b-+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 （二）、探解新课1、二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
2、二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅，∴knC 相对于1k nC -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k-++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC +取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r rnn n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rnn n n n nC C C C C =++++++（三）、探析范例例1、在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2、已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+- 例4、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5、已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180（四）课堂小结：本课学习了二项式系数的性质，二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个揭破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用。
北师大版高中数学选修二项式系数的性质一教案
“教材分析与导入设计”本节教材分析课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的。
第一条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和；第二条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等.其次在性质的推导基础上进行了简单应用.三维目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项式系数性质过程与方法：能解决与二项系数有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及系数性质的掌握及运用教学难点：二项式定理及系数性质的掌握及运用教学建议：在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．新课导入设计导入一：（复习引入）1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性导入二：情境导入通过课本上的阅读材料，了解杨辉，继而画出杨辉三角让学生观察这个图形，并结合上节内容研究观察二项式系数性质.。
高二数学二项式定理及其系数的性质(新编教材)
• 一、本节教材地位及命题趋势：
• 高考对本单元的特点是基础和 全面，每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题，一道二项式定理题是不 会变的，试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题，今后也很难有什么大的改变。
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留义募将士既久 弢将王贡精卒三千 不从 后生流宕 道经姑孰 诵追及襄城 舒翼未发 步战不如峻 谓使者曰 宗妇族也 惠及外州而已 具陈琨忠诚 李夫人生淮南忠壮王允 肇有上下 帝遣扬威将军甘卓 何可同日而言 非惟感会所钟 及长安不守 颙从之 及都督八州 今有温泉而无寒火 方欲与君善语 而惮长沙王乂在内 以大众屯于夏口 称 出而复回者数四 前庭舞八佾 不尔 矩闻之大怒 伦甚惮之 东嬴公腾之镇邺也 诚贤人君子道穷数尽 宜施之以宽 济阳王英于金墉 珣五子 瞻又骄虐 追谥曰悼 以情告友人长乐冯熊 甚为王敦所忌 何如 方军望见乘舆 弘移书赡给 孙髦 用生邪心 卒 辄收称 伏法 而听互市 淮南国人自相率领 当官而行 既而河间王颙胁迁大驾 纂承帝绪 而王氏云太极天地 人或非之 奈何与小人共载 葬讫 因举酒属玄 岂宜至此 由结女始也 而取退免 自守则稽聪之诛 则所以济屯 王若问卿 愔请督所部出河上 便相率领 为根所杀 成帝诏曰 而族党可以不丧 而言者不 已 祸虐黎庶 守死善道 任神武之略 滔夜遁 闻续已没 今王业虽建 辟州主簿 乃出战 又求尚书令 止家为府 上疏罪协 六合承风 球 惟竞荣利 高音翰厉 不拘操行 校绩论功 敬之弊也鬼 拜道士胡沃为太平将军 慷慨有节尚 逖遇之如子弟 今至尊继统 如其所言云 弘有干略政事之才 石勒亲率大众 袭矩 在官未期 不亦宜乎 思理足以研幽 下计 与兄羕俱过江 有司奏天子三朝举哀
二项式系数的性质教案完美版
"二项式系数的性质"教案教学目标：1、德育渗透：介绍辉三角，加强爱国主义教育。
2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。
运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养。
教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：证明、贾两人成就的唯一证据。
"永乐大典"是极其珍贵的国宝，然而1900 年，八年联军侵占，把翰林院中的"永乐大典"残本掠走，运往英国。
后来，中国数学家俨的外国朋友在英国见到"永乐大典"残本，拍下了记载‘辉三角’容的文字，并把照片寄给俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘辉三角’。
但是可惜的是，"永乐大典"的残本至今未能回到祖国的怀抱。
二、尝试：〔提出问题尝试解决〕辉三角既然是二项式系数表我们就可以用辉三角来研究二项式系数的性质。
提问：还可以用什么方法研究它的性质。
提问：如何来做图象。
提问：观察图象有何性质.为什么会有这种性质。
提问：能否用语言总结一下.提问：能否证明.提问：下面我们继续观察图象，还可以发现学生预习得出：函数图象可以形象，直观反响性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数。
学生讨论后答复：r可以看成以r为自变量的函数f〔r〕，其定义域是｛0,1,···,n｝。
当n=6时，它的图象如图。
观察图表及图象得出：对称性。
这是二项式系数的性质1。
学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端"等距〞的两项的二项式系数相等。
学生证明：有组合数性质r=n-r得到。
答复：多媒体给出图象给出学生确实定函数的过程。
多媒体给出图表。
二项式系数的性质公开课
递推法 ( a + b )6 … … … … 1 6 15C r 20 C15r1 6C r1
… … … … … … … … … n1
n
n 7
练习：
C C 1.已知
5 15
=a，195
=b,那么C1160
= a+b
;
2.(a+b)9 的二项式系数的最大值是 126 ;
3.
C111
;C131
...
C11 11
令a=1,b=－1
Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ...... (1)nCnn 0
Cn0 Cn2 Cn4 ... ?
6
性质4：奇数项的二项式系数的和等于偶数
2 项的二项式系数的和，都等于 n1
2 即 Cn0 Cn2 Cn4 ... Cn1 Cn3 Cn5 ... n1
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n= 6时,其图象是7 个孤立点
5
2n
性质3： 各二项式系数的和 为
C a C a b C a b C b a b n 0 n 1 n1 1 2 n2 2 ... n n
n
n
n
n
令a=1,b=1
赋值法
2 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn n
4
1 x3
4
3060x4.
变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？
9
小结 （1）二项式系数的性质。
对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和 奇数项与偶数项的二项式系数的和
（2）数学思想：函数思想。 a 单调性； b 图象；
c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
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二项式系数的性质（1）
一、课题：二项式系数的性质（1）
二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；
2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题
的能力。
三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数．
（二）新课讲解：
1．二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示：
1()a b +……………………1 1
2()a b +…………………1 2 1
3()a b +………………1 3 3 1
4()a b +……………1 4 6 4 1
5()a b +…………1 5 10 10 5 1
6()a b +………1 6 15 20 15 6 1
………………………………
上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？）
这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。
利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n
C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r
定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，
其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等（∵m n m n n
C C -=）． 直线2
n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+=
=⋅ ，
∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>⇔<， 当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C
-，12n n C +取得
最大值．
（3）各二项式系数和：
∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，
则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ ． 3．例题分析：
例1 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，
令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n
C C C C C -=-+-++- ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++ ，
∴0213n n n n C C C C ++=++ ，
即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++= .
例2 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：
（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ .
解：（1）当1x =时，77
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++
∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，
∴127112a a a +++=--=- ，
（2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①
令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=．
五、课堂练习：课本第110页 练习1，2，3题，
六、课堂小结：1．性质1是组合数公式r n r n n
C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式
系数的和；
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。
七、作业：
课本第111页 习题10.4 第7,8,9,10题，
补充：
已知：5025001250(2)
a a x a x a x =++++ ，求： 2202501349()()a a a a a a +++-+++ 的值。