新北师大版九年级上菱形的判定

合集下载

北师大版九年级数学上册知识点总结

1、菱形的性质与判定（1（2）菱形的性质：①菱形的四条边相等。

②菱形的对角线互相垂直。

③菱形具有平行四边形的一切性质。

（3③四条边都相等的四边形是菱形。

2、矩形的性质与判定（1（2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。

②矩形的对角线相等。

③矩形具有平行四边形的一切性质。

（3②对角线相等的平行四边形是矩形。

③有三个角是直角的四边形是矩形。

3、正方形的性质与判定（1的平行四边形叫做正方形。

（2（3）正方形的判定：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③对角线垂直的矩形是正方形。

④有一个叫是直角的菱形是正方形。

第二章一元二次方程1、认识一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

（3）一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2+bx+c的值无限接近于0时，x的值即可看做一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解2、配方法将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。

当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可以求出它的根。

（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

（2）直接开平方法的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x 2=a (a ≥0)②(x+a)2=b (b ≥0)③(ax+b)2=c (c ≥0) ④(ax+b)2=(cx+d)2 (|a|≠|c|）（3）配方法的定义通过完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。

（4）配方法的步骤和方法①移项：把方程的常数项移到等号右边；②若二次项系数不等于1，可把二次项系数化为1：方程的左右两边同时除以二次项系数 ③配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m ）2=n(n ≥0)的形式；④当b 2-4ac ≥0时，直接用开平方法求出它的解。

北师大版九年级数学上册第一章四边形2菱形的判定

弧，得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形，如图.
(1)猜一猜，这是什么四边形?
(菱形)
(2)根据画图，你还有其他方法能判定此四边形的形状吗?
小组合作试着进行证明. (四边相等的四边形是菱形)
证明：因为AB=AD,AB=BC,所以AD=BC . 又因为
AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.
九年级北师上册
第2课时
菱形的判定
1、通过阅读课本理解菱形的判定条件及其证明，并能利用
这两个定理解决一些简单的问题，发展推理能力和运算
能力.
2、经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情
推理能力和初步的演绎推理的能力.
3、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立
初步的符号感，发展抽象思维，培养抽象能力．
2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一颗小钉,做成
一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋.
（平行四边形；对
①做成了一个什么形状的四边形？理由是什么？角线互相平分）
②转动木条,满足什么条件时这个四边形变成菱形? （木条互相垂直）
③根据活动过程试着猜想满足什么条件时可以说明一个
平行四边形是菱形. （对角线互相垂直）
又因为AB=AD,所以平行四边形ABCD为菱形
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
【知识点】菱形的判定
①菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形
+一组邻边相等=菱形).
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言:如图，∵AC⊥BD,四边形 ABCD 是平行四边形,
∴平行四边形 ABCD 是菱形.

北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定(菱形的性质)

花坛的面积
S菱形ABCD
=
1 AC • BD ≈ 346.4m 2 2
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC， CD上的一点，且BE=DF．求证：AE=AF．
A
D
F
B
EC
如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE=CF．求证：AE=AF．
A
D
F
B
E
C
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB 的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交 CD的延长线于点F．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
E
C
A
D
B
活动六：畅所欲言
➢ 对自己说我有哪些收获？ ➢ 对同学有哪些温馨提示？ ➢ 对老师说你还有哪些困惑？
1 个定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形义 2个公式：S菱形=底×高
1.1 菱形的性质与判定
菱形的性质
活动一：
边平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性质：
对角线
平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
矩形的四个角都是直角
矩形的性质
矩形的对角线相等
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
全等三角形有： Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD

新北师大版九年级上菱形的判定

C
A
B
还有其它的方法吗？菱形
平行四边形
探究（一）
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定一：对角线互相垂直的平行四形 D 是菱形
D
O
OA=OC,EF⊥AC. B
F （3）利用四边相等，你会吗？
C
思考
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
3 4 3
3
3
┍
5
4
5
4
4
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
5 5
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5 5
有四条边相等的四边形是菱形。
证明：∵ AE∥BF ∴∠CAD=∠ACB ∵AC平分∠BAD ∴ ∠CAD= ∠BAC ∴ ∠ACB= ∠BAC ∴AB=BC 同理可证 AB=AD
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC
A
O
C
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
B
∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).
菱形
平行四边形
探究（二）
情境：李芳同学先画两条
等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四 A 边形，猜一猜，这是什么四边形？
D C
B
猜想二：四边相等的四边形是菱形
判定二：四边相等的四边形是菱形
D
已知：在四边形ABCD中有 AB=BC=CD=AD 求证：四边形ABCD是一个菱形

北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质教案

北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质教案
一、教学内容
北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质：
1.知识点一：菱形的定义及特点
-菱形的定义：四边相等、对角线互பைடு நூலகம்垂直的四边形。
-菱形的特点：对角线互相垂直、平分；对角线将菱形分成的四个三角形面积相等。
2.知识点二：菱形的判定方法
-判定方法一：四边相等的四边形是菱形。
-举例：给出具体菱形的边长，让学生计算对角线长度，并解释计算过程。
-难点三：将菱形的性质应用于实际问题
-学生需要学会将理论知识转化为解决实际问题的能力，如计算菱形面积、设计菱形图案等。
-举例：设计一道综合性的应用题，要求学生运用菱形的性质进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《菱形的判定与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过菱形形状的物体？”（如菱形珠宝、窗户设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情很高，但我也观察到有的小组在讨论过程中偏离了主题。这可能是因为他们对菱形的理解还不够深入，或者在讨论时缺乏引导。在以后的教学中，我需要更加关注学生的讨论过程，适时给予引导和指导。
学生小组讨论的环节，大家表现得非常积极，很多学生提出了很有见地的观点。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，逻辑性不强。这可能是因为他们在讨论过程中没有很好地整理自己的思路。今后，我需要加强培养学生的逻辑思维和表达能力。
-判定方法二：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
-判定方法三：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

北师大版数学九年级上册1.1.2菱形的判定(教案)

(3)针对与菱形相关的综合问题，设计梯度练习题，由简到难，帮助学生逐步突破难点，如从基本的面积计算过渡到涉及菱形的复合图形的面积和角度求解问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《菱形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过菱形形状的物体？”（如菱形的桌面、风筝等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形判定的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到学生们对菱形的判定方法表现出浓厚的兴趣，但也存在一些理解上的难点。通过这次教学，我发现以下几点值得思考：
1.学生们在掌握菱形的基本概念方面较为顺利，但当我引入对角线垂直平分的性质时，部分学生显得有些困惑。我意识到，对于这个性质的教学，需要更加直观和生动的演示，让学生能够更清晰地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调菱形的三个判定方法和它们在实际中的应用。对于难点部分，如对角线垂直平分的性质，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直角尺和量角器来验证菱形的性质。
3.能够运用菱形的性质和判定方法解决实际问题；
4.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑推理能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，增强数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养；
2.提高学生通过实际操作、观察与思考，探索菱形性质与判定方法的过程，培养数据分析、数学建模的核心素养；

北师大版九年级数学上册菱形的判定

新课导入
动手做一做
思考：剪下来的是什么图形？
新课讲解
菱形的判定定理
问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱
形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行
四边形是菱形?
1.小明的想法平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互
逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱
形,对角线垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理
定理2：四边相等的四边形是菱形.
新课讲解
2.小颖的想法
我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱
形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与
“邻边相等的平行四边形是菱形”一样.
3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何? 猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 猜想2:四边相等的四边形是菱形.
验证活动1
活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，
C
A
2 1
F D
E B
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
归纳总结
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等四边形两组对角分别相等对角线互相平分平行四边形
菱形
随堂练习
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ） A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD
（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。（ × ）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（× ）

北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义

北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、.菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴〔对角线所在的直线〕，对称轴的交点就是对称中心.菱形的面积：〔1〕一种是平行四边形的面积公式：底×高〔2〕另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例1、以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线相互垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C. 对角线相互垂直的平行四边形是菱形；D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例2、菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。

【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，那么菱形周长为16．【点睛】此题主要考察菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握假定菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．例3、菱形的两条对角线长区分是14cm 和20cm ，那么它的面积为__．【答案】140cm 2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S=12×14×20=140(cm 2). 例4、如下图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝10．求：(1)AB 的长．(2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵ 四边形ABCD 是菱形．∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12BD ．又∵ AC ＝8，BD ＝10．∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12×10＝5．在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+(2)由菱形的性质可知： 118104022S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ．例5、菱形的两条对角线长为6和8，那么菱形的边长为________．解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，由菱形性质知：AC 与BD 相互垂直平分，例6、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，假定周长为8，那么此菱形的初等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的初等于12×2＝1. 例7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =5，AC =6，BD =8．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕过点A 作AH ⊥BC 于点H ，求AH 的长．【答案】(1)证明见地析(2) 245【解析】试题剖析：〔1〕由平行四边形的对角线相互平分失掉△AOB 的两条边OA 、OB 的长度，那么依据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线相互垂直平分，故四边形ABCD是菱形．〔2〕依据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：〔1〕证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，∴AO=AC=3，BO=BD=4，∵AB=5，且32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；〔2〕解：如下图：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．例8、在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.〔1〕求证：四边形ABCD为平行四边形；〔2〕假定点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.【解析】试题剖析：〔1〕依据平行线的性质战争行四边形的判定证明即可；〔2〕依据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．试题解析：〔1〕∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△ADC与△ABC中，∴△ADC≌△ABC〔AAS〕，∴AB=DC，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形；〔2〕∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠DAB=∠DCB ，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE=PF ，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA ，∴AB=BC ，∴四边形ABCD 是菱形．课后习题：1．在以下说法中，菱形对角线不具有的性质是 ( )A. 对角线相互垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C. 对角线相等；D. 对角线相互平分．【解析】菱形的对角线相互垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴，应选C.2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=2，那么菱形ABCD 的周长为〔〕A. 12B. 16C. 8D. 4【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOB 为直角三角形．∵OE=2，且点E 为线段AB 的中点，∴AB=2OE=4．C 菱形ABCD =4AB=4×4=16．应选B ．3．菱形的周长为40cm ，两条对角线之比3：4，那么菱形面积为〔〕A. 96cm 2B. 48cm 2C. 24cm 2D. 12cm 2【答案】A如图，设3AO xcm = ， 4BO xcm = .∵菱形的周长为40cm ，有勾股定理得， ()()2223410x x += ， 21=1216=96cm 2S ∴⨯⨯菱形 ,应选A. 4．菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。

新北师大版九年级上菱形的判定

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版九年级数学上册第一章四边形2菱形的判定

北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定(菱形的性质)

新北师大版九年级上菱形的判定

北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质教案

北师大版数学九年级上册1.1.2菱形的判定(教案)

北师大版九年级数学上册 菱形的判定

北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义

北师大版九年级数学上册菱形的判定