2012届高三第二学期数学周末提高班五轨迹问题

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2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第10单元第63讲轨迹问题

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分析根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6.
(2)|PA|-|PB|=1.
(3)P点到A点的距离比P点到直线x=1 的距离长1，即P点到A点的距离等于 P点到直线x=2的距离.
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解析 (1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
2
8 x.
2
故动点 C的轨迹方程为 y
8 x.
15
题型二
定义法求轨迹方程
例2 如图，已知圆A：(x+2)2+y2=1与点 A(-2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10； (2)圆P与圆A外切(P为动圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆的圆心).
2
2. 到两定点 A 0, 0 ， B 3, 4 的距离之和为 5 的点的轨迹是 A．椭圆 C．线段 AB B .A B 所在的直线 D．无轨迹

C
解析
AB 5，所以动点的轨迹为线段 AB.
3
3. 已知点 P 是直线 2 x y 3 0 上的一个动点，定点 M
分析
1 确定 M 与 P的坐标关系． 2 寻找动点 N 与点 M 、 P的关系． 3 用代入法求轨迹方程．
21
解析
0 ， P (0， y 0 )， N ( x， y )，点 N 为轨迹上任意一点．因为 P M P F ， M ( x 0 ， y 0 )， F (1 ， y 0 )， P P 设M

高考数学复习考点题型专题讲解20 立体几何中的轨迹问题

高考数学复习考点题型专题讲解第20讲立体几何中轨迹问题7类【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A B C D 【答案】D 【分析】连接GH 、HN ，有GH ∥BA 1，HN ∥BD ，证得面A 1BD ∥面GHN ，由已知得点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，由此可得选项. 【详解】解：连接GH 、HN 、GN ，∵在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 的中点，N 是BC 的中点，则GH ∥BA 1，HN ∥BD ，又GH ⊄面A 1BD ，BA 1⊂面A 1BD ，所以//GH 面A 1BD ，同理可证得//NH 面A 1BD ，又GH HN H ⋂=，∴面A 1BD ∥面GHN ，又∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，MN ∥面A 1BD ，则点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，GH ，则点M a . 故选：D.【变式演练】1.在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（）A ．三角形111ABC 边界的一部分 B ．一个点 C ．线段的一部分D ．圆的一部分【答案】C 【分析】过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，证明平面//BDE 平面11AAC C ，得M DE ∈，即得结论．【详解】如图，过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，1//BD AA ，BD ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//BD 平面11AAC C ，同理//DE 平面11AAC C ，又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以平面//BDE 平面11AAC C ，所以M DE ∈，（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ），故选：C ．2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A 1BCD 【答案】B 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P a b ，计算出平面BEF 的一个法向量m 的坐标，由已知条件得出10D P m ⋅=，可得出a 、b 所满足的等式，求出点P 的轨迹与线段AD 、BC 的交点坐标，即可求得结果. 【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()2,0,1E 、()1,0,2F 、()10,0,2D ，设点(),,0P a b ，()0,2,1BE =-uur，()1,0,1EF =-，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =，由200m BE y z m EF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取2z =，可得()2,1,2m =， ()1,,2D P a b =-，由题意可知，1//D P 平面BEF ，则1240D P m a b ⋅=+-=，令0b =，可得2a =；令2b =，可得1a =.所以，点P 的轨迹交线段AD 于点()2,0,0A ，交线段BC 的中点()1,2,0M ，所以，点P 的轨迹长度为AM =故选：B.3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（）A ．1BC ．2D ．【答案】B 【分析】由分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度．【详解】如图所示，分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，连接11B D ， ∵M ､N ､E ､F 为所在棱的中点，∴11//MN B D ，11//EF B D ，∴//MN EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴//MN 平面BDEF ，连接NF ，由11//NF A B ，11NF A B =，11//A B AB ，11A B AB =，可得//NF AB ，NF AB =，则四边形ANFB 为平行四边形，则//AN FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则//AN 平面BDEF . 又ANNM N =，∴平面//AMN 平面BDEF .又P 是上底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上.又1112MN B D =，∴P【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11AQ BC ⊥，则Q 点的轨迹是（） A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B CD ．平面11B BCC【答案】B 【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解. 【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q , 又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为（）A ．线段1CBB ．线段1BCC ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段【答案】A 【分析】利用直线与平面垂直的判定可得1BD ⊥面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持AP 与1BD 垂直，得到点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线．【详解】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1BD ⊥平面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，∴故点P 的轨迹为平面1ACB 与平面11BCC B 的交线段1CB .故选：A.2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法： ①点P 可以是棱1BB 的中点； ②线段MP 的最大值为34； ③点P 的轨迹是正方形；④点P 轨迹的长度为2 其中所有正确说法的序号是________．【答案】②④【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出MP 的坐标，从而得到MP 的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P 不可能是棱1BB 的中点，从而判断选项①，又1EF GH ==，EH FG ==，可判断选项③和选项④．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为坐标原点，1DC 为x 轴，y 轴， ∵该正方体的棱长为1，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点， ∴()0,0,0D ，M （12，12，12），1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ∴1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，∵MP CN ⊥，∴1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=当1x =时，14z =，当0x =时，34z =，取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线， ∴CN ⊥平面EFGH ，又111,,224EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体表面上运动，∴点P 的轨迹为四边形EFGH ，因此点P 不可能是棱1BB 的中点，故选项①错误；又1EF GH ==，EH FG ==，∴EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形且矩形EFGH 周长为222+= 故选项③错误，选项④正确；∵1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，又MP CN ⊥，则1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=，∴322x z =-，点P 在正方体表面运动，则30212z ≤-≤，解1344z ≤≤，∴MP =故当14z =或34z =，0y =或1，MP 取得最大值为34，故②正确.故答案为：②④．3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】A 【分析】设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，证明平面1//A MN 平面1D AE ，即可分析选项ABC 的正误；再由//MN EG ，得点F 到平面1D AE 的距离为定值，可得三棱锥1F ABD -的体积为定值判断D ．【详解】解：设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，如图，∵11//A M D E ，1A M Ë平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， ∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE ，又1A M 、MN 是平面1A MN 内的两条相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，而1//A F 平面1D AE ，∴1A F ⊂平面1A MN ，得点F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当F 与M 重合时，1A F 与1D E 平行，故A 错误；∵平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，∴1A F 与BE 是异面直线，故B 正确； ∵//MN EG ，则点F 到平面1D AE 的距离为定值，∴三棱锥1F ABD -的体积为定值，故D 正确．故选：A ．【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线.故选：D.【变式演练】1.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为正方形ABCD 内（包括边界）的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设(),,0M x y ，正方形ABCD 的边长为a ，求出MC ，MP 的坐标，利用MP MC =可得x 与y 的关系，即可求解.【详解】如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在的直线分别为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，(),,0M x y ，则0x a ≤≤，0y a ≤≤，2a P ⎛ ⎝⎭，()0,,0C a ，则2MC x =2a MP ⎛= MP MC =，得2x y =，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段()102y x x a =≤≤，故选：A ．2.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A ．43π B ．23π C ．6πD ．3π 【答案】D 【分析】连接PF 、NF ，分析得出1FP =，可知点P 的轨迹是以点F 为球心，半径长为1的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果. 【详解】连接PF 、NF ，因为//AD A D ''，AD A D ''=，且E 、F 分别为AD 、A D ''的中点，故//AE A F '且AE A F '=，所以，四边形AA FE '为平行四边形，故//EF AA '且4EF AA ='=，AA '⊥平面A B C D ''''，则EF ⊥平面A B C D ''''，因为FN ⊂平面A B C D ''''，所以，EF FN ⊥，P 为MN 的中点，故112FP MN ==，所以，点P 的轨迹是以点F 为球心，半径长为1的球面，如下图所示：所以，线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球F 的14，故所求几何体的体积为3141433V ππ=⨯⨯=.故选：D.3.四棱锥P ﹣OABC 中，底面OABC 是正方形，OP ⊥OA ，OA ＝OP ＝a ．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE ＝a 时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B 【分析】由题意结合选项可特殊化处理，即取OP 与底面垂直，求得Q 的轨迹，结合球的表面积求解．【详解】解：不妨令OP ⊥OC ，则OP ⊥底面OABC ，如图，∵D 是OP 上的动点，∴OD ⊥底面OABC ，可得OD ⊥OE ，又Q 为DE 的中点，∴OQ 1122DE a ==，即Q 的轨迹是以O 为球心，以12a 为半径的18球面，其表面积为S 214384a ππ=⨯⨯=，得a =故选：B ．【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D 【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q所在轨迹的形状. 【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D【变式演练】1.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【分析】由题可知点P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再结合条件可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，即得. 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义. 故可知动点P 的轨迹是椭圆. 故选：C.2.如图所示，1111ABCD A B C D -为长方体，且AB =BC =2，1AA =4，点P 为平面1111A B C D 上一动点，若11PBC BC C ∠=∠，则P 点的轨迹为（）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得P 的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型. 【详解】如图，建立直角坐标系，则()()10,0,4,0,2,0B C,1BC ==设(),,0P x y ,则向量(),,4BP x y =-，向量()10,2,4BC =-,111211cos ||CC BP BC PBC BC BP BC x ∠=====，∴()()2228416y x y +=++，即2243160x y y +-=,228644333x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,22831166439y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=,这方程表示的轨迹是平面1111A B C D 上的椭圆，故选：B.3.在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的侧面11DCC D 的交线长等于___________.【答案】23π【分析】由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面11DCC D 内建系，求出P 的轨迹方程，确定点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线，进而求得交线长. 【详解】如下图所示：当P 在面11DCC D 内时，AD ⊥面11DCC D ，CM ⊥面11DCC D ；又APD MPC ∠=∠，在Rt PDA 与Rt PCM 中，∵6AD =，则3MC =，∴tan tan AD MCAPD MPC PD PC∠==∠=，则63PD PC=，即2PD PC =. 在平面11DCC D 中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0D -，()3,0C ，设(),P x y ，由2PD PC =整理得：221090x x y -++=，即()22516x y -+=.∴点P 的轨迹是以F (5，0)为圆心，半径为4的圆.设圆F 与面11DCC D 的交点为E ､M ，作EK 垂直x 轴于点K ，如图，则21sin 42EK EFK EF ∠===；∴6EFK π∠=；故点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线为劣弧ME ，所以劣弧ME 的长为2463ππ⨯=.故答案为：【题型五】投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45 C ．13D ．25【答案】A 【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解. 【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x ∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=， ∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，4OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =__________．【答案】45【分析】根据平行投影计算出椭圆C 的短半轴长b ，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C 的长轴长2a 而得解. 【详解】连接OO '，则O OE θ'∠=，因为34，O E OE '==，如图：所以5OO '=，所以3sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是球的半径R ，即3b =，过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，则,AB O O O E AC ''⊥⊥，由题意得：326sin sin 5AB R ACB θ==∠==，，又sin ABACB AC∠=，则35AB AC =，10AC =，即2105a a ==，，所以椭圆的离心率为45c e a ====.故答案为：45【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形ABCD 中，ADC 沿着AC 翻折到1AD C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是（）A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．双曲线的一段D ．一段圆弧【答案】D 【分析】过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，过点点B 作AC 的垂线，垂足为E ，连接,DE BF ，再分别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取BE 中点O ，进而可得答案. 【详解】解：在四边形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，过点点B 作AC 的垂线，垂足为E ，连接,DE BF ，如图1，所以当四边形ABCD 确定时，DEF 和BEF 三边长度均为定值，当ADC 沿着AC 翻折到1AD C ，形成如图2的几何体，并取BE 中点O ，连接OM ，由于在翻折过程中，1DE D E =，所以由中位线定理可得112OM D E =为定值，所以线段DB 中点M 的轨迹是以BE 中点O 为圆心的圆弧上的部分.故选：D【变式演练】1.已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面AC D ．在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．π【答案】C 【分析】根据题意，先确定点P 轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可. 【详解】由题意，在平面BCD 内作BQ ⊥CD ，交CD 于Q ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 与平面ACD 交于CD ，所以BQ ⊥平面ACD ，又BP ⊥平面ACD ，所以P ,Q 两点重合，于是随着点D 的变化，BP ⊥CD 始终成立，可得在平面ABC 中，BP ⊥CP 始终成立，即得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的一部分，由题意知随着点D 的变化，∠BCD 的范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得点P 的轨迹是以BC 为直径（半径为1）的圆的13，即得点P 的轨迹长度为2122133ππ⨯⨯=.故选：C.2.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD BC ==，AB CD >，沿着AC 把ACD △折起至1ACD △，使1D 在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上．当边长CD 变化时，点1D 的轨迹长度为（）A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】B 【分析】根据1D 的射影在边AB 上，且1AD 固定长度为1，所以1D 的轨迹在以A 为原点半径为1的圆上，因此考虑CD 的长度缩短到0时和CD 变长到AB 的长度两种情况，从而求出夹角大小，进而求出弧长. 【详解】因为1D 的射影在边AB 上，且1AD 固定长度为1，所以1D 的轨迹在以A 为原点半径为1的圆上.考虑极端情况：当CD 的长度缩短到0时，1,,C D D 都汇聚到线段AB 的中点（D 2）；当CD 变长到AB 的长度时（1D 的射影为D 3），如图，设3AD t =，则32BD t =-,在13D D ARt中，22131D D t =-，同理：()22312CD t =+-，()22221313412D D CD CD t ⎡⎤=-=-+-⎣⎦∴()22141212t t t ⎡⎤-+-=-⇒=⎣⎦，即1D 在线段AB 上的投影与点A 的距离为12，从而1AD 与AB 夹角为3π，故点1D 的轨迹为1=33ππ⨯.故选：B.3.已知矩形ABCD 中，1AB =，AE =如图，将ABE △沿着BE 进行翻折，使得点A 与点S 重合，若点S 在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内部（包含边界），则动点S 的轨迹长度是（）A B C D【分析】过点A 作AM BE ⊥于点M ，交BC 于点G ，则点S 在平面BCDE 上的射影N 落在线段MG 上.由翻折过程可知，SM AM =S 的轨迹是以点M角，利用弧长公式求出弧长. 【详解】如图（1），过点A 作AM BE ⊥于点M ，交BC 于点G ，则点S 在平面BCDE 上的射影N 落在线段MG 上.在Rt ABE △中，1AB =，AEBE =AM ==翻折的过程中，动点S满足SM S 的轨迹是以点M.易得BM =，EM =，AME GMB ∽△△，所以12MG MB MA ME ==，则MG SM =<，如图（2），在圆M 中，0S M AG ⊥，1S G AG ⊥，所以点S 的轨迹是01S S ，且111co s 2MG S MG MS ∠==，则1π3SM G ∠=，10π6S MS ∠=，从而点S的轨迹长度为π6=【课后练习】1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,,M DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )A ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线 B ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π C ．若1D N 与AB 所成的角为60，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为60，则N 的轨迹为椭圆【答案】ABC 【分析】A ：由1BB ⊥平面ABCD ，可得NB 即为N 到直线1BB 的距离，由抛物线的定义即可判断；B ：由题意可得MN 中点的轨迹为以MD ABCD 的圆，计算可判断；C ：建立空间直角坐标系，设(N x ，y ，0)，由1D N 与AB 所成的角为60°，可得点N 的轨迹方程，从而可判断；D ：由MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，计算可得DN 为定值，可判断点N 的轨迹为以D 为圆心，DN 为半径的圆，从而可判断．【详解】对于A ，1BB ⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， ∴点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故A 正确；对于B ，1BB ⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， ∴点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故B 正确；对于C ，如图，建立空间直角坐标系，(0D ，0，0)，1(0D ，0，2)，(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，设(N x ，y ，0)，则1(D N x =，y ，2)-，(0AB =，2，0)，111cos602D N AB D N ABx ⋅︒===⨯，化简得2234y x -=，即2214134y x -=，∴N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，∴60MND ∠=︒，则DN =∴点N 的轨迹为以D D 错误．故选：ABC ﹒2.（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）如图的正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动.以下命题正确的有（）A ．侧面11CDD C 上不存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．点D 到面1A BE 的距离与点1C 到面1A BE 的距离之比为13C ．若点F 满足1//B F 平面1A BE ，则动点F 的轨迹长度为D ．若点F 到点A F 的轨迹长度为【答案】BD 【分析】先找到点F 满足1//B F 平面1A BE 的轨迹，可判断选项AC ，将平面1A BE 补全，利用比例判断选项B ，找到满足点F 到点A D 【详解】取11C D 中点M ，1C C 中点N ，连接1B M ，1B N ，MN ，易证11//B N A E ，又1B N ⊄平面1A BE ，1A E ⊂平面1A BE ，所以1//B N 平面1A BE ，又1//MN A B ，同理得到//MN 平面1A BE ，所以平面1//B MN 平面1A BE ，所以若点F 满足1//B F 平面1A BE ，则点F 在1B MN △的三边上运动，11MN B M B N ==F 的轨迹长度为C 错误；当点F 在侧面11CDD C 上运动时，点F 的运动轨迹为线段MN ，当F 运动到MN 中点时，因为△1B MN 是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 错误；取CD 中点G ，连接BG ，EG ，易证1//A B EG ，则1,,,A B E G 共面，令1C D EG H ⋂=，则易得113DH C H =，所以点D 到面1A BE 的距离与点1C 到面1A BE 的距离之比为13，故B 正确；F 到点A 则动点F 的轨迹在正方形11B BCC 和正方形11CC D D 及正方形1111D C B A 上，若在正方形11B BCC 上，则满足2222BF BA BF +=⇒=，所以在正方形11B BCC 上，动点F 的轨迹为以B ，同理点F 在正方形1111D C B A 及正方形11CC D D 面上运动时，轨迹分别为以1,A D的四分之一圆弧，所以动点F 3⨯=，所以D 正确；故选：BD3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E为1AA 的中点，点F 在线段1AD 上运动，G 为底面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（）A ．11C F CB ⊥B ．若1//FG CD ，则点G 在线段AC 上C ．当点F 从A 向1D 运动时，三棱锥1D BFC -的体积由小变大D ．若1GD ，GE 与底面ABCD 所成角相等，则动点G 的轨迹为圆的一部分【答案】ABD 【分析】结合线面垂直的知识来判断A 选项的正确性.结合平面的知识来判断B 选项的正确性.结合锥体体积的求法来确定C 选项的正确性.结合阿波罗尼斯圆的知识来判断D 选项的正确性. 【详解】连接1A D ，∵1C F 在平面11ADD A 内的射影为1D F ，11CB A D ∥，且11A D D F ⊥，则1A D ⊥平面11C D F ，11A D C F ⊥，∴11C F CB ⊥，故A 正确；∵1FG CD ∥，∴FG 与1CD 确定唯一的平面α，而平面1ACD 与α有F ，1D ，C 三个不在一条直线上的公共点，∴平面1ACD 与α重合，又G 为底面ABCD 内一动点，则点G 必在平面1ACD 与平面ABCD 的交线AC 上，故B 正确；∵11AD BC ∥，1AD ⊄平面1DBC ，1BC ⊂平面1DBC ，∴1AD ∥平面1DBC ，故当点F 在1AD 上运动时，点F 到平面1DBC 的距离不变，于是三棱锥1F BDC -的体积不变，即三棱锥1D BFC -的体积不变，故C 错误；连接GD ，GA ，当1GD ，GE 与底面ABCD 所成角相等时，易得2GD GA =，∵AD 为定值，由阿波罗尼斯圆易知点G 的轨迹为圆的一部分，故D 正确．阿波罗尼斯圆：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PAk PB=（0k >且1k ≠）的点P 的轨迹是一个以定比m ：n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．故选：ABD4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1AA ，1CC 的中点，O 为底面ABCD 的中心，点P 在正方体的表面上运动，且满足NP MO ⊥，则下列说法正确的是（）A ．点P 可以是棱1BB 的中点B ．线段NPC ．点P 的轨迹是平行四边形D ．点P 轨迹的长度为1【答案】B 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据NP MO ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为1AA ，1CC 的中点，则()0,0,0D ，11,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,,222OM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则1,1,2NP x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为NP MO ⊥，所以0NP OM ⋅=所以()1111102222x y z ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，即2221x y z -+=-，令0z =，当12x =时，1y =；当0x =时，12y =；取1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，连接EF ，FN ，NE ，则11,,022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,22EN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111110022222EN OM ⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以EF OM ⊥，EN OM ⊥，又EF EN E ⋂=，且EF ⊂平面EFN ，EN ⊂平面EFN ，所以OM ⊥平面EFN ，所以，为使NP OM ⊥，必有点P ∈平面EFN ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为正三角形EFN ，故C 错误；因此点P 不可能是棱1BB 的中点，故A 错误；线段NP 的最大值为NF =B 正确；点P =D 错误；故选：B5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则F 在侧面CDD 1C 1上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC D【答案】D 【分析】过1B 做与平面1A BE 平行的平面，该平面与侧面11CDD C 的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可. 【详解】设G ，H ，I 分别为CD ，CC 1，C 1D 1边上的中点，连接B 1I ，B 1H ，IH ，CD 1，EG ，BG ，则1A B ∥1CD ∥GE , 所以A 1，B ，E ，G 四点共面，由1B H ∥11,A E A E ⊄平面B 1HI ，1B H ⊂平面B 1HI ，所以A 1E ∥平面B 1HI ，同理A 1B ∥平面B 1HI ， 111A BA E A =，所以平面A 1BGE ∥平面B 1HI ，又因为B 1F ∥平面A 1BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以112HI CD ==，即F 在侧面CDD 1C 1.故选：D. 6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥S ABC -中，D 为线段AB 的中点，点E 在SBC △(含边界位置)内，则满足//DE 平面SAC 的点E 的轨迹为（） A ．线段SB ，BC 的中点连接而成的线段B ．线段SB 的中点与线段BC 靠近点B 的三等分点连接而成的线段 C ．线段BC 的中点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段D ．线段BC 靠近点B 的三等分点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段【答案】A【分析】利用面面平行得到线面平行，即可. 【详解】解：如图所示，P 、Q 分别为线段SB ，BC 的中点，所以//PQ SC ,//,DQ AC PQ ⊄平面SAC ,AC ⊂平面SAC ，所以//PQ 平面SAC ，同理//DQ 平面SAC ，PQ DQ Q =,所以平面//PDQ 平面SAC ，若DE ⊆平面PDQ ,则会有//DE 平面SAC ，故点E 的轨迹为线段SB ，BC 的中点连接而成的线段，故选A.7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -点P 在棱1AA上运动，点Q 在底面ABCDEF 内运动，PQ =R 为PQ 的中点，则动点R 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（）A B C D 【答案】B【分析】根据题意，可判断出动点R 的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由直角三角形的性质得AR ，所以点R 在以A 因为23BAF π∠=，所以动点R 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分16球，其体积为31463π⨯=⎝⎭.故选：B.8.四棱锥P OABC -中，底面OABC 是正方形，OP OA ⊥，OA OP a ==．D 是棱OP 上的一动点，E是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE a =时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】首先假设OP OC ⊥，将四棱锥P OABC -放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得12OQ a =，得到点Q 的轨迹，最后根据题意列出方程求出a 的值 . 【详解】由题意不妨设OP OC ⊥,又OP OA ⊥，底面OABC 是正方形，所以可将四棱锥P OABC -放在一个正方体内，所以DO ⊥面OABC ，又OE ⊂面OABC ，则DO OE ⊥，又DE 的中点为Q ，所以1122OQ DE a ==，即Q 的轨迹是以O 为球心，12OQ a =为半径的球，且点Q 恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一起，点Q 的轨迹就可以围成一个完整的球，所以Q 的轨迹是以O 为球心，12OQ a =为半径的球的18球面，所以2114382a ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，解得a = 故选：B9.棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面．．1111D C B A 内运动，点1B 到直线DP 的距离为定值，若动点P 的轨迹为椭圆，则此定值可能．．为（）A B C D 【答案】A【分析】设1B DP α∠=，分析出点P 在以1DB 为轴的圆锥的侧面上，计算出d <，并分析出45a ¹o ，可得出d ≠，由此可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：因为点1B 到直线DP 的距离为定值，所以，点P 在以1DB 为轴的圆锥的侧面上，因为点P 的轨迹为椭圆，即圆锥被平面1111D C B A 所截的截面为椭圆，设圆锥轴截面的半顶角为α，则点1B 到直线DP 的距离为1sin sin d B D αα==<，当截面与圆锥的母线平行时，即45α=时，截面为抛物线，不合乎题意，所以，6sin 452d ≠=. 综合选择，可知A 选项合乎题意.故选：A.10.（上海市建平中学期中）已知菱形ABCD 边长为2，60ABC ∠=︒，沿对角线AC 折叠成三棱锥B ACD '-，使得二面角B AC D '--为60°，设E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上动点，且总满足AC EF ⊥，则点F 轨迹的长度为（）A ．B ．CD 【答案】D【分析】。

2012届高考数学快速提升成绩题型训练——轨迹问题

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——轨迹问题1. 已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（）A. 一个圆B. 两条平行直线C. 四个点D. 两个点2 在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分3. 如图,定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点。

且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点4. 如图3，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线图35. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线6. 已知异面直线a,b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a,b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程。

7. 已知圆E 的方程为 (x -1)2 + y 2 = 1, 四边形PABQ 为该圆的内接梯形，底AB 为圆的直径且在x 轴上，以A 、B 为焦点的椭圆C 过P 、Q 两点．(1) 若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹； (2) 当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程．8. 已知双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，其中F 1又是抛物线 y 2 = 4 x 的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．(1)求点F 2的轨迹;(2)是否存在直线y = x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，若不存在，说明理由．9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O ，以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，试问：是否存在两个定点E , F ，使得 | PE| + | PF | 为定值，若存在，求出E, F 的坐标，若不存在，说明理由．10. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（错误！未找到引用源。

高三数学轨迹方程50题及答案

高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。

(1)直(Zhi)接法(Fa)直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=表示的曲线是：（） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是：（） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是：（） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：（）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是：（） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为：（） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（）A 、x 2+y 2=B 、x 2+y 2=C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41)11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是（）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)yC、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭(Tuo)圆(Yuan)C与椭(Tuo)圆关于(Yu)直线x+y=0对(Dui)称，椭圆C的方程是（）A、 B、C、 D、13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )A. B.C. D.14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a2二、填空题：16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。

江苏省2012届高考数学二轮复习第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)

第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余都是A 级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．【例1】已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积．【例2】直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标； (2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y－b ＝1 ③，(3分)联立①②③解得：交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c a 2＋c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b2＝4a 2c 2＋a 2－c 22a 2＋c22＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE⊥x 轴，垂足为E ，△OBF∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)此时C ⎝⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分)直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d·AC＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分)只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分) ＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分) 当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分) (解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分) ∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞) 2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋y －22＝91－y2＋y －22＝－8y 2－4y ＋13，∵ －1≤y≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |P Q|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．所以直线DE 的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝65，所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫165216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6524＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k11＋4k 21，y ＝2－8k211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1，直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也可以) 所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c24(c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423、⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，所以m ＝19，n ＝14，即椭圆为x 29＋y24＝1.(2) 直线AB ：x －a ＋yb＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02，所以点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝x 20＋y 204，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c24.因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，所以x 0－a ＋y 0b＝1，所以x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎪⎫by －c 24＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋bay ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c24b，故定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，b a x 0＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24. (3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c24(c 是椭圆的半焦距)相离，则aba 2＋b 2＞c 2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，所以0＜e 2＜3－5.① 连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt△OPN 中，OP ＝2ON ＝2r ＝c ，所以ab a 2＋b 2≤c，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)， a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0.因为0＜e ＜1，所以3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，所以5－12≤e＜10－22.基础训练1. 3或2532. 323. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c≤PF 1≤a＋c ，∴ a－c≤2ae 1＋e ≤a＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y24＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d＝92.例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3x 2－3，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，①又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋12212＋－3y 223＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝⎛⎭⎪⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，所以OA⊥AB.所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴ c＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy≤3.则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]. x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决) 例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4. 由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.∵ k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. ∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.变式训练在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋sinθOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.于是a ＝2，b ＝1.所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ.因M 在椭圆上，故x 1cosθ＋x 2sinθ22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1. 将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2. 所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4，所以RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ，则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，所以直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)．令x ＝t(t≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，所以y 20＝3－34x 20.所以y 1·y 2＝y 2x 20－4(t －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 20t －22x 2－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t≠2.高考回顾1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程x 29－y227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b24＝1， ∴ 94e 2＝34，∴ e＝33. 3. x 25＋y24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，直线PA 平分线段MN ，又直线PA 经过原点，所以k ＝22. (2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，所以点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)， ∵ A、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 12y 0＋y 1，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 12y 0＋y 1＝－y 1＋y 0x 0＋x 1x 1＋x 0y 0＋y 1＝－1，∴ PA⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)， ∵ A、C 、B 三点共线，∴y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上， ∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT∥PB，∴ PA⊥PB.(解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k2，2k 1＋2k 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2，代入x 24＋y 22＝1得到⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0，解得x B ＝4＋6k 22＋k21＋2k2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－1，∴ PA⊥PB.点评：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判断．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力，考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.(2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x2252＋y2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。

高三数学轨迹方程50题及答案

求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是：（） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是：（） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是：（）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：（）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是：（） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为：（） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是（）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为（） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。

专题5.4立体几何中的轨迹问题、最值问题通关

1．如图所示，正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为1， E ， F 分别是棱AA '， CC '的中点,过直线E ， F 的平面分别与棱BB ', DD '交于M ， N ，设BM x =， ()0,1x ∈,给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =, ()0,1x ∈，则()f x 有最小值; ③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =， ()0,1x ∈，则()p x 是常函数；[来源: ］④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =， 1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（）． A ． ① B． ② C． ③ D． ④ 【答案】D连接AF ， AM ， AN ,则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ， N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数， M , N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥C MENF '-的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF -的体积()1122ABCD A B C D V h x V -''''===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选D2．已知正方体ABCD-的棱长为2，E 为棱的中点，点M 在正方形内运动，且直线AM //平面，则动点M 的轨迹长度为A ．B ．C ． 2D ． π 【答案】B3．在空间直角坐标系Oxyz 中,到x 轴和y 轴距离相等的点的轨迹为（） A ．一个平面 B ．两个平面 C ．一条直线 D ．两条直线【答案】B【解析】到x 轴和y 轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选B ．4．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A 、B 分别在x 轴， y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（）．A ． 31,31⎡⎤-+⎣⎦B ． []1,3C ． 31,2⎡⎤-⎣⎦D ． 1,31⎡⎤+⎣⎦【答案】A【解析】如图所示，故选A ．5．如图所示,在正方形1111ABCD A B C D -中， ,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ )A ．2． 1 C ．2 D ． 22【答案】D6．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点,点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上,若5PM =,则PQ 长度的最小值为A ．21B ．2C ． 3515-D ． 355【答案】C7．如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到直线BD 的距离为3则APC ∠的最大值为（ )A ． 30° B． 60° C ． 90° D． 120° 【答案】B【解析】∵P 到直线BD 的距离为3[来源:∴空间中到直线BD 的距离为3的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆,即点P 在α内的轨迹为一个椭圆， B 为椭圆中心, 3b =, 32sin60a ==︒，则1c =∴A B ，为椭圆的焦点∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ∴APC ∠的最大值为60︒ 故选B.8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是平面1111A B C D 内一点,且1BM ACD 平面，则1tan DMD ∠的最大值为（）．A ．22B ．C ． 2D ． 2 【答案】D【解析】∴11A C 平面1ACD ，同理1BMD O ， BM 平面1ACD ，∴当M 在直线11A C 上时，都满足1BM ACD ，∴1111tan 222DD DMD MD ∠===是最大值．故D 选项是正确的． 9．如图所示，正方体的棱长为，,分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱、交于，，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当时,四边形的面积最小; ③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（）．A．①④ B．② C．③ D．③④【答案】C②连接，∵平面，四边形的对角线是固定的，要使面积最小，只需的长度最小即可，此时为棱中点，,长度最小，对应四边形的面积最小,②正确；④连接,，,四棱锥分割成两个小三棱锥，以为底，分别以、为顶点， ∵面积是个常数，、到平面的距离是个常数, ∴四棱锥的体积为常函数,④正确．10．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中， π2BAC ∠=， 11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点, D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD EF ⊥,则线段DF 长度的取值范围为（）．A ． 5⎫⎪⎢⎣⎭B ． 325⎣⎦C ． 25⎢⎣D ． 2,3⎡⎣ 【答案】A【解析】∴当25y =时，线段DF 5当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取,即DF 长度不能等于1），故线段DF 的长度的取值范围是： 5⎫⎪⎢⎣⎭,本题选择A 选项．11．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等,则点P 到点1C 的最短距离是（ ) A ．255 B ． 22 C ． 1 D ． 63【答案】A12．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 12AA =, 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线;② 1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22．其中正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ,而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；∴正确命题的个数是3个。

第1讲轨迹问题(解析版)

第1讲轨迹问题1．方程|1|x -=( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x - 得22(1)(1)1x y -+-=，其中02x ，02y ．因此方程|1|x -=(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆．故选：A ．2．方程||1x -=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y -=-，化简得22(||1)(1)1x y -+-=，由||10x -得||1x ，即1x 或1x -，当1x 时，方程为22(1)(1)1x y -+-=，表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆；当1x -时，方程为22(1)(1)1x y ++-=，表示圆心为(1,1)-且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x -= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5．其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)-，(0,1)，(0,1)-，(1,1)，(1,1)-，(1,1)-，(1,1)--，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)--均在曲线C 上，而这两点间的距离为2>，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y -+-=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay -；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =，将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确；根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，③正确；若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程，解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误．故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( ) ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确；根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，②正确；若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程，解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =-∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +-=（原点除外）B ．2220x y py +-=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+，由OM AB ⊥得x k y=-，联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得23||2OP ==．所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3．故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍，当0x 且0y 时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+，即22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径R =，则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+，故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y ---+=B ．( 22)(1)0x y -+=C ．2(||1)(10x y x ---+=D ．(2)(10x -+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误；选项B 等价于22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩，或||10x y --=，||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误；选项C 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或2210x y -+=，22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示折线||1y x =-在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，2210x y -+=表示双曲线，符合题中图象，故正确；选项D 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩， 22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示表示折线||1y x =-在双曲线的外部（包括有原点）的一部分， 22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误．故选：C ．10．已知点集22{(,)1}M x y y xy =-，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( )A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy 时，只需要满足21x ，21y 即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x -，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y -，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y -，y 换为x -，可得方程不变，则曲线关于直线y x =-对称；曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==y x ==，即有曲线C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误；设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +，则223223()8()x y x y xy +=，即18xy ，当且仅当x y =取得最大值，故③正确；易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确．故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为()（1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称；（3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x -+=，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立，则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x -代替x ，y -代替y 22(2)16x --=成立，16=也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=<，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在-到同理y 的取值只可能在-所以曲线C 在一个面积为综上，正确的命题有（2）（3），共2个．故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a -，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a -的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．故点0(P x ，0)y 2a =，点(M x -，0)y -代入2a =，得到2a =，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a -+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误；对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =，化简得2222222()220x y a x a y +-+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=，所以2PO 的最大值为22a ，22PO a -的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++，去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y -+-=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分，因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上，所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称，作出图象如图所示，由图可知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；令2214x y +=中的0y =，解得2x =，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x -，故选项B 错误；令2214x y +=中的0x =，解得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；令22(1)1()142x y -+-=中的0x =，可得12y =1(0,)2，故选项D 正确．故选：ACD ．个结论：①曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是 ② ．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+，方程化为：||1xy ，∴曲线C 上任意一点到原点的距离|11d xy =+=C ，可知正确．③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②．故答案为：②．三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y -替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x 时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++，可得222x y +，所以曲线经过点(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)-，(1,1)-，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x 时，222x y +，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)-，(1,0)，(1,1)，(1,1)-围成的矩形面积122⨯=，在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)-，(1,0)，(0,1)-围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误．故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y+=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：22 223222 ()16()2x yx y x y++=，224x y∴+（当且仅当222x y==时取等号），则②正确；将224x y+=和22322()16x y x y+=联立，解得222x y==，即圆224x y+=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy<，得方程22322()16x y x y+=表示的曲线C在第二象限和第四象限，故④正确．故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是 (0,3) ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ．【解答】解：（1）设动点(,)P x y 22(1)|1|3x y x -+++=， ①当4x <-时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x --22(1)4x y x -+=+，化为231015(1)2y x x =+--，与y 轴无交点；③当1x >-22(1)2x y x -+=-，化为223y x =-+，3(1)2x -<．令0x =，解得3y =综上①②③可知：曲线C 与y 轴的交点为(0,3)；（2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+--⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x -+=，解得1.4x =-或1．①当 1.4a -或1a 时，||||||PA PB AB +，d ∴（a ）22||(1)122AB a a a ==-+-+；②当11a -<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =-+-<相交时的交点P 满足||||PA PB +||2QB a ==-取得最小值，此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）； ③当 1.41a -<-时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+--相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =-，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q -，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a ）222, 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a a a ⎧-+-⎪⎪=+-<-⎨⎪--<<⎪⎩或19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ．【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+-，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ，所以可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b --=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =-③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b -+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+；设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤，由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+．故答案为：2233y x =+．22．已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y -是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x，1(A 0)，2A 0)，直线1A P的斜率为1k =，∴直线1A P的方程为y x =+，⋯① 同理可得直线2A Q的方程为y x =．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =--．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y -=上， ∴221112x y -=，可得22211111(2)22x y x =-=-，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x -=-=--，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程．点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)，由题意得：12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为因此2a =，c 2221b c a =-=，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10F Q =．点P是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ．记1122||,||F P r F P r ==，则12r r由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=-===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)-在轨迹上．当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥．又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=．综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；。

2012年高考试题：理科数学(全国卷)——含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0B. 0或3C. 1D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴=====或舍去Q .【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

2012.5高三数学(理科)答案

松江区2012学年度第二学期高三月考数学（理科）试卷参考答案2012.5一、填空题1． 1 2．3．4．．5． _-10__ 6． 7． 7500 8．或9． 10． 11．． 12． 313． 14．二选择题 15．B 16．B 17．A 18. C三、解答题19.（本题12分）解：…………（4分）=…………（6分）由，得，…………（8分）由得…………（9分）∴当时，…………（10分）当时，…………（12分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）四棱锥的底面积，高………（3分）∴………（6分）（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。

…（8分）由，知，，∴…（10分）中，。

…（13分）所以异面直线AE与A1C所成的角为。

…（14分）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为（），从甲地到乙地所用的时间为小时，………（4分）则从甲地到乙地的飞行成本，（）即或，（）．………（7分）（2）由（１），………（10分）当且仅当，即时取等号．………（13分）故客机应以800公里/小时的速度飞行时，能使飞行成本最少．………（14分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………（2分）　∵∴　∴　曲线方程是………（4分）（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、此时………（6分）当不平行于轴时，设其斜率为，则由得设则有，………（8分）∴………（10分）（3）设∴………（12分）∵∴∵，化简得∴………（14分）当且仅当时等号成立∵∴当的取值范围是………（16分）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解（1）∵点都在函数的图像上，∴．………（2分）当时，；当时，，当时，也满足．故．………（4分）（2）∵，∴，又∵，∴即数列的公差是4 的倍数………（6分）又中的最小数为6，∴，∴，，又∵∴解得．………（8分）设等差数列的公差为，由得故………（10分）(3)由知，即数列和分别是以，为首项，4为公差的等差数列，（12分）所以，，，………（14分）∵数列是单调递增数列∴对任意的成立．………（16分）∴ 解得∴实数的取值范围是 ………（18分）。

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题》专题训练

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题》专题训练一、选择题1．（2011·潍坊模拟)椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为e，点（1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( )A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0解析：依题意得e＝错误!,圆心坐标为（2,2），圆心(2,2）与点（1，错误!）的连线的斜率为错误!＝错误!，所求直线的斜率等于－错误!，所以所求直线方程是y－错误!＝－错误!（x－1)．即4x＋6y－7＝0. : ］答案：B2．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直,则此双曲线的离心率是（）A.错误!B.错误!C．4错误! D.错误!解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±k x.由题知直线l的斜率为－2，则可知k＝错误!，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得错误!－y2＝1，于是，a2＝4,b2＝1，从而c＝错误!＝错误!,所以e＝错误!。

答案：A3．(2011·金华模拟）已知双曲线错误!－错误!＝1(a >0，b >0）的左、右焦点分别是F 1、F 2，设P 是双曲线右支上一点，12F F 在1F P 上的投影的大小恰好为|1F P |且它们的夹角为错误!，则双曲线的离心率为（）A.错误!B.错误!C 。

错误!＋1D 。

错误!＋1解析：由题意得1PF ⊥2PF ，且∠PF 1F 2＝30°。

设12F F ｜＝2c ，则｜1PF |＝错误!c ，｜PF 2|＝c ，由双曲线的定义得错误!c －c ＝2a ，e ＝错误!＝错误!＋1。

答案：C4．已知椭圆C ：x 2a 2＋错误!＝1（a 〉b 〉0)的离心率为错误!，过右焦点F 且斜率为k (k >0）的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝( )A ．1B 。

广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题5 第23课时轨迹问题

专题五解析几何
第一页，编辑于星期日：九点三十五分。 1
考点1 直接法
例1(2011 海口高考调研)如图，已知两定点A1, 0，B 4, 0，坐标xOy平面内的动点M 满足：2 AM BM .求
动点M的轨迹C的方程并画出草图．
第二页，编辑于星期日：九点三十五分。 2
切入点：先设所求动点M 的坐标( x，y )，把已知条件用坐标表示，化简．
行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
第四页，编辑于星期日：九点三十五分。 4
变式1(2011 揭阳一模)已知点C 1, 0，点A、B是 O：
x2 y2 9上任意两个不同的点，且满足 AB BC 0，设P为弦AB的中点．
1 求点P的轨迹T的方程； 2 试探究在轨迹T 上是否存在
9 x2 6x 25 | 5 3 x | .
25
5
由于 5 x 5，所以2 5 3 x 8， 5
所以f x的值域为2,8．
第十五页，编辑于星期日：九点三十五分。 15
考点3 相关点法
例3 已知x轴上的一定点A1, 0，Q为椭圆 x2 y2 1
4 上的动点，求AQ的中点M的轨迹方程．
25 16
2由已知得 PQ QB ，所以，f x x 32 y2 .
第十四页，编辑于星期日：九点三十五分。 14
又点Q的轨迹方程为 x2 y2 1， 25 16
所以，y2 16(1 x2 )，代入f x的解析式，消去y，得
25
f x x 32 161 x2
25
24k 2 4k 2
1，x1
x2
36k 2 4 ， 4k 2 1
y1 y2 k 2[x1 x2 3 x1 x2 9]，

高二数学第二十五讲轨迹问题

轨迹问题一、知识要点1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.二、基础训练1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2．若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是（）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是5．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是．三、例题分析（一）、定义法例1. ⊙C ：16)3(22=++y x 内部一点A （3，0）与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2.已知A （0，7）、B （0，－7），C （12，2），以C 为焦点的椭圆经过点A 、B ，求此椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.（二）、直接法例3.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且||2，求AB的中点P的轨AB a迹方程。

2012届高三数学第二轮第二部分应用提升1

第二部分一（一）应用提升1．(2011·浙江高考)把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：(1＋z )·z －＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 答案：A2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：当k ＝1时，c ＝a ＋b ，不存在实数λ，使得c ＝λb .所以c 与d 不共线，与c ∥d 矛盾．排除A 、B ；当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，所以c ∥d ，且c 与d 反向．答案：D3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：f (x )＝(12)|x |作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的，选C 项．答案：C4．已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin(x 2－π6)B ．f (x )＝2cos(4x ＋π4)C ．f (x )＝2cos(x 2－π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)解析：由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D.由f (0)＝1，可排除A.答案：C5．如果实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝1，则y －1x 的最大值是( ) A ．1 B ．0 C ．－43D ．－23解析：(数形结合法)如图：y －1x 表示过A (0，1)和圆上点的连线斜率． ∴(y －1x )max ＝0. 答案：B6．(2011·辽宁高考)执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A ．8B ．5C ．3D ．2解析：运行程序框图可知，s ，t ，k ，p 的值依次如下：当k ＝4时，终止循环，输出p ＝3. 答案：C7．(2011·东北三校)向量a ＝(12，3sin x )，b ＝(cos2x ，cos x )，f (x )＝a·b ，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：由题知，f (x )＝a·b ＝12cos2x ＋3sin x cos x ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin(2x ＋π6)，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将y ＝sin2x 的图像向左平移π12个单位长度．答案：D8．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)解析：当m ＝1时，f (x )＝2x 2－6x ＋1，g (x )＝x ，由f (x )与g (x )的图像知，m ＝1满足题设条件，故排除C 、D.当m ＝2时，f (x )＝4x 2－4x ＋1，g (x )＝2x ，由其图像知m ＝2满足题设条件，故排除A. 因此，选项B 正确．答案：B9．(2011·海淀模拟)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：依题意，作AB＝c ，B C ＝a ，C A ＝b ，则有∠ACB ＝60°，AC ＝2BC ，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝3BC 2，AB 2＋BC 2＝4BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：B10．(2011·东北三校)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：∵f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 2)(x －a 3)…(x －a 8)＋…＋(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)]，∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212. 答案：C11．(2011·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B ，则该几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C ，则该几何体的体积为12，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为π4，不满足题意．答案：C12．(2011·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈R ，A ＝{x |t ≤x ≤t ＋1}，B ＝{x ||f (x )|≥1}，集合A ∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是( )A ．{0，3－1}B ．[0，3－1]C ．(0，3－1]D ．(0，3－1)解析：由集合B 知：x 3－3x ＋1≥1① 或x 3－3x ＋1≤－1②.由①得：－3≤x ≤0或x ≥3；由②得(x ＋2)(x 2－2x ＋1)≤0，解得x ＝1或x ≤－2.集合B 在数轴上表示如图．又集合A ∩B 只有一个元素，所以t >0且t ＋1<3，即0<t <3－1. 答案：D13．如图所示，ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B ．5C ．6D.152解析：(估值法)可利用排除法来解决．棱锥E －ABCD 的体积V 1＝13×32×2＝6，而此多面体的体积V >V 1.答案：D14．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析：选项A，a与b共线，则∃λ使得a＝λb，则有m＝λp，n＝λq，a⊙b＝0；选项B，b⊙a＝(p，q)⊙(m，n)＝np－mq＝－(a⊙b)；选项C，λa⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp ＝λ(a⊙b)；选项D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故选B.答案：B。

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