从高考题看圆锥曲线的考查

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+
4
= 1 的焦点， 的焦点，
的个数为__________. 在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为 y2 2 =1的 年全国卷Ⅱ 题 3.（2007 年全国卷Ⅱ文第 12 题）设 F1， F2 分别是双曲线 x − （
9
在双曲线上， 左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 PF ⋅ PF = 0 ，则 PF1 + PF2 = （ 右焦点． 1 2 A． 10 ． B． 2 10 ． C． 5 ． D． 2 ．
从高考试题看圆锥曲线 的复习
一.命题规律
圆锥曲线的考查主要是： 圆锥曲线的考查主要是：
⑴给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的 给出曲线方程， 几何性质； 几何性质； ⑵给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹； 给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹； ⑶给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨 给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系， 论与其有联系的有关问题（如直线的方程、 论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线 的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）； 的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）； ⑷讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系； 讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系； ⑸考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数 考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、 不等式、三角函数、向量、导数等）。 列、不等式、三角函数、向量、导数等）。
2 2 2 称作“果圆” ， 称作“果圆” 其中 a = b + c ， a > 0 ， b > c > 0 ．
如图， 是相应椭圆的焦点， 分别是“果圆” 如图，点 F0 ， F1 ， F2 是相应椭圆的焦点， A1 ， A2 和 B1 ， B2 分别是“果圆”与
y
轴的交点． x ， y 轴的交点． （1）若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求 的等边三角形， ） 果圆”的方程； “果圆”的方程； （2）当 A1 A2 > ）
四.复习建议
1.系统复习，构建知识网络(回归课本 系统复习，构建知识网络 回归课本 回归课本) 系统复习 如：高中现行教材《数学》第二册（上）132页第 题 高中现行教材《数学》第二册（ 页第6题 页第
题 2.（2004 年湖南卷文第 15 题）F1，F2 是椭圆 C： （ ：
x2 y2 = 1 上求一点 使它与两个焦点的连线垂直 上求一点,使它与两个焦点的连线垂直 使它与两个焦点的连线垂直. 题1.在椭圆 + 在椭圆 45 20 x2 y 2
S
的最大值． 的最大值．
D
C
4r
A
2r
B
二.试题特点
1.突出重点知识的考查 1.突出重点知识的考查 2.注重数学思想与方法的考查 2.注重数学思想与方法的考查 3.注重学科知识的综合 3.注重学科知识的综合 4.求真务实， 4.求真务实，有创意 求真务实 07北京理 有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此 07浙江卷理 （文21）是由陈题改编过来的，以椭圆 北京理19考查学生应用圆锥曲线解决实际问题的能力 浙江卷理20（ 考查学生应用圆锥曲线解决实际问题的能力 ） 北京理 有一块半椭圆形钢板， 是由陈题改编过来的， 浙江卷理 如图， 如图， 为载体将直线、椭圆、 AB 为载体将直线、椭圆、不等式进行整合既考查了不等 钢板切割成等腰梯形的形状， 是半椭圆的短轴， 钢板切割成等腰梯形的形状，下底 是半椭圆的短轴，上底 CD 的 式的最值又考查了函数方程思想，是一道务实的题目。 式的最值又考查了函数方程思想，是一道务实的题目。 端点在椭圆上， 端点在椭圆上，记 CD = 2 x ，梯形面积为 S ．
• 对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目 对于圆锥曲线的最值问题， 的条件和结论能明显体现几何特征及意义， 的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考 虑利用数形结合法解； 虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论 • 体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数， 体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数， 再求这个函数的最值 • 定点与定值问题的处理方法有两种：从特殊入手， 定点与定值问题的处理方法有两种：从特殊入手， 求出定点与定值，再证明这个值（ 求出定点与定值，再证明这个值（点）与变量无 直接推理计算，并在计算的过程中消去变量， 关；直接推理计算，并在计算的过程中消去变量， 从而得到定值（定点）。 从而得到定值（定点）。
2 PN 。试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程。 试建立适当的坐标系， 的轨迹方程。
四.复习建议
1.系统复习，构建知识网络(回归课本 系统复习，构建知识网络 回归课本 回归课本) 系统复习 2.总结规律，重视通性通法 总结规律， 总结规律
在平时的训练中我们要善于总结规律和解决问题的方法。 在平时的训练中我们要善于总结规律和解决问题的方法。 ⑴圆锥曲线中对直线的考查 如:直线过定点
1 的条件下， S 的最大值； 3） （ⅡI）求在 k = 0 ， 0 < b <的面积的最小值． 的条件下， 的最大值； （ ． 求四边形 ABCD 的面积的最小值． ） 的方程． （II）当 AB 的方程 ） 的方程； （Ⅰ）求椭圆 C= 2 ， S；= 1 时，求直线 AB 的方程．
O
x
B
3 两点， （Ⅱ） 设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点， 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ， △ AOB 求 2
二.试题特点
1.突出重点知识的考查 1.突出重点知识的考查 2.注重数学思想与方法的考查 2.注重数学思想与方法的考查
x y 陕西卷理21（ 文 ）、天津理22等考查了分类讨 浙江卷理20（ 右焦点分别为 F1 ， 等考查了分类讨 （ ）、全国卷 陕西卷理 的左、21）、全国卷Ⅰ过 F1 的直线交椭圆于 B，D 浙江卷理 的左、 ）、天津理 理 （ ）、全国卷Ⅰ 已知椭圆 3 + 2 = 1（文22）、天津理 F2 ． 21（文 论思想； 22）、等考查了函数与方程思想 ）、等考查了函数与方程思想 论思想； ）、
）
5
高中现行教材第二册（ 页例2 高中现行教材第二册（上）85页例 页例
求证到圆心距离为a(a＞ 的两个相离定圆的切线长相等 题4.求证到圆心距离为 ＞0)的两个相离定圆的切线长相等 求证到圆心距离为 的点的轨迹. 的点的轨迹
如图， 题 5.如图，圆 O1 与圆 O 2 的半径都是 1， O1O 2 = 4 ，过动点 P 如图 ， ，使 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线 PM、PN（M、N 分别为切点） 使 、 （ 、 分别为切点） ， 得 PM =
x2 y2 p A ( − 4,FA = x C (4,= x ， 顶 点 x BB+ 在 椭 + 1 FC + xC=+ p上 xC +则 0) 和 + p 0) + 1 FB = = x B 圆 25 =16 1 = ， 1 A A 2 2 2 sin A + sin C . x A + xB + xC + 3 = 6 FA = sin B + FB + FC =
⇒x +x +x =3x =3
圆锥曲线与概率的结合
湖北卷）已知曲线 （07 湖北卷）已知曲线
x
10 10 随机投 概率为 图形分别 分别为 ， 图形分别为 S，T，向 T 内随机投一点，则点落在 S 内的概率为
+
y
= 1 与圆 x 2
+ y 2 = 100 围成的 围成的
圆锥曲线与数列的结合
全国卷Ⅱ （07 全国卷Ⅱ理第 20 题）在直角坐标系 xO y 中，以 O 为圆心的圆 与直线 x
AB 是半椭 圆的短轴， 的端点在椭圆上， 圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD = 2x ，梯形面积为 S ．
计划将此钢板切割成等腰梯形的形状， 短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 为自变量的函数式，并写出其定义域； （I）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； ） （II）求面积 ）
为自变量的函数式，并写出其定义域； （I）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； ） （II）求面积 ）
S
的最大值． 的最大值．
D
C
4r
A
2r
B
07上海卷理 ，把焦点位置不同的两个椭圆合成为 上海卷理21， 上海卷理 果圆” “果圆”， y x
2 2
x2 y2 我们把由半椭圆 2 + 2 = 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 2 + 2 = 1 ( x ≤ 0) 合成的曲线 b c a b
线上三点， 线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ，则 FA + FB + FC = （ A．9 ． ） B．6 ． C．4 ． D．3 ．
圆锥曲线与三角函数知识的结合 x F , FC = x C − x F FA = x A − x F , FB = x B −
FA 卷 江苏卷理第 15 题 （07 江苏+ FB + FC = 0 ）在平面直角坐标系 xO y 中，已知 ∆ ABC 顶点 A B C F
A1
B2
.F
O
2
.
F1 B1
F0
.
A2
x
b B1 B 2 时，求 的取值范围； 的取值范围； a
的中点， 是果圆是任一点．求线段[PM]长度最小时，点 P 长度最小时， （3）设 M 是 A1A2 的中点，P 是果圆是任一点．求线段 ） 长度最小时 的横坐标
三.命题趋势
高考圆锥曲线内容在分值和题型上将继续保 持稳定，重点仍然是直线与圆锥曲线（ 持稳定，重点仍然是直线与圆锥曲线（或圆与圆 锥曲线,或圆锥曲线与圆锥曲线），热点主要体现 或圆锥曲线与圆锥曲线）， 锥曲线 或圆锥曲线与圆锥曲线），热点主要体现 直线与圆锥曲线的基础题；轨迹问题； 在：直线与圆锥曲线的基础题；轨迹问题；范围 与位置问题；最值问题；存在性问题； 与位置问题；最值问题；存在性问题；与平面向 量或导数等其它知识相结合的问题. 量或导数等其它知识相结合的问题
2 2
两点，过 F2 的直线交椭圆于 A，C2两点，且 AC ⊥ BD ，垂足为 P ． 两点， 两点， x2 + y = 1 交于 A， B 两 如图， 如图，直线 y = kx + b 与椭圆 2 2 4 x0 y0 < 1； y x2 y2 (>x0) 的离心率为 6 ， 短轴一个端点到右焦点的距离为 ， y 0 ) ，证明： + P 证明： 3 （Ⅰ，记 △ AOB 的面积为bS ． 已知椭圆 C : 点的坐标为 0 2 点 ）设 a 2 + b 2 = 1( a > A 3
• (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构 对于求曲线方程中参数的取值范围问题， 对于求曲线方程中参数的取值范围问题 造参数满足的不等式，通过解不等式(组 求得参 造参数满足的不等式，通过解不等式 组)求得参 数的取值范围；或建立关于参数的目标函数， 数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转 化为求函数的值域 • 求圆锥曲线中参数取值范围的关键是建立关于参 数的函数或不等式。建立不等式的常用方法有： 数的函数或不等式。建立不等式的常用方法有： • （1）利用第二定义中离心率的范围； ）利用第二定义中离心率的范围； • （2）利用圆锥曲线上点坐标的范围； ）利用圆锥曲线上点坐标的范围； • （3）利用点在圆锥曲线内外充要条件； ）利用点在圆锥曲线内外充要条件； • （4）利用相应的一元二次方程的判别式等 ）
面积的最大值． 面积的最大值．
二.试题特点
1.突出重点知识的考查 1.突出重点知识的考查 2.注重数学思想与方法的考查 2.注重数学思想与方法的考查 3.注重学科知识的综合 3.注重学科知识的综合
圆锥曲线与向量知识的结合
O
y
A B F
xCΒιβλιοθήκη y 2 = 4 x 的焦点， A，B，C 为该抛物 (07 全国卷Ⅱ第 12 题)设 F 为抛物线 全国卷Ⅱ 的焦点， 设
−
3 y = 4 相切． 相切．
的方程； （1）求圆 O 的方程； ） （2）圆
O
与
x
轴相交于
A， B
两点，圆内的动点 P 使
P A ， O ， B 成等比数列，求 PA ⋅ PB 的取值范围． P P 成等比数列， 的取值范围．
圆锥曲线与导数、 圆锥曲线与导数、不等式的结合
如图，有一块半椭圆形钢板， （07 北京卷理第 19 题）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 4r ，