江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

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π π 故 g(x)＝f(16－x)＝ 2sin[ (16－x)＋ ] 8 4 π π ＝ 2sin(－8 x＋4)． π π π f(x)＋g(x)＝ 2sin( 8 x＋ 4 )＋ 2sin(－ 8 x π ＋ ) 4 π π π π π ＝ 2cos xsin ＋ 2cos xsin ＝2cos x. 8 4 8 4 8 π 令 － π ＋ 2kπ≤ x≤2kπ ， 得 16k － 8 8≤x≤16k(k∈Z)． 即 y＝f(x)＋g(x)的单调增区间是[16k－ 8,16k](k∈Z)．
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跟踪训练
2．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0， ．已知 ＝ ＋ ， ， π |φ|< )的部分图象如图所示． 的部分图象如图所示． 的部分图象如图所示 2 (1)求f(x)的解析式 (1)求f(x)的解析式； 的解析式； (2)函数 ＝g(x)的图象与 ＝f(x)的图象 函数y＝ 的图象与y＝ 函数 的图象与 的图象 关于直线x＝ 对称 求函数y＝ 对称， 关于直线 ＝8对称，求函数 ＝f(x)＋g(x) ＋ 的单调增区间． 的单调增区间．
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2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象 变换最好是先平移再伸缩，每 一次变换都是对自变量而言的， 要看自变量的变化，而不是看 角的变化． 本类题要分清两类问题， 即是要求用五点作图法作图， 还是只在某一区间内作函数的 图象，两类问题采用的作图思 路不一样．
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例1
x x x sin )， ＝ (cos ， b＝ 已知向量 a＝(3cos ， ＝ ， 3 3 6 1 3 3 x x sin . － 3sin )，函数 f(x)＝ a·b＋ ， ＝ ＋ 6 2 2 2 (1)化简函数 f(x)的解析式． 的解析式． 化简函数 的解析式 (2)在给定的坐标系内，画出函数 f(x) 在给定的坐标系内， 在给定的坐标系内 内的图象． 在 [0,4π]内的图象． 内的图象 (3)函数 f(x)的图象可以由函数 y＝sinx 函数 的图象可以由函数 ＝ 的图象经过怎样的变换得到？ 的图象经过怎样的变换得到？
基础知识梳理
2．余弦曲线 π 左 可以由y＝sinx的图象向2 平移 个单位长度得到． 3．图象作法单位圆 五点作图 (1)精确作法：用 法． (2)作简图：用 法．
基础知识梳理
π 作函数 y＝2sin(2x＋ )的图象， 用五点 3 作图法作图取的五个点就是(0,0)、 0)、 (π， π 3π (2π，0)、(2，1)、( 2 ，－1)对吗？ π 【思考·提示】 不对． 应令 2x＋ ＝ 3 π 3π 0， ，π， ，2π 时对应的 x 的值，y 对 2 2 应取 0,2,0，－2,0 时的五个点．
基础知识梳理
4．y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)x∈[0，＋∞)在物理中的应用
振幅
2π ω
A—— ， 初相
1 T
频率
2π
周期
，f＝ ω
相位
＝
——
T＝
—— ，
，ωx＋φ——
基础知识梳理
5．图象变换 (1)相位变换：y＝sinxy＝ 左 右 sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的 |φ| 点向 (φ＞0)，或向 (φ＜0)平行 移动 个单位长度．
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2π 解：(1)由图象知 A＝ 2， ＝2(6＋2)， ω π π 故 ω＝ ，即 f(x)＝ 2sin( x＋φ)． 8 8 π 又 x＝2， f(x)max＝ 2， sin( ＋φ)＝1， 时 即 4 π π 从而 φ＝ (∵|φ|< )． 4 2 π π 故 f(x)＝ 2sin( x＋ )． 8 4 (2)设(x，y)为 y＝g(x)图象上任一点， 则(x，y)关于直线 x＝8 的对称点为(16－ x，y)， 即有 y＝f(16－x)．
由图示可知，利用最值 π 求 A，利用周期求 ω，把点(6，2)代入求 φ. 【思路点拨】
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(1)由图示知 A＝2. 5π π f(x)的最小正周期 T＝4×( － )＝ 12 6 2π π，故 ω＝ ＝2. T π π 将点(6，2)代入 f(x)的解析式得 sin( 3 ＋φ)＝1， π π 又|φ|<2，∴φ＝6 ， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin(2x π ＋6)． 【解】
图象向左平移 π 个单位 12
y＝2sin2x
π y＝2sin(2x＋6 )．
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【点评】 (1)已知函数图象求函数 y＝Asin(ωx＋ φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法， 由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定 ω，由适 合解析式的点的坐标来确定 φ，但由图象求得的 y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限 定 φ 的取值范围， 才能得出惟一解， 否则 φ 的值不确定， 解析式也就不惟一． π π π π (2)把点(6，2)代入时，可得 2×6＋φ＝2，得 φ＝6. 5π 5π π 若把点( ，0)代入时，可得 2× ＋φ＝π，得 φ＝ . 12 12 6
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例1
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【思路点拨】 (1)利用向 量的数量积公式，代入化简； (2)列表描点法作图；(3)可采x x x x 【解】 (1)a·b＝3cos cos －3sin 用两种图象变换顺序变换． 3sin6 3 6
x x x ＝3cos( ＋ )＝3cos . 3 6 2 1 3 3 x ∴函数的解析式为：f(x)＝ a·b＋ sin 2 2 2 1 x 3 x ＝3( cos ＋ sin ) 2 2 2 2 1 π ＝3sin( x＋ )． 2 6
答案：①
三基能力强化
5．如图是函数 y＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0， π |φ|< )的图象的一部分， 2 则其解析式为 y＝ ________.
解析：由图易知： A＝2 T 5π π π ， 2π 2 ＝ 6 －3＝2⇒T＝π＝ ω ⇒ω＝2
三基能力强化
∴y＝2sin(2x＋φ)； π π 又图象过点(3，0)，∴2×3 ＋φ＝π， π 解得：φ＝ . φ 3 π 故 y＝2sin(2x＋3 )．
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法二：先把 y＝sinx 的图象上所有点 1 的纵坐标变为原来的 2 倍， 得到 y＝sin x 2 的图象， 再把所得图象上所有的点向左平 π 1 π 移 个单位长度，得到 y＝sin( x＋ )的图 3 2 6 象， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为 1 π 原来的 3 倍， 得到 y＝3sin( 2x＋6 )的图象．
向右 可以看成由下面的方法得到：先把 缩短 伸长
正弦曲线上所有的点 时)或
(当φ＞0 1
ω (当φ＜0时)平行移动|φ| 伸长 缩短
个单位长度，再把所得各点的横坐 标 (当ω＞1时)或 (当0＜
三基能力强化
1．(2009年高考山东卷改 编)将函数y＝sin2x的图象向左 平移 个单位，再向上平移1
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(2)列表： (2)列表： 列表 1 π π x＋ ＋ 2 6 6
π 2
π
3π 2
2π
13π 6
x y
0
3 2
2π 5π 3 3
8π 11π 3 3
0 3
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描点，并用光滑的曲线连 结起来．
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(3)法一： 先把 y＝sinx 的图象上所有 π 的点向左平移 6 个单位长度，得到 y＝ π sin(x＋ )的图象， 再把所得图象上所有点 6 的横坐标变为原来的 2 倍， 得到函数 y＝ 1 π sin( 2x＋ 6 )的图象，再把所得图象上所有 点的纵坐标变为原来的 3 倍，得到 y＝ 1 π 3sin( x＋ )的图象． 2 6
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象和性质
基础知识梳理
1．正弦函数y＝sinx的图象 特征
(0,0)、(π，0)、(2π，0) 、 ， 、 ， 关于原点对称，五点法作 π 3 (2，1)、(2π，－1) 简图中五个点通常是平衡点 平衡点 轴 最值点 三个，最值 y轴
点 一个
．任何 都是正弦曲线的
π 答案：2sin(2x＋3)
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考点一 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 ＝ ＋ ， 的简图
1． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象在一个周期 T 内的“五点”横向间距必相等， 4 ， 为 于是“五 φ T 点”横坐标依次为 x1＝－ ，x2＝x1＋4 ，x3＝ ω T x2＋4 …这样可以快速地求出“五点”坐标．
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(2)变换过程如下: (2)变换过程如下: 变换过程如下
图象向左平移 法一: 法一:y=2sinx π 个单位 6
π y＝2sin(x＋6 )
所有点的横坐标缩短为
1 原来的 ，纵坐标不变 2
π y＝2sin(2x＋6)．
所有点的横坐标缩短为
1 原来的 ，纵坐标不变 2
法二： 法二： y=2sinx
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注意：确定φ时，若能求出 距离原点最近的右侧图象上升 (或下降)的零点的横坐标x0， 令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)， 即可求出φ，也可以用最高点 或最低点的坐标来求，如果对 φ有范围要求，则可用诱导公 式转化．
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例2 已知函数 已知函数f(x)＝ ＝ Asin(ωx＋φ)(A>0， ＋ ， ω>0，|φ|<)的部分 ， 的部分 图象如图所示． 图象如图所示． (1)求函数 求函数f(x) 求函数 的解析式； 的解析式； (2)如何由函数 ＝2sinx的图象通过 如何由函数y＝ 如何由函数 的图象通过 适当的变换得到函数f(x)的图象，写出 的图象， 适当的变换得到函数 的图象 变换过程． 变换过程．