灰色关联度的两种新算法定义灰色关联度的两种新算法定义

灰色关联度的两种新算法定义
章 真,浙江杭州半山发电厂,安技部 曹云娟,浙江省电力职工大学,热机室
[提要]灰色关联度是灰色系统理论中的一个重要概念.但是一般使用"最小差-最大差"算法的关联度对信息的利用率比较低,有时还会出现与实际情况不符的关联度.为此,我们希望通过对关联度算法的重新定义来提高信息的利用率并消除原来关联度存在的不足.新定义的关联度有两种.一种是通过概率论中方差的概念引出的.另一种是通过熵的概念引出的.这两种新定义都有某些相似的性质,并能更好地反映实际情况.
[关键词] 熵关联度; 方差关联度.
Two New Algorithm Definitions of Grey Incidence Degree
Zhang Zhen, HangZhou BanShan Power Plant Cao Yun Juan, ZheJiang Power Professional Institute
[Abstract] The grey incidence degree is an important concept. However, the incidence degree by using generally "min-max" is lower utilization for information, and sometimes it may be produced that the degree could not conform to reality. So we hope to advance information utilization and dispel the insufficient of ordinary incidence degree through define again incidence degree. There are two kinds of new definition incidence degree. One is brought about the variance concept fo probability and the other is brought about the entropy concept. These two new definitions have some resemble characters. And they can better reflect actual situation.
[Keywords] entropy incidence degree; variance incidence degree.
1.引言
在灰色系统理论中,关联度是一个重要部分.从数学角度来说,关联度反映了各曲线之间的几何形状的相似性,即几何形状越相似,其关联度越大.
在关联度的计算中,原来一般都采用"最小差-最大差"法.这两种方法一般比较粗糙,它对信息的利用率也较低.例如参考数列与比较数列如下:
X0: 0, 2, 4, 6, 8, 10 X1: 1, 3, 5, 7, 9, 11 X2: 0, 3, 3, 7, 7, 9
则根据"最小差-最大差"的关联度算法得
r 1=0.333, r 2=0.444,
即X1对X0的关联度低于X2对X0的关联度.但是从曲线的相似性来看,如图1.1.所示
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2
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图1.1
显然X1对X0比X2对X0更相似,因此X1对X0的关联度应大于X2对X0的关联度.
为了克服这种不足,我们试图改进"最小差-最大差"的关联度计算方法,给出更加合理的计算方法.
2.关联度的基本性质
关联度作为反映曲线形状相似性的一种度量,首先它应与参考曲线的上下平移无关,即如有参考数列与比较数列为:
X0: X0(1), X0(2), …, X0(N) Xi: Xi(1), Xi(2), …, Xi(N),
其关联度为r i ,则将X0加上(或减去)一个常数C
X0+C: X0(1)+C, X0(2)+C, …, X0(N)+C
其关联度不应变化,还是应该为r i .这个性质我们称为"平移不变性".
.
20406080100123456
图2.1.平移不变性
其次,如果X0(1)-Xi(1)=X0(2)-Xi(2)=…=X0(N)-Xi(N)=常数,则其关联度应最大,即r=1.这个性质我们称为等差最大性.
0204060801001
2
3
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6
图2.2.等差最大性
3.熵型关联度
熵是热力学中的一个概念,它反映系统的混乱程度.在热力学中,一个系统在达到热平衡后,即各点的温度相同,则熵最大.这就是说,一个分布在各点都相同时其熵达到最大.为此我们可以定义熵关联度为:
定义3.1.设
∆∆=m ax (),i k
i k , πi i i l
k k l ()()(())
=
++∑
∆∆
∆∆, H k k i i i k N
=-=∑ππ()log ()1
.
则熵关联度为
r H H i i j
j
=
m ax .
从定义可以看出,熵关联度是一种相对关联度,关联度中的最大者始终为1.
定理3.1.熵关联度满足等差最大性. 证明.显然.
对于第1节中的例子,用熵关联度计算得H r 1107781==.,与H r 220458059==.,..由此可见这比较符合实际情况并且与下述方差关联度的值也比较接近.
4.方差关联度
在概率论中,方差反映了分布曲线的离散程度.如果分布曲线的点越离散,则方差越大.现在我们根据方差的这个特性来定义关联度.
定义4.1.设
X0: X0(1), X0(2), …, X0(N) Xi: Xi(1), Xi(2), …, Xi(N),
则Xi 与X0的方差关联度定义为
r i i
=
+11α∆
此处α是分辨系数,
∆∆
∆
i i
i
l N
k N
N
k N
l =
-
==∑∑111
1
2
(()()),
∆i k Xi k X k ()()()=-0.
定理4.1.方差关联度满足平移不变性与等差不变性. 证明.(1)设X0经过平移后变成
X0+C: X0(1)+C, X0(2)+C, …, X0(N)+C, 则
)∆i C +()()()()()∆∆i
C i i k X k X k C k C =--=-0,故 ∆∆
∆
i
C
i
C i
C l N
k N
N
k N l =-
==∑∑1112
1
(()()) =--
-==∑∑112
1
1N k C N
l C i
i
l N k N
(()(()))∆
∆
=
-
===∑∑
112
1
1
N
k N
l i i
l N
k N
i (()())∆∆
∆ ,
即得r r i C
i = .
(2)设差为D ,即∆i k Xi k X k D ()()()=-=0.则
∆∆
∆
i i
i
l N
k N
l N
k N
N
k N
l N
D N
D =
-
=
-
=====∑∑∑∑111102
1
1
2
1
1
(()())()
,
故
r i i
=
+=
+=11110
1α∆.
对于第1节中的例子,用方差关联度计算得∆1101==,r 与∆2208975069==.,.r ,此处α取0.5.由此可见这比较符合实际情况.
5.结束语
方差关联度与熵关联度作为两种关联度的新定义各有其特点.
熵虽然是一个热力学概念,但是它具有更深刻的信息论意义.因此通过熵定义的关联度较适用于信息不全的埸合.
方差是概率论中的一个概念,而概率论本身就是描述不确定性的一门学科.对于灰色系统理论来说,其主要目的也是描述不确定性,不同的是更广义的不确定性,即随机不确定性与模糊不确定性.因此可以肯定方差关联度较适用于随机不确定性占主导地位灰色系统.
参考文献
[1]邓聚龙,"灰色预测与决策",华中理工大学出版社,1986. 注：《系统工程》98增刊。