全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆学案

第5讲椭圆板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．考点2 椭圆的标准方程和几何性质[必会结论]椭圆的常用性质(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e ＝1－b 2a2. [考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(5)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．[2017·浙江高考]椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53.故选B. 3．[2018·广东模拟]已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.4．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.答案14解析 椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋y 21m＝1，因为其焦点在y 轴上，所以a 2＝1m，b 2＝1，依题意知1m ＝2，解得m ＝14. 6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4；②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.板块二 典例探究·考向突破考向 椭圆的定义及标准方程例1 (1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案 4解析 连接PF 2，则OM 为△PF 1F 2的中位线， |OM |＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a >|F 1F 2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)[2018·厦门模拟]已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为( )A ．6B ．4C ．2D ．8 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4(当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B.(2)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________．答案x 216＋y 212＝1 解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(3)[2017·豫北六校联考]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3. ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.考向 椭圆的几何性质例2 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. (2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案35解析 由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去)．触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【变式训练2】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B. (2)[2018·锦州模拟]设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33. 考向 椭圆中的焦点三角形例3 [2018·漳浦县校级月考]椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tanθ2. 解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]．∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2.(2)证明：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.触类旁通椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ；(3)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc ；(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )； (5)当P 为短轴端点时，θ最大；(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I ，延长PI 交F 1F 2于点Q ，则|PI ||IQ |＝|PF 1||F 1Q |＝|PF 2||F 2Q |，所以|PI ||IQ |＝|PF 1|＋|PF 2||F 1Q |＋|F 2Q |＝2a 2c ＝1e(e 为离心率)．【变式训练3】 (1)如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．答案 内切解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 、F ′分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2，如图所示．设PF 中点为M ，连接PF ′，∴OM 是△PFF ′的中位线，可得|OM |＝12|PF ′|，即两圆的圆心距为12|PF ′|根据椭圆定义，可得|PF |＋|PF ′|＝2a ，∴圆心距|OM |＝12|PF ′|＝12(2a －|PF |)＝a －12|PF |，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2相内切．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9.所以b ＝3.考向 直线与椭圆的综合问题命题角度1 弦的中点问题例4 [2018·南昌模拟]已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y29＋x 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即9x ＋y －5＝0. 命题角度2 弦长问题例5 [2018·陕西咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． 触类旁通直线与椭圆综合问题的处理方法解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．核心规律1.椭圆中的参数a ，b ，c 三者的关系为a 2－b 2＝c 2，这是椭圆中参数关系的核心． 2.求离心率常用两种方法：(1)求得a ，c 的值，代入公式e ＝ca即可；(2)列出a ，b ，c 的方程或不等式，根据b 2＝a 2－c 2将b 消掉，转化为含有a 和c 的关系，最后转化为关于e 的方程或不等式．满分策略1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x 2和y 2的分母大小． 2.关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0<e <1.3.注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 14——椭圆离心率范围的求解技巧[2018·衡中模拟]F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．解题视点 将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x |≤a 破解．解析 解法一：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1. 解法二：如图，由题意，∠F 1PF 2≥90°，∠OPF 2≥45°，sin ∠OPF 2＝c a ≥22， ∴22≤e <1. 答案22≤e <1 答题启示 建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.跟踪训练已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 答案 B解析 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴的一个端点为B ，中心为O ，椭圆上任意一点为M ，过焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线的交点为P ，则点P 在以O 为圆心，|F 1F 2|为直径的圆上，且该圆的半径r ＝|OP |＝12|F 1F 2|＝c (其中c ＝a 2－b 2)，则由椭圆的性质及题意可得r <b ，即c <b ，所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，得2c <a ，所以e ＝c a <12＝22，故所求椭圆的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2016·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.513 C.49 D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513.故选B. 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.5．[2018·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.5＋14 B.5－12 C.3－12 D.3＋14答案 B解析 ∵过椭圆的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，∴c ＝b 2a ，即ac ＝a 2－c 2，∴e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12，故选B.6．[2018·惠来月考]以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 解法一：由题意知，c ＝1，a 2－b 2＝1，故可设椭圆的方程为x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，离心率的平方为：1b 2＋1①， ∵直线x －y ＋3＝0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ＝36(b 4＋2b 2＋1)－4(2b 2＋1)(8b 2＋9－b 4)≥0， ∴b 4－3b 2－4≥0，∴b 2≥4，或b 2≤－1(舍去)， ∴b 2的最小值为4，∴①的最大值为15，此时，a 2＝b 2＋1＝5，∴离心率最大的椭圆方程是：x 25＋y 24＝1.故选C.解法二：令直线x －y ＋3＝0与椭圆的一个交点为P ，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|， ∵e ＝2c 2a ＝22a ，∴当|PF 1|＋|PF 2|最小时e 最大，F 1，F 2在直线x －y ＋3＝0的同侧，F 1关于x －y ＋3＝0的对称点F 1′(－3,2)，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1′|＋|PF 2|≥|F 1′F 2|＝25，即2a ≥25，a ≥5，当a ＝5时e 最大，此时b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.故选C.7．[2018·深圳检测]若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.8．[2018·江西模拟]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a＝22，所以e ＝22. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值． 解 (1)∵c ＝3，e ＝32，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由于y 1x 1·y 2x 2＝－14，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 21x 22＝16y 21y 22.而x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1，则1－x 214＝y 21，1－x 224＝y 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＝y 21y 22，则(4－x 21)(4－x 22)＝16y 21y 22， (4－x 21)(4－x 22)＝x 21x 22，展开得x 21＋x 22＝4为一定值．10．[2018·山东模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x 2＋y 2＝1上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线过点M (2,0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探讨k 为何值时，OA ⊥OB .解 (1)依题意b ＝1，c ＝1，所以a 2＝2. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)， 所以x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝0， 所以(1＋k 2)(8k 2－2)1＋2k 2－16k 41＋2k 2＋4k 2＝0，解得k 2＝15，此时Δ>0，所以k ＝±55.[B 级 知能提升]1．[2018·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎪⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，故选C.2．[2018·重庆模拟]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( )A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8 答案 B解析 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝19x 2＋7(－3≤x ≤3)，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.3.[2018·鼓楼期末]由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，33 答案 C解析 连接F 0F 1、F 0F 2，根据“果圆”关于x 轴对称，可得△F 1F 0F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形， ∵△F 0F 1F 2是锐角三角形，∴等腰△F 0F 1F 2的顶角为锐角，即∠F 1F 0F 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由此可得|OF 0|>|OF 1|，∵|OF 0|、|OF 1|分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1、x 2c 2＋y 2b2＝1的半焦距，∴c >b 2－c 2，平方得c 2>b 2－c 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－2c 2，解得3c 2>a 2， 两边都除以a 2，得3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2>1，解之得c a >33. ∵右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的离心率e ＝ca∈(0,1)，∴所求离心率e 的范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1.故选C. 4．[2017·北京高考]已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n， 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.5．已知过点A (0,2)的直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围；(2)若以PQ 为直径的圆经过点E (1,0)，求直线l 的方程． 解 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋2消去y 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，令Δ＝(12k )2－36(3k 2＋1)>0， 解得k >1或k <－1，所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0， 则P (0,1)，Q (0，－1)或P (0，－1)，Q (0,1)， 此时以PQ 为直径的圆过点E (1,0)，满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，又E (1,0)，所以EP →＝(x 1－1，y 1)，EQ →＝(x 2－1，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－12k 3k 2＋1，x 1x 2＝93k 2＋1， 所以EP →·EQ →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5＝9(k 2＋1)3k 2＋1＋(2k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋1＋5 ＝12k ＋143k 2＋1. 因为以PQ 为直径的圆过点E (1,0)， 所以EP →·EQ →＝0，即12k ＋143k 2＋1＝0，解得k ＝－76，满足Δ>0，故直线l 的方程为y ＝－76x ＋2，综上，所求直线l 的方程为x ＝0或y ＝－76x ＋2.。