五年级奥数40讲教案选讲2 三阶幻方的性质

幻方定义和规律

幻方定义和规律幻方，作为一种具有神秘色彩的数学游戏，一直以来都吸引着人们的注意。

它的定义和规律引发了许多学者的思考和研究。

在这篇文章中，我们将深入探讨幻方的定义和规律，揭示其中的奥秘。

我们需要了解什么是幻方。

幻方是由一组整数构成的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。

也就是说，幻方是一个特殊的方阵，在数值上呈现出一种平衡和对称的特性。

幻方的规律是如何产生的呢？首先，我们需要明确一个概念——幻方的阶数。

幻方的阶数表示方阵的行数和列数，通常用n表示。

根据幻方的定义，我们知道每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等，所以我们可以推断出幻方的和是多少，即n乘以每个数的平均值。

以3阶幻方为例，我们可以通过数学推导得到。

假设幻方的和为S，根据定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都等于S。

那么，我们可以得到以下等式：3S = n * (n^2 + 1) / 2。

通过解方程，我们可以求解出S的值。

幻方的规律还表现在数字的排列上。

对于奇阶幻方来说，数字的排列是相对简单的，可以利用一种叫做"奇序法"的方法来构造。

奇序法的基本思想是，将数字按照一定的规则填充到方阵中。

具体的规则是，从第一行的中间列开始，依次填充数字，每次向右上方移动一格。

当超出方阵边界时，需要按照特定的规则进行处理。

通过这种方法，我们可以构造出任意奇阶幻方。

对于偶阶幻方来说，数字的排列就更加复杂了。

由于偶数无法平分为两个相等的整数，所以无法使用奇序法来构造。

但是，通过一些特殊的技巧和方法，我们仍然可以构造出偶阶幻方。

其中最著名的就是四阶幻方，也被称为"洛伊斯四阶幻方"。

洛伊斯四阶幻方是由德国数学家洛伊斯于1848年发现的，它的构造方法相当巧妙。

除了基本的规律之外，幻方还有一些更加深奥的特性。

例如，幻方的对角线之和等于方阵中所有数字之和的一半。

这是一种非常有趣的性质，也是幻方研究中的一个重要发现。

幻方知识点总结

幻方知识点总结一、幻方的定义。

幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。

例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。

二、幻方的阶数。

1. 阶数的概念。

- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。

常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。

2. 不同阶数幻方的特点。

- 三阶幻方。

- 是最基本、最常见的幻方。

它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。

在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。

例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。

- 四阶幻方。

- 构造相对复杂一些。

四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。

三、幻方的构造方法。

1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。

- 把1（或最小的数）放在第一行正中。

- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。

- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。

- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。

- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。

2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。

- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。

- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。

例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。

三阶幻方的性质

选讲2 三阶幻方的性质
一、知识点整理：
性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；
性质2：幻方的中心数为数列的中间数；
性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；
性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；
性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；
性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；
性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

二、精讲精练
例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

练习1
在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.
例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（1）如下左图所示，求x ；
（2）如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在（1）的基础上完成填图。

练习2
下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？。

五年级奥数等差数列、三阶幻方、分数的拆分专题

选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项＋(项数－1)×公差项数公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

(1)1＋2＋3＋…＋49＋50 (2)6＋7＋8＋…＋74＋75(3)100＋99＋98＋…＋61＋60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

(1)2＋6＋10＋14＋18＋22 (2)5＋10＋15＋20＋…＋195＋200(3)9＋18＋27＋36＋…＋261＋270【例题5】计算(2＋4＋6＋...＋100)－(1＋3＋5＋ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

(1)(2001＋1999＋1997＋1995)－(2000＋1998＋1996＋1994)(2)(2＋4＋6＋...＋2000)－(1＋3＋5＋ (1999)(3)(1＋3＋5＋...＋1999)－(2＋4＋6＋ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈(一圈套一圈)做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？选讲2 三阶幻方的性质一、知识点整理：性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；性质2：幻方的中心数为数列的中间数；性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

趣谈三阶幻方

趣谈三阶幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)一、什么是三阶幻方把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。

相等的和叫做幻和。

传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范. 九筹》(治国的九种大法)。

实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。

我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫: 四海三山八洞仙，九龙五子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中。

汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。

”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。

公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。

古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。

也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。

金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天, 黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。

郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。

两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重机关终于来到了神算子的门前。

只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算子数目，报出了得数。

那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。

那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？”病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。

闻听此言，那女子面如死灰。

正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。

二、数学教材中的三阶幻方人教版和北师大版小学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。

1 三阶幻方

1 三阶幻方三阶幻方教学内容：三阶幻方内容分析：本课主要是让学生了解幻方的起源，初步认识幻方，探索幻方的规律，能用0~8九个数字快速完成,并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。

在教学中教师通过故事的讲述引入幻方，最后让学生简单了解幻方历史的同时激起学生对中国古代数学文化的兴趣；教学过程中采用观察、动手操作、小组活动等形式让学生探讨三阶幻方的几个基本特点，初步培养学生比较、分析、判断、概括等能力。

学情分析：《幻方》这一知识对于三年级学生来说是比较抽象、难理解的，是一个全新的数学问题。

因此，教师努力为学生的数学学习提供生动活泼、主动求知的材料与环境，让每个学生参与知识的形成过程，使学生在获得数学基本知识和基本技能的同时，发展数学能力，体会学习数学的乐趣，建立学好数学的信心。

教学目标：1. 初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。

2. 能基本了解三阶幻方规律填出0~8的幻方并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。

3. 培养自主探究的能力和团结协作的能力。

教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。

教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。

教具准备：课件、幻方模型。

教学过程：1. 故事引入（射雕英雄传的故事）师：今天老师想带大家来玩一个游戏，在这之前呢,老师请大家先听一个故事（媒体）【策略说明：数学是来源于生活的。

故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。

】2、探究新知（一）初试幻方师:如果是你,你会怎样想引出”幻和”概念拿出学具,进行了解师:你能快速填出三阶幻方吗请以小组为单位,开始你们的尝试.(展示学生作品,学生判断是否正确)【策略说明：初步认识幻方】（2）寻找幻方的特征1. 课件出示三阶幻方的8种情况,学生找规律.(板书规律)师:仔细观察这8张图,你发现了什么交流板书:(1)由1到9九个数排成的(2)幻和等于15(3)双数在四个角上,单数在中间(4)5(中间数)相对的两个端点数和是5(中间数)的两倍(5)5在中间(6)角落上的数是对顶数两边数和的一半【策略说明：计算是学习重点，本环节是通过正确计算来揭示幻方的规律。

【参考借鉴】小学奥林匹克辅导-三阶幻方.doc

三阶幻方1—9这9个连16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1.用1～9分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

e，看图2。

也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。

a是奇数还是偶数。

如果ad与g同是奇数或同是偶数。

分两种情况：<1>当d、g e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。

这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9<2>当d、g i为奇数，所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。

说明d、g都是偶数也不行。

所以a i也是偶数。

用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。

也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。

（5a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试6用1～9说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。

三阶幻方三角形原理

三阶幻方三角形原理1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：首先，介绍三阶幻方的概念和基本特点。

三阶幻方是指一个3x3的矩阵，其中每个元素都是不同且连续的自然数，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。

这样的矩阵具有独特的数学性质和美学价值，因此一直受到数学学者的关注和研究。

其次，解释三阶幻方三角形的构成原理。

三阶幻方三角形是由三阶幻方中的数字按照特定顺序排列而成的三角形。

具体构成原理是将幻方中的数字按照规律放置在三角形的行、列和对角线上，使得每条边上的数字之和都相等。

通过这种排列方式，我们可以得到一个与传统幻方不同的几何形状，展现了幻方数学性质的另一种形式。

最后，强调研究三阶幻方三角形的重要性和应用前景。

三阶幻方三角形作为一种特殊的几何形状，不仅具有美学价值，还有着潜在的应用前景。

它可以应用于图形设计、游戏开发、数学教学等领域，为我们带来更多创新思维和美的享受。

因此，研究三阶幻方三角形的原理和应用具有重要的意义和价值。

通过以上内容的概述，读者可以初步了解三阶幻方三角形的定义、特点以及构成原理，并知晓研究该主题的目的和意义。

这为后续章节的展开提供了基础。

1.2文章结构文章结构部分主要介绍文章的组织结构和各部分的内容。

本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分为文章的开篇，旨在概述本篇文章的主要内容和目的。

同时，引言部分还包括文章的背景介绍，让读者了解到三阶幻方三角形的研究意义和现实应用价值。

正文部分是本文的主体部分，主要介绍了三阶幻方的定义和特点，以及三阶幻方三角形的构成原理。

在介绍三阶幻方的定义和特点时，可以涉及三阶幻方的基本概念、性质和一些经典例子，以便读者对三阶幻方有一个基本的了解。

在介绍三阶幻方三角形的构成原理时，可以详细解释三阶幻方三角形的构造方法和规律，以及构造过程中的一些技巧和注意事项。

结论部分是对整篇文章进行总结和归纳，主要总结三阶幻方三角形的构造原理，并对其应用前景进行展望。

选讲2 三阶幻方的性质

选讲2 三阶幻方的性质
一、知识点整理：
性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；
性质2：幻方的中心数为数列的中间数；
性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；
性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；
性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；
性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；
性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

二、精讲精练
例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

练习1
在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.
例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（1）如下左图所示，求x ；
（2）如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在（1）的基础上完成填图。

练习2
下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？。

新版小学奥数三阶幻方讲解归纳

进行了系统的研究。他称这种图为“纵为“一对”，4,6 位为“一对”，）
4、每“对”数的连线都过“中心” 。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：为“一对”，4,6 位为“一对”，）
横图”，他提出了一个构造三阶幻方的（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻方的定义是如何做到的？？
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
九子斜排，上下对易，（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用一次,使每一横行、竖列、对角线上三个数的和都相等.
生活中的幻方
492 3 57 816

?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
大数学家杨辉的构造方法：
为“一对”早，4,6 在位为“公一对”元，）1275年，宋朝的杨辉就对幻方
4、每“对”数的连线都过“中心” 。早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。

小学奥数专题巧解三阶幻方A

1 中的幻方，并求幻和图。2
用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
5
2 056
图1
图3
04
在图3的空格中填入不大
于15且互不相同的自然
数使每一横行、竖行和
对角线上的三个数之和
都等于30。
9
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上 1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的 3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。
一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
这九
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
01
把3、7、11、15、19、 23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造反三阶幻方。

优质课【部优】《灵敏巧慧的数学--三阶幻方》教学设计精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版《灵敏巧慧的数学---三阶幻方》教案新建五中夏拾友一、教材分析：本课题学习是在”有理数及其运算“”的基础上，通过阅读与欣赏引导学生数形结合上感受幻方的均衡对称美；借助有理数的运算探索规律揭示三阶幻方的本质特征；以探寻神奇的幻方为载体，在活动过程中提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。

强调数学知识的关联性、整体性和综合应用性。

二、目标分析1．知识与技能（1）体验有理数混合运算、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；（2）借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心;（3）引导学生从图形上感受幻方的均衡对称美；设计开放性问题引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作;（4）以探寻神奇的幻方为载体提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。

2．过程与方法（1）通过材料，对三阶幻方中所蕴含的规律进行分析、抽象。

（2）教师起到适当引导的作用，并对学生的回答给予肯定与鼓励。

（3）课件演示，辅助教学。

采用学为主导，以学生为主体。

3．情感态度与价值观（1）经历本节课的阅读与欣赏，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲,培养学生的合作精神。

（2）通过这节课让学生感受数学的好玩、欣赏的优美、体会数学家治学的严谨，初步感知数学中的真、善、美。

三、教学思路：通过阅读欣赏河图、洛书的典故，了解九宫格（三阶幻方）的由来，感受祖国文化的博大精深通过鉴赏杨辉对三阶幻方规律的总结，让学生感知并寻找数学中的乐趣，激发他们的好奇心和求知欲通过学生的小组合作，完成提出的问题，让学生感受成功的快乐。

通过欣赏三阶幻方的诗，感受数学也是具有诗歌的内在气质的。

四、教学过程一、阅读欣赏：幻方起源相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一图，作为礼物献给他，这就是“河图”，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

三年级三阶幻方教案

三年级三阶幻方教案教学目标：1.认识幻方的概念与特点2.观察规律，独立思考，培养创新能力3.提高孩子们的数字观念、计算能力和逻辑思维能力教学重点：1.认识幻方的概念，并熟练掌握三阶幻方的构造方法2.在构造幻方的过程中培养孩子们的逻辑思维和创新能力教学难点：1.帮助学生理解并掌握幻方的构造方法，以及规律的产生2.培养学生探究和解决问题的能力教学方法：1.探究式授课，教师启发学生思考，并引导学生自主探索2.幻方题材的小游戏，引发学生的兴趣教学步骤：一、导入（5分钟）学生们围坐在一起，老师让他们自由讨论一下：在生活中，有没有什么东西是由数字组成的？学生举手回答：电影票，电话号码，截止时间等等。

然后老师介绍一下数字的重要性，并向学生们简单介绍一下幻方。

二、学习三阶幻方构造方法（20分钟）1、什么是幻方？介绍幻方的概念。

2、幻方的规律是什么？如何构造三阶幻方？具体方法如下：首先，把1放在第一行的正中间，即第一行第二列的位置上。

然后，从2开始依次向右上方移动。

例如:2放在第一行第三列，3放在第一行第四列，4放在第二行第四列，5放在第三行第四列，依此类推。

当填满最后一个数字9时，构成了一个三阶幻方。

3、举例说明构造幻方的方法。

三、动手实践掌握方法（15分钟）让学生们在黑板上模仿示范，用纸与笔模拟三阶幻方的构造过程。

引导学生们分别画出三阶幻方的所有行、列、对角线的和，帮助他们了解幻方规律。

四、小游戏巩固知识（15分钟）让学生组成小组，在班级大屏幕上进行幻方小游戏，比赛哪个小组先完成一道三阶幻方。

对于初学幻方的学生，老师可以将部分三阶幻方数字进行提前给出，让学生根据此构造幻方。

五、总结（5分钟）通过学习与实践，学生们对幻方有了更广泛的了解，老师总结本堂课的内容，帮助学生回顾今天所学的知识点，鼓励他们在后续学习中勇敢尝试。

六、作业布置（5分钟）1、让学生自己动手构造一个三阶幻方。

2、让学生在家里找一些数字物品，写下他们的数字，并尝试构造幻方。

三年级三阶幻方教案

三年级三阶幻方教案一、引言幻方是一种特殊的正方形矩阵，其中每一行、每一列和对角线的元素之和相等。

在数学教育中，通过幻方的学习和探索，可以培养学生的逻辑思维、数学运算能力、空间认知能力等。

本文档将介绍三年级学生学习三阶幻方的教学方法和相关练习。

二、教学目标1.了解幻方的定义和特点；2.能够构造和解答三阶幻方；3.培养学生的逻辑思维和数学运算能力。

三、教学内容1.幻方的概念和特点–定义：幻方是一个由数字组成的正方形矩阵，其中每一行、每一列和对角线的元素之和相等。

–特点：幻方中的数字范围从1到n²，n为幻方的阶数，每个数字只能使用一次。

2.三阶幻方的构造方法–基本构造法：从1开始，依次填入幻方的每个位置。

| 2 | 7 | 6 ||---|---|---|| 9 | 5 | 1 || 4 | 3 | 8 |–数学公式法：根据规律填入幻方的每个位置。

| 8 | 1 | 6 ||---|---|---|| 3 | 5 | 7 || 4 | 9 | 2 |3.三阶幻方的解答方法–列消元法：根据幻方的特点，将三阶幻方的第一列转化为123（n²的每个数字只能使用一次）。

–辅助数法：根据幻方的特点，通过填入辅助数字来解答幻方。

例如，将幻方的第一行填入1,2,3，然后推导出其他位置的数字。

四、教学步骤1.引入幻方的概念和特点，让学生了解幻方的定义和规律。

2.展示三阶幻方的不同构造方法，引导学生思考幻方的构造规律。

3.分组活动：让学生用基本构造法和数学公式法进行幻方的构造，并分享自己的思路和结果。

4.学生自主解答三阶幻方的解答方法，通过列消元法和辅助数法进行解答。

5.分组对练：学生进行三阶幻方的解答比赛，以提高学生的逻辑思维和解题速度。

6.结束活动：复习幻方的构造和解答方法，并对学生的表现进行评价和总结。

五、教学评价方法1.老师观察学生的课堂表现，包括学生对幻方概念的理解、构造方法的掌握和解答能力的运用。

三年级三阶幻方教案

三年级三阶幻方教案1. 简介幻方是一种古老而有趣的数学谜题，被广泛用于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

本教案主要介绍如何在三年级教学中引入三阶幻方，帮助学生学习和理解该数学概念，并通过实践操作提高他们的解决问题能力和团队合作能力。

2. 教学目标•了解幻方的概念和特点•能够构造出三阶幻方•提高学生的逻辑推理和解决问题能力•培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学准备•幻方的定义和特点•三阶幻方的构造方法•三阶幻方的实例•学生黑板和白板笔•学生练习册和作业本•计时器•分组命名牌4. 教学过程步骤1：引入幻方概念（15分钟）•向学生简单介绍幻方的定义和特点，强调幻方中每行、每列和对角线上的数之和都相等。

•展示一些幻方实例，并让学生观察规律和特点。

步骤2：构造三阶幻方（30分钟）•向学生讲解构造三阶幻方的方法：1.将数字1放在第一行的中间位置；2.从数字2开始，按照右上方45度方向填充数字，如果方格已被填充则向下一行移动；3.如果移动到最右上角，则转移到最左下角继续填充。

•按照上述方法，现场演示如何构造出一个三阶幻方。

•让学生分组练习构造三阶幻方，并设定时间限制。

步骤3：讨论和总结（15分钟）•让每个小组展示他们构造的三阶幻方，并让其他小组检查其正确性。

•引导学生讨论构造幻方时的策略和规律，总结构造三阶幻方的步骤和技巧。

步骤4：解决问题和拓展（30分钟）•提出一些有关幻方的问题，让学生在小组内讨论和解决，例如找出对角线上所有数字之和等于某个特定值的幻方。

•鼓励学生分享解决问题的方法和思路。

•将解决问题的时间限制在一定范围内，促进学生合作和集体智慧。

步骤5：作业和反思（10分钟）•发放练习册和作业本，让学生完成相关练习题。

•邀请学生分享他们在本节课中的学习感悟和困惑。

5. 教学拓展•引导学生尝试构造其他阶数的幻方，如四阶、五阶等，并探究其构造方法和规律。

•引导学生寻找幻方与数学中其他概念的联系，如平方数、素数等。

《三阶幻方》微课程设计方案

知识类型
√理论讲授型 □推理演算型 □技能训练型 □实验操作型
□答疑解惑型 □情感感悟型 □其他
制作方式
□拍摄 √录屏 □动画 □其他（可多选）
预计时长
5分钟
微课程设计
教学过程
龟背上的数学。
你好，今天要学习的知识是龟背上的数学，幻方。
你听说过洛书吗？那大禹治水的故事听过吧！
传说，大约公元前2000年的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人民的生活与生产。于是，当时的皇帝夏禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。后来，一只神龟从河里越出，驼着一张图献给大禹。图上有九个数字，大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。这张图，就是文明于世的洛书。
按照这样的要求，整理后，利用1到9九个数字能写出的三阶幻方就只有8种情况。
小朋友，现在你是不是更加认识和了解幻方了？你能说说什么样的数字表格是幻方呢？这是一个由9个三阶幻方组成的新的幻方，认真观察，你一定会有新的发现。
自评等级
□优秀□合格□不合格
《三阶幻方》微课程设计方案
基本信息
县（市、区）
学校
姓名
学科
数学
能力维度
□学情分析√教学设计□学法指导□学业评价
所属环境
□多媒体教学环境√混合学习环境□智慧学习环境
微能力点
B2微课程设计与制作
教学环境
混合学习环境
教学主题
北师大版小学数学六年级实践活动课
选题意图
本课主要是让学生初步认识幻方，探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地填出幻方中的缺数。
这里说得洛书就是我们今天要研究的内容。
在古时候，人们玩的游戏，重排九宫，象棋，围棋，华容道等，都和它有关。洛书，又叫魔方，九宫算或者纵横图，我们现在叫它幻方，是一种具有奇妙性质的数字表格。

小学奥数三阶幻方

三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。

三阶幻方是一种特殊的数阵图。

例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。

分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。

8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。

随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。

2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。

公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。

（4）（5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。

6、把下图三阶幻方补充完整。

练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。

2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。

（第1题）（第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。

（第3题）（第4题）（第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。

5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。

6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。

（第6题）（第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。

这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。