概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度ppt课件
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概率论与数理统计ppt课件
f n ( A) 12 16 75%
某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记
A={听课迟到}，则
# 频率 fn ( A) 反映了事件A发生的频繁程度。
16
例：抛硬币出现的正面的频率
表 1
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 n =50 n =500
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
n 若取n＝64，N＝365, P( A) 1 CN n!/ N n 0.997
n P( A) CN n!/ N n
i 1
k
且 fn ( A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
19
(二) 概率
fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义1：
定义2：将概率视为测度，且满足：
某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记
A={听课迟到}，则
# 频率 fn ( A) 反映了事件A发生的频繁程度。
16
例：抛硬币出现的正面的频率
表 1
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 n =50 n =500
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
n 若取n＝64，N＝365, P( A) 1 CN n!/ N n 0.997
n P( A) CN n!/ N n
i 1
k
且 fn ( A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
19
(二) 概率
fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义1：
定义2：将概率视为测度，且满足：
概率论与数理统计ch2随机变量及其概率分布精品PPT课件
37
几何分布
若随机变量X的概率分布律为 P( X k) p(1 p)k1, k 1, 2,3,..., 0 p 1.
称X服从参数p的几何分布
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设 产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次 品就得停机检修，设停机时已检测到X只产 品，则X服从参数p的几何分布。
求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车 的概率； (2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单 位时间至少有3人候车的概率。
29
解：1 P(X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P(X 2)
1 e 4.8 (1 4.8 4.82 ) 0.8580 2!
2 设5个单位时间内有Y个单位时间是
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
21
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0，1，，n
并称X服从参数为p的二项分布，记
X ~ B(n，p)
n
注：1 ( p q)n Cnk pk qnk 其中q 1 p k 0
22
推导：以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }
例：某人骑自行车从学校到火车站， 一路上要经过3个独立的交通灯，设各 灯工作独立，且设各灯为红灯的概率 为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通 过的交通灯数，求X的概率分布律。
几何分布
若随机变量X的概率分布律为 P( X k) p(1 p)k1, k 1, 2,3,..., 0 p 1.
称X服从参数p的几何分布
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设 产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次 品就得停机检修，设停机时已检测到X只产 品，则X服从参数p的几何分布。
求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车 的概率； (2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单 位时间至少有3人候车的概率。
29
解：1 P(X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P(X 2)
1 e 4.8 (1 4.8 4.82 ) 0.8580 2!
2 设5个单位时间内有Y个单位时间是
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
21
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0，1，，n
并称X服从参数为p的二项分布，记
X ~ B(n，p)
n
注：1 ( p q)n Cnk pk qnk 其中q 1 p k 0
22
推导：以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }
例：某人骑自行车从学校到火车站， 一路上要经过3个独立的交通灯，设各 灯工作独立，且设各灯为红灯的概率 为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通 过的交通灯数，求X的概率分布律。
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
指数分布的“无记忆性”
若 X ~Ｅ(),则
P(X s t X s) P(X t)
事实上
P(X s t X s) P(X s t, X s) P(X s t)
P(X s)
P(X s)
1 P(X s t) 1 P(X s)
则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度．
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F( x )
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
f (x) 0
0,
x 0.
例2 在高为h 的 ABC 中任取一点M ,点M到
AB 的距离为X , 求X 的分布函数，概率密度函数 f (x).
解 作 EF AB, 使EF 与AB间的距离为x
当 0xh 时 F(x) P(X x) S EFBA
S ABC
1 S CEF 1 ( h x )2
S ABC
可用正态变量描述的实例非常之多：
各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度；
人的生理特征； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩；
概率论与数理统计完整ppt课件
06
大数定律与中心极限定 理
大数定律及其应用
大数定律
在随机试验中，当试验次数增加时，事件出 现的频率将逐渐稳定于某个常数值，这个常 数称为该事件的概率。
应用
在现实生活中，大数定律可以用于预测未来 的事件结果，例如天气预报、彩票开奖等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
在独立随机变量之和的情况下，随着变量个数的增加 ，它们的和将逐渐趋近于正态分布。
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
，判断假设是否成立。
方差分析
比较不同组数据的均值差异，判 断因素对数据的影响。
方差齐性检验
检验不同组的方差是否相等，以确 保方差分析的准确性。
05
回归分析与方差分析
一元线性回归分析
• 总结词：一元线性回归是一种基本的回归分析方法，用于研究一个因 变量和一个自变量之间的线性关系。
• 详细描述：一元线性回归分析的核心是确定因变量和自变量之间的线 性关系，即通过拟合一条直线来描述两者之间的关系。这条直线通常 由斜率和截距组成，其中斜率表示自变量每变化一个单位时因变量的 变化程度，截距表示当自变量取值为0时因变量的值。
概率论与数理统计2-4连续型随机变量及其概率密度
x
f t dt
x
当 x 0 时, F x 当 x 0 时, F x
x
f t dt 0dt
x 0
f t dt 0dt
x
0
1 e dt θ
t θ
x
0
x
x
概率论
3. 正态分布 若连续型 r .v X 的概率密度为
e
1 1 dt 2 2
e
t2 2
1 dt 2
2 x R , x 1 x ;
概率论
定理1 若 X ~ N , , 则 Z
2
X
~ N 0 , 1 .
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
X～N(170,62),
概率论
X 170 所以 因为 ~ N (0,1) . 6 X 170 h 170 故 P(X< h)=P 6 6 h 170 6 查表得 (2.33)=0.9901>0.99 设计车门高度为 184厘米时，可使 h 170 因而 = 2.33, 男子与车门碰头 6 机会不超过0.01. 即 h=170+13.98 184
概率论与数理统计--第二章PPT课件
布作近似计算，得所求概率为
P
X3 10
1 10 5k e5 1 0.986 0.014. k0 k !
注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名
维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，
工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.
第21页/共57页
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴．
在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
Xx
第22页/共57页
分布函数具有以下基本性质：
1. 0 F(x) 1
2. F(x)是x的不减函数
3. F() lim F(x) 0，F() lim F(x) 1
第20页/共57页
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低， 而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台 设备，工作效率是（1）中的1.5倍.
（3）以 X3 表示 500 台设备中同时发生故障的台数，则
X3 B(500,0.01). 用 参 数 为 np 500 0.01 5 的 泊 松 分
第5页/共57页
第二节 离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的
概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
1、 f (x) 0
求 P ( X < 0 ).
解一
P( X
0)
0
2
1
2
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
第四节 连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
1、 f (x) 0
求 P ( X < 0 ).
解一
P( X
0)
0
2
1
2
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
第四节 连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
分钟之间的概率.
解 令 X 表示顾客在银行窗口接受服务的时间，则 X 的概率密度为
f
(
x)
=
ì ï í
1 10
-
e
x
10 , x ³
0
ï ïî
0
,x <0
蝌 ? (1)P{X ? 10}
10 f ( x)dx =
Fra Baidu bibliotek
0 0dx +
10
1
-
e
x
-
10dx = - (e
x 10
10
) =1-
e-1；
-?
?
0 10
-
(t-m )2
2s 2 dt ,
x?
(
?
,
?
)
2p s
均匀分布的密度函数和分布函数的图形如下图所示．
y
y
1
f (x)
2
1
1
F(x)
2
0
x
0
x
概率密度函数
分布函数
连续型随机变量及概率密度函数
正态分布概率密度函数具有以下性质： （1）正态分布的密度函数 f ( x)关于 x =m 对称，这表明于任 意正数h有
-?
0
3
2
6
于是X 的概率密度为
概率论与数理统计2.3-连续型随机变量及其分布PPT课件
P( X 200)
P( X P( X
300) 200)
e3 e2
e1
0.3679
2021/3/12
17
若随机变量X对任意的s>0,t>0有
P(X s t | X s) P(X t),
则称X的分布具有无记忆性.
➢指数分布具有无记忆性
➢指数分布和泊松分布有着特殊的联系
2021/3/12
P( X 2) 2P(X 2) 21 (2) 0.0456
2021/3/12
29
例9. 设X～N(2,4),求:
P(X 1) (1 2) (0.5) 1 (0.5) 0.3085
2
P( X 3) P(3 X 3) 3 2 3 2
2 2
(0.5) (2.5) (0.5) (2.5) 1
40
40
(0.25) (1.25) (0.25) (1.25) 1
0.4931
Y:三次测量中{|X|≤30}发生的次数
Y~B(3,0.4931)
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 0.4931)3
1 0.1302 0.8698
2021/3/12
33
例12. 公共汽车车门的高度是按男子与车 门顶头碰头机会在0.01以下来设计 的.设男子身高X～N(170,100),问车 门高度应如何确定?
P( X P( X
300) 200)
e3 e2
e1
0.3679
2021/3/12
17
若随机变量X对任意的s>0,t>0有
P(X s t | X s) P(X t),
则称X的分布具有无记忆性.
➢指数分布具有无记忆性
➢指数分布和泊松分布有着特殊的联系
2021/3/12
P( X 2) 2P(X 2) 21 (2) 0.0456
2021/3/12
29
例9. 设X～N(2,4),求:
P(X 1) (1 2) (0.5) 1 (0.5) 0.3085
2
P( X 3) P(3 X 3) 3 2 3 2
2 2
(0.5) (2.5) (0.5) (2.5) 1
40
40
(0.25) (1.25) (0.25) (1.25) 1
0.4931
Y:三次测量中{|X|≤30}发生的次数
Y~B(3,0.4931)
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 0.4931)3
1 0.1302 0.8698
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33
例12. 公共汽车车门的高度是按男子与车 门顶头碰头机会在0.01以下来设计 的.设男子身高X～N(170,100),问车 门高度应如何确定?
概率论与数理统计课件 2.1一维连续型随机变量
证明 （１）由定义知f(x) ≥0显然。 （２）由分布函数性质知，
F lim F x 1 x
由广义积分概念与定义知，
f xdx lim x f t dt
x
lim F x x
F
1
常利用这两个性质检验一个函数能否
作为连续性随机变量的密度函数
反之，对定义在 (,) 的函数f，满足(1), (2). 如果令
得
60
1
0.1588
0.8412
查表得 90 2.0
60 1.0
解
………..
查表得 90 2.0 60 1.0
解得 70 , 10
x 75.4
故 X ~ N 70,102
设录取的最低分为 x
某人78分，可 被录取。
则应有 PX x 0.2947
PX x 1 0.2947 0.7053
0.617910.6915 0.3094
P(a X b) (b ) ( a )
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人
报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N (, 2 )
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到 低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？
证明：
F(x)
P{ X
x}
P{ X
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
III. 标准正态分布 特别地，称 N(0, 1)为标准正态分布，其
概率密度函数记成
再记
则有
Φ(x)的函数值已制成标准正态分布表 ( 见 附表 2) 。利用此表, 可计算参数已知情形下, 正态随机变量落在一个区间内的概率。
定理2.3.1 若随机变量 任意固定的实数 a和b (a < b), 有
作业：p48，2.8至2.15。
则对
证 由概率密度函数的性质及 (2.3.10)式, 得
证毕。
例2.3.3 已知某台机器生产的螺栓长度 X (单位: 厘米) 服从参数μ=10.05, σ=0.06的正态 分布。若规定螺栓长度在 10.05±0.12内为合 格品, 试求螺栓为合格品的概率。
解 根据假设X～N(10.05 ,0.062)，记 a=10.05-0.12,b=10.05+0.12,μ=10.05,σ=0.06, 则有
2. 指数分布 若随机变量X 的有概率密度函数为
其中λ > 0 为常数，则称X服从参数为λ的指
数分布，记成 X ~ E(λ) 。 指数分布常用的寿命分布，许多电子产
品或元器件的寿命都服从指数分布。
例2.3.2 设某电子管的使用寿命 X (单位： 小时) 服从参数λ=0.0002的指数分布。求电子 管使用寿命超过 3000小时的概率。
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
概率论与数理统计2_3连续型随机变量
《概率统计》
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结束
若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)
1
o
P{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
0, 1 F ( x ) x, 2 1, x0 0 x2 x2
F(x)= f (t )dt
x
其中
1 , f ( x) 2 0,
0 x2
其它
引例中随机变量X具有下列特点： 一是X可在某个区间内连续取值， 二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示， 具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。
x 0 x
当1≤x＜2时， F ( x) f (t )dt 0dt t dt
2 0
x
0
1
x
1
2 1 2 dt x ; 3 3 3
当x≥2时,
F ( x)
x
f (t )dt 0dt t dt
2 0
0
1
2
1
x 2 dt 0dt 1 2 3
§2.3
概率论与数理统计-第2章-第5讲-常见的连续型随机变量
{"code":"InvalidRange","message":"The requested range cannot be satisfied.","re百度文库uestId":"2e29f779-3b50-403a-ab0b-780628b5cfd9"}
概率论与数理统计离散型随机变量和连续型随机变量及其分布律精品PPT课件
( X=k )对应着事件 A1A2Ak1Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)=P(A1A2 Ak1Ak)(1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
P Xkb(2)k,k1,2,3,
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
P(X k)
b(2)k
b2 3
k1
k1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
几种常见的离散型分布
0-1分布(二点分布 ) △定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表 示的
可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白
如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2} “一红一白”记为 {X=1}, “两只白球”记为 {X=0}
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)=P(A1A2 Ak1Ak)(1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
P Xkb(2)k,k1,2,3,
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
P(X k)
b(2)k
b2 3
k1
k1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
几种常见的离散型分布
0-1分布(二点分布 ) △定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表 示的
可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白
如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2} “一红一白”记为 {X=1}, “两只白球”记为 {X=0}
概率论与数理统计第二章随机变量课件
第二章 随机变量
第一节 随机变量及其分布函数
上一章中我们讨论的随机事件中有些是直接用数量来标识的，例如，抽样检验灯泡质量试验中灯泡的寿命；而有些则不是直接用数量来标识的，如性别抽查试验中所抽到的性别.为了更深入地研究各种与随机现象有关的理论和应用问题，我们有必要将样本空间的元素与实数对应起来.即将随机试验的每个可能的结果e 都用一个实数X 来表示.例如，在性别抽查试验中用实数“1”表示“出现男性”，用“0”表示“出现女性”.显然，一般来讲此处的实数X 值将随e 的不同而变化，它的值因e 的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量.
定义2.1 设随机试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每一个元素e ，有一个实数X （e ）与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数（e ），称之为随机变量（ ）.
随机变量的取值随试验结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，只有在试验之后才知道它的确切值；而试验的各个结果出现有一定的概率，故随机变量取各值有一定的概率.这些性质显示了随机变量与普通函数之间有着本质的差异.再者，普通函数是定义在实数集或实数集的一个子集上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数），这也是二者的差别.
本书中，我们一般以大写字母如X ，Y ，Z ，W ，…表示随机变量，而以小写字母如，…表示实数.
为了研究随机变量的概率规律，并由于随机变量X 的可能取值不一定能逐个列出，因此我们在一般情况下需研究随机变量落在某区间（x 1，x 2］中的概率，即求P {x 1＜X ≤x 2}，但由于P {x 1＜X ≤x 2}{X ≤x 2}{X ≤x 1}，由此可见要研究P {x 1＜X ≤x 2}就归结为研究形如P {X ≤x }的概率问题了.不难看出，P {X ≤x }的值常随不同的x 而变化，它是x 的函数，我们称这函数为分布函数.
概率论与数理统计第二章课件PPT
一、随机变量的概念
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来 表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天进入一号楼的人数； 昆虫的产卵数； 四月份北京的最高温度；
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
4 P X 0 1 P X 1 9
4 即 C p 1 p ，由此得 9 1 再由 Y B 可得 3, 3
0 2 0 2
1 p 3
P Y 1 1 P Y 0 1 C p 1 p
0 3 0
3
19 27
P X 2 C 0.9 1 0.9 0.81
2 2 2 0
常常表示为：
X
p
0 1 2 0.81 0.01 0.18
这就是X的分布律.
例4 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿 信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数， 求X的分布律. 解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.
练习 引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 X=空格数 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次} Y=试验成功次数
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概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F( x )
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
1、 f (x) 0
2、
f
(
x)d
x
F
()
1
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连 续性随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数
0.06
a
0.04
0.02
-10
a-5
b5
x
P( X b) P( X b) F (b) P(X a) P(X a) 1 F(a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
a
5
x
（3）
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P{X a} 0. 连
正态分布的分布函数
F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2πσ
正态分布分布函数图形演示
正态分布的应用与背景
a
ax
f
(x)dx
a
0 P( X a) lim f (x)dx 0 x0 ax
P(X a) 0
由此可得：连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
f ( x)
P(a X b)
b
0.08 f (x)d x F (b) F (a)
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f (x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换; μ称为位置 参数
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f (x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.σ称为形状参数
正态分布密度函数图形演示
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间(a,b) 区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U (a,b). 概率密度
f (x)
函数图形
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
第四节 连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的
且
6
4
P(X
2) 2
f (t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 . 5
例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率．
解 由题意,R 的概率密度为
f
(r
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
例3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P( X 2或X 2)
而X的密度函数为 :
1 5,
f (x)
0,
1 x 6; 其 他,
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 f ( x)d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
由 F ( x) x f ( x)d x 得
3、在 f ( x ) 的连续点处，
f (x) F(x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
4 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{X a} 0.
事实上 (X a) (a x X a) x 0
0
P(X
a)
P(a
x
X
a)
)
1 (1100 0,
900),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
900 r 1100, 其他.
故有 P{950 R 1050} 1050 1 d r 0.5.
950 200
2. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e
(
x μ 2σ2
)2
,
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
f (x)
p l ba
l
l
1
•
a
ba
o
•
b
x
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间
的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
的正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
若 P{ X a} 0,
续
则不能确定 {X a} 是不可能事件
型
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例1 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数;
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F( x )
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
1、 f (x) 0
2、
f
(
x)d
x
F
()
1
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连 续性随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数
0.06
a
0.04
0.02
-10
a-5
b5
x
P( X b) P( X b) F (b) P(X a) P(X a) 1 F(a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
a
5
x
（3）
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P{X a} 0. 连
正态分布的分布函数
F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2πσ
正态分布分布函数图形演示
正态分布的应用与背景
a
ax
f
(x)dx
a
0 P( X a) lim f (x)dx 0 x0 ax
P(X a) 0
由此可得：连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
f ( x)
P(a X b)
b
0.08 f (x)d x F (b) F (a)
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f (x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换; μ称为位置 参数
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f (x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.σ称为形状参数
正态分布密度函数图形演示
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间(a,b) 区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U (a,b). 概率密度
f (x)
函数图形
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
第四节 连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的
且
6
4
P(X
2) 2
f (t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 . 5
例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率．
解 由题意,R 的概率密度为
f
(r
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
例3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P( X 2或X 2)
而X的密度函数为 :
1 5,
f (x)
0,
1 x 6; 其 他,
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 f ( x)d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
由 F ( x) x f ( x)d x 得
3、在 f ( x ) 的连续点处，
f (x) F(x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
4 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{X a} 0.
事实上 (X a) (a x X a) x 0
0
P(X
a)
P(a
x
X
a)
)
1 (1100 0,
900),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
900 r 1100, 其他.
故有 P{950 R 1050} 1050 1 d r 0.5.
950 200
2. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e
(
x μ 2σ2
)2
,
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
f (x)
p l ba
l
l
1
•
a
ba
o
•
b
x
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间
的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
的正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
若 P{ X a} 0,
续
则不能确定 {X a} 是不可能事件
型
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例1 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数;