概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度ppt课件
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概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
连续型随机变量的分布【概率论及数理统计PPT】
1
dx =1
3
1 1 x 2
? 思考: P(-1/2<X<2)=
课堂练习
1.
证明
f
(x)
x a
e x2 2a
0
x0 x0
(a>0)
是某一个随机变量X的密度函数。
x 0 x 1
2.设随机变量X~ f ( x ) ax b 1 x 2
0
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的 概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.
(III) 概率密度函数的性质
1 o f (x) 0
小
(由 ex2 dx 可得） 0
0μ
x
σ大
(2)概率密度图形是以x=μ为对称轴的R上的连续函数,
在x=μ点f(x)取得最大值; (3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ 固定, σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
例8. 设随机变量 X~U(2 ,5). 现在对 X进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
若
e x
X ~ f (x)
x0
0 x0
正态分布
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
定义:称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0，
μ是任意实数，若
(x)2
f(x)
X ~ f (x)
e , 1
2 2
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布38页PPT
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰பைடு நூலகம்你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
概率论与数理统计连续型随机变量及其概 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 率分布
连续型随机变量及其概率密度函数.87页PPT
连续型随机变量及其概率密度 函数.
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
概率论与数理统计课件 4连续型随机变量
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布 (2) 求已知设备在无故障工作8h 情形下，再无故障
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
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例3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P( X 2或X 2)
而X的密度函数为 :
1 5,
f (x)
0,
1 x 6; 其 他,
第四节 连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的
f (x)
p l ba
l
l
1
•
a
ba
o
•
b
x
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间
的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
3、在 f ( x ) 的连续点处，
f (x) F(x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
4 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{X a} 0.
事实上 (X a) (a x X a) x 0
0
P(X
a)
P(a
x
X
a)
)
1 (1100 0,
900),
900 r 1100, 其他.
故有 P{950 R 1050} 1050 1 d r 0.5.
950 200
2. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e
(
x μ 2σ2
)2
,
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
且
6
4
P(X
2) 2
f (t )dt
4 0) 4 . 5
例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率．
解 由题意,R 的概率密度为
f
(r
a
ax
f
(x)dx
a
0 P( X a) lim f (x)dx 0 x0 ax
P(X a) 0
由此可得：连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
f ( x)
P(a X b)
b
0.08 f (x)d x F (b) F (a)
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 f ( x)d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
由 F ( x) x f ( x)d x 得
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间(a,b) 区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U (a,b). 概率密度
f (x)
函数图形
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f (x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换; μ称为位置 参数
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f (x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.σ称为形状参数
正态分布密度函数图形演示
正态分布的分布函数
F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2πσ
正态分布分布函数图形演示
正态分布的应用与背景
概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
F( x )
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
1、 f (x) 0
2、
f
(
x)d
x
F
()
1
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连 续性随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数
0.06
a
0.04
0.02
-10
a-5
b5
x
P( X b) P( X b) F (b) P(X a) P(X a) 1 F(a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
a
5
x
（3）
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P{X a} 0. 连
若 P{ X a} 0,
续
则不能确定 {X a} 是不可能事件
型
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例1 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数;
的正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;