高中数学平面向量习题及答案

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量

一、选择题

1．在△ABC中，AB＝AC，D，

E分别是AB，AC的中点，则()．

A．AB与AC共线

(第1题) B．DE与CB共线

C．AD与AE相等D．AD 与BD相等

2．下列命题正确的是()．

A．向量AB与BA是两平行向量

B．若a，b都是单位向量，则a＝b

C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形

D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝α OA＋β OB，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()．

A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5

C ．2x －y ＝0

D ．x ＋2y －

5＝0

4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，

(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．

A ．6π

B ．3π

C ．23

π D ．5

6π

5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角

线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )．

A ．λ(＋)，λ∈(0，1)

B ．λ(＋)，λ∈(0，22)

C ．λ(－)，λ∈(0，1)

D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)

6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，

AC 的中点，则＝( )．

A ．＋

B ．－

C ．EF ＋A

D D ．EF ＋AF

7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，

(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为

( )．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12

8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC 的()．

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点D．三条高的交点

9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，D C＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．

A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形

10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．

A．AD与BC B．OA与OB

(第10题)

C．AC与BD D．EO与OF

二、填空题

11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC ＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k ＝．

12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．

13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．

14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等

于．

15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC 内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC 的．

16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．

三、解答题

17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？

18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC 的中点，且MN与AD交于F，求DF．

(第18题)

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．

(第19题)

20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．

参考答案

一、选择题

1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．

2．A

解析：两个单位向量可能方向不同，故B

不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．

3．D

解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，

OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，

3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，

∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．

4．B

解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，

∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b

＝b 2－2a ·b ＝0，

∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝

(第1题)

1．

2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝

2

π．

∴a与b的夹角是

3

5．A

解析：由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由λ的范围和向

量数乘的长度，λ∈(0，1)．

6．D

解析：如图，∵AF＝DE，

∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．

(第6题)

7．C

解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．

而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，

∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．

8．D

解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB ＝OC·OA,

即OA·(OC－OB)＝0，

故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，