届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数的计算

错误!

[备考方向要明了]

考什么怎么考

１.了解导数概念的实际背景．

２．理解导数的几何意义.

3.能根据导数定义求函数y＝ｃ(c为常

数)，y=x，y＝ｘ2，y=x3，

y＝错误!的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和

导数的四则运算法则求简单函数的导

数.

1.对于导数的几何意义，高考要求较高,主要以选择

题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如

2012年广东T12,辽宁T12等.

2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数

函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导

数及求导法则的正确利用．

［归纳·知识整合]

１.导数的概念

(1)函数y=f(x)在ｘ=x０处的导数:

称函数y＝ｆ(x）在ｘ＝x0处的瞬时变化率

错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x）在x＝ｘ0处的导数，记作ｆ′(x0)或y′|ｘ=ｘ

,即

f′(x0）＝＼o（lim，＼ｓ＼do４(Δｘ→０)) ＼f（Δｙ，Δｘ)＝错误!错误!.

(2)导数的几何意义：

函数f(x）在点x0处的导数f′(ｘ0)的几何意义是在曲线y=f（ｘ)上点P(ｘ0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t）对时间t的导数).相应地,切线方程为y-ｙ0＝f′(x0)(x-x０).

（３）函数ｆ(x）的导函数:

称函数f′（x）=错误!错误!为f(x)的导函数．

［探究] 1.f′(x)与f′(ｘ0)有何区别与联系？

提示:f ′(x )是一个函数,f ′（x 0）是常数，f ′(x ０)是函数ｆ′（x )在x 0处的函数值. 2．曲线y =ｆ(x ）在点Ｐ0（ｘ0，y ０）处的切线与过点错误!,y ０）的切线,两种说法有区别吗？

提示:(１)曲线ｙ=f （x ）在点P (ｘ０,ｙ0)处的切线是指P 为切点,斜率为k ＝ｆ′(x 0）的切线,是唯一的一条切线.

(2)曲线y ＝f (x )过点Ｐ(ｘ0，ｙ0）的切线,是指切线经过P 点.点Ｐ可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y =f (ｘ)图象上一点Ｐ的切线与图象也只有公共点P 吗?

提示：不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(１)[f (x ）±g (ｘ)]′＝f ′(x )±g ′(ｘ);

(2)[f (x )·g (ｘ)]′＝f ′(x )ｇ（ｘ)＋f (ｘ)g ′(x )； (3)错误!′=错误!（g (x )≠0)． 4.复合函数的导数

复合函数y =ｆ(ｇ（x ))的导数和函数y ＝f (u )，u =g （x )的导数间的关系为ｙｘ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与ｕ对x 的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编）f ′(ｘ）是函数f （x )＝1

3x 3+2ｘ＋1的导函数，则f ′(-１)的值为（ )

A.0 ﻩ

B.3

C ．4

D.－错误!

解析：选Ｂ ∵f (ｘ)=错误!x 3+2ｘ＋１,∴f ′（x )＝x 2＋2. ∴f ′（－１)=3.

2．曲线y ＝2x -x 3在x =-１处的切线方程为（ ) A.x +y +2=0

B.x ＋ｙ-2=０

C.x －y +2=０ ﻩ

D.x -y -2=0

解析:选Ａ ∵f (x ）=2x －x 3,∴f ′(x )=2－３x 2. ∴f ′(-1)=2－3=－１． 又f （-1)＝－2+1＝-1,

∴切线方程为ｙ+１＝-(ｘ+1)，即x +y ＋２＝0． 3.y ＝x 2cos x 的导数是( ) Ａ．y ′=2ｘｃｏｓ x +x 2sin ｘ B.y ′＝2x cos x -x 2sin x Ｃ．y =2ｘｃos x D ．ｙ′＝－ｘ２

sin x

解析:选Ｂ y ′＝２x c ｏs x -x 2sin x .

4.(教材习题改编)曲线y =＼f(sin x ，x ）在点M (π，0）处的切线方程是_＿_＿__＿_． 解析：∵f (x )=s ｉn ｘ

x ，∴ｆ′(x )=错误!，

∴ｆ′(π)=－π

π

2＝－＼ｆ(１,π）.

∴切线方程为y ＝－＼f(1，π）(x -π),即x +πy -π=0. 答案：x ＋πy -π＝0

5.(教材习题改编)如图，函数y ＝f （ｘ）的图象在点P 处的切线方程是ｙ=－x +８,则ｆ(５)＋f ′(5)=____＿＿__.

解析:由题意知f ′(5)＝-1, f (5)=-5＋8＝3,

∴ｆ(５)＋f′（5)＝3－1＝2.

答案：2

导数的计算

[例1］求下列函数的导数

（1）y＝(1-＼r（ｘ）)错误!;

(２)ｙ=错误!;

(3）y＝tａn x;

（４)y=3x eｘ－2x＋e.

[自主解答](１）∵y=（1-错误!）错误!＝错误!－错误!＝x

1

2

-

－x

1

2，

∴y′＝(x

1

2

-

)′-(x

1

2)′=－错误!x

3

2

-

－错误!x

1

2

-

.

(２）ｙ′=错误!′=错误!

=错误!=错误!.

(3)y′=错误!′

＝错误!

＝错误!＝错误!.

(4)ｙ′=(3x eｘ)′-(２x)′+ｅ′＝（3x)′e x＋3x（e x)′－(2x)′=３x（ln 3)·e x+3ｘｅｘ－2x ln 2=（ln 3+1）·(３e)ｘ－２ｘlｎ2.

若将本例(3)中“tａｎx”改为“sin 错误!错误!”如何求解？

解：∵y＝sin 错误!错误!＝-sin 错误!cos错误!＝－错误!sin x

∴y′＝－＼f(1,２)ｃoｓx．

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求函数的导数的方法

(１)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导，这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错；

(2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形