届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):变化率与导数、导数的计算
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错误!
[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.了解导数概念的实际背景.
2.理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c(c为常
数),y=x,y=x2,y=x3,
y=错误!的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导
数.
1.对于导数的几何意义,高考要求较高,主要以选择
题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如
2012年广东T12,辽宁T12等.
2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数
函数、三角函数等,主要考查对基本初等函数的导
数及求导法则的正确利用.
[归纳·知识整合]
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x
,即
f′(x0)=\o(lim,\s\do4(Δx→0)) \f(Δy,Δx)=错误!错误!.
(2)导数的几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
(3)函数f(x)的导函数:
称函数f′(x)=错误!错误!为f(x)的导函数.
[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?
提示:f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是常数,f ′(x 0)是函数f′(x )在x 0处的函数值. 2.曲线y =f(x )在点P0(x0,y 0)处的切线与过点错误!,y 0)的切线,两种说法有区别吗?
提示:(1)曲线y=f (x )在点P (x0,y0)处的切线是指P 为切点,斜率为k =f′(x 0)的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y =f (x )过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P 点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ,过函数y =f (x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P 吗?
提示:不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点. 2.几种常见函数的导数
3.导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x)]′=f ′(x )±g ′(x);
(2)[f (x )·g (x)]′=f ′(x )g(x)+f (x)g ′(x ); (3)错误!′=错误!(g (x )≠0). 4.复合函数的导数
复合函数y =f(g(x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为yx′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u对x 的导数的乘积.
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)f ′(x)是函数f (x )=1
3x 3+2x+1的导函数,则f ′(-1)的值为( )
A.0 ﻩ
B.3
C .4
D.-错误!
解析:选B ∵f (x)=错误!x 3+2x+1,∴f ′(x )=x 2+2. ∴f ′(-1)=3.
2.曲线y =2x -x 3在x =-1处的切线方程为( ) A.x +y +2=0
B.x +y-2=0
C.x -y +2=0 ﻩ
D.x -y -2=0
解析:选A ∵f (x )=2x -x 3,∴f ′(x )=2-3x 2. ∴f ′(-1)=2-3=-1. 又f (-1)=-2+1=-1,
∴切线方程为y+1=-(x+1),即x +y +2=0. 3.y =x 2cos x 的导数是( ) A.y ′=2xcos x +x 2sin x B.y ′=2x cos x -x 2sin x C.y =2xcos x D .y′=-x2
sin x
解析:选B y ′=2x c os x -x 2sin x .
4.(教材习题改编)曲线y =\f(sin x ,x )在点M (π,0)处的切线方程是________. 解析:∵f (x )=s in x
x ,∴f′(x )=错误!,
∴f′(π)=-π
π
2=-\f(1,π).
∴切线方程为y =-\f(1,π)(x -π),即x +πy -π=0. 答案:x +πy -π=0
5.(教材习题改编)如图,函数y =f (x)的图象在点P 处的切线方程是y=-x +8,则f(5)+f ′(5)=________.
解析:由题意知f ′(5)=-1, f (5)=-5+8=3,
∴f(5)+f′(5)=3-1=2.
答案:2
导数的计算
[例1]求下列函数的导数
(1)y=(1-\r(x))错误!;
(2)y=错误!;
(3)y=tan x;
(4)y=3x ex-2x+e.
[自主解答](1)∵y=(1-错误!)错误!=错误!-错误!=x
1
2
-
-x
1
2,
∴y′=(x
1
2
-
)′-(x
1
2)′=-错误!x
3
2
-
-错误!x
1
2
-
.
(2)y′=错误!′=错误!
=错误!=错误!.
(3)y′=错误!′
=错误!
=错误!=错误!.
(4)y′=(3x ex)′-(2x)′+e′=(3x)′e x+3x(e x)′-(2x)′=3x(ln 3)·e x+3xex-2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln2.
若将本例(3)中“tanx”改为“sin 错误!错误!”如何求解?
解:∵y=sin 错误!错误!=-sin 错误!cos错误!=-错误!sin x
∴y′=-\f(1,2)cosx.
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求函数的导数的方法
(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但可在求导前利用代数或三角恒等变形