届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数的计算
高三数学第一轮复习知识点总结
高三数学第一轮复习知识点总结
高三数学第一轮复习知识点总结
第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
2020版高考数学一轮复习第3章导数及其应用1第1讲变化率与导数、导数的计算教案理
第1讲变化率与导数、导数的计算
知识点
考纲下载
导数概念及其几何意义、导数的运算
了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.
能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1
x
，y＝x的导数.
能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
导数在研究函数中的应用
了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
会利用导数解决某些实际问题.
定积分与微积分基本定理
了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
了解微积分基本定理的含义.
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
＝lim
Δx→0
Δy
Δx
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．
2023年新高考数学大一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版)
专题14 导数的概念与运算
【考点预测】
知识点一：导数的概念和几何性质
1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim
lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0
x x y ='
．
知识点诠释：
① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；
② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．
3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．
知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式
x
（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()
高考数学一轮复习 2.10 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版 (132)
化学与健康 人体酸碱性决定健康
血液是人体最重要、量最多的体液，健康血液的pH 值呈弱碱性，如果血液的pH值低于7.30，人体就处在亚健 康状态，极有可能得各种严重疾病――心脑血管病、骨质 疏松、肾结石、关节炎、痛风、高血压、癌症、高脂血症 等等――人体的酸化是百病之源。
科学表明，食用碱性食物可以使体液趋碱，而酸性食物则 可以使体液变酸。饮食的酸碱不能以口味的酸和涩来区分， 而是主要看食物中所含的碱性元素、酸性元素和有机酸在 人体内代谢后的结果。比如酸醋，经过人体的吸收代谢之 后，对人体体液的贡献呈碱性，因此它其实是碱性食品。 酸味的水果也同样是碱性食品。通常来讲，绝大部分的水 果、蔬菜都是碱性食品，绝大多数肉类、精细加工的食品 都酸性食品。合理的酸碱饮食的摄入比应该为1 : 3。但现
3、测定pH最简便的方法是使用pH试纸。
测定方法：在白瓷板或玻璃片上放一小片pH 试纸，用玻璃棒蘸取试液，然后在试纸的中间 点一下，把试纸显示的颜色与标准比色卡比较， 即可得出被测液的pH。 注意： 1、不能直接把试纸浸入试液，否则会污染试液。 2、不能先用蒸馏水湿润PH试纸，否则会稀释试液 的浓度，测出来的PH值就不准确。
pH 4.95 4.94 4.94 4.88 4.86 4.85 4.85
⑴所降雨水是否为酸雨？在测定的时间内，雨水的酸性是 增强还是减弱？
pH值都小于5.6，所以是酸雨。
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
＝_________＝____________________.
(2)当 x＝x0 时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函 数，我们称它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为 f′(x)(或 y′)，即 f′(x)＝y′＝
lim
x0
f（x＋Δx）－f（x）
例 1 (1) 曲 线 y ＝ ln x ＋ x ＋ 1 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2 ， 则 该 切 线 的 方 程 为
__2_x_－__y_＝___0.
解析 设切点坐标为(x0，y0)， ∵y＝ln x＋x＋1，所以 y′＝1x＋1， ∴切线的斜率为x10＋1＝2，解得 x0＝1， ∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)， ∴切线方程为y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0.
x（ex）′
＝－sin
x＋cos ex
x .
(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2. 解 ∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2
＝12xsin(4x＋π)＝－21xsin 4x， ∴y′＝－12sin 4x－21x·4cos 4x ＝－12sin 4x－2xcos 4x.
角度1 求切线方程
×
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算
【2013年高考会这样考】
1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】
本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.
基础梳理
1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy
Δx .
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m
Δx →0 Δy Δx
＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0
Δx
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导
数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m
Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝
f ′(x 0)(x －x 0)．
3．函数f (x )的导函数
称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
为f (x )的导函
数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第一节 导数的概念、运算及几何意义 课件(33张)
1
,y=
的导数.
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求
简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
5.熟练使用导数公式表.
强基础 固本增分
1.导数的概念
(1)平均变化率:对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值
从 f(x1)变为 f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率=
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作
y=f(φ(x))
,其中u为中间变量.
y'x表示y对x的导数
(2)复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=
f'(u)φ'(x)
,其中u=φ(x).
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周
期函数.
'=
f'(x)±g'(x)
.
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
'()()-()'()
[()]2
(g(x)≠0).
,特别地,[cf(x)]'=
cf'(x)
.
5.复合函数的导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10一讲导数的概念及运算
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．( × )
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
另解：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
③因为y＝x－sin cos ＝x－ sin x,
所以y′＝ ′＝x′－ ′
＝1－ cos x.
④y′＝ ′＝
＝－ .
⑤y＝ln ＝ ln(1－2x2),令u＝1－2x2,
第十一讲 导数的概念及运算
知识梳理·双基自测
知识点一 导数的概念与导数的运算
1．函数的平均变化率
一般地,已知函数y＝f(x),把式子 称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率,还可以表示为 ＝ .
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率,记作：y′|x＝x0或f′(x0),即f′(x0)＝ .
(7)(logax)′＝ ； (8)(ln x)′＝ .
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
答案 B
解析 探测器与月球表面距离逐渐减小，故 v＝01－2×156000＝－2152 m/s， 探测器的速度逐渐减小，故 a＝01－2×156000＝－2152 m/s2，故选 B.
kx0－1＝y0，
x0＝1，
y0)，则x0ln
x0＝y0，
解得y0＝0，∴直线
l
的方程为
y＝x－1，即
x－y－1
ln x0＋1＝k， k＝1.
＝0.
5．(2020·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝x＋ex a.若 f′(1)＝4e，则 a＝
1
．
解析
ex（x＋a）－ex ex（x＋a－1） f′(x)＝ （x＋a）2 ＝ （x＋a）2 ，则
第1讲 导数的概念及运算
1
PART ONE
基础知识整合
1．导数的概念 (1)y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x)在 x＝x0 处的□01 瞬时变化率 ，记
作：y′|x＝x0 或 f′(x0)，即 f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx＝Δlxi→m0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
高考文数一轮复习经典教案(带详解)第三章 第1节：变化率与导数、导数的计算
第三章 导数及其应用
第1节 变化率与导数、导数的计算
【最新考纲】 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x
，y ＝x 的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【高考会这样考】 1.考查导数的四则计算；2.利用导数的几何意义求切线方程。
要 点 梳 理
1.导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x ∆→Δy
Δx ＝0lim x ∆→
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x
＝x 0，即f ′(x 0)＝0
lim x ∆→
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
.
(2)函数f (x )的导函数 函数f ′(x )＝0
lim
x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx 为f (x )的导函数.
2.导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第13讲 变化率与导数、导数的计算
第三章 导数及其应用
第1讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0
Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，
即f ′(x 0)＝lim Δ→0
Δy Δx ＝lim Δ→0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
． (2)导数的几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0
f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx
为f (x )的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
(3)⎣⎡
⎦
⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）
[g （x ）]2(g (x )≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲
变化率与导数、导数的计算
了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．
会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).
导数在研究函数中的应用
了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．
理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
＝lim
Δx→0
Δy
Δx
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim
Δx→0f（x＋Δx）－f（x）
Δx
为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢
2020届高三理数一轮讲义：3.1-变化率与导数、导数的计算(含答案)
第1节 变化率与导数、导数的计算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1
x
，y ＝x 2，y ＝x 3，y
＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数
.
知 识 梳 理
1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0
lim x ∆→
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
＝
lim x ∆→
Δy
Δx
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0
lim x ∆→
Δy Δx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数
如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0
lim x ∆→
f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx
称为函数y ＝f (x )在
开区间内的导函数. 3.基本初等函数的导数公式
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错误!
[备考方向要明了]
考什么怎么考
１.了解导数概念的实际背景．
２．理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y＝ｃ(c为常
数)，y=x，y＝ｘ2，y=x3，
y＝错误!的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导
数.
1.对于导数的几何意义，高考要求较高,主要以选择
题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如
2012年广东T12,辽宁T12等.
2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数
函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导
数及求导法则的正确利用．
［归纳·知识整合]
１.导数的概念
(1)函数y=f(x)在ｘ=x０处的导数:
称函数y＝ｆ(x）在ｘ＝x0处的瞬时变化率
错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x）在x＝ｘ0处的导数，记作ｆ′(x0)或y′|ｘ=ｘ
,即
f′(x0）＝＼o（lim，＼ｓ＼do４(Δｘ→０)) ＼f（Δｙ，Δｘ)＝错误!错误!.
(2)导数的几何意义：
函数f(x）在点x0处的导数f′(ｘ0)的几何意义是在曲线y=f（ｘ)上点P(ｘ0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t）对时间t的导数).相应地,切线方程为y-ｙ0＝f′(x0)(x-x０).
（３）函数ｆ(x）的导函数:
称函数f′（x）=错误!错误!为f(x)的导函数．
［探究] 1.f′(x)与f′(ｘ0)有何区别与联系？
提示:f ′(x )是一个函数,f ′（x 0）是常数，f ′(x ０)是函数ｆ′（x )在x 0处的函数值. 2．曲线y =ｆ(x ）在点Ｐ0（ｘ0，y ０）处的切线与过点错误!,y ０）的切线,两种说法有区别吗？
提示:(１)曲线ｙ=f （x ）在点P (ｘ０,ｙ0)处的切线是指P 为切点,斜率为k ＝ｆ′(x 0）的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y ＝f (x )过点Ｐ(ｘ0，ｙ0）的切线,是指切线经过P 点.点Ｐ可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.
3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y =f (ｘ)图象上一点Ｐ的切线与图象也只有公共点P 吗?
提示：不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数
3．导数的运算法则
(１)[f (x ）±g (ｘ)]′＝f ′(x )±g ′(ｘ);
(2)[f (x )·g (ｘ)]′＝f ′(x )ｇ（ｘ)＋f (ｘ)g ′(x )； (3)错误!′=错误!（g (x )≠0)． 4.复合函数的导数
复合函数y =ｆ(ｇ（x ))的导数和函数y ＝f (u )，u =g （x )的导数间的关系为ｙｘ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与ｕ对x 的导数的乘积．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编）f ′(ｘ）是函数f （x )＝1
3x 3+2ｘ＋1的导函数，则f ′(-１)的值为（ )
A.0 ﻩ
B.3
C ．4
D.－错误!
解析：选Ｂ ∵f (ｘ)=错误!x 3+2ｘ＋１,∴f ′（x )＝x 2＋2. ∴f ′（－１)=3.
2．曲线y ＝2x -x 3在x =-１处的切线方程为（ ) A.x +y +2=0
B.x ＋ｙ-2=０
C.x －y +2=０ ﻩ
D.x -y -2=0
解析:选Ａ ∵f (x ）=2x －x 3,∴f ′(x )=2－３x 2. ∴f ′(-1)=2－3=－１． 又f （-1)＝－2+1＝-1,
∴切线方程为ｙ+１＝-(ｘ+1)，即x +y ＋２＝0． 3.y ＝x 2cos x 的导数是( ) Ａ．y ′=2ｘｃｏｓ x +x 2sin ｘ B.y ′＝2x cos x -x 2sin x Ｃ．y =2ｘｃos x D ．ｙ′＝－ｘ２
sin x
解析:选Ｂ y ′＝２x c ｏs x -x 2sin x .
4.(教材习题改编)曲线y =＼f(sin x ，x ）在点M (π，0）处的切线方程是_＿_＿__＿_． 解析：∵f (x )=s ｉn ｘ
x ，∴ｆ′(x )=错误!，
∴ｆ′(π)=－π
π
2＝－＼ｆ(１,π）.
∴切线方程为y ＝－＼f(1，π）(x -π),即x +πy -π=0. 答案：x ＋πy -π＝0
5.(教材习题改编)如图，函数y ＝f （ｘ）的图象在点P 处的切线方程是ｙ=－x +８,则ｆ(５)＋f ′(5)=____＿＿__.
解析:由题意知f ′(5)＝-1, f (5)=-5＋8＝3,
∴ｆ(５)＋f′（5)＝3－1＝2.
答案：2
导数的计算
[例1］求下列函数的导数
（1）y＝(1-＼r（ｘ）)错误!;
(２)ｙ=错误!;
(3）y＝tａn x;
（４)y=3x eｘ－2x＋e.
[自主解答](１）∵y=（1-错误!）错误!＝错误!－错误!＝x
1
2
-
－x
1
2，
∴y′＝(x
1
2
-
)′-(x
1
2)′=－错误!x
3
2
-
－错误!x
1
2
-
.
(２）ｙ′=错误!′=错误!
=错误!=错误!.
(3)y′=错误!′
＝错误!
＝错误!＝错误!.
(4)ｙ′=(3x eｘ)′-(２x)′+ｅ′＝（3x)′e x＋3x（e x)′－(2x)′=３x（ln 3)·e x+3ｘｅｘ－2x ln 2=（ln 3+1）·(３e)ｘ－２ｘlｎ2.
若将本例(3)中“tａｎx”改为“sin 错误!错误!”如何求解？
解：∵y＝sin 错误!错误!＝-sin 错误!cos错误!＝－错误!sin x
∴y′＝－＼f(1,２)ｃoｓx．
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求函数的导数的方法
(１)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导，这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错；
(2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形