届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):变化率与导数、导数的计算

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错误!

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解导数概念的实际背景.

2.理解导数的几何意义.

3.能根据导数定义求函数y=c(c为常

数),y=x,y=x2,y=x3,

y=错误!的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和

导数的四则运算法则求简单函数的导

数.

1.对于导数的几何意义,高考要求较高,主要以选择

题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如

2012年广东T12,辽宁T12等.

2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数

函数、三角函数等,主要考查对基本初等函数的导

数及求导法则的正确利用.

[归纳·知识整合]

1.导数的概念

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:

称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x

,即

f′(x0)=\o(lim,\s\do4(Δx→0)) \f(Δy,Δx)=错误!错误!.

(2)导数的几何意义:

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

(3)函数f(x)的导函数:

称函数f′(x)=错误!错误!为f(x)的导函数.

[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?

提示:f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是常数,f ′(x 0)是函数f′(x )在x 0处的函数值. 2.曲线y =f(x )在点P0(x0,y 0)处的切线与过点错误!,y 0)的切线,两种说法有区别吗?

提示:(1)曲线y=f (x )在点P (x0,y0)处的切线是指P 为切点,斜率为k =f′(x 0)的切线,是唯一的一条切线.

(2)曲线y =f (x )过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P 点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ,过函数y =f (x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P 吗?

提示:不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点. 2.几种常见函数的导数

3.导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x)]′=f ′(x )±g ′(x);

(2)[f (x )·g (x)]′=f ′(x )g(x)+f (x)g ′(x ); (3)错误!′=错误!(g (x )≠0). 4.复合函数的导数

复合函数y =f(g(x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为yx′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u对x 的导数的乘积.

[自测·牛刀小试]

1.(教材习题改编)f ′(x)是函数f (x )=1

3x 3+2x+1的导函数,则f ′(-1)的值为( )

A.0 ﻩ

B.3

C .4

D.-错误!

解析:选B ∵f (x)=错误!x 3+2x+1,∴f ′(x )=x 2+2. ∴f ′(-1)=3.

2.曲线y =2x -x 3在x =-1处的切线方程为( ) A.x +y +2=0

B.x +y-2=0

C.x -y +2=0 ﻩ

D.x -y -2=0

解析:选A ∵f (x )=2x -x 3,∴f ′(x )=2-3x 2. ∴f ′(-1)=2-3=-1. 又f (-1)=-2+1=-1,

∴切线方程为y+1=-(x+1),即x +y +2=0. 3.y =x 2cos x 的导数是( ) A.y ′=2xcos x +x 2sin x B.y ′=2x cos x -x 2sin x C.y =2xcos x D .y′=-x2

sin x

解析:选B y ′=2x c os x -x 2sin x .

4.(教材习题改编)曲线y =\f(sin x ,x )在点M (π,0)处的切线方程是________. 解析:∵f (x )=s in x

x ,∴f′(x )=错误!,

∴f′(π)=-π

π

2=-\f(1,π).

∴切线方程为y =-\f(1,π)(x -π),即x +πy -π=0. 答案:x +πy -π=0

5.(教材习题改编)如图,函数y =f (x)的图象在点P 处的切线方程是y=-x +8,则f(5)+f ′(5)=________.

解析:由题意知f ′(5)=-1, f (5)=-5+8=3,

∴f(5)+f′(5)=3-1=2.

答案:2

导数的计算

[例1]求下列函数的导数

(1)y=(1-\r(x))错误!;

(2)y=错误!;

(3)y=tan x;

(4)y=3x ex-2x+e.

[自主解答](1)∵y=(1-错误!)错误!=错误!-错误!=x

1

2

-

-x

1

2,

∴y′=(x

1

2

-

)′-(x

1

2)′=-错误!x

3

2

-

-错误!x

1

2

-

.

(2)y′=错误!′=错误!

=错误!=错误!.

(3)y′=错误!′

=错误!

=错误!=错误!.

(4)y′=(3x ex)′-(2x)′+e′=(3x)′e x+3x(e x)′-(2x)′=3x(ln 3)·e x+3xex-2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln2.

若将本例(3)中“tanx”改为“sin 错误!错误!”如何求解?

解:∵y=sin 错误!错误!=-sin 错误!cos错误!=-错误!sin x

∴y′=-\f(1,2)cosx.

———————————————————

求函数的导数的方法

(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但可在求导前利用代数或三角恒等变形

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