图形的相似知识点总复习有解析
图形的相似知识点总结及练习
相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那
么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n
例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
d
c
b a =（或a ：b=
c ：
d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段
比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质
1.基本性质:
bc ad d c
b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c
d
a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a b
c d a c d c b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么
b a n f d b m e
c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《图形的相似》
知识点归纳
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似
一、成比例线段
1、定义：
（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长
度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.
（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a
与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段
a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),
那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b
二、平行线分线段成比例
1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线
段成比例。
三、相似多边形
定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相
似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件
1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明
六、利用相似三角形测高
1、利用阳光下的影子
2、利用标杆
3、利用镜子的反射
七、相似三角形的性质
1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
《图形的相似》知识点+易错点汇总
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
例 2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 2，则△ABC 与△DEF 的面
积之比为
易错疑难参考答案
易错
1. 10 5 10 或 30 10 5 ； 2. C ； 3. ∵ ADE : ABC ， ∴ SADE ( DE )2 ∴ SABC BC
AC 5－1
4. 黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ＝=
≈0.618，那么线段
AB 2
AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
例 1：把长为 10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为
cm。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
A1C1C2D2 ，延长 C2D2 到 A2 ，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3 ……依此类推，若
A1C1 2 ， 且 点 A, D1, D2 , D3,…, D10 都 在 同 一 直 线 上 ， 则 正 方 形 A9C9C10D10 的 边 长
是
.
疑难点 3 相似三角形与函数等知识的综合
图形的相似知识点总结
图形的相似
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
如果选用同一xx单位量得两条线段a，b的xx分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：bxx，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（交换内项）
（交换外项）
（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项、后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
b
a
n
f
d
b
m
e
c
a
n
f
d
b
n
m
f
e
d
c
b
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
⇒
≠
+
+
+
+
=
=
=
=
)0
(
3、黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
考点二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的xx），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的xx）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
人教版相似图形知识点总结
人教版相似图形知识点总结
一、基本概念
1. 相似图形的定义
相似图形是指形状相同但大小可能不同的图形。当两个图形的对应角相等，对应边成比例时，我们称这两个图形是相似的。
2. 相似比
相似图形之间的边的长度比叫做相似比。设两个相似图形的对应边分别为a和b，那么a:b就是它们的相似比。
3. 相似比的性质
相似比是真分数或小数。相似比的倒数也是其相似比。
4. 相似比的应用
相似比可用于求解各种问题，如测量图形的大小，进行比例测量等。在解决实际问题时，我们经常需要根据相似比进行尺寸的调整和计算。
二、相似图形的性质
1. 对应角相等
相似图形的对应角相等。这意味着，如果两个图形是相似的，它们的对应角度度数是相等的。
2. 对应边成比例
相似图形的对应边成比例。这意味着，如果两个图形是相似的，那么它们的对应边的长度之比是相等的。
3. 面积的比
相似图形的面积比等于边长比的平方。设两个相似图形的对应边分别为a和b，它们的面积分别为S1和S2，那么S1:S2 = (a/b)²。
三、相似图形的判定
1. 判断相似的方法
（1）角对应相等
判断两个图形是否相似，可以首先比较它们对应的角度是否相等。如果对应角相等，则这
两个图形是相似的。
（2）边成比例
当两个图形的对应边成等比例时，它们是相似的。也就是说，如果两个图形的对应边的长
度之比相等，那么这两个图形是相似的。
2. 斜率的判断方法
两条直线斜率相等，那么它们之间的夹角相等。因此，我们可以通过计算两个图形的直线
斜率来判断它们是否相似。
3. 重要结论
如果三角形的一个角相等，则它们是相似的。如果三角形的三边成比例，则它们是相似的。
图形的相似知识点总结归纳
a c a
b
c
d = = b d b d
第十四章 图形的相似
考点一、比例线段 (3 分)
1、比例线段的相关概念
a m =
b n 如果选用同一长度单位量得两条线段 a ， b 的长度分别为 m ， n ，那么就说这 两条线段的比是，或写成 a ： b=m ： n
在两条线段的比 a ： b 中， a 叫做比的前项， b 叫做比的后项。
在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段
a c =
b d 若四条 a ， b ，
c ，
d 满足或 a ： b=c ： d ，那么 a ， b ， c ， d 叫做组成比例的项， 线段 a ， d 叫做比例外项，线段 b ， c 叫做比例内项，线段的 d 叫做 a ， b ， c 的 第四比例项。
a b 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 = 或 a ： b=b ： c ，那么线段 b 叫做线段 b c
a ， c 的比例中项。
2、比例的性质
(1)基本性质
①a： b=c ： d 一ad=bc
②a ： b=b ： c 一 b 2 = ac
(2)更比性质(交换比例的内项或外项)
a c =
b d a b = (交换内项)
c
d d c = (交换外项) b a
d b = (同时交换内项和外项) c a
(3)反比性质(交换比的前项、后项)：
a c
b d = = b d a c
(4)合比性质：
(5)等比性质：
a c e m a + c + e + … + m a
= = = …= (b + d + f + … + n 0) =
图形的相似知识点
一、相似图形
知识点1 相似图形的概念
具有相同形状的图形叫做相似图形
注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；
而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。
知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形
即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）
注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。
若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。
二、相似图形的性质
知识点1 线段的比
一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比
注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；
（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a
（3）比值总为正数
知识点2 比例线段
对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d
=（或::a b c d =）
，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列
（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比
知识点3 比例的基本性质
交叉相乘：
(,,,0)a c ad bc a b c d b d
=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d
++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断
图形的相似知识点总结
1 / 3
图形的相似知识点总结
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
图形的相似知识点总结段a,b 的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是,或写成a ：b=m ：n
在两条线段的比a ：b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段
若四条a,b,c,d 满足或a ：b=c ：d,那么a,b,c,d 叫做组成比例的项,线段a,d 叫做比例外项,线段b,c 叫做比例内项,线段的d 叫做a,b,c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段,即c
b
b a =或a ：b=b ：c,那么线段b 叫做线段a,
c 的比例中项。 2、比例的性质
（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
d
b
c a =（交换内项） ⇒=d
c
b a
a c
b d =（交换外项）
a
b
c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：
c
d a b d c b a =⇒= （4）合比性质：d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= （5）等比性质：
b
a n f d
b m e
c a n f
d b n m f
e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割
把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC ）,并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中
图形的相似知识点总结
图形的相似
考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度
分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写
成a ：b=m ：n
在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
c
b b a =或a ：
b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质
（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2
（2）更比性质（交换比例的内项或外项） d
b c a =（交换内项）
⇒=d
c
b a a
c b
d =（交换外项）
a
b
c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：c
d a b d c b a =⇒= （4）合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= （5）等比性质：
b
a
n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点
数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们
的对应角度相等，对应边的比例相等。图形相似在几何学中有重
要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。本文将介绍
九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件
在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个
条件：
（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质
图形相似具有以下性质：
（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角
相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边
AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理
在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：
（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，
则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两
个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且
两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三
角形相似。
4. 图形相似应用
图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：
（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计
算高塔的高度。例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中
就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
第四章 图形的相似(知识点)
第四章 图形的相似
一．成比例线段
1.线段的比
※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成n
m B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即
d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.
※注意点:
①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.
（2）比例的基本性质:若
d
c b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则
d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果d
c b a =，那么
d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.
二.平行线分线段成比例
※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图1，1l //2l //3l ，则EF
BC DE AB =.
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.
定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
图形的相似知识点总复习附答案解析
图形的相似知识点总复习附答案解析一、选择题
1．如图，点A，B是双曲线
18
y
x
=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O
，点C 为双曲线
k
y
x
=在第二象限的分支上一点，当ABC
V满足AC BC
=且:13:24
AC AB=
时，k的值为（）．
A．
25
16
-B．
25
8
-C．
25
4
-D．25
-
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=＝
25
144
，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝
25
16
，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠COF ＝∠OAE ，
∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA
∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，
∴CA ：OA ＝13：12，
∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144
， ∵S △AOE ＝9，
∴S △COF ＝
2516， ∴||25216
k =， ∵k ＜0， ∴258
k =- 故选：B ．
图形的相似知识点总结及练习
图形的相似知识点总结及练习
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得A
B、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=
2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。
2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。（2）比例性质
1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）
2、反比性质：
(把比的前项、后项交换)
3、更比性质(交换比例的内项或外项)：
4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知
5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。用符号语言表示：
∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF
2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，
图形的相似知识点总结
图形的相似
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a:b=m ：n
在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a ，b,c ，d 满足或a ：b=c:d,那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a,d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c
b
b a =或a ：b=b ：
c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质
（1)基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2
(2)更比性质（交换比例的内项或外项）
d
b
c a =(交换内项) ⇒=d
c
b a a
c b
d =（交换外项）
a
b
c d =（同时交换内项和外项） (3）反比性质（交换比的前项、后项)：
c
d a b d c b a =⇒= （4)合比性质：d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= (5)等比性质:
b
a n f d
b m e
c a n f
d b n m f
e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC 〉BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质
（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d c b =． ②()()()a b
c d a c d c b d b a
d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩
，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即
2
AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2
1
5-=
≈0.618AB ．即
512AC BC AB AC == 简记为：51
2
长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360
的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
（3）合、分比性质：a c a b c d
b d b d
±±=⇔=
． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
相似图形知识点总结文库
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一、相似图形的定义
相似图形是指两个或多个图形之间的形状相同，但大小可能不同的情况。在几何中，通常用符号∼表示两个相似图形之间的关系。例如，若图形A和图形B是相似的，则可以表示为A∼B。
相似图形的定义可以用比例来表达，即如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应边的比例是相等的，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似图形的判定
1. AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
2. AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
3. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
4. 直接判定法：如果两个四边形的对应边成比例，那么它们是相似的。
在判定相似图形时，可以根据题目条件选择不同的方法进行判定，以确定两个或多个图形之间是否是相似的关系。
三、相似图形的性质
1. 相似三角形的性质：
(1) 相似三角形的对应角相等；
(2) 相似三角形的对应边成比例；
(3) 相似三角形的高线成比例；
(4) 相似三角形的中位线成比例。
2. 相似四边形的性质：
(1) 相似四边形的对应角相等；
(2) 相似四边形的对应边成比例。
3. 相似图形的周长、面积与比例关系：
(1) 如果两个图形相似，那么它们的周长之比等于它们的任意一条边的比；
(2) 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的任意一条边的比的平方。
四、相似图形的应用
1. 图形的放大与缩小：在工程设计、地图制作等领域，相似图形的概念经常被用来进行图
形的放大与缩小，以便得到需要的大小。
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图形的相似知识点总复习有解析
一、选择题
1．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）
A ．1.
B ．2
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】
∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B ，
∴△ACD ∽△CBD ，
∴=AD CD CD BD
， ∵CD=2，BD=1， ∴
2=21AD ， ∴AD=4.
故选D.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD ∽△CBD.
2．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）
A．2
3
5
B．
2
3
3
C．
3
3
4
D．
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DF DE BF AB
＝，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，
∴
2
3 DF
BF
＝，
∴
2
5 DF
BD
＝，
∴DF=2243
3
55
BD=⨯=
故选D．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定
义，判断出DE ∥是解本题的关键．
3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
ABD ADE ∴∠=∠，
ADE DAC ∴∠=∠，
5FD FA ∴==，
在Rt AEF ∆中，3sin 5
EF CAB AF ∠=
=Q ， 3EF ∴=，
22534AE ∴=-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，
ADE DBE ∴∆∆∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，
16BE ∴=，
41620AB ∴=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=3：1，
∴DE ：DC=3：4，
∴DE ：AB=3：4，
∴S △DFE ：S △BFA =9：16．
故选B ．
5．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）