气动-能量均分定理-速率分布11-1解析
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第七章气动理论
o
vp
v
Q = mNA , = NA k
vp =
2kT = m
2RT
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2. 平均速率 v
v = v1dN1 + v2dN2 + L + vidNi + L + vndNn N
蝌N vdN
¥
vNf (v)dv
求出氢气和氧气的最概然速率 vp .
解: vp =
2kT m
f (v)
Q m(H2 ) < m(O2 )
o
\ vp (H2 ) > vp (O2 )
2000000 v / m s1
vp (H2 ) = m(O2 ) = 32 = 4
vp (O2 ) m(H2 )
2
Q vp (H2 ) = 2000m/s
f (v)
dS
o v v dv
物理意义
表示在温度为T 的平衡状 态下，速率在v附近单位速率 区间的分子数占总数的百分
v 比.
dN = f (v)dv = dS
表示速率在 v ? v 区d间v 的分
子数占总分子数的百分比 .
N
归一化条件：
蝌N dN =
¥
f (v)dv = 1
0N
0
速率位于 v ? v 内d的v分子数为
v= 0
=0
N
N
ò =
¥
v f (v)dv =
8kT
0
πm
v = 8kT = 8RT
m
3. 方均根速率 v2
蝌 v2 =
N v2dN
如何理解能量均分原理
如何理解能量均分原理
理解：
能量均分的初始概念是热平衡时能量被等量分到各种形式的运动中。
类似于均功定理，对于一个给定温度的系统，利用均分定理，可以计算出系统的总平均动能及势能，从而得出系统的热容。
均分定理还能分别给出能量各个组分的平均值，如某特定粒子的动能又或是一个弹簧的势能。
在平衡态，物质分子能量分配的统计规律。
对于理想气体，因分子间无相互作用，其内能就是上述分子平均能量与总分子数的乘积，只与温度有关，其热容量则与温度无关。
气体分子能量按自由度的均分通过分子间的频繁碰撞得以建立和维持。
外界供给气体的能量，通过器壁与气体分子以及气体分子之间的碰撞分配到各自由度上。
对于液体和固体，能量按自由度均分是通过分子间很强的相互作用而实现的。
举例：
能均分定理是统计物理学中的一个定理。
其内容是分配到每个运动自由度上的能量相等。
对于分子而言就是每个自由度的能量为1/2kT。
例如理想气体O2，每个分子具有三个平动自由度，总的平动能为
3/2kT。
同时氧分子还在做振动，氧分子的振动自由度为1，所以其
振动动能也为1/2kT。
此外氧分子还要做转动，其自由度为2，每个氧分子的转动能也为2/2kT。
所以每个O2分子的总动能为3kT。
还有，氧分子做振动时，同时具有振动势能，平均而言也是1/2kT。
这样一个氧分子的总能量（不包括分子间势能和原子内部能量）就是7/2kT.。
气体动理论-2
对非刚性的双原子和多原子分子，还须考虑振动自 由度（视温度而定）。
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二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
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运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
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三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
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二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
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运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
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三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
02.能均分、速率分布
d Nv 可以写成 写成： 可以写成： = f (v ) d v ， N
即
d Nv f (v ) = N dv
f(v)称速率分布函数 称
（function of distribution of Speeds） ）
12
d Nv f (v ) = N dv
f (v)的物理意义： 的物理意义： 的物理意义 速率在v 附近、 速率在 附近、单位速率区间内的分子数占总分 子数的百分比， 子数的百分比，或单位速率区间内分子出现的概 率，即概率密度 因为
3 kT = m
2
3 RT
µ
（与前同） 与前同）
8 vp : v : v = 2 : : 3 = 1.41: 1.60: 1.73 π
v 2 — 主要在讨论分子平均平动动能时用
v
— 主要在讨论分子碰撞问题时用
= ∫ v ⋅ f(v)dv
0
∞
对麦氏速率分布经计算得： 对麦氏速率分布经计算得：
8kT 8 RT v= = πm πµ
18
3.方均根速率（ 3.方均根速率（root-mean-square speed） 方均根速率 ）
v
2
= ∫v
0
2
∞
2
（麦） 3 kT f (v ) d v = ⋯ = m
v =
3 2 kT i t+r 5 ε k = kT = kT = kT 2 2 2 6 2 kT （单） （双） （多）
5
理想气体内能（ 三. 理想气体内能（internal energy of ideal gases） ） 内能：系统内所有分子的动能和势能总和。 内能：系统内所有分子的动能和势能总和。 对理想气体： 理想气体： ♦分子有动能，它与气体温度有关。 分子有动能，它与气体温度有关。 温度有关 ♦分子间无相互作用，则无相互作用势能 分子间无相互作用， 所以：内能 所有分子动能之和 所以：内能=所有分子动能之和
即
d Nv f (v ) = N dv
f(v)称速率分布函数 称
（function of distribution of Speeds） ）
12
d Nv f (v ) = N dv
f (v)的物理意义： 的物理意义： 的物理意义 速率在v 附近、 速率在 附近、单位速率区间内的分子数占总分 子数的百分比， 子数的百分比，或单位速率区间内分子出现的概 率，即概率密度 因为
3 kT = m
2
3 RT
µ
（与前同） 与前同）
8 vp : v : v = 2 : : 3 = 1.41: 1.60: 1.73 π
v 2 — 主要在讨论分子平均平动动能时用
v
— 主要在讨论分子碰撞问题时用
= ∫ v ⋅ f(v)dv
0
∞
对麦氏速率分布经计算得： 对麦氏速率分布经计算得：
8kT 8 RT v= = πm πµ
18
3.方均根速率（ 3.方均根速率（root-mean-square speed） 方均根速率 ）
v
2
= ∫v
0
2
∞
2
（麦） 3 kT f (v ) d v = ⋯ = m
v =
3 2 kT i t+r 5 ε k = kT = kT = kT 2 2 2 6 2 kT （单） （双） （多）
5
理想气体内能（ 三. 理想气体内能（internal energy of ideal gases） ） 内能：系统内所有分子的动能和势能总和。 内能：系统内所有分子的动能和势能总和。 对理想气体： 理想气体： ♦分子有动能，它与气体温度有关。 分子有动能，它与气体温度有关。 温度有关 ♦分子间无相互作用，则无相互作用势能 分子间无相互作用， 所以：内能 所有分子动能之和 所以：内能=所有分子动能之和
能量均分定理
2
2
2
1 2 v 3
1 1 1 1 2 2 2 mv x mv y mv z kT 2 2 2 2
气体分子沿 x,y,z 三个方向运动 的平均平动动能完全相等，可 3 以认为分子的 平均平动动能 kT 2 均匀分配在每个平动自由度上。
z
x
o
y
（25）能量均分定律
理想气体内能 能量按自由度均分定理
理想气体内能
气体动理论
（3）对刚性多原子分子
H 2O
NH 3
刚性多原子分子 （分子内原子间距离保持不变）
确定轴线要5个自由度
t 3, r 2
r 1
确定绕轴转动要加1个自由度
z
r 1
自由度数：
x
C ( x, y, z )
i t r 3 3 6
y
（25）能量均分定律
总能量。
M i RT 由质量为M、摩尔质量为Mmol 、自由度 ④ M mol 2
为i 的分子组成的系统的内能。
（25）能量均分定律
理想气体内能
气体动理论
i RT ⑤ 2
1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能。
3 RT ⑥ 2
1摩尔自由度为3 的分子（单原子分子）组成的 系统的内能。 或是所有分子平均平动动能的总和。
（25）能量均分定律
理想气体内能
气体动理论
（2）对双原子分子
O2
对直线
确定线上一个点，需 （x、y、z） t =3 个平动自由度， 确定线的方位，似乎还需 （、、）3 个转动自由度 但因 cos 2 cos 2 cos 2 1 故只需 r = 2 个转动自由度
热学第三章
3/ 2
1
1
1
1/ 2
1
1/ 2
1
1 y m −2v2 / kT f (vy ) = e 2πkT 1 m −2vz2 / kT f (vz ) = e 2πkT 1/ 2
1/ 2
f (v) = f (vx ) f (vy ) f (vz )
积分公式：
translation rotation
2
如果某种气体的分子有t个平动自由度，r个转 动由度，s个振动自由度，则分子的平均平动 s t kT ， kT 能，平均转动能和平均振动能就分别为 2 2 r 1 kT 和 2 ，而分子的平均总动能即为 (t + r + s)kT
2
注意：能量均分定理是一种统计规律。对于个别分子，在任一瞬时 它的各种形式动能不具有上述关系。大量粒子通过碰撞，使各种形 式的动能发生传递和转换，从而实现能量均分的统计结果。
e
v dv
m = 4π 2πkT 3RT = M v =
__ 2
3/ 2
∫
1 ∞ − mv2 / kT 4 2 0
e
v dv
3RT M
积分公式：
∫
∞
0
e
−λv2 3
1 v dv = 2 2λ
,
∫
∞
0
e
−λv2 4
v dv =
3 π 8 λ5
比较：
vp =
2RT M
, v=
8RT πM
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（1）
一、分子射线
S 金属蒸气
S1
S2
准直器
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（2）
11 能均分定理 麦克斯韦速率分布
习题集：426、33、36、37、39、 40、51
P.15/40
气体分子平均平动动能
1 2 2 2 2 1 2 v , vx v y vz v 2 3 3 2 vx 2 1 2 1 vi kT 3kT 2 2
2
3 kT 2
刚性双原子分子: 刚性多原子分子:
5 kT 2 6 kT 2
P.1/40
平均自由程
v Z 1 2 π d 2n
kT 2 πd2p
例: 求氢在标准状况下分 子的平均碰撞频率和平均 自由程. (设分子直径 d = 210-10 m)
Z
1 2.14 107 m 2 π d 2n
v
7.95 10 9 s 1
P.14/40
作业
第7章 气体动理论
麦克斯韦速率分布曲线:
或速率在 [v1, v2] 区间内的分子数 占总分子数的百分比.
O
v v+dv v1
v2
v
P.7/40
第7章 气体动理论
理论曲线分析: 1. 图中小矩形面积: f ( v)dv 平衡态下, 分子出现在 [v, v+dv] 速率区间内的概率. 或速率在 [v, v+dv] 区间内的 分子数占总分子数的百分比. 2. 图中斜线部分面积: v2 N f ( v)dv v1 N 平衡态下, 分子出现在 [v1, v2] 速率区间内的概率.
第7章 气体动理论
7.6.3 三个统计速率
3. 方均根速率
v
2
1. 最概然速率(最可几速率) d f ( v) 0 dv
vp 2kT
能量均分定理详解
自由度: 分子能量中独立的速度和坐标的二次方项 数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度，用符号
i 表示.
自由度数目
i t r v
平转振 动动动
刚性分子能量自由度
t r i 自由度
分子
平动
转动
总
单原子分子
3
0
3
双原子分子
3
2
5
多原子分子
3
3
6
第七章 气体动理论
7 – 5 能量均分定理 理想气体内能 二 能量均分定理（玻尔兹曼假设）
物理学教程 （第二版）
理想气体的内能 理想气体内能变化
E m' i RT i RT
M2
2
dE i RdT
2
几种刚性分子理想气体的内能
1mol 单原子分子气体
E 3 RT 2
1mol 双原子分子气体
E 5 RT 2
1mol 多原子分子气体
E 3RT
➢ 理想气体内能只是温度的函数，和 T 成正比.
第七章 气体动理论
7 – 5 能量均分定理 理想气体内能
物理学教程 （第二版）
例 两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数
相同，下面那种叙述正确；
（A）它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同； （B）它们的平均平动动能、平均动能、内能都不同； （C）它们的平均平动动能相同，而平均动能和内能 不同； （D）它们的内能相同，而平均平动动能和平均动能 都不相同；
7 – 5 能量均分定理 理想气体内能
一 自由度
z
kt
1 mv2 2
3 kT 2
v 2x
v 2y
v
2 z
1 v2 3
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
第三章
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
1-3 气体分子的速率分布和能量分布
1 N N u
up273K up373K
u
但是温度高时具有最概然速率
的分子分数 少了。
1 N N u
up273K up373K
u
不同温度下的两条曲线，
覆盖的面积是相等的。
1. 3. 2 气体分子的能量分布
气体分子的能量分布受其速率 分布的影响。
故能量分布与速率分布有着类 似的规律。
1 N N E
E
所不同的是能量分布图开始 阶段较陡，而后趋于平缓。
1 N N E
E
此能量分布图，是在三维 空间讨论的结果。
在无机化学中，甚至在物理 化学中，常用能量分布的近似公
式来进行讨论。
fE =
NE N
=
e－
E RT
fE =
NE N
=
e－
E RT
式中，E 是能量；
NE 表示能量超过 E 的 分子的个数；
t 2
1
S
=
1 2
（2
+
1
）（t2
－
t1
）
图象直线下覆盖的梯形面积
t1
t2 t
正是路程 S。
12（2 + 1）是梯形中位线长，
t2 － t1 是梯形的高。
进一步认识一下其中的数学关系。
t 2
1
t1
t2 t
纵坐标 t 可以认为是
S t
。
t 2
1
t1
t2 t
纵坐标
S t
的分母时间
t
是横坐标。
其分子路程 S 是图象下覆盖面积。
第一章 化学基础知识
1. 3 气体分子的速率分布和能量分布
考察匀加速直线运动的 t — t 图，
第三章 气体分子速率及能量分布
f ( v )dv 1
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区间 内的分子数占总分子数的比率。 （ 归一化条件） —— v2 的平均值。
7.
0
v f ( v )dv v
2
2
四、麦克斯韦速度分布律
x , y , z
设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互 作用可以忽略时，速度分量vx在区间 vx ~ vx+dvx 内，速 度分量vy在区间 vy ~ vy+dvy 内 ，速度分量vz在区间 vz ~ vz+dvz 内的分子的比率为：
§1.气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
分子速率分布图
N ：分子总数
N /( N v分子速率分布图 )
S
o
v v v
v
dN 为速率在 v→ v+dv 区间的分子数.
表示速率分布在 v→ v+dv区间内的分子数占总分子数 的比率 .
速率分布函数 物理意义
f ( v ) lim
2、分子的方均根速率
2
v
3 kT m
3 RT
1 . 73
RT
由以上结果可见：气体分子的三种速率 v p , v , v
2
都与 T 成正比，与 m 或 成反比。在这三种速 率中，方均根速度最大，平均速率次之，最可几速 率最小。
麦克斯韦 （James Clerk Maxwell 1831-1879)
mv2 32 ) e 2kT v2
f (v)
速率分布曲线
vp
o
v v dv
v
最可几速率vp： 与f（v）极大值对应的速率。
第14讲 能量均分定理及气体速率分布律
6.5 麦克斯韦气体速率分布律
引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守 一定的统计规律——气体速率分布律。
气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
一、测定气体分子速率的实验 O——蒸汽源 1、实验装置
S ——分子束射出方向孔 R ——长为 l 、刻有螺旋形细槽 的铝钢滚筒 D ——检测器，测定通过细槽的 分子射线强度
2、实验原理
当圆盘以角速度ω转动时， 每转动一周，分子射线 通过圆盘一次，由于分 子的速率不一样，分子 通过圆盘的时间不一样， 只有速率满足下式的分 子才能通过S达到D
o
v P1
vP 2
v
o
v P1 v P 2
v
说明下列各量的物理意义：
1 . f ( v )dv
2 . N f ( v )dv
3 .nf ( v )dv
4.
v2 v1
f ( v )dv
5.
v2
v1
Nf ( v )dv
f ( v )dv
2
6.
0
7. v f ( v )dv
0
解：
dN f (v ) Ndv
2 2 3
1 3 2 m v kT 2 2
6.4 能量均分定理 理想气体内能
气动理论基础
i
A
X
l1 mvix t Z l1 容器内 N个分子在 t 时间内施与A面的冲量为：
mv I x I ix t i 1 i 1 l1
N N
2 ix
压强公式的简单推导
据压强定义，A 面受到的压强为：
N 2 vix N Ix m N 2 i 1 P v m ix N l2l3 t l1l2l3 i 1 l1l2l3
3 3 23 20 kT＝ 1.38 10 1273J 2.63 10 J 2 2 3RT 3 8.311273 2 3 v ＝ m / s 1.06 10 m / s 3 M mol 28 10
3 3 23 21 kT＝ 1.38 10 273J 5.65 10 J 2 2
3.理想气体状态方程
T不变
玻—马定律 PV=constant
克拉伯龙方程 PV=nRT
n=1mol
P不变
盖—吕萨克定律 V/T=constant
查理定律 P/T=constant
PV/T=R
V不变
理想气体状态方程
P
T1 T2 T3
P1
0
T1 T2
T3
等温线
V1
V
根据状态方程，系统的压强、体积、温度中任两 个量一定，就可确定系统的状态，因此常用P-V 图中 的一条曲线来表示系统的准静态过程，曲线上任一点 都表示气体的一个平衡态，这种图叫状态图。
三、气动理论的压强解释
安徽工业大学应用物理系
气体动理论的压强解释
1.理想气体微观模型
力学假设 (1)气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。 (2)气体分子的运动遵从牛顿力学的规律； (3)分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为
yyf--能均分,内能,速率分布
4
(
m
2 kT
3
)2
v e2 m v12 1
2kT
v1
根据题意 v1 3000m / s v1 3010 3000 10(m / s)
同理，速率在1500~1510m/s之间的分子数N2 为：
N 2
Nf
(v2 )v2
N
4
(m
2 kT
) v e 3 2
2
m v22 2kT
2
v2
v2 1500m / s v2 1510 1500 10(m / s)
近单位速率区间
内分子数占总分
o v v+dv
子数的百分比。
v
15
f（v）
dN = f(v)dv
N
为图上矩形部分的面积
o v v+dv
v
显然
dN
dN
f (v)dv 1
N 0N 0
归一化条件 （曲线下面积恒为1）
三、麦克斯韦速率分布函数
Maxwell speed distribution function
麦克斯韦
按统计假设：分子速率通过碰撞不断改变，不好 说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间 内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适， 这就是分子按速率的分布。
实验和理论都表明：气体分子的速率服从确定的分布 规律。
单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵循统 计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
0
0
,
3 vF3
3 A vF3 v2dv 0.75vF
v2
vF 0
v2
3 vF3
v2dv
0.6vF2
高二物理竞赛课件：能量均分定理 理想气体的内能(14张PPT)
r
且
2v )
t，
1 kT 2
r， v
的能级间距不同。
平动能级连续
转动能级间隔小 振动能级间隔大
(~ 103 105 eV) (~ 102 101 eV)
一般情况下（T <10 3 K），振动能级极少跃迁，
对能量交换不起作用 — 振动自由度 v “冻结”，
分子可视为刚性。
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对刚性分子（rigid molecule）：v 0 ，i t r
2 的平均能量。
能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体
和固体，甚至适用于任何具有统计规律的系统。
对有振动（非刚性）的分子：i = t + r + v
振动势能也是平方项，
P
k
1 kT v 2
v P k vkT
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分子平均能量 t r v (t 根据量子理论，能量是分立的，
内能：E N（ k p） p ij E(T ,V )
ij
(i>j)
由 T 决定 由 V 决定
对理想气体： p ij 0 ， E E(T ) ；
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刚性分子理想气体内能：
E i kT N 2
i 2
R T
NA
NA
i RT
2
：气体系统的摩尔（mol）数
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能量均分定理 理想气体的 内能
能量均分定理 理想气体的内能
一. 气体分子自由度（degree of freedom）
平动
分子热运动 转动
自由度
分子内原子间振动
决定分子在空间的位置所需的独立坐标系,用i 表示
分子能量中独立的速度平方项和坐标平方项 数目（二次项数）
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