[新人教版]数学教案中考复习41 相似三角形(2)
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中考复习41 相似三角形（2）
知识考点：
本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题：
【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝14cm ，9
5
=BD AD ，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ，求△ADE 的面积和周长。
分析：由AB ＝14cm ，CD ＝12cm 得ABC S ∆＝84，再由DE ∥BC 可得△ABC ∽△ADE ，
有2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆∆AB AD S S ABC ADE 可求得ADE S ∆，利用勾股定理求出BC 、AC ，再用相似三角形的性质可得△ADE 的周长。
答案：△ADE 的面积为
7
75cm 2
，周长为15 cm 。 例1图
E
D
C
B
A
例2图
Q P
M F E
D C B A
变式1图
P N M
C
B A
【例2】如图，正方形DEMF 内接于△ABC ，若1=∆A D E S ，4=D EFM S 正方形，
求ABC S ∆ 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，利用ADE S ∆可得AP 及AQ 的长，再由△ADE ∽△ABC 求出BC ，从而求得ABC S ∆。
解：∵正方形的面积为4，∴DE ＝MF ＝2。过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ∵1=∆ADE S ，∴AP ＝1
∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴
BC
DE
AQ AP =，即BC 231=
∴BC ＝6，故ABC S ∆＝9
变式1：如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，
答案：35 cm
变式2：如图，在△ABC 中，有矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
变式2图
H
M
D E F G
C
B
A
例3图
问题一图
P
N
M
D B A
答案：
724 cm ，7
48 cm 【例3】如图，已知P 为△ABC 内一点，过P 点分别作直线平行于△ABC 的各边，形成小三角形的面积1S 、2S 、3S ，分别为4、9、49，求△ABC 的面积。
解：设MP ＝p ，RT ＝r ，PN ＝q ，由于1S 、2S 、3S 都相似于△ABC ，设△ABC 的面积为S ，AB ＝c ，则有
c q S
=
2，
c p S =3，c
r
S =7，三式相加得： 17
32==++=
++c
c
c r q p S
∴12=S ，故144=S
探索与创新：
【问题一】如上图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，过BD 上一点P 作MN ∥BC 交AB 、DC 于M 、N ，若AM ∶MB ＝m ∶n 。
（1）计算PM 、PN 的长；
（2）当a ∶b ＝m ∶n 时，PM 与PN 有怎样的关系？
（3）在什么条件下才能得到MN ＝
)(2
1
b a +。 略解：（1）∵MN ∥BC ，AD ∥BC ，∴△BPM ∽△BDA ，△DPN ∽△DBC ∴
BA BM DA PM =，AB
AM
DC DN BC PN == 又∵AM ∶MB ＝m ∶n ，∴BM ∶AB ＝n ∶)(n m + ∴AM ∶AB ＝m ∶)(n m +
∴a n m n PM +=
，b n m m
PN += （2）∵a n m n PM +=
，b n
m m
PN += ∴当mb na =，即a ∶b ＝m ∶n 时，才有PM ＝PN ；
（3）∵MN ＝PM ＋PN ＝n m mb na ++，由n
m mb
na b a ++=+)(21可得：
0)))((=--n m b a
从而0=-b a 或0=-n m
故当b a =，且四边形ABCD 为平行四边形时，MN ＝
)(2
1
b a +或n m =且MN 为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN ＝
)(2
1
b a +。 【问题二】如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD 、BC 的长度分别为a 、
b )(b a <，梯形ABCD 的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF （点
E 、
F 分别在AB 、CD 上），使EF 把梯形ABCD 分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF 的长度如何求？试求出EF 的长度。
解：延长BA 、CD 相交于点O ，设EF ＝x ，△OAD 的面积为0S ，梯形ABCD 的面积为S 2，
∵AD ∥EF ，∴△OEF ∽△OAD
∴2
⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AD EF S S OAD OEF ，即22
00a
x S S S =+ 整理得22
01a
x
S S =+
………① 同理△OBC ∽△OAD ，22
002a
b S S S =+，
整理得22
021a b S S =
+………②，由①②消去0S S 得：222221a b a x -= 即2
2
22
b a x +=，∵0>x ，∴222b a x +=
，即EF ＝2
2
2b a + 跟踪训练：
b
a
问题二图
O
E
F
D
C
B
A